apostila cálculo 1 very good!!
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2) Um tanque em forma de cone com vértice 
para baixo mede 12 m de altura e tem no 
topo um diâmetro de 12 m. Bombeia-se água 
à taxa de 4m3/min. Ache a taxa com que o 
nível da água sobe: 
 a) quando a água tem 2 m de 
profundidade. 
 b) quando a água tem 8 m de 
profundidade. 
 
3) Uma pedra lançada em uma lagoa provoca 
uma série de ondulações concêntricas. Se o 
raio r da onda exterior cresce uniformemente 
à taxa de 1,8 m/s, determine a taxa com que 
a área de água perturbada está crescendo: 
 a) quando r = 3m 
 b) quando r = 6m 
 
4) Determine as abscissas dos pontos críticos 
das funções abaixo: 
 a) s(t) = 2t3 + t2 \u2013 20t +4 
 b) f(x) = 4x3 \u2013 5x2 \u2013 42x + 7 
 c) g(w) = w4 \u2013 32w 
 
5) Determine os pontos de máximo, de 
mínimo e de inflexão das seguintes funções 
se existires, UTILIZANDO O TESTE DA 
DERIVADA PRIMEIRA. 
 a) y = 6x3 + 15x2 \u2013 12x -5 
 b) 88
7
4)( 2 \u2212+\u2212= xxxf 
 c) f(x) = - 9x2 + 14x +15 
 
6) Determine as abscissas dos pontos 
máximos ou mínimos das seguintes funções, 
UTILIZANDO O TESTE DA DERIVADA 
SEGUNDA. 
 a) f(x) = x3 \u2013 12x2 + 45x +30 
 b) y = 8x3 \u2013 51x2 -90x +1 
 c) y = -x3 \u2013 9x2 + 81x \u2013 6 
 
7) Imagine que a trajetória de uma pedra 
lançada ao ar seja um trecho da parábola 
dada por y = 5x 2 \u2013 2 0x (x e y em metros), 
determine o ponto máximo da função. 
 
 
 
 
Respostas: 
1) min/
2
5 2cm\u3c0 
2) 
min/
4
1)
min/4)
mb
ma
\u3c0
\u3c0
 
 
3) 
smb
sma
/6,21)
/8,10)
2
2
\u3c0
\u3c0
 
4) 
2)
3
7
2
3)
23
5)
=
\u2212=
\u2212=
wc
exb
eta
 
5) a) máx x = -2 e min x = 1/3 
 b) máx x = 7 
 c) máx x = 7/9 
 
6) a) máx x = 3 e min x = 5 
 b) máx x = -3/4 e min x = 5 
 c) máx x = 3 e min x = - 9 
 
7) P(2,- 20) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 92
AULA 18 
 
10 \u2013 INTEGRAIS 
 
10.1 \u2013 INTRODUÇÃO: 
 Até o momento, nosso problema era; dada a função obter a sua derivada. A partir de 
agora, trabalharemos com a pergunta inversa: dada a função de quem ela é derivada? 
 A operação contrária a diferenciação (ou a derivação) é chamada de antidiferenciação ou 
anti-derivada. 
Definição: Uma função F é chamada de anti-derivada de uma função f em um intervalo l se F\u2019(x) 
= f(x) para todo x em l 
 
Exemplo: 
 Seja f(x) = 4x3 + 2x + 1. F(x) = x4 + x2 + x é a anti-derivada da função f, pois F\u2019(x0 = 
f(x). Mas não existe uma única integral, note por exemplo que: G(x) = x4 + x2 + x + 5 também é 
uma anti-derivada de f pois G\u2019(x) = f9x0 
 Na verdade,qualquer função definida por H(x) = x4 + x2 + x + c onde x é uma constante 
qualquer, será uma integral de f. 
 
10.1.1 \u2013 NOTAÇÃO: 
 A anti-diferenciação é um processo pelo qual se obtém a anti-derivada, mais geral de uma 
função encontrada. O símbolo \u222b denota a operação de integral, e escrevemos: 
 \u222b += CxFdxxf )()( onde )()(' xfxF = 
 
A expressão acima é chamada de Integral Indefinida de f. Em lugar de usarmos a 
expressão antiderivação para o processo de determinação de F, utilizaremos agora, a expressão 
Integração Indefinida. 
 
Para facilitar o nosso processo de obtenção da anti-derivada de uma função, temos 
algumas regras, que veremos a seguir. 
 
 
10.2 \u2013 INTEGRAIS IMEDIATAS 
 
\u222b ++=
+
c
n
xdxx
n
n
1
1
 
 
1) \u222b =dxx5 
 
 
 
2) \u222b =2xdx 
 
 
 
3) \u222b =3 2x
dx
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 93
 
4) \u222b =\u2212 dxxx)1( 
 
 
 
 
 
5) \u222b =\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b + dx
x
x
2
3
2 1 
 
 
 
 
6) \u222b =\u2212+ dxxxx 2
23 )45(
 
 
 
 
 
7) \u222b =+ dxxx 223 3.)2( 
 
 
 
 
 
 
\u222b ++=
+
c
n
vdvv
n
n
1
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) \u222b =+ xdxxba .222 
 
 
 
 
 
\u222b += cvvdv ln 
 
9) \u222b =\u2212 )32( xdx 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 94
 
10) \u222b =\u2212 3
2
21 x
dxx
 
 
 
 
 
 
 
\u222b += caadva
v
v
ln
 \u222b += cedve vv 
 
11) \u222b =dxxe
x
2
1
 
 
 
 
 
 
 
12) \u222b =dxexx3 
 
 
 
 
 
13) 
( )\u222b =\u2212 dxba ba xx
xx 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
cvdvtgv +\u2212=\u222b cosln. ou cvdvtgv +=\u222b secln. 
 
14) \u222b =xdxtg2 
 
 
 
 
 
\u222b +\u2212= cgvvvdv )cotsecln(cosseccos 
 
15) \u222b =xdxseccos 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 95
\u222b += ctgvvdv2sec 
 
16) \u222b =dxxx 322 sec 
 
 
 
 
 
 
 
\u222b ++= ctgvvvdv )ln(secsec 
 
17) \u222b =xdxxsec 
 
 
 
 
 
 
 
 
\u222b += cxdxtgxx sec..sec 
 
18) \u222b =dxxsenx2cos 
 
 
 
 
 
 
\u222b +\u2212= cgxxdx cotseccos 2 
 
19) \u222b =+ xdxcos1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 96
 
c
a
varcsen
va
dv +=\u2212\u222b 22 ou ca
v
va
dv +\u2212=\u2212\u222b arccos22 
 
20) \u222b =\u2212 2916 x
dx
 
 
 
 
 
 
 
c
a
varctg
ava
dv +=+\u222b 122 ou cavarcava dv +\u2212=+\u222b cot122 
 
21) \u222b =+ 94 2xdx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c
a
varc
aavv
dv +=\u2212\u222b sec
1
22
 ou c
a
v
aavv
dv +\u2212=\u2212\u222b secarccos
1
22
 
 
22) \u222b =\u2212 94 2xx
dx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 97
 
c
va
va
ava
dv +\u2212
+=\u2212\u222b ln2
1
22
 
 
23) \u222b =\u221219 2xdx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
\u222b ++\u2212=\u2212 cav avaav dv ln2122 \u222b +±+=± cavvav
dv )ln( 22
22
 
 
 
 
24) \u222b =\u2212+ 743 2 xx dx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 98
 
Aula 18- Exercícios 
 
1) \u222b + dxx x 33
2
)2(
8
 
 
2) \u222b +
+ dx
xx
x
3
12 )6(
)3(
 
 
3) \u222b \u2212 dxxx 42 2 
 
4) dx
x
x\u222b + )ln2( 
 
5) \u222b + dxxx
2)1(
 
 
6) \u222b + dxee xx .)1( 3 
 
7) \u222b dxxxsen .2cos.2 2 
 
8) \u222b \u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
+ dxtgx
x
2
1
sec
 
 
9) \u222b \u2212 dxxcb ax 222 3 
 
10) \u222b xxdxln. 
 
11) \u222b dxxtg .2 
 
12) \u222b 22 )( xedx 
 
13) dx
x
xsenx\u222b +coscos 
 
14) \u222b dxxsengx2cot 
 
15) \u222b \u2212 dxx 2)14(sec 
 
16) \u222b + dxxba tgxxsec.sec 
 
17) \u222b dxxsen x4
3cos
 
 
18) \u222b dxxtg .4 
 
19) \u222b + dxxxtg 2)2sec2( 
 
20) \u222b + dxgxtgx 2)cot( 
 
21) \u222b + dxbx ax 44 
 
22) \u222b \u2212 294 tdt 
 
23) \u222b \u2212 \u3b8\u3b8\u3b8 24 .cossend 
 
24) \u222b \u221214xx
dx
 
 
25) \u222b \u2212 dxx
x
2
2
1
arccos
 
 
26) \u222b \u2212 dxxx 6
2
5
 
 
27) \u222b + arctgxx dx)1( 2 
 
28) \u222b \u2212+ xx ee dx 
 
29) \u222b + dxxtgxx 2sec49 .sec 
 
30) \u222b ++ 522 xx dx 
 
31) \u222b \u2212\u2212 23 2xx
dx
 
 
32) \u222b \u2212++ 2)12(
3
2 xxx
dx
 
 
33) \u222b \u2212
\u2212 dx
x
xx
21
arccos
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 99
 
 
34) dx
xx
x\u222b \u2212+ \u2212 743 322 
 
35) \u222b \u2212+ 2627 xx
xdx
 
 
36) \u222b ++ 21 xx
dx
 
 
37) \u222b +
\u2212 dx
x
x
94
13
2
 
 
38) \u222b +\u2212 + dxxx x 8129 322 
 
39) \u222b + dxxsen
xsen
21
2
 
 
40) \u222b + x
x
e
dxe
2
2
2
 
 
41) \u222b \u2212 xx
dx
2ln1
 
 
42) \u222b + xxsen dx 22 cos32 
 
43) dxxx\u222b +3 23. 
 
 
 
Respostas: 
1) c
x
++
\u2212
23 )2(3
4