apostila cálculo 1 very good!!
152 pág.

apostila cálculo 1 very good!!


DisciplinaCálculo I81.326 materiais1.415.055 seguidores
Pré-visualização21 páginas
=2 
 
8) Ceseny x =. 
 
9) xxy 32 += 
 
10) 
2ln3
1
+= xy 
Cálculo Diferencial e Integral 
 143
 
AULA 28 
 
11.5 - EQUAÇÕES LINEARES 
 
 Equações lineares são aquelas da forma QPy
dx
dy =+ onde P e Q são funções de x ou 
constantes. 
 Se Q = 0, a equação é denominada linear homogênea ou incompleta. 
 
 
1o Método: Substituição ou de Lagrange 
 
\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 +\u222b\u222b= \u222b\u2212 CdxQeey PdxPdx .. 
 
 
 
2o Método: Fator Integrante 
 
Dado QPy
dx
dy =+ 
 
 (Py \u2013 Q) dx + dy = 0 
 
multiplica-se tudo por 
\u222b Pdxe transformando a equação diferencial em exata. 
 
 
Exemplos: 
 
1) Resolver a equação 2\u2212=\u2212 x
x
y
dx
dy
 por: 
 
a. Lagrange 
Cálculo Diferencial e Integral 
 144
b. Fator integrante: 
Cálculo Diferencial e Integral 
 145
2) senxytgx
dx
dy =\u2212 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 146
3) (x + seny \u2013 1)dy \u2013 cosy.dx = 0 
Cálculo Diferencial e Integral 
 147
AULA 28 \u2013 EXERCÍCIOS 
 
1) 0cot =\u2212+
x
gx
x
y
dx
dy
 
 
2) arctgxy
dx
dyx =++ )1( 2 
 
3) xytgx
dx
dy cos. += 
 
4) x
x
y
dx
dy =\u2212 
 
5) 3
2 x
x
y
dx
dy =+ 
 
6) Achar a solução particular para y = 0 e x 
= 0 em 
x
ytgx
dx
dy
cos
1=\u2212 
 
 
 
 
Respotas: 
 
1) [ ]Csenx
x
y += )ln(1 
 
2) arctgxeCarctgxy \u2212+\u2212= .1 
 
3) xCxsenxy sec2
4
1
2
1
1 \u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b ++= 
 
4) 2xCxy += 
 
5) 2
4
6
1
x
Cxy += 
 
6) 
x
xy
cos
= 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 148
AULA 29 
 
 
11.6 - EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
 
Equação da forma: 
nQyPy
dx
dy =+ (1) para 1\u2260n e 0\u2260n 
 
Pois, se: 
 
n = 0 \u21d2 y\u2019 + P(x)y = g(x) \u21d2 caso anterior 
 
n = 1 \u21d2 y\u2019 + [P(x) \u2013 g(x)] y = 0 \u21d2 caso anterior e homogênea 
 
 
 Transformação de variável: 
 
Substitui por ty n =\u22121 
 
Deriva-se em relação a x: 
 
dx
dt
dx
dyyn n =\u2212 \u2212)1( (2) 
 
Substituindo (1), que é: 
 
nQyPy
dx
dy =+ \u21d2 PyQy
dx
dy n \u2212= 
em (2) temos: 
 
 ( )
dx
dtPyQyyn nn =\u2212\u2212 \u2212)1( 
 
 ( )( )
dx
dtPyQn n =\u2212\u2212 \u221211 
 
como ty n =\u22121 , temos: 
 
dx
dtPtQn =\u2212\u2212 ))(1( 
 
 QntPndx
dt )1(])1[( \u2212=\u2212+ 
 
Tornando-se assim uma equação linear a ser resolvida pelo método anterior. 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 149
Exemplos: 
 
1) 232 xy
x
y
dx
dy =\u2212 
Cálculo Diferencial e Integral 
 150
2) 32 xyxy
dx
dy =\u2212 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 151
AULA 29 \u2013 EXERCÍCIOS 
 
1) 33 yxxy
dx
dy =+ 
 
2) xyy
dx
dyx ln2=+ 
 
3) 33 yxy
dx
dyx =+ 
 
4) yxy
xdx
dy += 4 
 
5) 02 2 =+\u2212 xy
dx
dyxy 
 
 
Respostas: 
 
1) 2
.1
1
2 xeCx
y
++
= 
 
2) 
Cxex
y += ).ln(
1
 
 
3) 1.2 2223 =+\u2212 yxCyx 
 
4) 
2
4 ln
2
1 \u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b += Cxxy 
 
5) 
x
Cxy ln.2 =