apostila cálculo 1 very good!!
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natural, com n \u22652, definimos: 
(Eq.4) na = 43421 K
fatores n
aaaa \u22c5\u22c5\u22c5\u22c5 . 
Para n =1 e n =0 são definidos: 
(Eq.5) 1a =a . 
(Eq.6) 0a =1 ( a \u22600). 
3.1.2 - Potências com expoente inteiro 
Se a é um número real não-nulo (a \u22600) e n um número inteiro e positivo, definimos: 
(Eq.7) na\u2212 = na
1
. 
3.1.3 - Potências com expoente racional 
Se a é um número real positivo e 
n
m
 um número racional, com n inteiro positivo, 
definimos: 
(Eq.8) n
m
a = n ma . 
3.1.4 -Potências com expoente real 
Podemos considerar que as potências com expoente real têm significado no conjunto dos números 
reais. Temos, por exemplo: 210 =25,954553519470080977981828375983. 
3.1.4.1 - Propriedades 
Para as potências com expoente real são válidas as seguintes propriedades operatórias: 
\u2022 ma \u22c5 na = nma + . 
\u2022 ma : na = nma \u2212 ( a \u22600). 
\u2022 nma )( = nma \u22c5 . 
\u2022 nba )( \u22c5 = na \u22c5 nb . 
\u2022 
n
b
a \u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b = n
n
b
a
 (b \u22600). 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 27
Exemplos 
1) Dê o resultado mais simples de ( 35 \u22c5 65 ): 105 . 
Resolução 
 Usando as propriedades, temos: 
( 35 \u22c5 65 ): 105 =( 635 + ): 105 = 95 : 105 = 1095 \u2212 = 15\u2212 =
5
1
. 
2) Calcule o valor da expressão 
2
3
2 \u2212\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b +
3
2
1 \u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b \u2212 06 . 
Resolução 
2
3
2 \u2212\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b +
3
2
1 \u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b \u2212 06 =
2
2
3 \u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b +
3
2
1 \u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b \u22121=
4
9 +
8
1 \u22121=
8
8118 \u2212+ =
8
11
. 
 
3) Simplifique x
xx
2
22 25 ++ \u2212
. 
Resolução 
x
xx
2
22 25 ++ \u2212 = x
xx
2
2222 25 \u22c5\u2212\u22c5 = x
x
2
222 25 )( \u2212\u22c5 = 52 \u2212 22 =28. 
 
4) Calcule 3
4
8 . 
Resolução 
\u2022 Primeira resolução: 3
4
8 = 3 48 = 3 4096 =16. 
\u2022 Segunda resolução: 3
4
8 = 3
432 )( = 3
432 \u22c5 = 42 =16. 
 
5) Determine o valor de 7081 , : 2081 , . 
Resolução 
7081 , : 2081 , = 207081 ,, \u2212 = 5081 , = 5043 ,)( = 23 =9. 
 
10) Qual o valor de 2210 )( : 510 ),( ? 
Resolução 
2210 )( : 510 ),( = 2210 \u22c5 : 5110 )( \u2212 = 210 : 510\u2212 = )( 5210 \u2212\u2212 = 710 =10000000. 
3.2 - Equações exponenciais 
Definição 25: Chama-se equação exponencial toda equação que contém incógnita no expoente. 
Exemplo: 
\u2022 x2 =16. 
\u2022 13 +x + 23 \u2212x =9. 
Cálculo Diferencial e Integral 
 28
 
\u2022 13 \u2212x =27. 
\u2022 10\u22c5 x22 \u22125\u22c5 x22 \u22121=0. 
3.2.1 -Resolução de equações exponenciais 
Para resolver uma equação exponencial, devemos transformá-la de modo a obter potências 
de mesma base no primeiro e no segundo membros da equação utilizando as definições e 
propriedades da potenciação. Além disso, usaremos o seguinte fato: 
Definição 26: Se a >0, a \u22601 e x é a incógnita, a solução da equação xa = pa é x = p . 
Exemplos: 
1) Resolver a equação x4 =512. 
Resolução 
Usando as propriedades das potências, vamos transformar o 1o e 2o membros da equação em 
potências de mesma base: 
x4 =512 \u21d2 x)( 22 = 92 \u21d2 x22 = 92 \u21d2 2 x =9 \u21d2 x =
2
9
. 
S= \u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7
2
9
. 
2) Uma empresa produziu, num certo ano, 8000 unidades de determinado produto. Projetando um 
aumento anual de produção de 50%, pergunta-se: 
\u2022 a) Qual a produção P dessa empresa t anos depois? 
\u2022 b) Após quantos anos a produção anual da empresa será de 40500 unidades? 
Resolução 
\u2022 a) Obs: 50%=
100
50 =0,5 
Um ano depois: 8000+0,5\u22c58000=8000\u22c5(1+0,5)=8000\u22c51,5 
Dois anos depois: (8000\u22c51,5)\u22c51,5=8000\u22c5 251 ),( 
Três anos depois: (8000\u22c5 251 ),( )\u22c51,5=8000\u22c5 351 ),( 
Produção P, t anos depois: P=8000\u22c5 t),( 51 
\u2022 b) Fazendo P=40500, na fórmula anterior, obtemos a equação: 
40500=8000\u22c5 t),( 51 
Resolvendo a equação: 
40500=8000\u22c5 t),( 51 
\u21d2 t),( 51 =
8000
40500
. Obs: 1,5=
2
3
. 
\u21d2 
t
\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b
2
3 =
16
81
 
\u21d2 
t
\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b
2
3 = 4
4
2
3
 
\u21d2 
t
\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b
2
3 =
4
2
3 \u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b
 \u21d2 t =4. 
Desse modo, a produção anual da empresa será de 40500 unidades após 4 anos. 
Cálculo Diferencial e Integral 
 29
3) Determine o conjunto solução da equação 281 +x =1 no universo dos números reais. 
Resolução 
Sabendo que 081 =1, temos: 
281 +x =1 \u21d2 281 +x = 081 \u21d2 x +2=0 \u21d2 x =\u22122. 
S={\u22122}. 
3.2.2 - Resolução de equações exponenciais com o uso de artifícios 
Para se resolver determinadas equações exponenciais, são necessárias algumas 
transformações e artifícios. 
 
Exemplos: 
1) Resolver a equação x4 \u22125\u22c5 x2 +4=0. 
Resolução 
 Usando as propriedades da potenciação, vamos fazer uma transformação na equação dada: 
x4 \u22125\u22c5 x2 +4=0 \u21d2 x)( 22 \u22125\u22c5 x2 +4=0 \u21d2 22 )( x \u22125\u22c5 x2 +4=0. 
Fazendo x2 = y , temos a equação do 2o grau em y : 
2y \u22125 y +4=0 \u21d2 y =
2
16255 \u2212±
 \u21d2 1y =4 e 2y =1. 
Voltando à igualdade x2 = y : 
1y =4: 
x2 = y \u21d2 x2 =4 \u21d2 x2 = 22 \u21d2 x =2. 
2y =1: 
x2 = y \u21d2 x2 =1 \u21d2 x2 = 02 \u21d2 x =0. 
S={0,2}. 
2) Determine o conjunto solução da equação x5 \u2212 x\u221225 =24. 
Resolução 
 Preparando a equação, temos: 
x5 \u2212 x\u221225 =24 \u21d2 x5 \u2212 25 \u22c5 x\u22125 =24 \u21d2 x5 \u221225\u22c5 x5
1 =24 \u21d2 x5 \u2212 x5
25 =24. 
Fazendo x5 = y , temos: 
y \u2212
y
25 =24 \u21d2 2y \u221225=24 y \u21d2 2y \u221224 y \u221225=0 \u21d2 
\u23a9\u23a8
\u23a7
\u2212=
=
1
25
2
1
y
y
 
Voltando à igualdade x5 = y : 
1y =25: 
x5 = y \u21d2 x5 =25 \u21d2 x5 = 25 \u21d2 x =2. 
2y =\u22121: 
x5 = y \u21d2 x5 =\u22121 \u21d2 Esta equação não tem raiz em R , pois x5 >0, para todo x real. 
S={2}. 
3.3 - Função exponencial 
Definição 27: A função f : R \u2192 R dada por f ( x )= xa (com a >0 e a \u22601) é denominada função 
exponencial de base a . 
Cálculo Diferencial e Integral 
 30
 
3.3.1 - Gráfico da função exponencial no plano cartesiano 
Dada a função f : R \u2192R , definida por f ( x )= xa (com a >0 e a \u22601), temos dois casos para 
traçar seu gráfico: (i) a >1 e (ii) 0<a <1. 
\u2022 (i) a >1. 
1) Traçar o gráfico de f ( x )= x2 . 
x f ( x )= x2 
\u22122 
4
1
 
\u22121 
2
1
 
0 1 
1 2 
2 4 
3 8 
 
 
 
3210
6
7
8
y
x-1-2 4-3-4
1
2
3
4
5
 
OBS.1: Quanto maior o expoente x , maior é a potência xa , ou seja, se a >1 a função f ( x )= xa é 
crescente. 
\u2022 (ii) 0<a <1. 
2) Traçar o gráfico de f ( x )=
x
\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b
2
1
. 
x f ( x )=
x
\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b
2
1
 
\u22123 8 
\u22122 4 
\u22121 2 
0 1 
1 
2
1
 
2 
4
1
 
 
 
3210
6
7
8
y
x-1-2 4-3-4
1
2
3
4
5
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 31
Obs.2: Quanto maior o expoente x , menor é a potência xa , ou seja, se 0<a <1 a função 
f ( x )= xa é decrescente. 
Com base no gráfico, podem-se tirar algumas considerações: 
3.3.2 - Características da função exponencial 
Seja f : R \u2192R , definida por f ( x )= xa (com a >0 e a \u22601). 
\u2022 Domínio da função f são todos os números reais \u21d2 D =R . 
\u2022 Imagem da função f são os números reais positivos \u21d2 Im = \u2217+R . 
\u2022 A curva da função passa pelo ponto (0,1). 
\u2022 A função é crescente para a base a >1. 
\u2022 A função é decrescente para a base 0< a <1. 
3.4 - Inequações exponenciais 
Definição 28: São inequações exponenciais aquelas que aparecem incógnitas no expoente. 
3.4.1 - Resolução de inequações exponenciais 
Para resolver inequações exponenciais, devemos observar dois passos importantes: 
\u2022 1) Redução dos dois membros da inequação a potências de mesma base; 
\u2022 2) Verificar a base da exponencial, a >1 ou 0<a <1, aplicando as propriedades abaixo. 
Caso (i): a >1 Caso (ii): 0<a <1 
ma > na \u21d2 m > n ma > na \u21d2 m < n 
As desigualdades têm mesmo 
sentido 
As desigualdades têm sentidos 
diferentes