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Chamamos de inequação logarítmica toda inequação que envolve logaritmos com a incógnita 
aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos. 
Exemplos: 
1) Resolva a inequação 
2
1log ( x \u22123)\u2265 
2
1log 4. 
 
 
Condição de existência: 
x \u22123>0 \u21d2 x >3 (i). 
Base: (0<a <1). Como a base é um número entre 0 e 1, a função logarítmica é decrescente e o 
sentido da desigualdade se inverte para os logaritmandos. 
x \u22123\u22644 \u21d2 x \u22643 (ii). 
A solução da inequação deve satisfazer as duas condições: 
x
x
x
7
3(i)
(ii)
(i) (ii)\u2229 
73 
S={ x \u2208R ; 3< x \u22647}. 
 
 
 
 
2) Resolva a inequação 4log (
2x \u2212 x )\u2265 4log (2 x +10). 
 
1a Condição de existência: 
2x \u2212 x >0 \u21d2 x <0 ou x >1 (i). 
2a Condição de existência: 
2 x +10>0 \u21d2 x >\u22125 (ii). 
Base: ( a >1). 
2x \u2212 x \u22652 x +10 \u21d2 2x \u2212 x \u22122 x \u221210\u22650 \u21d2 2x \u22123 x \u221210\u22650 \u21d2 x \u2264\u22122 ou x \u22655 (iii). 
A solução da inequação deve satisfazer as três condições: 
x
x
x(i)
(ii)
(iii)
x(i) (ii)\u2229 
-2
(iii)\u2229 
-5 0 1
5
-5
-2
0 1
 
S={ x \u2208R ; \u22125< x \u2264\u22122 ou x \u22655}. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 38
 
3) Suponha que o preço de um carro sofra uma desvalorização de 20% ao ano. Depois de quanto 
tempo, aproximadamente, seu preço cairá para cerca da metade do preço de um carro novo? (Use 
10log 2=0,3) 
 
p = 0p (1\u22120,2) t \u21d2 p = 0p (0,8) t \u21d2 p = 0p
t
\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b
10
8
 \u21d2 
Procura-se p =
2
0p , logo: 
2
0p = 0p
t
\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b
10
8
 \u21d2 ( 0p \u22600) \u21d2 2
1 =
t
\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
10
23
 \u21d2 12\u2212 = t32 \u22c5 t\u221210 
Aplicando 10log em ambos os membros, temos: 
10log
12\u2212 = 10log ( t32 \u22c5 t\u221210 ) 
10log
12\u2212 = 10log ( t32 \u22c5 t\u221210 ) 
10log
12\u2212 = 10log t32 + 10log t\u221210 
\u2212 10log 2=3 t 10log 2\u2212 t 10log 10 
\u22120,3=3 t \u22c50,3\u2212 t 
\u22120,3=0,9 t \u2212 t 
\u22120,3=\u22120,1 t 
t =3 
O preço do carro cairá para a metade do preço do carro novo depois de 3 anos 
 
 
 
AULA 05 \u2013 EXERCÍCIOS 
 
1) Resolva as seguintes equações: 
 a) log2 (x \u2013 4) = 3 
 b) logx (3x2 \u2013 x) = 2 
 c) (log3x)2 \u2013 log3x \u2013 6 = 0 
 d) log5(log3x) = 1 
2) Sabendo que log 2 = 0,301 e log 3 = 
0,477, calcule: 
 a) log 6 b) log 5 
 c) log 2,5 d) log 3 
3) Qual o conjunto solução da equação 
 a) 2
1)1(log)13(log 42 =+\u2212\u2212 xx 
 b) 2loglog 10010 =+ xx 
 
4) Determine o campo de existência da 
função 
)2510(log)12(log)( 23
2
3 +\u2212\u2212\u2212\u2212= xxxxxf 
5) Resolva as inequações: 
 a) log3(5x \u2013 1) > log3 4 
 b) log2(x \u2013 4) > 1 
 c) log12(x \u2013 1) + log12(x \u2013 2) \u2264 1 
 
 
Respostas: 
1) a) 12 b) ½ 
 c) {1/9, 27} d) 243 
2) a) 0,778 b) 0,699 
 c) 0,398 d) 0,2385 
3) a) 1 b) 100 
4) }5,,4,,3/{ \u2260>\u2212<\u2208 xexouxRx 
5) a) }1/{ >\u2208= xRxS 
 b) }6/{ >\u2208= xRxS 
 c) }52/{ \u2264<\u2208= xRxS 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 39
AULA 06 
 
5 - FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
5.1 - Seno e cosseno de um arco: 
Tome o arco \u3b1 dado na figura abaixo: 
A
P
O
\u3b1N
M
 
[Fig.5] Arco \u3b1 para o conceito de seno e cosseno. 
 
Seno de um arco é a ordenada do ponto P. 
(Eq.12) sen\u3b1=ON =MP . 
 
Cosseno de um arco é a abscissa do ponto P. 
(Eq.13) cos\u3b1=OM = NP . 
5.1.1 \u2013 Conseqüências: 
Para qualquer ponto da circunferência, a ordenada e a abscissa nunca são menores que \u22121 
nem maiores que +1. Por isso dizemos que seno e cosseno são números compreendidos entre \u22121 e 
+1, o que nos permite concluir: 
(Eq.14) \u22121 \u2264 sen \u3b1 \u2264 1 e \u22121 \u2264 cos\u3b1 \u2264 1 
5.1.2 - Função seno e função cosseno 
Função seno é a função que associa a cada arco x \u2208R o número sen x \u2208R , ou y = sen x . 
Função cosseno é a função que associa a cada arco x \u2208R o número cos x \u2208R , ou 
y =cos x . 
5.1.3 - Gráfico das funções seno e cosseno 
Para estudar a função seno ( y = sen x ) e a função cosseno ( y =cos x ) vamos variar x no 
intervalo [0,2\u3c0]. 
5.1.3.1 - Função seno: 
y = sen x 
AO O \u3c02\u3c03\u3c04\u3c06 \u3c0
\u3c0
2
3 \u3c02
1
1
y
x
 
[Fig.6]Gráfico da função seno. 
Cálculo Diferencial e Integral 
 40
 
5.1.3.2 - Conclusões 
\u2022 O domínio da função y = sen x é o conjunto dos números reais, isto é, D =R . 
\u2022 A imagem da função y = sen x é o intervalo [\u22121,+1], isto é, \u22121\u2264 sen x \u2264+1. 
\u2022 Toda vez que somamos 2\u3c0 a um determinado valor de x , a função seno assume o mesmo 
valor. Como 2\u3c0 é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função 
y = sen x é p =2\u3c0. 
Essa conclusão pode ser obtida, também, a partir do ciclo trigonométrico onde marcamos o arco 
x . 
Quando adicionamos 2 k \u3c0 ao arco x , obtemos sempre o mesmo valor para o seno, pois a 
função seno é periódica de período 2\u3c0. 
(Eq.15) sen x = sen ( x +2 k \u3c0), k \u2208Z (Inteiros). 
5.1.3.3 - Seno é função ímpar 
No ciclo trigonométrico, os pontos correspondentes aos números x e \u2212 x têm imagens 
simétricas em relação ao eixo das abscissas. Daí resulta que as ordenadas desses pontos têm o 
mesmo valor absoluto, porém, sinais opostos. Então, sen (\u2212 x )=\u2212 sen x . 
Quando uma função f é tal que f (\u2212 x )=\u2212 f ( x ), para todo x do seu domínio, dizemos 
que f é uma função ímpar. 
Como sen (\u2212 x )=\u2212 sen x , para todo x real, podemos afirmar que a função seno é ímpar. 
5.1.3.4 - Função cosseno 
y =cos x 
AO O \u3c02\u3c03\u3c04\u3c06 \u3c0
\u3c0
2
3 \u3c02
1
1
y
x
 
[Fig. 2]: Gráfico da função cosseno. 
5.1.3.5 - Conclusões 
\u2022 O domínio da função y =cos x é o conjunto dos números reais, isto é, D =R . 
\u2022 A imagem da função y =cos x é o intervalo [\u22121,+1], isto é, \u22121\u2264cos x \u2264+1. 
\u2022 O período da função y =cos x é p =2\u3c0. 
Essa conclusão pode ser obtida, também, a partir do ciclo trigonométrico onde marcamos o arco 
x . 
Quando adicionamos 2 k \u3c0 ao arco x , obtemos sempre o mesmo valor para o cosseno, pois a 
função cosseno é periódica de período 2\u3c0. 
(Eq.16) cos x =cos ( x +2 k \u3c0), k \u2208Z (Inteiros). 
 
5.1.3.6 - Cosseno é função par 
No ciclo trigonométrico, os pontos correspondentes aos números x e \u2212 x têm imagens 
simétricas em relação ao eixo das abscissas. Daí resulta que esses pontos têm a mesma abscissa. 
Então, cos (\u2212 x )=cos x . 
Cálculo Diferencial e Integral 
 41
Quando uma função f é tal que f (\u2212 x )= f ( x ), para todo x do seu domínio, dizemos que 
f é uma função par. 
Como cos (\u2212 x )=cos x , para todo x real, podemos afirmar que a função cosseno é par. 
 
Exemplos: 
1) Construa o gráfico da função y =2sen x , dando o domínio, a imagem e o período. 
 
x sen x 2 sen x y 
0 0 2\u22c50 0 
2
\u3c0
 1 2\u22c51 2 
\u3c0 0 2\u22c50 0 
2
3\u3c0
 \u22121 2\u22c5(\u22121) \u22122 
2\u3c0 0 2\u22c50 0 
O \u3c02 \u3c0
\u3c0
2
3 \u3c02
1
1
y
x
2
2 
Observando o gráfico, temos: 
D =R , Im =[\u22122,2], e p =2\u3c0. 
2) Construa o gráfico da função y =cos
2
x
, dando o domínio, a imagem e o período. 
 
2
x
 x cos
2
x
 y 
0 0 1 1 
2
\u3c0
 \u3c0 0 0 
\u3c0 2\u3c0 \u22121 \u22121 
2
3\u3c0
 3\u3c0 0 0 
2\u3c0 4\u3c0 1 1 
 
Observando o gráfico, temos: 
D =R , Im =[\u22121,1], e p =4\u3c0. 
 
5.2 - Tangente de um arco 
Tome o arco \u3b1 dado na figura abaixo: 
A
P
O
\u3b1
N
M
T
eixo das tangentes
 
[Fig. 3]: Arco \u3b1 para o conceito de tangente. 
O \u3c0 \u3c0
\u3c0
2
3 \u3c04
1
1
y
x
Cálculo Diferencial e Integral 
 42
Tangente de um arco é a ordenada do ponto T (segmento AT). 
(Eq.17) tan\u3b1= AT . 
5.2.1 - Conseqüências 
\u2022 O eixo vertical, suporte de AT , é chamado eixo das tangentes. 
\u2022 Podemos dizer que tan\u3b1 só é definida se \u3b1\u2208R e \u3b1\u2260
2
\u3c0 + k