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\u3c0 ( k \u2208Z ). 
5.2.2 - Função tangente 
Função tangente é a função que associa a cada arco x \u2208R , com x \u2260
2
\u3c0 + k \u3c0 ( k \u2208Z ), o 
número tan x \u2208R , ou y = tan x . 
5.2.3 - Gráfico da função tangente 
Para estudar a função tangente ( y = tan x ) vamos variar x no intervalo [0,2\u3c0]. 
AO O \u3c02\u3c03\u3c04\u3c06 \u3c0 \u3c023
\u3c02
1
1
y
x
0,58
1,73
1,73
0,58
 
[Fig. 4]: Gráfico da função tangente. 
5.2.4 - Conclusões 
\u2022 O domínio da função y = tan x é o conjunto dos números reais x \u2208R , com x \u2260
2
\u3c0 + k \u3c0 ( k \u2208Z ), 
isto é, D ={ x \u2208R / x \u2260
2
\u3c0 + k \u3c0, k \u2208Z }. 
\u2022 A imagem da função y = tan x é o conjunto dos números reais. 
 
\u2022 Toda vez que somamos k \u3c0 a um determinado valor de x , a função tangente assume o mesmo 
valor. Como \u3c0 é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função 
y = tan x é p =\u3c0. 
(Eq.18) tan ( x + k \u3c0)= tan x , k \u2208Z . 
5.2.5 - Tangente é uma função ímpar 
Como tan (\u2212 x )=\u2212 tan x , para todo x real, com x \u2260
2
\u3c0 + k \u3c0 ( k \u2208Z ), podemos afirmar que a 
função tangente é ímpar. 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 43
5.3 - Cotangente de um arco 
Tome o arco \u3b1 dado na figura abaixo: 
A
P
O
\u3b1
N
M
C
eixo das
cotangentes
B
 
[Fig. 5]: Arco \u3b1 para o conceito de cotangente. 
 
Cotangente de um arco é a abscissa do ponto C (segmento BC). 
(Eq.19) cot \u3b1= BC . 
5.3.1 - Conseqüências 
\u2022 O eixo horizontal, suporte de BC , é chamado eixo das cotangentes. 
\u2022 Podemos dizer que cot \u3b1 só é definida se \u3b1\u2208R e \u3b1\u2260 k \u3c0 ( k \u2208Z ). 
5.3.2 - Função cotangente 
Função cotangente é a função que associa a cada arco x \u2208R , com x \u2260 k \u3c0 ( k \u2208Z ), o número 
cot x \u2208R , ou y =cot x . 
5.3.3 - Gráfico da função cotangente 
Para estudar a função cotangente ( y =cot x ) vamos variar x no intervalo [0,2\u3c0]. 
AO O \u3c02\u3c03\u3c04\u3c06 \u3c0 \u3c023 \u3c02
1
1
y
x
0,58
1,73
1,73
0,58
 
[Fig. 6]: Gráfico da função cotangente. 
5.3.4 - Conclusões 
\u2022 O domínio da função y =cot x é o conjunto dos números reais x \u2208R , com x \u2260 k \u3c0 ( k \u2208Z ), isto 
é, D ={ x \u2208R / x \u2260 k \u3c0, k \u2208Z }. 
\u2022 A imagem da função y =cot x é o conjunto dos números reais. 
\u2022 Toda vez que somamos k \u3c0 a um determinado valor de x , a função cotangente assume o 
mesmo valor. Como \u3c0 é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da 
função y =cot x é p =\u3c0. 
 cot ( x + k \u3c0)=cot x , k \u2208Z . 
Cálculo Diferencial e Integral 
 44
 
5.3.5 - Cotangente é uma função ímpar 
Como cot (\u2212 x )=\u2212cot x , para todo x real, com x \u2260 k \u3c0 ( k \u2208Z ), podemos afirmar que a função 
cotangente é ímpar. 
5.4 - Secante e cossecante de um arco 
Tome o arco \u3b1 dado na figura abaixo: 
A
P
O
\u3b1
N
M S
D
 
[Fig. 7]: Arco \u3b1 para o conceito de secante e cossecante. 
 
Traçando uma reta tangente à circunferência pelo ponto P, interceptamos o eixo das 
abscissas no ponto S e o eixo das ordenadas no ponto D. 
(Eq.20) sec \u3b1=OS . 
(Eq.21) seccos \u3b1=OD . 
 
5.4.1 - Função secante e cossecante 
Função secante é a função que associa a cada arco x \u2208R , com x \u2260
2
\u3c0 + k \u3c0 ( k \u2208Z ), o 
número sec x \u2208R , ou y = sec x 
Função cossecante é a função que associa a cada arco x \u2208R , com x \u2260 k \u3c0 ( k \u2208Z ), o 
número seccos x \u2208R , ou y = seccos x . 
5.4.2 - Gráfico da função secante 
Para estudar a função secante ( y = sec x ) vamos variar x no intervalo [0,2\u3c0]. 
AO O
\u3c0
2\u3c0
3
\u3c0
4
\u3c0
6
\u3c0 \u3c023 \u3c02
1
1
y
x
1,15
1,41
2
1,15
1,41
2
 
[Fig. 8]: Gráfico da função secante. 
Cálculo Diferencial e Integral 
 45
 
5.4.3 - Conclusões 
\u2022 O domínio da função y = sec x é o conjunto dos números reais x \u2208R , com x \u2260
2
\u3c0 + k \u3c0 ( k \u2208Z ), 
isto é, D ={ x \u2208R / x \u2260
2
\u3c0 + k \u3c0, k \u2208Z }. 
\u2022 A imagem da função y = sec x é o conjunto dos números reais maiores ou iguais a 1 ou 
menores ou iguais a \u22121, isto é, Im ={ y \u2208R / y \u22651 ou y \u2264\u22121}. 
\u2022 Toda vez que somamos 2 k \u3c0 a um determinado valor de x , a função secante assume o mesmo 
valor. Como 2\u3c0 é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função 
y = sec x é p =2\u3c0. 
(Eq.22) sec ( x +2 k \u3c0)=sec x , k \u2208Z . 
5.4.4 - Gráfico da função cossecante 
Para estudar a função cossecante ( y = seccos x ) vamos variar x no intervalo [0,2\u3c0]. 
O \u3c02\u3c03\u3c04\u3c06 \u3c0
\u3c0
2
3 \u3c02
1
1
y
x
1,15
1,41
2
1,15
1,41
2
AO
 
[Fig. 9]: Gráfico da função cossecante. 
5.4.5 - Conclusões 
\u2022 O domínio da função y = seccos x é o conjunto dos números reais x \u2208R , com x \u2260 k \u3c0 ( k \u2208Z ), 
isto é, D ={ x \u2208R / x \u2260 k \u3c0, k \u2208Z }. 
\u2022 A imagem da função y = seccos x é o conjunto dos números reais maiores ou iguais a 1 ou 
menores ou iguais a \u22121, isto é, Im ={ y \u2208R / y \u22651 ou y \u2264\u22121}. 
\u2022 Toda vez que somamos 2 k \u3c0 a um determinado valor de x , a função cossecante assume o 
mesmo valor. Como \u3c0 é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da 
função y = seccos x é p =2\u3c0. 
(Eq.23) seccos ( x +2 k \u3c0)= seccos x , k \u2208Z . 
5.5 - Relações trigonométricas 
Será feito o estudo das relações que existem entre as funções trigonométricas, pois elas têm 
muitas aplicações na trigonometria e fora dela. Para as deduções das relações, tomaremos como 
base o ciclo trigonométrico e um ângulo \u3b1 dado. 
Cálculo Diferencial e Integral 
 46
 
A
P
O
\u3b1
N
M S
D
C
eixo das
cotangentesB
T
eixo das tangentes
 
[Fig. 10]: Funções trigonométricas no ciclo. 
 
Podemos identificar as funções trigonométricas no ciclo, em relação ao ângulo \u3b1: 
sen \u3b1=ON ; cos\u3b1=OM ; tan\u3b1= AT ; cot \u3b1= BC ; sec \u3b1=OS e seccos \u3b1=OD . 
 
Analisando as funções no ciclo e fixando inicialmente o ângulo \u3b1, podemos fazer as seguintes 
mudanças, para facilitar o entendimento das relações trigonométricas: 
 
C
B
O
\u3b1
A E
F
D
cos\u3b1
cot\u3b1
tan\u3b1sen\u3b1
sec
\u3b1
cos
sec
\u3b1
1
unidade 
[Fig. 11]: Funções adaptadas no ciclo. 
 
Com as novas adaptações, temos as seguintes funções: 
sen \u3b1= AB ; cos\u3b1=OA ; tan\u3b1=CD ; cot \u3b1=OE ; sec \u3b1=OD e seccos \u3b1=OF . 
 
Daí tiram-se três triângulos semelhantes: 
\u394OAB \u2261\u394OCD \u2261\u394OEF . 
CO
\u3b1
D
tan\u3b1sec\u3b1
B
O
\u3b1
Acos\u3b1
sen\u3b11
1 O
\u3b1
E
F
cot\u3b1
cos
sec
\u3b1
1
21 3 
[Fig. 12]: Triângulos semelhantes. 
5.5.1 - Usando o teorema de Pitágoras 
\u2022 sen 2\u3b1+cos 2\u3b1=1; 
\u2022 tan 2\u3b1+1= sec 2\u3b1; 
\u2022 cot 2\u3b1+1= seccos 2\u3b1. 
5.5.2 - Usando semelhança entre triângulos 
Cálculo Diferencial e Integral 
 47
 
Com base na figura acima, tome as seguintes proporções, dadas as razões entre os triângulos: 
Razões do triângulo 2 para 1 : 
1
\u3b1sec = \u3b1cos
1
 \u21d2 sec \u3b1= \u3b1cos
1
; 
 
1
\u3b1tan = \u3b1
\u3b1
cos
sen
 \u21d2 tan\u3b1= \u3b1
\u3b1
cos
sen
. 
Razões do triângulo 3 para 1 : 
1
\u3b1seccos = \u3b1sen
1
 \u21d2 seccos \u3b1= \u3b1sen
1
; 
 
1
\u3b1cot = \u3b1
\u3b1
sen
cos
 \u21d2 cot \u3b1= \u3b1
\u3b1
sen
cos
. 
Razões do triângulo 3 para 2 : 
1
\u3b1seccos = \u3b1
\u3b1
tan
sec
 \u21d2 seccos \u3b1= \u3b1
\u3b1
tan
sec
; 
 
1
\u3b1cot = \u3b1tan
1
 \u21d2 cot \u3b1= \u3b1tan
1
. 
 
Exemplos: 
Com base nos três triângulos semelhantes da figura anterior, resolva os exercícios que seguem 
abaixo: 
1) Determine as razões que se pede abaixo, do triângulo 1 para 2 . 
 
sen \u3b1= \u3b1
\u3b1
sec
tan
; 
cos\u3b1= \u3b1sec
1
. 
2) Determine as razões que se pede abaixo, do triângulo 1 para 3 . 
 
sen \u3b1= \u3b1seccos
1
; 
cos\u3b1= \u3b1
\u3b1
seccos
cot
. 
3) Determine as razões que se pede abaixo,