cálculo vetorial e tensores
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cálculo vetorial e tensores


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C como contorno. Usando os fatos \u2202sr(s, t) = r0(t) e
\u2202tr(s, t) = sr\u2d90(t), calcula-se\u222b
S0
B · d\u3c3 =
\u222b 1
0
\u222b 1
0
B(sr0(t)) ·
(
r0(t)× s · r\u2d90(t)
)
dsdt \u2261
\u222b 1
0
A(r0(t)) · r\u2d90(t) dt
=
\u222e
C
A · dr \u2261
\u222b
S0
rotA · d\u3c3.
Mas a hipo´tese implica que a integral de B atrave´s de qualquer outra superf´\u131cie S com o mesmo
contorno C coincide com a integral
\u222b
S0
B · d\u3c3 calculada encima. Enta\u2dco, as integrais de superf´\u131cie
de B e rotA coincidem para qualquer superf´\u131cie S \u2282 D. Isto mostra que rotA = B. \ufffd
Resumimos os conteudos das Proposic¸o\u2dces 7.3 (seta 1 embaixo) e 7.12 (setas 2), e dos Corola´rios 7.11
(setas 3) e 7.6 (setas 4):
A = grad\u3c6
1\u21d0\u21d2 \u222e
C
A · dl = 0
3
=\u21d2\u2190\u2212 rotA = 0
B = rotA
2
=\u21d2\u2190\u2212
\u222e
S
B · d\u3c3 = 0
4
=\u21d2\u2190\u2212 divB = 0.
(Aqu´\u131, as implicac¸o\u2dces \u201c\u2190\u2212\u201d valem so´ se o dom\u131´nio do campo for topologicamente trivial, como
discutido antes.) Em particular, temos
rot grad\u3c6 = 0 e div rotA = 0. (136)
7.5 Operador de Laplace.
O Laplace de uma func¸a\u2dco f , \u2206f , e´ definido por
\u2206f := div grad f. (137)
Explicitamente, com respeito a coordenadas {u1, . . . , un} vale
\u2206f =
1
v
{
\u22021
(h2h3
h1
\u22021f
)
+ \u22022
(h3h1
h2
\u22022f
)
+ \u22023
(h1h2
h3
\u22023f
)}
, v := h1h2h3. (138)
Em coordenadas Cartesianas, cil´\u131ndricas, e esfe´ricas, respectivamente:
\u2206f = \u22022xf + \u2202
2
yf + \u2202
2
zf, coord. Cartesianas
=
1
%
\u2202%(%\u2202%f) +
1
%2
\u22022\u3d5f + \u2202
2
zf, coord. cil´\u131ndricas
=
1
r2
\u2202r(r
2\u2202rf) +
1
r2 sen \u3b8
\u2202\u3b8( sen \u3b8\u2202\u3b8f) +
1
r2 sen (\u3b8)2
\u22022\u3d5f, coord. esfe´ricas.
7.6 O \u201cCa´lculo-Nabla\u201d.
O operador nabla, em s´\u131mbolos \u2207, e´ formalmente definido por
\u2207 :=
n\u2211
i=1
1
hi
ei \u2202i. (139)
Ele e´ um vetor e, ao mesmo tempo, um operador diferencial. Aviso: Na aplicac¸a\u2dco de nabla num
campo vetorial
\u2211
j A
jej deve ser tomado em considerac¸a\u2dco que os vetores ej(p) na\u2dco sa\u2dco constantes,
i.e. \u2202iej 6= 0! (Ver [1, Exerc´\u131cio 2.2.3] para a formula explicita de \u2202iej 6= 0.) No´s vamos usar o
nabla somente em coordenadas Cartesianas.
Usando esse operador, os operadores diferenciais grad , rot , div e \u2206 podem ser escritos como
grad\u3c6 = \u2207\u3c6, divA = \u2207 ·A, (140)
\u2206\u3c6 = \u2207 · \u2207\u3c6, rotA = \u2207×A. (141)
Ca´lculo-nabla: ...
30 Ana´lise Vetorial, 13/07/2010
Proposic¸a\u2dco 7.13
\u2207(fg) = (\u2207f) g + f\u2207g, (142)
\u2207 · (fA) = (\u2207f) ·A+ f \u2207 ·A, (143)
\u2207 · (A×B) = (\u2207×A) ·B \u2212A · (\u2207×B), (144)
\u2207× (fA) = (\u2207f)×A+ f (\u2207×A). (145)
(Todas estas formulas podem ser mostradas facilmente usando o \u201cca´lculo -nabla\u201d. Alternativa:
Mostrar as formulas em coordenadas Cartesianas. Como elas sa\u2dco equac¸o\u2dces entre campos vetoriais,
devem valer em quaisquer coordenadas.)
Para um campo vetorial A definimos o Laplace por
\u2206A := grad divA\u2212 rot rotA. (146)
Lema 7.14 (Identidades de Green.) Para qualquer regiao G e func¸o\u2dces f, g vale\u222b
G
f\u2206g dV =
\u222b
\u2202G
f\u2207g · d\u3c3 \u2212
\u222b
G
\u2207f · \u2207g dV, (147)\u222b
G
(f\u2206g \u2212 g\u2206f) dV =
\u222b
\u2202G
(f\u2207g \u2212 g\u2207f) · d\u3c3. (148)
7.7 Equac¸a\u2dco de Poisson
A equac¸a\u2dco de Poisson e´ a EDP
\u2206f = h (149)
onde f e h sa\u2dco func¸o\u2dces numa certa regia\u2dco G. Normalmente, a func¸a\u2dco h e´ dada e nos procuramos
uma func¸a\u2dco f que satisfaz a EDP acima, junto com certas condic¸o\u2dces de contorno em \u2202G. Tal
func¸a\u2dco f e´ chamada de soluc¸a\u2dco da EDP. (Aqu´\u131, vamos considerar so´ G = R3, e a condic¸a\u2dco de
contorno sera´ que f cai para zero no infinito.)
Mostraremos que a equac¸a\u2dco de Poisson possui uma soluc¸a\u2dco e que a soluc¸a\u2dco e´ u´nica.
Proposic¸a\u2dco 7.15 Seja h uma func¸a\u2dco que cai para zero no infinito ra´pidamente. A func¸a\u2dco
f(r) :=
\u22121
4pi
\u222b
h(r\u2032)
\u2016r \u2212 r\u2032\u2016 dV
\u2032 (150)
e´ uma soluc¸a\u2dco da equac¸a\u2dco de Poisson.
Demonstrac¸a\u2dco. Usando grad 1\u2016r0\u2212r\u2032\u2016 = \u2212
r0\u2212r\u2032
\u2016r0\u2212r\u2032\u20163 , temos
(\u2206f)(r0) =
1
4pi
div
\u222b
h(r\u2032)
r0 \u2212 r\u2032
\u2016r0 \u2212 r\u2032\u20163 dV
\u2032 =
1
4pi
lim
\u3b5\u21920
1
|G\u3b5|
\u222e
\u2202G\u3b5
( \u222b
h(r\u2032)
r \u2212 r\u2032
\u2016r \u2212 r\u2032\u20163 dV
\u2032) · d\u3c3
=
1
4pi
lim
\u3b5\u21920
1
|G\u3b5|
\u222b
h(r\u2032)
( \u222e
\u2202G\u3b5
r \u2212 r\u2032
\u2016r \u2212 r\u2032\u20163 · d\u3c3
)
dV \u2032,
onde G\u3b5 e´ uma fam\u131´lia de regio\u2dces que contrai ao ponto r0 para \u3b5\u2192 0. Agora sabemos do exerc´\u131cio
18 que \u222e
\u2202G\u3b5
r \u2212 r\u2032
\u2016r \u2212 r\u2032\u20163 · d\u3c3 =
{
4pi se r\u2032 \u2208 G\u3b5,
0 se r\u2032 6\u2208 G\u3b5.
Enta\u2dco na integral de volume dV \u2032 acima so´ contribuem r\u2032 \u2208 G\u3b5, e temos
(\u2206f)(r0) = lim
\u3b5\u21920
1
|G\u3b5|
\u222b
G\u3b5
h(r\u2032)dV \u2032 \u2261 h(r0).
\ufffd
Ana´lise Vetorial, 13/07/2010 31
8 Tensores.
8.1 A´lgebra Linear de Tensores.
8.1.1 Produto Tensorial.
Seja V um espac¸os vetorial de dimensa\u2dco finita, sobre o corpo K = R ou C. O espac¸o dual de V ,
em s´\u131mbolos V \u2217, e´ o espac¸o das aplicac¸o\u2dces lineares de V em K,
V \u2217 :=
{
\u3b7 : V \u2192 K, linear}. (151)
Tais aplicac¸o\u2dces lineares sa\u2dco frequentemente chamados de formas (lineares) de grau 1, ou covetores
. Este espac¸o e´ um espac¸o vetorial por sua vez (como cada espac¸o de func¸o\u2dces), a saber pelas
definic¸o\u2dces
(\u3b71 + \u3b72)(v) := \u3b71(v) + \u3b72(v), (s\u3b7)(v) := s \u3b7(v). (152)
O zero e´ a aplicac¸a\u2dco 0(v) := 0 para todos v \u2208 V .
Existe um certo isomorfismo entre V e V \u2217 que, porem, na\u2dco e´ cano\u2c6nico pois depende de uma
escolha de base em V : Seja no seguinte {a1, . . . ,an} uma base em V (na\u2dco necessariamente ortonor-
mal). Como sabemos, cada vetor v \u2208 V possui uma u´nica decomposic¸a\u2dco
v =
n\u2211
i=1
vi ai, (153)
definindo suas componentes (\u201ccontravariantes\u201d) vi. Para i \u2208 {1, . . . , n}, definimos uma forma (um
covetor) ai \u2208 V \u2217 por
ai(v) := vi, (154)
onde vi e´ a componente de v com respeito a` base {a1, . . . ,an} como na eq. (153). Equivalentemente,
ai e´ caracterizado por
ai(aj) = \u3b4
i
j \u2261
{
1, se i = j,
0, se i 6= j. (155)
Proposic¸a\u2dco 8.1 Os n covetores a1, . . . ,an sa\u2dco uma base do espac¸o dual V \u2217, a chamada base
dual. Em mais detalhes, cada \u3b7 \u2208 V \u2217 e´ da forma
\u3b7 =
n\u2211
i=1
\u3b7i a
i, onde \u3b7i = \u3b7(ai). (156)
Demonstrac¸a\u2dco. (Independe\u2c6ncia linear dos ai: exerc´\u131cio.) Para mostrar que eles geram V \u2217, seja
\u3b7 \u2208 V \u2217 um covetor. Pela linearidade, temos para qualquer v \u2208 V com decomposic¸a\u2dco como na
eq. (153):
\u3b7(v) = \u3b7
( n\u2211
i=1
vi ai
)
=
n\u2211
i=1
vi \u3b7(ai) =
n\u2211
i=1
\u3b7(ai)a
i(v) =
( n\u2211
i=1
\u3b7(ai)a
i
)
(v), (157)
enta\u2dco \u3b7 realmente e´ uma combinac¸a\u2dco linear como afirmado na eq. (156). \ufffd
Esta proposic¸a\u2dco mostra que V e V \u2217 sa\u2dco isomo´rficos (porem na\u2dco numa maneira cano\u2c6nica). Agora
vamos conhecer um isomorfismo cano\u2c6nico (indenpendente de base) entre V e (V \u2217)\u2217. Dado v \u2208 V
e \u3b7 \u2208 V \u2217, o nu´mero \u3b7(v) (\u201c\u3b7 aplicado em v\u201d) pode ser tambe´m encarado como \u201cv aplicado em
\u3b7\u201d. Em outras palavras, um vetor v \u2208 V pode ser identificado com uma forma linear em V \u2217 pela
definic¸a\u2dco
v(\u3b7) := \u3b7(v).
Por outro lado, para cada \u3c6 \u2208 (V \u2217)\u2217 existe um vetor v \u2208 V tal que para todas \u3b7 \u2208 V \u2217 vale
\u3c6(\u3b7) = \u3b7(v), a saber v :=
\u2211
i \u3c6(a
i)ai. Desta maneira podemos identificar V com (V
\u2217)\u2217:
V \u223c= (V \u2217)\u2217 =
{
aplicac¸o\u2dces V \u2217 \u2192 K, lineares}. (158)
32 Ana´lise Vetorial, 13/07/2010
Agora estamos preparados para a definic¸a\u2dco do produto tensorial. Seja U um outro espac¸o vetorial
sobre K de dimensa\u2dco finita. O produto tensorial de U e V , em s´\u131mbolos U \u2297 V , e´ por definic¸a\u2dco o
espac¸o das aplicac¸o\u2dces bilineares de U\u2217 × V \u2217 em K,
U \u2297 V := {U\u2217 × V \u2217 \u2192 K, bilinear}. (159)
Isto e´ um espac¸o vetorial numa maneira ana´logo com eq. (152). Dado u \u2208 U , v \u2208 V , define-se o
\u201cproduto tensorial\u201d u\u2297 v \u2208 U \u2297 V pela aplicac¸a\u2dco U\u2217 × V \u2217 dado por(
u\u2297 v)(\u3b7, µ) := \u3b7(u)µ(v), \u3b7 \u2208 U\u2217, µ \u2208 V \u2217.
(Checkar que ela e´ bilinear!) Este produto satisfaz as seguintes relac¸o\u2dces:18
(cu)\u2297 v = u\u2297 (cv) = c (u\u2297 v), c \u2208 K, (160)
(u1 + u2)\u2297 v = u1 \u2297 v + u2 \u2297 v, (161)
u\u2297 (v1 + v2) = u\u2297 v1 + u\u2297 v2. (162)
Teorema 8.2 (Propriedade de Universalidade) Seja W um terceiro espac¸o vetorial. Para
cada aplicac¸a\u2dco bilinear \u3c9 : U × V \u2192 W existe uma u´nica aplicac¸a\u2dco linear \u3b7 : U \u2297 V \u2192 W tal que
\u3c9(u,v) = \u3b7(u\u2297 v). Desta maneira, temos um isomorfismo cano\u2c6nico
{U × V \u2192W, bilinear} \u223c= {U \u2297 V \u2192W, linear}. (163)
(Esta