cálculo vetorial e tensores
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cálculo vetorial e tensores


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(182)
Demonstrac¸a\u2dco. Temos
n\u2211
j=1
g\u2c6ij gjk =
\u2211
j
(ai · aj) (aj · ak) = ai ·
\u2211
j
(ak · aj)aj = ai · \u3b7ak = ai(ak) = \u3b4ik. (183)
Na terceira equac¸a\u2dco no´s usamos a eq. (180), e na quarta equac¸a\u2dco usamos que µ · \u3b7v = µ(v), ver
eq. (181). \ufffd
E´ costume identificar o vetor v e o covetor correspondente, \u3b7v, e escrever
vi := (\u3b7v)i,
considerando vi e v
i como componentes contra- ou covariantes, respectivamente, de um so´ objeto.
Consequentemente, para um covetor \u3b7 \u2208 V \u2217 as componentes
\u3b7i := (v\u3b7)
i
sa\u2dco consideradas como componentes contravariantes de \u3b7. Tambe´m, as componentes g\u2c6ij sa\u2dco con-
sideradas como componentes covariantes do tensor g:
gij := g\u2c6ij \u2261 g\u2c6(ai,aj).
Lema 8.7 Temos v\u3b7 =
\u2211
i,j \u3b7j g
ji ai e \u3b7v =
\u2211
i,j v
j gji a
i, ou seja,
vi =
\u2211
j
vj gji, \u3b7
i =
\u2211
j
\u3b7j g
ji. (184)
Demonstrac¸a\u2dco.
vi \u2261 (\u3b7v)i = \u3b7v(ai) = v · ai =
\u2211
j
vjaj · ai =
\u2211
j
vjgji.
\u3b7i \u2261 (v\u3b7)i = v\u3b7(ai) = \u3b7 · ai =
\u2211
j
\u3b7ja
j · ai =
\u2211
j
\u3b7jg
ji.
\ufffd
Vale observar que o Corola´rio implica que o produto escalar pode ser escrito como
u · v =
\u2211
i
ui vi =
\u2211
i
ui v
i.
Determinante como tensor: A n-forma de volume. Como a determinante e´ uma aplicac¸a\u2dco
n-linear de V × · · · × V no´s nu´meros reais, ela e´ um tensor do tipo (0, n), que no´s vamos denotar
por \u2126 \u2208 T 0n(V ) (o \u201celemento de volume\u201d, ou a \u201cn-forma de volume\u201d):
\u2126(v1, · · · ,vn) := det(v1, · · · ,vn). (185)
Para determinar as componentes deste tensor com respeito a uma base {a1, . . . ,an}, precisamos
os s´\u131mbolos de Levi-Civita`:
\u3b5i1···in :=
\uf8f1\uf8f4\uf8f2
\uf8f4\uf8f3
0, se {i1, . . . , in} 6= {1, . . . , n},
1, se (1, . . . , n) 7\u2192 (i1, . . . , in) e´ uma permutac¸a\u2dco par,
\u22121, se (1, . . . , n) 7\u2192 (i1, . . . , in) e´ uma permutac¸a\u2dco impar.
(186)
36 Ana´lise Vetorial, 13/07/2010
Aviso! Em contraste com os s´\u131mbolos de Kronecker \u3b4ij , os s´\u131mbolos de Levi-Civita` na\u2dco sa\u2dco as
componentes de um tensor! Definimos tambe´m |g| pela determinante (positiva!) da matriz (gij),
onde gij = ai · aj ,
|g| := det(gij). (187)
Pelo Teorema 1.10, |g|1/2 e´ o volume do paralelep´\u131pedo gerado por a1, . . . ,an. Observe que a
determinante |g| na\u2dco e´ um escalar (ela depende da base)! Temos o
Lema 8.8 As componentes de \u2126 com respeito a uma base {a1, . . . ,an} com orientac¸a\u2dco positiva
sa\u2dco dadas por
\u2126i1···in = |g|1/2 \u3b5i1···in . (188)
(Observe que nem a determinante |g| e´ um escalar, nem os s´\u131mbolos de Levi-Civita` sa\u2dco as compo-
nentes de um tensor \u2014 so´ produto define um tensor, \u2126.)
Demonstrac¸a\u2dco. Sabemos pela eq. (175) que \u2126i1···in = det(ai1 , . . . ,ain). Se alguns indices coinci-
dem, ou seja se o conjunto {i1, . . . , in} 6= {1, . . . , n}, a determinante se anula pela antissimetria. Se
todos \u131´ndices sa\u2dco diferentes, ou seja se {i1, . . . , in} = {1, . . . , n}, enta\u2dco o mo´dulo | det(ai1 , . . . ,ain)|
coincide com |g|1/2 pelo Teorema 1.10. O sinal afirmado segue da antissimetria da determinante.
\ufffd
Em tre\u2c6s dimenso\u2dces, o produto vetorial de dois vetores u,v \u2208 V e´ relacionado com a forma \u2126,
a saber, suas componentes covariantes sa\u2dco dados por(
u× v)
i
=
\u2211
j,k
\u2126ijk u
j vk. (189)
Demonstrac¸a\u2dco. (
u× v)
i
wi =
(
u× v) ·w = det(u,v,w) = \u2126ijkujvk wi.
\ufffd
8.1.3 Mudanc¸a de Base.
Obviamente, as componentes dos tensores dependem da base. Vamos ver agora como eles se
transformam sob uma mudanc¸a da base {ai, i = 1, . . . , n} para uma nova base {a¯i, i = 1, . . . , n}.
Cada a¯i e´ uma certa combinc¸a\u2dco linear dos aj ,
a¯i =
n\u2211
j=1
Aji aj , (190)
e a matriz Aji charateriza a mudanc¸a de base {ai} \u2192 {a¯i}. Como primeiro passo, vamos determinar
o comportamento da base dual sob esta mudanc¸a. Temos
\u3b4ij = a¯
i(a¯j) = a¯
i(
n\u2211
k=1
Akj ak) =
n\u2211
k=1
Akj a¯
i(ak).
Lendo esta equac¸a\u2dco como \u3b4ij =
\u2211
k A
k
jB
i
k, inversa\u2dco da matriz A da´ B
i
j =
\u2211
k(A
\u22121)kj \u3b4
i
k \u2261 (A\u22121)ij ,
ou seja, a¯i(aj) = (A
\u22121)ij . Substituindo isto na expansa\u2dco (156) do covetor a¯
i com respeito a` base
dual {aj}, a saber a¯i =\u2211j a¯i(aj)aj , isto da`
a¯i =
n\u2211
j=1
(A\u22121)ij a
j . (191)
Pela eq. (154), as componentes vi de um vetor v =
\u2211
i v
iai com respeito a` base {ai} sa\u2dco dadas
por vi = ai(v). A eq. (191) implica enta\u2dco que as suas componentes v¯i com respeito a` nova base
{a¯i} sa\u2dco dadas por v¯i = a¯i(v) =
\u2211
k(A
\u22121)ika
k(v) =
\u2211
k(A
\u22121)ikv
k, ou seja,
v¯i =
\u2211
k
(A\u22121)ik v
k. (192)
Ana´lise Vetorial, 13/07/2010 37
Da mesma maneira, para um covetor \u3b7 vale, pela eq. (156), \u3b7¯j = \u3b7(a¯j) =
\u2211
k A
l
j\u3b7(al) =
\u2211
k A
l
j\u3b7l:
\u3b7¯j =
\u2211
k
Alj \u3b7l. (193)
Mais geralmente, o Corola´rio 8.5 sobre as componentes de tensores implica, com o mesmo racioc´\u131nio:
Proposic¸a\u2dco 8.9 Seja T um tensor in T rs (V ) com componentes T
i1···ir
j1···js e T¯
i1···ir
j1···js com respeito a´
base {ai} e {a¯i}, respetivamente (conforme eq.s (174), (175)). Enta\u2dco vale
T¯ i1···irj1···js =
\u2211
k1,...,kr
l1,...,ls
(A\u22121)i1k1 · · · (A\u22121)irkr Al1j1 · · ·Alsjs T k1···krl1···ls . (194)
8.1.4 Operac¸o\u2dces com Tensores.
Vamos finalmente introduzir alguns operac¸o\u2dces com tensores.
Produto tensorial ou \u201cexterno\u201d. A definic¸a\u2dco do espac¸o T rs (V ) implica que este espac¸o pode
ser identificado com
T rs (V ) = T
r1
s1 (V )\u2297 T r2s2 (V ), se r = r1 + r2, s = s1 + s2,
a saber com a seguinte identificac¸a\u2dco: Para T1 \u2208 T r1s1 (V ) e T2 \u2208 T r2s2 (V ), definimos T1 \u2297 T2 \u2208
T r1+r2s1+s2 (V ) por(
T1 \u2297 T2
)
(\u3b71, . . . , \u3b7r1+r2 ,v1, . . . ,vs1+s2) :=
T1(\u3b71, . . . , \u3b7r1 ,v1, . . . ,vs1) T2(\u3b7r1+1, . . . , \u3b7r1+r2 ,vs1+1, . . . ,vs1+s2). (195)
Equivalentemente:(
v1 \u2297 · · · \u2297 vr1 \u2297 \u3b71 \u2297 · · · \u2297 \u3b7s1
) \u2297 (v\u20321 \u2297 · · · \u2297 v\u2032r2 \u2297 \u3b7\u20321 \u2297 · · · \u2297 \u3b7\u2032s2) :=
v1 \u2297 · · · \u2297 vr1 \u2297 v\u20321 \u2297 · · · \u2297 v\u2032r2 \u2297 \u3b71 \u2297 · · · \u2297 \u3b7s1 \u2297 \u3b7\u20321 \u2297 · · · \u2297 \u3b7\u2032s2 . (196)
Produto escalar ou \u201cinterno\u201d. Da mesma maneira como o produto escalar foi extendido de
V para V \u2217, pode ser extendido para todos espac¸os tensoriais T rs (V ) pela seguinte definic¸a\u2dco. Para
v1 \u2297 · · · \u2297 vr \u2297 \u3b71 \u2297 · · · \u2297 \u3b7s e v\u20321 \u2297 · · · \u2297 v\u2032r \u2297 \u3b7\u20321 \u2297 · · · \u2297 \u3b7\u2032s em T rs (V ), definimos
g(v1 \u2297 · · · \u2297 vr \u2297 \u3b71 \u2297 · · · \u2297 \u3b7s , v\u20321 \u2297 · · · \u2297 v\u2032r \u2297 \u3b7\u20321 \u2297 · · · \u2297 \u3b7\u2032s) :=
g(v1,v
\u2032
1) · · · g(vr,v\u2032r)g\u2c6(\u3b71, \u3b7\u20321) · · · g\u2c6(\u3b7s, \u3b7\u2032s). (197)
Esta definic¸a\u2dco extende por bilinearidade para o espac¸o T rs (V ) inteiro. Em componentes, temos
para T, S \u2208 T rs (V ):
g(T, S) =
\u2211
i1,...ir,k1,...kr,j1,...js,l1,...,js
T i1···irj1···js gi1k1 · · · girkr gj1l1 · · · gjsls Sk1···krl1···ls .
Contrac¸a\u2dco. A aplicac¸a\u2dco
v1 \u2297 · · · \u2297 vr \u2297 \u3b71 \u2297 · · · \u2297 \u3b7s 7\u2192 \u3b71(v1) v2 \u2297 · · · \u2297 vr \u2297 \u3b72 \u2297 · · · \u2297 \u3b7s
define uma aplicac¸a\u2dco T rs (V )\u2192 T r\u22121s\u22121 (V ). Ela joga um tensor T \u2208 T rs (V ) com componentes T i1···irj1···js
para o tensor T\u2c6 \u2208 T r\u22121s\u22121 (V ) com componentes
T\u2c6 i2···irj2···js =
\u2211
k
T ki2···irkj2···js ,
e e´ chamda, por isso, de contrac¸a\u2dco dos primeiros \u131´ndices. O mesmo pode ser feito com qualquer
outro par de \u131´ndices.
38 Ana´lise Vetorial, 13/07/2010
Mudanc¸a do tipo. A aplicac¸a\u2dco V \u2261 T 10 (V ) \u2192 T 01 (V ) \u2261 V \u2217, v 7\u2192 \u3b7v, induz uma aplicac¸a\u2dco
T rs (V )\u2192 T r\u22121s+1 (V ), a saber
v1 \u2297 · · · \u2297 vr \u2297 \u3b71 \u2297 · · · \u2297 \u3b7s 7\u2192 v1 \u2297 · · · \u2297 vr\u22121 \u2297 \u3b71 \u2297 · · · \u2297 \u3b7s \u2297 \u3b7vr .
Ela joga um tensor T \u2208 T rs (V ) com componentes T i1···irj1···js para o tensor T\u2c6 \u2208 T r\u22121s+1 (V ) cujas compo-
nentes sa\u2dco
T\u2c6
i1···ir\u22121
j1···js+1 =
\u2211
k
T
i1···ir\u22121k
j1···js gkjs+1 .
O mesmo pode ser feito com qualquer outro par de \u131´ndices. Esta operac¸a\u2dco chama-se abaixar um
index. Similarmente, a aplicac¸a\u2dco inversa V \u2217 \u2192 V , \u3b7 7\u2192 v\u3b7, induz uma aplicac¸a\u2dco T rs (V )\u2192 T r+1s\u22121 (V )
(chamado de levantar um index), resultando numa fo´rmula do tipo
T\u2c6
i1···ir+1
j1···js\u22121 =
\u2211
k
T i1···irj1···js\u22121k g
kjr+1 .
Como exemplos, temos
Lema 8.10 i) A mudanc¸a do tipo do tensor me´trico, g \u2208 T 02 (V ) para g\u2c6 \u2208 T 11 (V ) resulta no tensor
Kronecker: