cálculo vetorial e tensores
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cálculo vetorial e tensores


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gji = \u3b4
j
i . (198)
ii) A n-forma do volume, \u2126, satisfaz:
\u2126i1···in = |g|\u22121/2 \u3b5i1···in , (199)
Em 3 dimenso\u2dces:
\u2211
k
\u2126ijk\u2126
klm = \u3b4li \u3b4
m
j \u2212 \u3b4mi \u3b4lj , (200)\u2211
k
\u2126ijk\u2126
k
lm = gil gjm \u2212 gim gjl. (201)
Demonstrac¸a\u2dco. Eq. (198) segue da eq. (182). Para mostrar (199), calculamos
\u21261···n =
\u2211
i1,...,in
\u2126i1···in g
1i1 · · · gnin = |g|1/2
\u2211
i1,...,in
\u3b5i1···in g
1i1 · · · gnin = |g|\u22121/2,
pois a soma
\u2211
\u3b5i1···in g
1i1 · · · gnin e´ nada mais do que a determinante da matriz (gij), ou seja,
|g|\u22121. Junto com a anti-simetria de \u2126i1···in , isto implica a eq. (199). A eq. (200) vamos mostrar
numa base ortonormal. (Como os dois lados sa\u2dco componentes de tensores, isto e` suficiente pelo
Corola´rio 8.5.) Neste caso, |g| = 1 e no´s temos que mostrar\u2211
k
\u3b5ijk\u3b5klm = \u3b4il \u3b4jm \u2212 \u3b4im \u3b4jl.
Isso e´ mostrado por exemplo em [3, p. 683]. Baixando os indices l e m na eq. (200) resulta na
eq. (201). \ufffd
Endomorfismos. O espac¸o de tensores do tipo (1, 1) pode ser identificado com o espac¸o dos
endomorfismos lineares de V , denotado por End(V ),
T 11 (V )
\u223c= End(V ),
como seguinte. Se A \u2208 End(V ), define um tensor T \u2208 T 11 (V ) por
T (\u3b7,v) = \u3b7(Av)
para \u3b7 \u2208 V \u2217, v \u2208 V . Inversamente: Dado T \u2208 T 11 (V ), define Av := o u´nico vetor tal que vale a
equac¸a\u2dco acima para todos \u3b7 \u2208 V \u2217. Isto define uma aplicac¸a\u2dco linear A \u2208End(V ). Verifique-se que
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a aplicac¸a\u2dco A correspondente a T := u\u2297 \u3b7 e´ Av = \u3b7(v)u. Na notac¸a\u2dco de Dirac, isto corresponde
literamente a` equac¸a\u2dco (|u\u3009\u3008\u3b7|) |v\u3009 := \u3008\u3b7|v\u3009 |u\u3009.
Dado uma base {a1, . . . ,an} de V , define-se uma matriz Aji correspondente a A por
Aai =:
\u2211
j
Aji aj .
Verifique-se facilmente que os Aji coincidem com os componentes T
j
i do tensor T \u2208 T 11 (V ) corre-
spondenete a A \u2208End(V ). Seguindo o costume, vamos identificar A e T , e Aji e T ji .
Por exemplo, o endomorfismo que corresponde ao tensor Kronecker \u3b4, ver eq. (178), e´ a iden-
tidade I em V , pois \u3b4(\u3b7,v) \u2261 \u3b7(v) = \u3b7(Iv). Os seus componentes \u3b4ji coincidem com a matriz
correspondente a I (para qualquer base).
Definic¸a\u2dco 9 i) O adjunto de um endomorphismo A, em s´\u131mbolos A\u2217, e´ o endomorfismo unicamente
caracterizado pelo fato que para todos u,v \u2208 V vale
u ·Av = (A\u2217u) · v. (202)
O endomorfismo e´ chamado de sime´trico (ou auto-adjunto) se A = A\u2217, ou seja, se para todos
u,v \u2208 V vale u ·Av = (Au) · v.
ii) O trac¸o de um endomorfismo A, em s´\u131mbolos TrA, e´ definido por
TrA :=
n\u2211
i=1
ai ·Aai (203)
onde {a1, . . . ,an} e´ uma base ortonormal. \ufffd
(Exerc´\u131cio: Verifique que a definic¸a\u2dco (203) na\u2dco dependente da base!)
Lema 8.11 i) Um endomorfismo A e´ sime´trico se, e somente se, a matriz de seus componentes co-
variantes, i.e. os componentes de A\u2c6 \u2208 T 02 (V ) correspondente a A \u2208 T 11 (V ) \u223c=End(V ), e´ sime´trica:21
Aij = Aji.
ii) O trac¸o de um endomorfismo A coincide com o escalar que surge do tensor em T 11 (V ) pela
contrac¸a\u2dco de \u131´ndices, TrA =
\u2211
iA
i
i.
(Exerc´\u131cio: Mostre que o trac¸o e´ independente da base.)
8.2 Ana´lise Tensorial.
No seguinte, seja E o espac¸o afim f´\u131sico, e V o espac¸o de vetores deslocamento correspondente.
Definic¸a\u2dco 10 Um campo tensorial do tipo (r, s) e´ uma aplicac¸a\u2dco E \u2192 T rs (V ). O espac¸o de tais
campos e´ denotado por T rs (E). \ufffd
Enta\u2dco T \u2208 T rs (E) aplica um ponto p para um elemento Tp \u2208 T rs (V ), que por sua vez e´ uma
aplicac¸a\u2dco de V \u2217×· · ·×V \u2192 R. E´ costume escrever o argumento p como index, para deixar espac¸o
para os argumentos em V \u2217 × · · · × V :
Tp : (\u3b7, . . . ,v) 7\u2192 Tp(\u3b7, . . . ,v) \u2208 R.
Em particular, T 10 (E) sa\u2dco os campos vetoriais, e T 00 (E) sa\u2dco os campos escalares, ou seja, as func¸o\u2dces.
Os elementos de T 01 (E), ou seja as aplicac¸o\u2dces E \u2192 V \u2217, sa\u2dco chamados de formas diferenciais de
grau 1. Um exemplo t´\u131pico e´ construido como seguinte. Lembramos que a derivada parcial Dvf(p)
de uma func¸a\u2dco e´ linear em v. Em outras palavras, a aplicac¸a\u2dco v 7\u2192 Dvf(p) e´ em T 01 (V ).
21Isto e´ equivalente com Aji = A
i
j so´ se a base for ortonormal!
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Definic¸a\u2dco 11 Seja f : E \u2192 R uma func¸a\u2dco diferencia´vel. O diferencial de f , em s´\u131mbolos df , e´ a
forma diferencial de grau 1 definido por
df \u2208 T 01 (E),
(
df
)
p
(v) :=
(
Dvf
)
(p).
\ufffd
Verifique-se facilmente que vale a regra de produto
d(fg) = (df) g + f(dg).
Os diferenciais dui das coordenadas ui(p) sa\u2dco de interesse particular:
Lema 8.12 Seja {u1, . . . , un} um sistema de coordenadas, e { \u2202r\u2202ui (p), i = 1, . . . , n} a base de V
correspondente. Enta\u2dco o conjunto dos covetores {(dui)
p
, i = 1, . . . , n} e´ a base dual, i.e.
(
dui
)
p
(v) = vi, ou seja,
(
dui
)
p
( \u2202r
\u2202uj
(p)
)
= \u3b4ij . (204)
Consequentemente, cada forma diferencial de grau 1 e´ da forma
Ap =
\u2211
i
Ai(p)
(
dui
)
p
, com Ai(p) = Ap(\u2202ir(p)),
ver eq. (156) da Proposic¸a\u2dco 8.1. As coeficientes Ai(p) sa\u2dco chamadas de componentes (covariantes)
de A com respeito ao sistema de coordenadas {u1, . . . , un}. Em particular, temos pela eq. (117):
(df)p =
\u2211
i
\u2202f
\u2202ui
(p)
(
dui
)
p
. (205)
Pelo Corola´rio 8.5, temos:
Corola´rio 8.13 Cada T \u2208 T rs (E) e´ da forma
Tp =
n\u2211
i1,...,ir,j1,...js=1
T i1···irj1···js (p) \u2202i1r(p)\u2297 · · · \u2297 \u2202irr(p)\u2297 (duj1)p \u2297 · · · \u2297 (dujs)p, (206)
onde
T i1···irj1···js (p) = Tp
(
dui1 , . . . , duir , \u2202j1r, . . . , \u2202jsr
)
. (207)
Proposic¸a\u2dco 8.14 Seja T \u2208 T rs (E) um campo tensorial, sejam {u1, . . . , un} e {u¯1, . . . , u¯n} dois
sistemas de coordenadas, e sejam T i1···irj1···js (p) e T¯
i1···ir
j1···js (p) as componentes correspondentes de Tp \u2208
T rs (V ). Enta\u2dco vale
T¯ i1···irj1···js (p) =
\u2211
k1,...,krl1,...,ls
T k1···krl1···ls (p)
\u2202u¯i1
\u2202uk1
(p) · · · \u2202u¯
ir
\u2202ukr
(p)
\u2202ul1
\u2202u¯j1
(p) · · · \u2202u
ls
\u2202u¯js
(p). (208)
Demonstrac¸a\u2dco. Pela eq. (79), \u2202r\u2202u¯j =
\u2211
iA
i
j
\u2202r
\u2202ui , com A
i
j =
\u2202ui
\u2202u¯j (p). Lembrando que a matriz inversa
e´ dada por (A\u22121)ij =
\u2202u¯i
\u2202uj (p), a afirmac¸a\u2dco segue agora da Prop. 8.9.
(Mais direitamente: Usar a mencionada eq. (79) e o fato que vale
(
du¯i
)
p
=
n\u2211
k=1
\u2202u¯i
\u2202uk
(
duk
)
p
pela regra de cade´ia, e imitar a prova da Prop. 8.9.)
\ufffd
Ana´lise Vetorial, 13/07/2010 41
Tensor Me´trico. O tensor me´trico g \u2208 T 02 (V ) define um campo tensorial g \u2208 T 02 (E) (nos usamos
o mesmo s´\u131mbolo):
gp(u,v) := g(u,v) \u2261 u · v.
Observe que este tensor e´ constante no sentido que em cada ponto p \u2208 E o valor gp \u2208 T 02 (V ) e´ a
mesma aplicac¸a\u2dco V × V \u2192 R. Em contraste, as suas componentes com respeito a um sistema de
coordenadas na\u2dco sa\u2dco constantes em geral:
gij(p) =
\u2202r
\u2202ui
(p) · \u2202r
\u2202uj
(p),
qual expressa\u2dco e´ independente de p para todos \u131´ndices i, j somente se o sistema de coordenadas e´
linear (e.g., Cartesiano). Se o sistema de coordenadas e´ ortogonal, temos
gij(p) = hi(p)
2 \u3b4ij .
A n-Forma de Volume. A determinante define um campo tensorial constante \u2126 \u2208 T 0n (E):
\u2126p(v1, . . . ,vn) := det(v1, . . . ,vn). (209)
(Usamos o mesmo s´\u131mbolo como na eq. (185).) O Lema 8.8 implica:
Lema 8.15 As componentes de \u2126p com respeito a um sistema de coordenadas {u1, . . . , un} com
orientac¸a\u2dco positiva sa\u2dco dadas por
\u2126i1···in(p) = |g|1/2(p) \u3b5i1···in . (210)
Aqu´\u131, |g|(p) e´ o mo´dulo da determinante da matriz (\u2202ir(p) · \u2202jr(p)).
Derivada Covariante. A derivada covariante (ou direcional) de campos vetoriais definido em
eq. (114) pode ser generalizada para campos tensoriais de qualquer tipo: Para T \u2208 T rs (E) e v \u2208 V ,
definimos (
DvT
)
p
:=
d
dt
Tp+tv|t=0. (211)
Observe que a derivada com respeito ao vetor \u2202r\u2202ui (p) coincide com a derivada parcial
\u2202
\u2202ui ,(
D \u2202r
\u2202ui
(p)T
)
p
=
( \u2202
\u2202ui
T
)
p
.
As componentes de DvT sa\u2dco determinadas pelas derivadas parciais das componentes de T e os
s´\u131mbolos