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# cálculo vetorial e tensores

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```A.2 O rotacional de um campo vetorial A, conforme Definic¸a\u2dco 13, e´ dado em coor-
Demonstrac¸a\u2dco. Seja ei = \u2202ir /hi. Substituindo \u3b7(u,v) por DuA · v \u2212 DvA · u no Lema 1.9, a
Eq. (45) implica
rotA =(De2A · e3 \u2212De3A · e2) e1+
(De3A · e1 \u2212De1A · e3) e2 + (De1A · e2 \u2212De2A · e1) e3.
Tomando em conta que D\u2202irA = \u2202iA, e \u2202iA · \u2202jr \u2212 \u2202jA · \u2202ir = \u2202i(A · \u2202jr)\u2212 \u2202j(A · \u2202ir), isso da´
Eq. (130). \ufffd
Vamos agora demonstrar o Teorema 7.10 de Stokes, usando a Definic¸a\u2dco 13 do rotacional.
Demonstrac¸a\u2dco do Teorema de Stokes. Seja, no primeiro passo, a superf´\u131cie S : (s, t) 7\u2192 r(s, t) a
imagem de um reta\u2c6ngulo K, i.e., (s, t) \u2208 K = [0, s0] × [0, t0]. O contorno \u2202S de S enta\u2dco consiste
de 4 curvas suaves Ck : \u3c4 7\u2192 rk(\u3c4), k = 1, . . . , 4, com a seguinte parametrizac¸a\u2dco:
r1(\u3c4) := r(\u3c4, 0), \u3c4 \u2208 [0, s0], r\u2d91(\u3c4) = \u2202sr(\u3c4, 0)
r2(\u3c4) := r(s0, \u3c4), \u3c4 \u2208 [0, t0], r\u2d92(\u3c4) = \u2202sr(s0, \u3c4)
r3(\u3c4) := r(\u3c4, t0), \u3c4 \u2208 [0, s0], r\u2d93(\u3c4) = \u2202sr(\u3c4, t0)
r4(\u3c4) := r(0, \u3c4), \u3c4 \u2208 [0, t0], r\u2d94(\u3c4) = \u2202sr(0, \u3c4).
As curvas C1, C2 tem a orientac¸a\u2dco de \u2202S, e as curvas C3, C4 tem a orientac¸a\u2dco oposta a \u2202S. Nos
escrevemos A(s, t) := A(r(s, t)), e tomamos em considerac¸a\u2dco que
D\u2202sA(r(s, t)) = \u2202sA(s, t), D\u2202tA(r(s, t)) = \u2202tA(s, t).
24Definindo v := A\u2032(p)/\u2016A\u2032(p)\u2016, temos n = u× v e A(p) · v \u2261 A\u2032(p) · v = \u2016A\u2032(p)\u2016, pois A = A\u2032 + cn. Usando
DvA(p) · u = Dv(A(p) · u) = 0, a definic¸a\u2dco (243) implica Eq. (244).
Ana´lise Vetorial, 13/07/2010 51
Temos enta\u2dco\u222b
S
rotA · d\u3c3 =
\u222b t0
0
\u222b s0
0
rotA(r(s, t)) ·
(
\u2202sr(s, t)× \u2202tr(s, t)
)
dsdt
=
\u222b t0
0
\u222b s0
0
{
(\u2202sA · \u2202tr)(s, t)\u2212 (\u2202tA · \u2202sr)(s, t)
)}
dsdt
=
\u222b t0
0
\u222b s0
0
{
\u2202s(A · \u2202tr)(s, t)\u2212 \u2202t(A · \u2202sr)(s, t)
)}
dsdt
=
\u222b t0
0
{
(A · \u2202tr)(s0, t)\u2212 (A · \u2202tr)(0, t)
}
dt\u2212
\u222b s0
0
{
(A · \u2202sr)(s, t0)\u2212 (A · \u2202sr)(s, 0)
}
ds
=
\u222b t0
0
{
A(r2(t)) · r\u2d92(t)\u2212A(r4(t)) · r\u2d94(t)
}
dt\u2212
\u222b s0
0
{
A(r3(s)) · r\u2d93(s)\u2212A(r1(s)) · r\u2d91(s)
}
ds
=
\u222b
C2
A · dr \u2212
\u222b
C4
A · dr \u2212
\u222b
C3
A · dr +
\u222b
C1
A · dr =
\u222e
\u2202S
A · dr.
Na terceiraa equac¸a\u2dco usamos a regra do produto \u2202s(A ·\u2202tr) = \u2202sA ·\u2202tr+(A ·\u2202s\u2202tr), e o Teorema
de Schwartz, \u2202s\u2202tr = \u2202t\u2202sr. Na quarta equac¸a\u2dco usamos o Teorema Fundamental do Ca´lculo. Num
segundo passo consideramos uma superf´\u131cie S arbitra´ria. Se no´s dividirmos ela em duas superf´\u131cies
parciais S1 e S2, com contornos C1 e C2, vale por um lado\u222b
S
rotA · d\u3c3 =
\u222b
S1
rotA · d\u3c3 +
\u222b
S2
rotA · d\u3c3
\u2202S
A · dr =
\u222e
C1
A · dr +
\u222e
C2
A · dr,
porque a divisa entre S1 e S2 e´ sendo percorrida duas vezes, com sentidos opostos, tal que os termos
correspondentes se cancelam. Por isso, se a Eq. (134) vale para S1 e S2 ela tambe´m vale para S.
Iterando a subdivisa\u2dco, podemos escrever S como unia\u2dco (poss´\u131velmente infinita) de \u201creta\u2c6ngulos\u201d Si
da forma considerada no primeiro passo. Isto mostra a Eq. (134) para S arbitra´ria. \ufffd
O teorema de Stokes implica que o rotacional pode ser caracterizado pela eq. (128). Enta\u2dco as
duas definic¸o\u2dces do rotacional, (128) e (243), sa\u2dco equivalentes.
B Exerc´\u131cios.
Ex. 1. (Espac¸o Vetorial.) Seja C([0, 1]) o conjunto de func¸o\u2dces cont´\u131nuas definidas no intervalo
[0, 1], com valores reais.
(a) Dado f, g \u2208 C([0, 1]) e s \u2208 R, define uma func¸a\u2dco f + g e uma func¸a\u2dco s · f .
(b) Mostre que, com sua definic¸a\u2dco da soma e da multiplicac¸a\u2dco por os escalares, o conjunto
C([0, 1]) constitui um espac¸o vetorial.
Ex. 2. (Espac¸o vetorial.) Lembra que o seguinte a´xiomo foi parte da nossa definic¸a\u2dco de um
espac¸o vetorial V :
\u201cPara cada vetor u \u2208 V existe um vetor \u2212u tal que u+ (\u2212u) = 0.\u201d
Usando os outros a´xiomos, mostre que este vetor e´ dado por \u2212u = (\u22121) · u.
Ex. 3. (Depende\u2c6ncia linear.) Mostre que, no R2, os dois vetores {(1, 0), (1, 1)} sa\u2dco linearmente
independentes, mas os tre\u2c6s vetores {(1, 0), (1, 1), (1, 2)} sa\u2dco linearmente dependentes.
Ex. 4. (Projec¸a\u2dco ortogonal.) Seja V um espac¸o euclideano de dimensa\u2dco n, e e1,. . . ,er (onde
r \u2264 n) um sistema ortonormal. Seja U a varredura deles (as combinac¸o\u2dces lineares), e seja PU o
projetor sobre U . Enta\u2dco, para qualquer dado v \u2208 V , PUv e´ o vetor definido por
PUv =
r\u2211
i=1
(ei · v) ei.
52 Ana´lise Vetorial, 13/07/2010
Mostre que o vetor v \u2212 PUv e´ ortogonal ao subespac¸o U .
(Dica: Mostre primeiro que este vetor e´ ortogonal a e1, . . . , er.)
Ex. 5. (Produto vetorial no R3.) Seja x = (x1, x2, x3) e y = (y1, y2, y3) em R
3. Mostre que
o produto vetorial x× y e´ dado por
x× y = (x2y3 \u2212 x3y2, x3y1 \u2212 x1y3, x1y2 \u2212 x2y1).
Ex. 6. (Coordenadas polares no plano.) Supomos que no plano temos discriminado uma
origem o e uma BON de vetores deslocamento {ex, ey}, com coordenadas x, y, correspondentes:
Recordamos que as coordenadas x, y de um ponto p sa\u2dco definidas por
r(p) = x ex + y ey, (245)
onde r(p) e´ o vetor-posic¸a\u2dco do ponto p. Definimos agora coordenadas polares (r, \u3d5) implicitamente
pelas equac¸o\u2dces
x = r cos\u3d5, y = r sen\u3d5, (246)
com as restric¸o\u2dces r > 0 e 0 \u2264 \u3d5 < 2pi.
(a) Escreve os vetores \u2202r\u2202r e
\u2202r
\u2202\u3d5 (derivadas parciais) como combinac¸a\u2dco linear dos vetores {ex, ey},
e determine a norma deles.
Dica: Vale a pena substituir x e y na eq. (245) em termos de r e \u3d5.
(b) Mostre que, para qualquer dado (r, \u3d5), os vetores \u2202r\u2202r e
\u2202r
\u2202\u3d5 sa\u2dco uma base de R
2.
Ex. 7. (Area e volume.)
(a) Os ve´rtices de um tria\u2c6ngulo plano te\u2c6m coordenadas Cartesianas (2, 1, 5), (5, 2, 8) e (4, 8, 2).
Calcular a a´rea do tria\u2c6ngulo, usando o produto vetorial. (Dica: Esta a´rea e´ a metade da
a´rea do paralelogramo gerado por dois vetores convenientes.)
(b) Um paralelep´\u131pedo no plano tem vertices com coordenadas Cartesianas (0, 0, 0), (3, 0, 0),
(0, 0, 2) e (0, 3, 1). (Os 3 outros ve´rtices sa\u2dco fixados pela definic¸a\u2dco de um paralep´\u131pedo.)
Calcular o volume, usando a determinante de tre\u2c6s vetores comvenientes.
Ex. 8. (Coordenadas polares no plano.) Determinar as componentes Cartesianas, bem como
a norma, dos vetores
\u2202r
\u2202r
(p),
\u2202r
\u2202\u3d5
(p) e
\u2202r
\u2202r
(p)\u2212 \u2202r
\u2202\u3d5
(p)
para os seguinte pontos (em coordenadas Cartesianas, p = (x, y)):
(a) p = (1, 0) e p = (2, 0),
(b) p = (0, 1) e p = (0, 2),
(c) p = 1\u221a
2
(1, 1) e p = 2\u221a
2
(1, 1).
Ex. 9. (Transformac¸a\u2dco de coordenadas no plano.) Seja A um campo no plano dado (em
A(r, \u3d5) :=
1
r2
\u2202r
\u2202\u3d5
(r, \u3d5).
Determine as componentes Ax(x, y) e Ay(x, y) de A(p) com respeito a`s coordenadas Cartesianas,
usando a formula de transformac¸a\u2dco de componentes de vetores no Lema 3.4.
(a) Para um ponto p arbitra´rio, calcule o vetor \u2202r\u2202\u3b8 (p) × \u2202r\u2202\u3d5 (p). Para este fim, use a BON
{er(p), e\u3b8(p), e\u3d5(p)}. (I.e., faz a decomposic¸a\u2dco dos vetores \u2202r\u2202\u3b8 (p), \u2202r\u2202\u3d5 (p) com respeito a esta
base, e calcule o vetor \u2202r\u2202\u3b8 (p)× \u2202r\u2202\u3d5 (p) em termos da mesma base.) Calcule tambe´m a norma
deste vetor.
(b) Dito com o vetor \u2202r\u2202r (p) × \u2202r\u2202\u3d5 (p). Considera em particular os pontos p com \u3b8(p) = pi2 (i.e.,
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Ex. 11. (Coordenadas cil´\u131ndricas.) O movimento de um ele´tron num campo magne´tico seja a
superposic¸a\u2dco de um movimento retil´\u131neo uniforme na direc¸a\u2dco z com velocidade vz, e um movimento
circular uniforme no plano x-y com velocidade angular \u3c9 e raio R.
(a) Achar a parametrizac¸a\u2dco %(t), \u3d5(t), z(t) da curva em coordenadas cil´\u131ndricas.
(b) Determinar a velocidade r\u2d9(t) em termos da base \u2202r\u2202% ,
\u2202r
\u2202\u3d5 ,
\u2202r
\u2202z .
(c) Determinar as normas \u2016r\u2d9(t)\u2016, \u2016r¨(t)\u2016 da velocidade.
Ex. 12. (Comprimento de curvas.) O movimento de um ele´tron num campo magne´tico uni-
forme e´ composto por um movimento uniforme linear na direc¸a\u2dco do campo com velocidade con-
stante v0, e um movimento uniforme circular no plano perpendicular a v0, com freque\u2c6ncia angular
\u3c9 e raio R.
(a) Qual e´ o sistema de coordenadas```