cálculo vetorial e tensores
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cálculo vetorial e tensores


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que as seguintes construc¸o\u2dces sa\u2dco poss´\u131veis com re´gua e compasso.
(1) Translac¸a\u2dco paralela. Uma flecha ~op comec¸ando em o pode ser transportada de o para qualquer
outro ponto o1 por translac¸a\u2dco paralela. A ponta desta flecha marca um certo ponto p1, enta\u2dco a
flecha transladada e´ da forma \u2212\u2212\u2192o1p1. (Figura!) Nos identificamos a flecha ~op e a flecha transladada\u2212\u2212\u2192o1p1. A classe de todas flechas que prove\u2c6m de ~op por translac¸a\u2dco paralela sera´ enta\u2dco considerada um
vector deslocamento. Vetores deslocamento notamos generalmente por u,v,w, . . ., e o conjunto de
todos vetores deslocamento denotamos por V .4 Com isso, um ponto p \u2208 E e um vetor deslocamento
v \u2208 V determinam um u´nico ponto q t.q. ~pq = v (A saber, q e´ marcado pela ponta da flecha v,
transladada tal que ela comec¸a em p). Nesta situac¸a\u2dco, escrevemos q = p+ v. Experimentalmente,
3Observa que isto implica de novo que | det(u1, . . . ,un)| e´ independente da BON.
4Alternativamente, podemos discriminar um ponto o \u2208 E (a origem) e definir V como o conjunto de todos vetores
deslocamento que comec¸am em o.
10 Ana´lise Vetorial, 13/07/2010
verifique-se que a translac¸a\u2dco paralela e´ comutativa:5
(o+ u) + v = (o+ v) + u. (52)
(2) Medir a dista\u2c6ncia entre quaisquer dois pontos p, q, notado por dist(p, q). Com isso, tambe´m
podemos medir o a\u2c6ngulo \u2220(u,v) entre dois vetores u e v.
(3) Construir a projec¸a\u2dco ortogonal de um vetor v sobre um outro vetor u, notado por Puv.
(Figura!)
Estes fatos implicam que o conjunto V de vetores deslocamento e´ um espac¸o vetorial, com
norma e produto escalar. A adic¸a\u2dco de vetores e´ definida como seguinte: u + v e´ definido como a
u´nica seta t.q. o+ (u+ v) = (o+ u) + v. (A Eq. (52) implica a comutatividade u+ v = v + u.)
O elemento neutral 0 e´ o vetor deslocamento \u201ccom comprimento 0\u201d, caraterizado pelo fato que
vale p + 0 = p para todos p \u2208 E. \u2212u e´ o u´nico vetor tal que \u2212u + u = 0. Para t \u2265 0, tu e´ o
vetor u, esticado pelo fator t. Isto, junto com a definic¸a\u2dco do inverso \u2212u, fixa operacionalmente a
multiplicac¸a\u2dco de vetores por escalares. (Exerc´\u131cio: Verificar que V realmente e´ um espac¸o vetorial
com estas definic¸a\u2dcoes.) A norma de vetores e´ dada por
\u2016 ~pq\u2016 := dist(p, q). (53)
Esta norma realmente provem de um produto escalar, conforme Eq. (17), a saber:
u · v := ±\u2016u\u2016 \u2016Puv\u2016 \u2261 \u2016u\u2016 \u2016v\u2016 cos \u3b3, (54)
onde \u3b3 = \u2220(u,v) e´ o a\u2c6ngulo entre u e v. (O sinal na primeira equac¸a\u2dco e´ positivo se u e Puv te\u2c6m
o mesmo sentido, e negativo no outro caso.)
Na linguagem dos matema´ticos, tudo isso implica que o espac¸o f´\u131sico E (se gravitac¸a\u2dco e acel-
erac¸a\u2dco sa\u2dco desprez´\u131veis) tem a estrutura de um espac¸o afim euclideano (da dimensa\u2dco tre\u2c6s).6 Ob-
servamos finalmente que E pode ser identificado com V , depois de escolher um ponto o \u2208 E (a
origem ou referencial). A saber, dado o cada ponto p \u2208 E tem o seu vetor posic¸a\u2dco
r(p) := ~op \u2208 V. (55)
Como a corresponde\u2c6ncia p \u2194 r(p) e´ un´\u131voca, E pode ser identificado com V dessa maneira.
Observe que o vetor deslocamento entre p e q e´ dado por ~pq = r(q)\u2212 r(p), enta\u2dco temos
dist(p, q) = \u2016r(q)\u2212 r(p)\u2016.
3 Sistemas de Coordenadas.
Coordenadas servem para especificar pontos no espac¸o de uma maneira quantitativa: Depois de
especificar um sistema de coordenadas, todo ponto no espac¸o tridimensional e´ unicamente especifi-
cado por tre\u2c6s nu´meros. A escolha de um sistema de Coordenadas depende da geometria e simetria
da situac¸a\u2dco. Por exemplo, as coordenadas Cartesianas sa\u2dco u´teis em situac¸o\u2dces homoge\u2c6neas (com
simetria translacional em todas direc¸o\u2dces). Em situac¸o\u2dces com simetria rotacional em torno de um
eixo, ou em torno de um ponto discriminado, as coordenadas cil´\u131ndricas ou esfe´ricas, respectiva-
mente, sa\u2dco mais u´teis. Em outras situac¸o\u2dces as vezes outras coordenadas sa\u2dco mais u´teis, adaptadas
a` geometria da situac¸a\u2dco (coordenadas el´\u131pticas, hiperbo´licas, . . . ).
5Realmente, tudo isso vale so´ se o campo gravitacional e a acelerac¸a\u2dco do laborato´rio sa\u2dco desprez´\u131veis. Em geral, o
espac¸o (\u2013tempo) e´ curvo. Neste caso, para cada ponto p ainda pode ser definido o conjunto de \u201cvetores\u201d comec¸ando
em p (o chamado espac¸o tangente em p), mas a translac¸a\u2dco paralela depende do caminho, enta\u2dco os vetores comec¸ando
em p e aqueles comec¸ando num outro ponto na\u2dco podem ser identificados. Tambe´m, a comutatividade (52) vale so´
aproximadamente.
6Um conjunto E e´ um espac¸o afim se existe um espac¸o vetorial V e uma aplicac¸a\u2dco E × V \u2192 E, (p,v)\u2192 p+ v,
t.q. vale:
i) Para cada p, q \u2208 E existe um v \u2208 V t.q. q = p+ v. (Notac¸a\u2dco: v =: ~pq.)
ii) Para p \u2208 E, u,v \u2208 V vale p+ (u+ v) = (p+ u) + v.
iii) Para p \u2208 E, a equac¸a\u2dco p+ v = p vale se e somente se v = 0.
Um espac¸o afim E e´ chamado de espac¸o afim euclideano se V possui um produto escalar. A dimensa\u2dco de E e´
definido pela dimensa\u2dco de V .
Observe que o vetor v = ~pq do item i) e´ u´nico pelo item iii).
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Vamos recapitular primeiro as coordenadas Cartesianas, cil´\u131ndricas e esfe´ricas, e depois discutir
sistemas de coordenadas (curvilineas) em geral.
No seguinte, E e V denotam o espac¸o f´\u131sico e o espac¸o de vetores deslocamento, respetivamente.
Nos deixamos a dimensa\u2dco, n, aberta (na pra´tica, claramente n = 2 ou 3).
3.1 Coordenadas Cartesianas e Lineares.
Depois de escolher uma origem o \u2208 E e uma base {e1, . . . , en} em V , para cada p \u2208 E o vetor-
posic¸a\u2dco r(p) = ~op possui uma u´nica decomposic¸a\u2dco
r(p) =
n\u2211
i=1
xi(p) ei. (56)
Os n nu´meros xi(p) definidos de tal maneira sa\u2dco chamados de coordenadas lineares do ponto p
com respeito a` base {ei}. (Em outras palavras, aqueles coordenadas sa\u2dco os componentes do vetor-
posic¸a\u2dco com respeito a` esta base.) No caso a base seja ortonormal (ou seja, uma BON), os xi(p) sa\u2dco
chamados de coordenadas Cartesianas. (Neste caso, elas podem ser calculadas pela fo´rmula (21):
xi(p) = ei · r(p).) No espac¸o tridimensional, vamos as vezes escrever x1 = x, x2 = y, x3 = z, e
correspondentemente
e1 =: ex, e2 =: ey, e3 =: ez. (57)
Na literatura encontra-se tambe´m a notac¸a\u2dco x\u2c6, y\u2c6, z\u2c6 ou i\u2c6, j\u2c6, k\u2c6.
As coordenadas lineares se transformam sob uma mudanc¸a de base como descrito no Lema 1.2:
Seja {e¯1, . . . , e¯n} uma outra base, relacionado com a velha base por
e¯j =
n\u2211
i=1
Aij ei, (58)
e sejam x¯i as coordenadas (=componentes) correspondentes. Enta\u2dco, pelo Lema 1.2 vale
xi =
n\u2211
j=1
Aij x¯
j . (59)
Vamos agora considerar o caso quando as duas bases {e1, . . . , en} e {e¯1, . . . , e¯n} sa\u2dco BONs. Neste
caso, vale
\u3b4ij = e¯i · e¯j =
\u2211
k,l
AkiA
l
j ek · el =
\u2211
k
AkiA
k
j =
\u2211
k
(AT )ikA
k
j = (A
TA)ij , (60)
onde nos consideramos Akj como coefficientes de uma matriz A, e A
T denota a matriz transposta.
A Eq. (60) significa que ATA e´ a matriz-unidade, ou seja, A\u22121 = AT . Tal matrizes e´ chamada de
ortogonal. A aplicac¸a\u2dco linear correspondente a ela via
A(ei) :=
\u2211
j
Aji ej (61)
(e extensa\u2dco por linearidade, A(v) \u2261 A(\u2211i viei) = \u2211i,j viAji ej), preserve todas dista\u2c6ncias (e
a\u2c6ngulos), enta\u2dco e´ uma rotac¸a\u2dco.
3.2 Coordenadas Cil´\u131ndricas.
Em situac¸o\u2dces com simetria rotacional em torno de uma reta R (o eixo), e translacional na direc¸a\u2dco
do mesmo eixo, usamos coordenadas cil´\u131ndricas: (u1, u2, u3) = (%, \u3d5, z) \u2208 (0,\u221e)× [0, 2pi]×R. Elas
sa\u2dco definidas (operacionalmente) em E\R como segue. Escolhemos eixos x, y e z tal que R coincide
com o eixo-z. Seja Px,yr(p) a projec¸a\u2dco do vetor r(p) ao plano x-y conforme Lema 1.4. Enta\u2dco para
p \u2208 E \R definimos
%(p) := dista\u2c6ncia entre p e R (62)
\u3d5(p) := a\u2c6ngulo de Px,yr(p) com o eixo dos x positivos (63)
z(p) := ez · r(p), (64)
12 Ana´lise Vetorial, 13/07/2010
onde ez e´ o vetor unita´rio na direc¸a\u2dco dos z positivos. A relac¸a\u2dco com as coordenadas Cartesianas
e´ a seguinte. Se o ponto p tem coordenadas Cartesianas x, y, z, enta\u2dco
%(p) =
\u221a
x2 + y2, \u3d5(p)