cálculo vetorial e tensores
56 pág.

cálculo vetorial e tensores


DisciplinaCálculo IV3.098 materiais20.911 seguidores
Pré-visualização20 páginas
= arctan(y/x), z(p) = z. (65)
Inversamente, se p tem coordenadas cil´\u131ndricas %, \u3d5, z, enta\u2dco
x(p) = % cos\u3d5, y(p) = % sen\u3d5, z(p) = z. (66)
3.3 Coordenadas Esfe´ricas.
Em situac¸o\u2dces com simetria rotacional SO(3) em torno de um ponto discriminado o, usamos coor-
denadas esfe´ricas: (u1, u2, u3) = (r, \u3b8, \u3d5) \u2208 (0,\u221e)× (0, pi)× [0, 2pi]. Elas sa\u2dco definidas (operacional-
mente) como segue. Escolhemos eixos x, y e z tal que o coincide com a origem. Enta\u2dco para p em
E menos o eixo-z definimos
r(p) := dist(o, p) = \u2016r(p)\u2016, (67)
\u3b8(p) := a\u2c6ngulo de r(p) com o eixo dos z positivos, (68)
\u3d5(p) := a\u2c6ngulo de Px,yr(p) com o eixo dos x positivos, (69)
onde Px,yr(p) e´ a projec¸a\u2dco do vetor r(p) ao plano x-y conforme Lema 1.4. A relac¸a\u2dco com as
coordenadas Cartesianas e´ a seguinte. Se o ponto p tem coordenadas Cartesianas x, y, z, enta\u2dco
r(p) =
\u221a
x2 + y2 + z2, (70)
\u3b8(p) = arccos
z\u221a
x2 + y2 + z2
, (71)
\u3d5(p) = arctan(y/x). (72)
Inversamente, se p tem as coordenadas esfe´ricas r, \u3d1, \u3d5, enta\u2dco
x(p) = r sen \u3b8 cos\u3d5, y(p) = r sen \u3b8 sen\u3d5, z(p) = r cos \u3b8. (73)
3.4 Coordenadas Curvil´\u131neas em Geral.
Consideremos o exemplo de coordenadas cil´\u131ndricas. A coordenada % pode ser encarada como uma
aplicac¸a\u2dco p 7\u2192 %(p) de E (ou um subconjunto de E) nos nu´meros reais. Em outras palavras, a
coordenada % e´ uma func¸a\u2dco, e o mesmo vale para as outras coordenadas \u3d5, z. Ademais, dado um
ponto p, os tre\u2c6s nu´meros %(p), \u3d5(p), z(p) unicamente especificam p (i.e., na\u2dco existe outro ponto
com as mesmas 3 valores de coordenadas).
Mais geralmente, um sistema de coordenadas e´ uma n-e´sima de func¸o\u2dces
ui : E \u2192 R, i = 1, . . . , n
t.q. a aplicac¸a\u2dco E \u2192 Rn, p 7\u2192 (u1(p), . . . , un(p)) e´ localmente invert´\u131vel e diferencia´vel (mais
precisamente, aquela aplicac¸a\u2dco deve ser um difeomorfismo entre um certo dom\u131´nio D \u2282 E e sua
imagem em Rn). Dessa maneira, o ponto p pode ser identificado com a n-upla de suas coordenadas
(u1(p), . . . , un(p)). Por outro lado, depois de escolher uma origem o, um ponto p em E pode ser
identificado com seu vetor-posic¸a\u2dco r(p) = ~op \u2208 V . Por isso, o vetor-posic¸a\u2dco r(p) de um ponto p
pode ser identificado com o n-e´simo das coordenadas do ponto, e no´s podemos (e vamos) escrever
r(u1, . . . , un) := r(p) (74)
se p tem as coordenadas u1, . . . , un. Muito u´teis e importantes sa\u2dco as derivadas parciais dessa
aplicac¸a\u2dco,
\u2202r
\u2202ui
(p) = lim
\u3b5\u21920
1
\u3b5
{
r(u1, . . . , ui + \u3b5, . . . , un)\u2212 r(u1, . . . , un)} (75)
\u2261 d
d\u3b5
r(u1, . . . , ui + \u3b5, . . . , un)
\u2223\u2223
\u3b5=0
Ana´lise Vetorial, 13/07/2010 13
r(u1, u2)
r(u1 + \u3b5, u2)
r(u1, u2 + \u3b5)
\u3b5 \u2202r\u2202u1
\u3b5 \u2202r\u2202u2
Figura 1: Os vertores da base \u2202r\u2202u1 ,
\u2202r
\u2202u1 .
onde u1, . . . un sa\u2dco as coordenadas do ponto p. (Observe que isso e´ um vetor em V , e a definic¸a\u2dco
na\u2dco depende da origem o \u2208 E.) O vetor \u2202r\u2202ui (p) tem a direc¸a\u2dco de ui crescente (com as outras
coordenadas fixas), e a sua norma e´ a taxa de crescimento me\u2c6trico naquela direc¸a\u2dco, ver Fig. 1.
Este vetor pode ser caracterizado pelo seguinte fato: O vetor deslocamento entre o ponto p com
coordenadas u1, . . . , un e o ponto com coordenadas u1, . . . , ui + \u3b5, . . . , un coincede com \u3b5 \u2202r\u2202ui (p)
mo´dulo termos da ordem7 \u3b52:
r(u1, . . . , ui + \u3b5, . . . , un) = r(u1, . . . , un) + \u3b5
\u2202r
\u2202ui
(p) +O(\u3b52). (76)
E´ importante observar que \u2202r\u2202ui (p) realmente depende do ponto p! A u´nica excec¸a\u2dco sa\u2dco coorde-
nadas lineares, como por exemplo Cartesianas:
Exemplo 3.1 Se x1, . . . , xn sa\u2dco coordenadas Cartesianas, correspondente a uma BON
{e1, . . . , en}, enta\u2dco o vetor-posic¸a\u2dco de um ponto p com coordenadas (x1, . . . , xn) \u2208 Rn e´ dado,
conforme equ.s (56) e (74), por r(x1, . . . , xn) =
\u2211n
i=1 x
i ei. Consequentemente,
\u2202r
\u2202xi
(p) \u2261 d
d\u3b5
{x1e1 + · · · (xi + \u3b5)ei + · · ·xnen}
\u2223\u2223
\u3b5=0
= ei, (77)
ou seja, o vetor \u2202r\u2202xi (p) e´ simplesmente ei \u2014 em particular, constante! \ufffd
O fato que a aplicac¸a\u2dco p 7\u2192 (u1, . . . , un) e´ invert´\u131vel implica que, para cada p fixo, o conjunto dos
n vetores { \u2202r
\u2202u1
(p), . . . ,
\u2202r
\u2202un
(p)
}
(78)
e´ linearmente independente, enta\u2dco uma base do espac¸o vetorial V . Vamos chamar ela de base de
vetores correspondente ao sistema de coordenadas {u1, . . . , un}.
Mudanc¸a de Coordenadas. Muitas vezes e´ u´til saber como os vetores de base \u2202ir e as com-
ponentes de vetores transformam sob uma mudanc¸a de coordenadas. Sejam enta\u2dco {u1, . . . , un} e
{u¯1, . . . , u¯n} duas sistemas de coordenadas. Pela regra de cadeia, as respectivas bases em V sa\u2dco
relacionadas como seguinte:
\u2202r
\u2202ui
(p) =
n\u2211
j=1
\u2202u¯j
\u2202ui
(p)
\u2202r
\u2202u¯j
(p). (79)
Em particular em coordenadas Cartesianas, u¯j = xj , vale pela eq. (77),
\u2202r
\u2202ui
(p) =
n\u2211
j=1
\u2202xj
\u2202ui
(p) ej . (80)
7Digamos que duas func¸o\u2dces f(x) e g(x) coincedem mo´dulo termos da ordem xn para pequenos x, em s´\u131mbolos
f(x) = g(x) +O(xn), x\u2192 0,
se a func¸a\u2dco (f(x) \u2212 g(x))/xn e´ limitada em uma vizinhanc¸a da origem. Por exemplo, se f e´ duas vezes deriva´vel,
enta\u2dco vale f(x) = f(0) + xf \u2032(0) +O(x2). Isto implica eq. (76).
14 Ana´lise Vetorial, 13/07/2010
Exemplo 3.2 (a) Se os dois sistemas sa\u2dco coordenadas Cartesianas (ou lineares), ui = xi e u¯i =
x¯i, e eles se referem a` mesma origem o, enta\u2dco sabemos pela eq. (59) que eles sa\u2dco linearmente
relacionados,
xi =
n\u2211
j=1
Aij x¯
j .
Enta\u2dco \u2202x
j
\u2202x¯i e´ justamente o elemento da matriz A
j
i (e
\u2202x¯j
\u2202xi = (A
\u22121)ji ).
(b) Se {u¯1, u¯2, u¯3} \u2261 {x, y, z} sa\u2dco coordenadas Cartesianas, e {u1, u2, u3} \u2261 {%, \u3d5, z} coordenadas
cil´\u131ndricas, enta\u2dco
\u2202x
\u2202%
= cos\u3d5
\u2202x
\u2202\u3d5
= \u2212% sen\u3d5 \u2202x
\u2202z
= 0
\u2202y
\u2202%
= sen\u3d5
\u2202y
\u2202\u3d5
= % cos\u3d5
\u2202y
\u2202z
= 0
\u2202z
\u2202%
= 0
\u2202z
\u2202\u3d5
= 0
\u2202z
\u2202z
= 1
Consequentemente, a decomposic¸a\u2dco dos vetores da base correspondentes a`s coordenadas cil´\u131ndricas
e esfe´ricas, respetivamente, em termos da BON {ex, ey, ez} e´ dada por
\u2202r
\u2202%
= cos\u3d5 ex + sen\u3d5 ey,
\u2202r
\u2202\u3d5
= \u2212% sen\u3d5 ex + % cos\u3d5 ey, \u2202r
\u2202z
= ez. (81)
(c) Se {u¯1, u¯2, u¯3} \u2261 {x, y, z} sa\u2dco coordenadas Cartesianas, e {u1, u2, u3} \u2261 {r, \u3b8, \u3d5} coordenadas
esfe´ricas, enta\u2dco
\u2202x
\u2202r
= sen \u3b8 cos\u3d5
\u2202x
\u2202\u3b8
= r cos \u3b8 cos\u3d5
\u2202x
\u2202\u3d5
= \u2212r sen \u3b8 sen\u3d5
\u2202y
\u2202r
= sen \u3b8 sen\u3d5
\u2202y
\u2202\u3b8
= r cos \u3b8 sen\u3d5
\u2202y
\u2202\u3d5
= r sen \u3b8 cos\u3d5
\u2202z
\u2202r
= cos \u3b8
\u2202z
\u2202\u3b8
= \u2212r sen \u3b8 \u2202z
\u2202\u3d5
= 0
Consequentemente, a decomposic¸a\u2dco dos vetores da base correspondentes a`s coordenadas esfe´ricas
em termos da BON {ex, ey, ez} e´ dada por
\u2202r
\u2202r
= sen \u3b8 cos\u3d5 ex + sen \u3b8 sen\u3d5 ey + cos \u3b8 ez =
r
r
, (82)
\u2202r
\u2202\u3b8
= r cos \u3b8 cos\u3d5 ex + r cos \u3b8 sen\u3d5 ey \u2212 r sen \u3b8 ez, (83)
\u2202r
\u2202\u3d5
= \u2212r sen \u3b8 sen\u3d5 ex + r sen \u3b8 cos\u3d5 ey. (84)
\ufffd
Coordenadas Ortogonais. Um sistema de coordenadas {u1, . . . , un} chama-se sistema de co-
ordenadas ortogonais se, para cada p, os vetores \u2202r\u2202ui (p), i = 1, . . . , n, sa\u2dco mutuamente ortogonais.
Dado um tal sistema, e´ costume usar os vetores normalizados
ei(p) :=
1
hi(p)
\u2202r
\u2202ui
(p), hi(p) :=
\u2225\u2225 \u2202r
\u2202ui
(p)
\u2225\u2225. (85)
(ei(p) e´ o vetor unita´rio na direc¸a\u2dco u
i crescente.) Os n vetores e1(p), . . . , en(p) sa\u2dco uma BON.
Notac¸a\u2dco: Na literatura encontra-se tambe´m a notac¸a\u2dco u\u2c6i, por exemplo %\u2c6, \u3d5\u2c6, z\u2c6 no caso se coor-
denadas cil´\u131ndricas e r\u2c6, \u3b8\u2c6, \u3d5\u2c6 no caso de coordenadas esfe´ricas.
Ana´lise Vetorial, 13/07/2010 15
Exemplo 3.3 Os sistemas de coordenadas cil´\u131ndricas e esfe´ricas sa\u2dco ortogonais. As normas hi dos
vetores da base correspondentes sa\u2dco
h% :=
\u2225\u2225\u2202r
\u2202%
\u2225\u2225 = 1, h\u3d5 := \u2225\u2225 \u2202r
\u2202\u3d5
\u2225\u2225 = %, hz := \u2225\u2225\u2202r
\u2202z
\u2225\u2225 = 1 (86)
no caso de coordenadas cil´\u131ndricas, e
hr :=
\u2225\u2225\u2202r
\u2202r
\u2225\u2225 = 1, h\u3b8 := \u2225\u2225\u2202r
\u2202\u3b8
\u2225\u2225 = r, h\u3d5 := \u2225\u2225 \u2202r
\u2202\u3d5
\u2225\u2225 = r sen \u3b8 (87)
no caso de coordenadas esfe´ricas. \ufffd
Componentes de Vetores. Como os \u2202r\u2202ui (p) sa\u2dco uma base, cada vetor em V pode ser decom-
posto conforme
v =
\u2211
i
vi(p)
\u2202r
\u2202ui