cálculo vetorial e tensores
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cálculo vetorial e tensores


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da
curva). (N\u3b5 \u2248 comprimento da curva.) Se a curva C e´ fechada, e´ costume escrever \u222e
C
A · dr.
Calcularemos a integral em termos de coordenadas adaptadas a` curva; a saber supomos que
a curva C e´ uma das curvas de coordenada, digamos da coordenada u1: As coordenadas u2 e u3
te\u2c6m valores constantes (digamos b e c, respetivamente) ao longo da curva, e so´ u1 var´\u131a ao longo
da curva:
C = {r(u1, b, c)| u1 \u2208 [a, a\u2032] }.
Neste caso, \u2206l\u3bd =
\u2202r
\u2202u1\u2206u
1 +O(\u3b52), e temos\u222b
C
A · dl =
\u222b a\u2032
a
A1(u
1, b, c) du1, A1(p) := A(p) · \u2202r
\u2202u1
(p). (99)
Os nu´meros (realmente, as func¸o\u2dces) Ai := A · \u2202ir sa\u2dco chamadas as componentes covariantes do
vetor A, veja Eq. (131) embaixo. Se {ui} e´ um sistema de coordenadas ortogonal, a relac¸a\u2dco entre
as componentes covariantes e contravariantes e´ obviamente Ai = A
ih2i . Neste caso temos enta\u2dco\u222b
C
A · dl =
\u222b a\u2032
a
A1(u1, b, c)h1(u
1, b, c)2 du1.
11Em geral, os campos f e A precisam ser definidos somente num certo dom\u131´nio D \u2282 E.
18 Ana´lise Vetorial, 13/07/2010
Se a curva e´ parametrizada por uma aplicac¸a\u2dco derivavel t 7\u2192 r(t), t \u2208 [a, b], podemos substituir
\u2206l\u3bd por r\u2d9(t\u3bd) ·\u2206t\u3bd na Eq. (98), resultando em\u222b
C
A · dl = lim
\u3b5\u21920
\u2211
\u3bd
A(r(t\u3bd)) · r\u2d9(t\u3bd) ·\u2206t\u3bd =
\u222b b
a
A(r(t)) · r\u2d9(t) dt.
As seguintes propriedades da integral de curva sa\u2dco essenciais: Primeiro, se C\u3b5 e´ uma pequena
curva com comprimento \u3b5, o erro feito na aproximac¸a\u2dco como no in´\u131cio dessa sec¸a\u2dco e´ da ordem \u3b52,
ou seja, \u222b
C\u3b5
A · dl = A(p) · l\u3b5 +O(\u3b52), (100)
onde p \u2208 C\u3b5 e l\u3b5 e´ o vetor deslocamento entre o ponto inicial e final de C\u3b5.12
Segundo, a integral e´ aditiva: Se C e´ cortado em segmentos disjuntos C = C1 \u222a C2 \u222a . . ., enta\u2dco\u222b
C
A · dl =
\u222b
C1
A · dl+
\u222b
C2
A · dl+ . . . . (101)
6.2 Integrais de Superf´\u131cie.
Uma superf´\u131cie e´ uma subvariedade bidimensional em E. O seu complemento em E possui lo-
calmente duas componentes conexos (os dois lados da superf´\u131cie). Uma superf´\u131cie S e´ chamada
de orientada se um dos dois lados e´ discriminado. Isto pode ser feito por especificar um campo
vetorial n(p), que e´ perpendicular a` superf´\u131cie em todos pontos p \u2208 S. Tal campo e´ chamado
de campo vetorial normal de S, ou simplesmente vetor normal. (Existem exatamente dois tais
campos, correspondente aos dois lados.)
Exemplos: Uma hemisfera do raio R pode ser descrito em termos de coordenadas esfe´ricas por
S =
{
p : r(p) = R, \u3b8(p) \u2208 [0, pi/2], \u3d5(p) \u2208 [0, 2pi)}.
Um cil´\u131ndro do raio R e comprimento L pode ser descrito em termos de coordenadas cil´\u131ndricas
adaptadas por
S =
{
p : %(p) = R, \u3d5(p) \u2208 [0, 2pi), z(p) \u2208 [0, L], }.
Imaginamos um flu´ido em movimento, com velocidade v(p), e uma dada superf´\u131cie S (imagi-
nada) no flu´ido. O fluxo do flu´ido atrave´s S e´ o volume do flu´ido atravesando S, no sentido da
orientac¸a\u2dco de S, por unidade de tempo. (Se v tem o sentido oposto a` orientac¸a\u2dco de S, o fluxo e´
o negativo deste valor.) Num primeiro passo, supomos que v(p) \u2261 v e´ uniforme (independente de
p), e S e´ uma superf´\u131cie plana. Enta\u2dco o volume do flu´ido atravesando S num intervalo de tempo
\u2206t e´ justamente o volume da regia\u2dco G que tem \u201cbase\u201d S e \u201ctampa\u201d S + \u2206tv. O volume desta
regia\u2dco G e´ igual a` a´rea da base (i.e., a a´rea de S) vezes a altura. A altura de G e´ igual a` norma
da projec¸a\u2dco de \u2206tv em n, a saber \u2016Pn(\u2206tv)\u2016 \u2261 \u2206tv · n, ver eq. (25). O fluxo e´ enta\u2dco v · n|S|,
onde |S| := a´rea de S. Isto sugere a definic¸a\u2dco do vetor superf´\u131cie, S, que tem norma igual a` area,
|S|, e tem a direc¸a\u2dco (e sentido) do vetor normal n de S:
S := |S|n. (102)
(Este vetor carateriza a superf´\u131cie plana S junto com a sua orientac¸a\u2dco.) Com isto, o fluxo de v
atrave´s S pode ser escrito como v ·S. Como calculamos o fluxo se a superf´\u131cie na\u2dco e´ plana e o campo
de velocidade v(p) na\u2dco e´ constante? Nos dividimos a superf´\u131cie S em pequenos pedacinhos \u2206S\u3bd
que podem ser aproximados por superf´\u131cies planas S\u3bd , e aproximamos a velocidade perto de \u2206S\u3bd
por seu valor v(p\u3bd) num ponto p\u3bd \u2208 \u2206S\u3bd . O fluxozinho atrave´s \u2206S\u3bd pode agora ser aproximado
por v(p\u3bd) · S\u3bd , onde S\u3bd e´ o vetor superf´\u131cie correspondente a` superf´\u131cie plana \u2206S\u3bd . O fluxo total
atrave´s S e´ a soma daqueles fluxozinhos. Fazendo os dia\u2c6metros dos pedacinhos \u2206S\u3bd cada vez
menores, resulta numa aproximac¸a\u2dco cada vez melhor, e o valor exato do fluxo e´ o valor encontrado
no limite quando os dia\u2c6metros tendem para zero (e o nu´mero de pedacinhos para infinito).
12A mesma fo\u2c6rmula vale para um vetor que coincede com l\u3b5 mo\u2c6dulo termos da ordem \u3b5, por exemplo o vetor
tangencial a C em p, com norma igual \u3b5 e com sentido igual a` orientac¸a\u2dco de C.
Ana´lise Vetorial, 13/07/2010 19
Esta construc¸a\u2dco pode ser feita com qualquer campo vetorial A, e o resultado e´ a chamada
integral de superf´\u131cie de A atravez S, em s´\u131mbolo
\u222b
S
A · d\u3c3:
\u222b
S
A · d\u3c3 = lim
\u3b5\u21920
N2\u2211
\u3bd=1
A(p\u3bd) ·\u2206S\u3bd , \u2206S\u3bd := |\u2206S\u3bd |n(p\u3bd). (103)
Aqu´\u131, \u3b5 e´ o dia´metro maximal dos pedacinhos \u2206S\u3bd da superf´\u131cie, e p\u3bd e´ um ponto no pedacinho
\u2206S\u3bd . Se a superf´\u131cie S e´ fechada (i.e., S e´ o contorno \u2202G de uma regia\u2dco G), e´ costume escrever\u222e
S
A · d\u3c3. (N\u3b5 \u2248 dia´metro de S, ou seja, N2\u3b52 \u2248 |S\u3b5|.)
Calcularemos a integral em termos de coordenadas adaptadas a` superf´\u131cie; a saber supomos
que uma das coordenadas seja constante ao longo de S, digamos u3 = c:
S =
{
r(u1, u2, c)| u1 \u2208 [a, a\u2032], u2 \u2208 [b, b\u2032]}.
Neste caso, o vetor superf´\u131cie do pedacinho
\u2206S\u3bd :=
{
r(u1, u2, c)| u1 \u2208 [a\u3bd , a\u3bd +\u2206u1], u2 \u2208 [b\u3bd , b\u3bd +\u2206u2]
}
pode ser aproximado pelo vetor superf´\u131cie do paralelogramo
\u2206S\u3bd \u2248 ( \u2202r
\u2202u1
× \u2202r
\u2202u2
)(p\u3bd)\u2206u
1\u2206u2
mo´dulo termos da ordem \u3b53, enta\u2dco temos
\u222b
S
A · d\u3c3 =
\u222b a\u2032
a
\u222b b\u2032
b
(
A · (\u22021r × \u22022r)
)
(u1, u2, c) du1du2. (104)
Agora observamos que
A · (\u22021r × \u22022r) = A3\u22023r · (\u22021r × \u22022r) = A3 det(\u22023r, \u22021r, \u22022r)
\u2261 A3 v, onde v := det(\u22021r, \u22022r, \u22023r), (105)
pois A1\u22021r e A
2\u22022r sa\u2dco ortogonais em \u22021r × \u22022r e os termos correspondentes se anulam. Com
isso, temos \u222b
S
A · d\u3c3 =
\u222b a\u2032
a
\u222b b\u2032
b
(
A3v
)
(u1, u2, c) du1du2. (106)
Por exemplo, se SR e´ uma esfe´ra de raio R centrada na origem, usamos coordenadas esfe´ricas, com
v = r2 sen \u3b8, e temos
\u222e
SR
A · d\u3c3 =
\u222b 2pi
0
\u222b pi
0
(Arr2 sen \u3b8)(R, \u3b8, \u3c6) d\u3b8 d\u3c6 = R2
\u222b 2pi
0
\u222b pi
0
Ar(R, \u3b8, \u3c6) sen \u3b8 d\u3b8 d\u3c6. (107)
As seguintes propriedades da integral de superf´\u131cie sa\u2dco essenciais: Primeiro, se S\u3b5 e´ uma su-
perf´\u131cie pequena com dia´metro \u3b5, o erro feito na aproximac¸a\u2dco como no in´\u131cio dessa sec¸a\u2dco e´ da
ordem \u3b53, ou seja, \u222b
S\u3b5
A · d\u3c3 = A(p) · S\u3b5(p) +O(\u3b53). (108)
Aqu´\u131, |S\u3b5| e´ a a´rea de S\u3b5 (da ordem \u3b52), n(p) e´ o vetor normal em p \u2208 S e S\u3b5(p) := |S\u3b5|n(p).
Segundo, a integral e´ aditiva: Se S e´ cortado em pedac¸os disjuntos S = S1 \u222a S2 \u222a . . ., enta\u2dco\u222b
S
A · d\u3c3 =
\u222b
S1
A · d\u3c3 +
\u222b
S2
A · d\u3c3 + . . . . (109)
20 Ana´lise Vetorial, 13/07/2010
6.3 Integrais de Volume.
Calcularemos a massa de um fluido na\u2dco-homoge\u2c6neo, da densidade %, numa regia\u2dco G. Nos dividi-
mos a regia\u2dco G em pequenos pedac¸os \u2206G\u3bd , de volume \u2206V\u3bd , e aproximamos a massa pela soma\u2211
\u3bd %(p\u3bd)\u2206V\u3bd , onde p\u3bd \u2208 \u2206G\u3bd . O limite de pequenos volumes da´ o valor exato da massa. Este
limite e´ a integral de %. Em geral, definimos a integral de volume de uma func¸a\u2dco f atravez da
regia\u2dco G por \u222b
G
f dV := lim
\u3b5\u21920
\u2211
\u3bd
f(p\u3bd)\u2206V\u3bd ,
onde \u3b5 e \u2206V\u3bd sa\u2dco o dia´metro e o volume da regia\u2dco \u2206G\u3bd , respetivamente, e p\u3bd e´ um ponto em G\u3bd .
Calcularemos a integral em termos de coordenadas adaptadas a` regia\u2dco. A saber supomos que G e´
da forma
G =
{
r(u1, u2, u3)| (u1, u2, u3) \u2208 [a, a\u2032]× [b, b\u2032]× [c, c\u2032]}.
O volume do pedac´\u131nio
\u2206G\u3bd :=
{
r(u1, u2, u3)| (u1, u2, u3) \u2208 [a\u3bd , a\u3bd +\u2206u1]× [b\u3bd , b\u3bd +\u2206u2]× [c\u3bd , c\u3bd +\u2206u3]
}
pode ser aproximado pelo paralelep´\u131pedo gerado por \u2206u1\u22021r, \u2206u
2\u22022r e \u2206u
3\u22023r, mo´dulo termos
da ordem \u3b54, cujo volume e´ det(\u2202r,