cálculo vetorial e tensores
56 pág.

cálculo vetorial e tensores


DisciplinaCálculo IV3.097 materiais20.906 seguidores
Pré-visualização20 páginas
\u22022r, \u22023r) \u2206u
1\u2206u2\u2206u3. Enta\u2dco temos
\u222b
G
f dV =
\u222b a\u2032
a
\u222b b\u2032
b
\u222b c\u2032
c
f(u1, u2, u3) v(u1, u2, u3) du1du2du3\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38, (110)
dV (u1, u2, u3) (111)
onde v := det
(
\u22021r, \u22022r, \u22023r
)
. (A orientac¸a\u2dco do sistema deve ser positiva para que a determinante
ser positiva.) Em termos de coordenadas esfe´ricas, temos
dV (r, \u3b8, \u3d5) = r2 sen \u3b8 dr d\u3b8 d\u3d5. (112)
Obs.: Nas fo´rmulas para a integral de superf´\u131cie e de volume aparece o volume do paralelep´\u131pedo
fundamental
v = det
(
\u22021r, \u22022r, \u22023r
)
.
Observe que, pelo Teorema 1.10, isto pode ser escrito como
v = det(G)
1
2 ,
onde G e´ a matriz com entradas \u2202r\u2202ui · \u2202r\u2202uj . Se as coordenadas forem ortogonais, temos v = h1h2h3.
7 Operadores Diferenciais.
7.1 A Derivada Direcional.
Seja f : D \u2192 R uma func¸a\u2dco e A : D \u2192 V um campo vetorial, com derivadas parciais cont´\u131nuas.
A derivada direcional de f em p na direc¸a\u2dco v \u2208 V , em s´\u131mbolos (Dvf)(p), e´ definida por
(
Dvf
)
(p) :=
d
dt
f(p+ tv)
\u2223\u2223
t=0
. (113)
(Significado f´\u131sico: Taxa de variac¸a\u2dco de f na direc¸a\u2dco v; por unidade de comprimento se v e´
unita´rio.) Similarmente, a derivada direcional (ou derivada covariante) de A em p na direc¸a\u2dco
v \u2208 V , em s´\u131mbolos (DvA)(p), e´ definida por
(
DvA
)
(p) :=
d
dt
A(p+ tv)
\u2223\u2223
t=0
. (114)
Ana´lise Vetorial, 13/07/2010 21
Proposic¸a\u2dco 7.1 i) As derivadas direcionais
(
Dvf
)
(p) e
(
DvA
)
(p) sa\u2dco lineares em v.
ii) Em termos de coordenadas, vale
(
Dvf
)
(p) =
n\u2211
i=1
vi(p)
\u2202f
\u2202ui
(p) e
(
DvA
)
(p) =
n\u2211
i=1
vi(p)
\u2202A
\u2202ui
(p). (115)
iii) Se r(t) e´ qualquer curva com r(0) = p e r\u2d9(0) = v, enta\u2dco podemos substituir p+ tv por r(t) na
definic¸a\u2dco (113) e (114), i.e.
(Dvf)(p) =
d
dt
f(r(t))
\u2223\u2223
t=0
. (116)
Aqu´\u131, vi sa\u2dco as componentes (covariantes) de v \u2208 V com respeito a um sistema de coordenadas
{u1, . . . , un}, i.e. v =\u2211ni=1 vi(p) \u2202r\u2202ui (p).
Demonstrac¸a\u2dco. Aplicando a regra de cade´ia da´
d
dt
f(r(t))
\u2223\u2223
t=0
=
n\u2211
i=1
u\u2d9i(0)
\u2202f
\u2202ui
(r(0)).
O lado direito obviamente depende da curva r(t) so´ atravez r(0) e r\u2d9(0), enta\u2dco ddt f(r(t))
\u2223\u2223
t=0
=
d
dt f(p + tv)
\u2223\u2223
t=0
se a curva r(t) satisfaz a hipo´tese de iii). Isto mostra iii). Substituindo agora
u\u2d9i(0) por vi(p) conforme eq. (93) mostra Eq. (115). Aquela pro´pria equac¸a\u2dco mostra a linearidade
afirmado em i). Isto conclui a demonstrac¸a\u2dco. \ufffd
Nas equac¸o\u2dces da proposic¸a\u2dco, \u2202\u2202ui e´ a derivada parcial com respeito a` coordenada u
i, e.g.
\u2202A
\u2202ui
(p) =
d
dt
A
(
r(u1, . . . , ui + t, . . . , un)
)\u2223\u2223
t=0
,
onde u1, . . . , un sa\u2dco as coordenadas do ponto p. A proposic¸a\u2dco afirma em particular que vale
(
D \u2202r
\u2202ui
f
)
(p) =
\u2202f
\u2202ui
(p), e
(
D \u2202r
\u2202ui
A
)
(p) =
\u2202A
\u2202ui
(p). (117)
7.2 O Gradiente.
Lembramos que a derivada direcional
(
Dvf
)
(p) e´ linear em v. Enta\u2dco o Lema 1.7 afirma que ela
tem a forma de um produto escalar com v:
Definic¸a\u2dco 5 Seja f uma func¸a\u2dco. O gradiente de f no ponto p, em s´\u131mbolos ( grad f)(p), e´ o u´nico
vetor t.q. para todos v \u2208 V vale
v · ( grad f)(p) = (Dvf)(p). (118)
\ufffd
Os componenetes do gradiente podem ser calculados pela Eq. (36):
Lema 7.2 Seja {u1, . . . , un} um sistema de coordenadas ortogonais. Enta\u2dco o gradiente de uma
func¸a\u2dco f e´ dado por13
grad f =
n\u2211
i=1
1
h2i
\u2202f
\u2202ui
\u2202r
\u2202ui
=
n\u2211
i=1
1
hi
\u2202f
\u2202ui
ei. (119)
Demonstrac¸a\u2dco. Verificamos:
v ·
\u2211
i
1
hi
\u2202f
\u2202ui
ei =
\u2211
i
1
hi
\u2202f
\u2202ui
v · ei =
\u2211
i
1
hi
\u2202f
\u2202ui
hi v
i =
\u2211
i
vi
\u2202f
\u2202ui
= Dvf.
Na segunda equac¸a\u2dco usamos v ·ei = vi\u2202ir ·ei = vihi. (Os outros termos sa\u2dco nulos pois \u2202jr ·ei = 0
se j 6= i.) \ufffd
13Na\u2dco escrevemos explicitamente a depende\u2c6ncia do ponto p.
22 Ana´lise Vetorial, 13/07/2010
Explicitamente, temos em coordenadas Cartesianas, cil´\u131ndricas e esfe´ricas, respectivamente:
grad f = (\u2202xf) ex + (\u2202yf) ey + (\u2202zf) ez, coord. Cartesianas
= (\u2202%f) e% +
1
%
(\u2202\u3d5f) e\u3d5 + (\u2202zf) ez, coord. cil´\u131ndricas
= (\u2202rf) er +
1
r
(\u2202\u3b8f) e\u3b8 +
1
r sen \u3b8
(\u2202\u3d5f) e\u3d5, coord. esfe´ricas.
Definic¸a\u2dco 6 Um campo vetorial A chama-se conservativo se a integral de linha de A sobre uma
curva depende somente dos pontos iniciais e finais da curva. \ufffd
E´ facil mostrar que um campo vetorial e´ conservativo se e so´ se a integral de linha sobre qualquer
curva fechada e´ nula.
Proposic¸a\u2dco 7.3 Um campo vetorial A e´ conservativo se e so´ se ele possui um potencial, i.e. existe
um campo escalar \u3c6 t.q. A = grad\u3c6.
Demonstrac¸a\u2dco. Se A = grad\u3c6, enta\u2dco a integral de A ao longo de uma curva parametrizada
C : t 7\u2192 r(t), t \u2208 [a, b] e´ dada por\u222b
C
grad\u3c6 · dl =
\u222b b
a
grad\u3c6 · r\u2d9(t) dt =
\u222b b
a
d
dt
\u3c6(r(t)) dt = \u3c6(r(b))\u2212 \u3c6(r(a)),
independente da curva. (Na segunda equac¸a\u2dco usamos a definic¸a\u2dco (118) do gradiente e a Eq. (116).)
Inversamente, se a integral de curva de A e´ independente da curva, escolhemos um ponto fixo r0
e definimos
\u3c6(r) :=
\u222b r
r0
A · dl,
ao longo de qualquer curva de r0 ate´ r. Para uma curva parametrizada C : t 7\u2192 r(t), t \u2208 [a, b],
com r(a) = r0 temos enta\u2dco
\u3c6(r(t)) =
\u222b t
a
A(r(t\u2032)) · r\u2d9(t\u2032) dt\u2032,
que implica A(r(t)) · r\u2d9(t) = ddt\u3c6(r(t)) \u2261 grad\u3c6 · r\u2d9(t). Como isto vale para todas curvas e conse-
quentemente para todos r\u2d9(t), isto implica grad\u3c6 = A. \ufffd
7.3 A Diverge\u2c6ncia e o Teorema de Gauss.
A diverge\u2c6ncia de um campo vetorial A e´ a densidade de fontes de A, i.e., o fluxo de A atrave´s
uma superf´\u131cie fechada, pela unidade de volume. Vamos fazer isso preciso. Dada uma regia\u2dco G,
consideramos a integral de superf´\u131cie
\u222e
\u2202G
A · d\u3c3, onde \u2202G e´ orientado com vetor normal para
fora. Geometricamente, isto e´ o fluxo neto de A saindo de G, e descreve fontes de A na regia\u2dco G.
Dividindo pelo volume de G, e fazendo o volume cada vez menor, da´ uma medida para a densidade
de fontes de A, ou seja, a diverge\u2c6ncia de A, em s´\u131mbolos divA. Mais precisamente, definimos
divA(p) := lim
\u3b5\u21920
1
Vol(G\u3b5)
\u222e
\u2202G\u3b5
A · d\u3c3. (120)
Aqu´\u131, G\u3b5, \u3b5 > 0, e´ uma fam\u131´lia de regio\u2dces tal que cada G\u3b5 conte´m o ponto p e tem dia\u2c6metro
14 \u3b5,
em particular G\u3b5 contrai para o ponto p se \u3b5\u2192 0. Observe que o volume de G\u3b5 cai para zero como
\u3b53, enquanto que o fluxo em geral so´ cai como \u3b52. Apesar disso, esperamos que o limite existe.
A raza\u2dco atraz disso e´ que a grandeza µ(G) :=
\u222e
\u2202G
A · d\u3c3 (o fluxo atrave´z do contorno de uma
dada regia\u2dco G) e´ uma grandeza aditiva, e tal grandeza sempre possui uma densidade, definida por
µ(G)/ Vol(G) no limite de pequeno volume.15
Vamos agora calcular a diverge\u2c6ncia em termos de um sistema de coordenadas {u1, . . . , un}.
(Como divA depende linearmente e apenas localmente deA, a diverge\u2c6ncia deveria ser um operador
diferencial. Isto realmente e´ o caso:)
14O dia\u2c6metro de um conjunto G e´ a maior dista\u2c6ncia entre dois pontos em G.
15E´ interessante que estas considerac¸o\u2dces, em termos matema´ticos rigorosos, implicam o Teorema de Gauss junto
com a propria definic¸a\u2dco da diverge\u2c6ncia ao mesmo tempo. O argumento funciona como segue. A aditividade implica
que µ(G) =
\u222e
\u2202GA · d\u3c3 define um medida. (Ela e´ definida primeiro so´ para regio\u2dces G com contorno suave, mas
Ana´lise Vetorial, 13/07/2010 23
Proposic¸a\u2dco 7.4 A diverge\u2c6ncia de um campo vetorial A e´ dada por
divA =
1
v
n\u2211
i=1
\u2202i(vA
i), onde v := det(\u22021r, . . . , \u2202nr). (122)
Aqui, Ai sa\u2dco as componentes (contravariantes) deA com respeito a`s coordenadas ui como definidas
na Eq. (88),
A(p) =
n\u2211
i=1
Ai(p)
\u2202r
\u2202ui
(p),
e \u2202i(·) significa \u2202\u2202ui (·). (Exerc´\u131cio: Verifique que o lado direito e´ independente do sistema de
coordenadas, ou seja, que a diverge\u2c6ncia e´ um escalar.) Explicitamente, temos em coordenadas
Cartesianas, cil´\u131ndricas e esfe´ricas, respectivamente:
divA =