cálculo vetorial e tensores
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cálculo vetorial e tensores


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\u2202xA
x + \u2202yA
y + \u2202zA
z, coord. Cartesianas
=
1
%
\u2202%(%A
%) + \u2202\u3d5A
\u3d5 + \u2202zA
z, coord. cil´\u131ndricas
=
1
r2
\u2202r(r
2Ar) +
1
sen \u3b8
\u2202\u3b8( sen (\u3b8)A
\u3b8) + \u2202\u3d5A
\u3d5, coord. esfe´ricas.
Demonstrac¸a\u2dco. (Em dimensa\u2dco tre\u2c6s.) Sem perder generalidade podemos supor que o ponto p tem
coordenadas (u1, u2, u3) = (0, 0, 0). Seja G\u3b5 um pequeno \u201ccubo\u201d centrado em p cujas arestas
coincedem com as linhas de coordenadas ui \u2208 [\u2212\u3b5/2, \u3b5/2], ver Fig. 2:
G\u3b5 := {r(u1, u2, u3)| ui \u2208 [\u2212\u3b5
2
,
\u3b5
2
] }.
Como r(\u3b5/2, u2, u3) \u2212 r(\u2212\u3b5/2, u2, u3) = \u3b5\u2202ir(p) + O(\u3b52), o paralelep´\u131pedo gerado por
u1 = 0
u1 = \u3b5/2u1 = \u2212\u3b5/2
u2 = 0
u2 = \u3b5/2
u2 = \u2212\u3b5/2
\u3b5\u22021r
\u3b5\u22022r
G\u3b5
Figura 2: A face S+3 da regia\u2dco G\u3b5. (Todos pontos te\u2c6m coordenada u
3 = \u3b5/2.)
\u3b5\u22021r, \u3b5\u22022r, \u3b5\u22023r e´ uma versa\u2dco linearizada de G\u3b5, e o volume dele coincede com o volume de G\u3b5
mo´dulo termos da ordem \u3b54. Por isso,
Vol(G\u3b5) = \u3b5
3v +O(\u3b54). (123)
pode ser extendida unicamente para todos conjuntos Borel, pois aqueles sa\u2dco gerados, por exemplo, pelos cubos.)
Observe-se que Vol(G) = 0 implica µ(G) = 0. O matema´tico fala neste caso que dµ e´ absolutamente cont´\u131nua com
respeito a` nossa medida dV . Nesta situac¸a\u2dco, o teorema de Radon-Nikodym [8] affirma que existe uma densidade, a
saber uma func¸a\u2dco \u3c1 tal que para cada regia\u2dco G vale µ(G) =
\u222b
G \u3c1 dV , ou seja,\u222e
\u2202G
A · d\u3c3 =
\u222b
G
\u3c1 dV. (121)
Tal densidade \u3c1 e´ u´nica. Agora a diverge\u2c6ncia de A e definida justamente por divA := \u3c1, ou seja, divA e´ a u´nica
func¸a\u2dco caracterizada pela equac¸a\u2dco acima. Enta\u2dco a eq. (121) e´ o famoso teorema de Gauss, e pode ser considerada
como definic¸a\u2dco da diverge\u2c6ncia ao mesmo tempo. Deve ser mencionado que um jeito de construir a densidade \u3c1, alias
divA, e´ justamente atravez da nossa definic¸a\u2dco (120), ver [9].
24 Ana´lise Vetorial, 13/07/2010
O contorno de G\u3b5 consiste de 6 faces S
±
i , i = 1, 2, 3, onde S
\u2212
i e S
+
i sa\u2dco faces opostas: Por exemplo
S±3 = {r(u1, u2,±
\u3b5
2
)| u1, u2 \u2208 [\u2212\u3b5
2
,
\u3b5
2
] }.
A a´rea de S±3 e´ aproximadamente (i.e., mo\u2c6dulo termos da ordem \u3b5
3) igual a` a´rea do paralelogramo
gerado por \u3b5\u22021r e \u3b5\u22022r no ponto (0, 0,±\u3b5/2), respetivamente, ver Fig. 2. Como o vetor normal de
\u2202G\u3b5 aponta para fora, o vetor normal n
±
3 de S
±
i tem a mesma direc¸a\u2dco e sentido como ±(\u22021r×\u22022r).
Por isso, S±3 tem como vetor superf´\u131cie, no ponto (0, 0,±\u3b5),
S±3 = ±\u3b52 (\u22021r × \u22022r)
mo\u2c6dulo termos da ordem \u3b53, respectivamente. Com estas informac¸o\u2dces, o fluxo de A atravez S±3 e´
aproximadamente (mo\u2c6dulo termos da ordem \u3b53) dada por\u222b
S±
3
A · d\u3c3 \u2248 (A · S±3 )(0, 0,±\u3b5/2) \u2248 ±\u3b52
(
A · (\u22021r × \u22022r)
)
(0, 0,±\u3b5/2)
= ±\u3b52 (A3v)(0, 0,±\u3b5/2).
onde temos usado a Eq. (105). O fluxo de A atrave´s de S\u22123 \u222a S+3 e´ enta\u2dco\u222b
S\u2212
3
\u222aS+
3
A · d\u3c3 \u2261
\u222b
S+
3
A · d\u3c3 +
\u222b
S\u2212
3
A · d\u3c3 \u2248 \u3b52 ((A3v)(0, 0, \u3b5/2)\u2212 (A3v)(0, 0,\u2212\u3b5/2))
\u2248 \u3b53 \u22023(A3v)(p)
mo\u2c6dulo termos da ordem \u3b54, pois (A3v)(0, 0,±\u3b5/2)\u2212 (A3v)(0, 0,±\u3b5/2) = \u3b5\u22023(A3v)(0, 0, 0)+O(\u3b52).
O fluxo de A atrave´s de S\u22121 \u222a S+1 e S\u22122 \u222a S+2 e´ dado por termos similares (com \u20193\u2019 substituido por
\u20191\u2019 ou \u20192\u2019, respetivamente). Isto da´\u222e
\u2202G\u3b5
A · d\u3c3 = \u3b53(\u22021(A1v) + \u22022(A2v) + \u22023(A3v))+O(\u3b54)
= Vol(G\u3b5)
1
v
(
\u22021(A
1v) + \u22022(A
2v) + \u22023(A
3v)
)
+O(\u3b54), (124)
pois o volume de G\u3b5 e´ igual \u3b5
3v +O(\u3b54). Isto mostra a Proposic¸a\u2dco. \ufffd
Teorema 7.5 (Gauss) Seja G uma regia\u2dco cujo contorno \u2202G e´ uma superf´\u131cie fechada, e seja A
um campo vetorial com derivadas parciais cont´\u131nuas. Enta\u2dco vale\u222e
\u2202G
A · d\u3c3 =
\u222b
G
divA dV, (125)
onde \u2202G e´ orientada t.q. o seu vetor normal aponta para fora de G.
(Vamos mostrar este teorema num sistema de coordenadas. Mas note que uma func¸a\u2dco divA que
satisfaz Eq. (125) e´ u´nica. Enta\u2dco, a fortiori, este teorema implica que divA e´ independente do
sistema de coordenadas, ou seja, e´ um campo escalar.)
Demonstrac¸a\u2dco. Dividimos a regia\u2dco G em N3 pequenas parcelas G\u3b5,\u3bd com dia´metro \u3b5; \u3bd = 1, . . . , N
3
onde N ' \u3b5\u22121. (N\u3b5 e´ o dia´metro de G.) Para cada G\u3b5,\u3bd vale pela propria definic¸a\u2dco (120) do
divergente \u222e
\u2202G\u3b5,\u3bd
A · d\u3c3 = Vol(G\u3b5,\u3bd) divA(p\u3bd) +O(\u3b54),
onde p\u3bd e´ um ponto em G\u3b5,\u3bd . (Ver tambe´m Eq. (124) encima.) Mas o fluxo atrave´s \u2202G e´ a soma
dos fluxos atrave´s \u2202G\u3b5,\u3bd , pois a divisa entre parcelas vizinhantes G\u3b5,\u3bd , G\u3b5,µ e´ sendo percorrida duas
vezes, com sentidos opostos, tal que os termos correspondentes se cancelam. (Isto e´ a aditividade
mencionada apo´s Eq. (120).) Enta\u2dco, temos
\u222e
\u2202G
A · d\u3c3 =
N3\u2211
\u3bd=1
\u222e
\u2202G\u3b5,\u3bd
A · d\u3c3 =
N3\u2211
\u3bd=1
divA(p\u3bd) Vol(G\u3bd,\u3b5) +
N3\u2211
\u3bd=1
O(\u3b54).
Ana´lise Vetorial, 13/07/2010 25
Isto vale tambe´m no limite \u3b5\u2192 0. Naquele limite, o lado direito e´ justamente a integral de divA
atrave´s da regia\u2dco G, concluindo a prova. \ufffd
O Teorema de Gauss tem um simples Corola´rio:
Corola´rio 7.6 i) Seja B um campo vetorial definido num dom\u131´nio D \u2282 E. Se\u222e
S
B · d\u3c3 = 0 (126)
para todas superf´\u131cies fechadas S \u2282 D, enta\u2dco divB = 0.
ii) O inverso vale se D satisfaz a seguinte propriedade topolo´gica: Cada superf´\u131cie fechada S \u2282 D
e´ o contorno de uma regia\u2dco G \u2282 D.
Demonstrac¸a\u2dco. A Eq. (126) implica pelo Teorema de Gauss que para qualquer regia\u2dco G \u2282 D, a
integral de volume de divB sobre G e´ zero. Isto implica que divB = 0. Inversamente, dada
uma superf´\u131cie S \u2282 D, pegamos uma regia\u2dco G \u2282 D t.q. S = \u2202G (tal G existe por hipo´tese.) Pelo
teorema de Gauss, a integral de B sobre S coincide com a integral de volume de divB sobre G e
e´ zero se divB e´ zero. \ufffd
O item ii) do Corola´rio 7.6 realmente na\u2dco vale sem a condic¸a\u2dco topolo´gica sobre D, como mostra o
seguinte contra-exemplo.
Exemplo 7.7 Seja D = R3 \u2212 {0}, e A(r) := r/r3. O divergente de A em D e´ zero, mas o fluxo
atrave´s qualquer superf´\u131cie fechada que conte´m a origem no interior e´ igual 4pi. \ufffd
Demonstrac¸a\u2dco. Em coordenadas esfe´ricas, temos A = r\u22122\u2202rr, enta\u2dco a componente Ar e´ dada por
Ar(r, \u3b8, \u3c6) = r\u22122, e
divA =
1
r2 sen \u3b8
\u2202r(r
2 sen \u3b8r\u22122) = 0
em D. Para calcular o fluxo, usamos num primeiro passo uma esfe´ra SR centrada na origem de
raio R. Calcula-se pela fo´rmula (107)\u222e
SR
A · d\u3c3 = R2
\u222b 2pi
0
\u222b pi
0
Ar(R, \u3b8, \u3c6) sen \u3b8 d\u3b8 d\u3c6 = 4pi.
Num segundo passo, seja G arbitra´rio. Com certeza G conte´m uma esfera SR (para R suficiente-
mente pequeno). Chamamos a regia\u2dco entre SR e G de G\u2c6. O contorno de G\u2c6 consiste de \u2202G e de
SR. Em \u2202G os vetores normais respetivas coincedem, porem em SR eles te\u2c6m sentidos opostos. Por
isso, \u222e
\u2202G
A · d\u3c3 \u2212
\u222e
SR
A · d\u3c3 =
\u222e
\u2202G\u2c6
A · d\u3c3 =
\u222b
G\u2c6
divA dV = 0,
pois G\u2c6 e´ contido no dom\u131´nio D, onde divA e´ zero. A equac¸a\u2dco acima significa que o fluxo atravez
\u2202G coincede com o fluxo atravez SR, a saber com 4pi. \ufffd
7.4 O Rotacional e o Teorema de Stokes.
O rotacional de um campo vetorial A e´ uma medida da circuitac¸a\u2dco de A. A circuitac¸a\u2dco de A sobre
um eixo n (um vetor normal) atrave´s uma curva C fechada, perfurada pelo eixo Rn, e´ a integral\u222e
C
A · d\u3c3. Dividindo pela \u201ca´rea envolvida por C\u201d, e fazendo o limite onde C contrai a um ponto,
resulta na densidade de circuitac¸a\u2dco. Mais precisamente, definimos: A densidade de circuitac¸a\u2dco de
A sobre um eixo n num ponto p \u2208 E, em s´\u131mbolos R(n), e´ dada por
R(n) := lim
\u3b5\u21920
1
|S\u3b5|
\u222e
\u2202S\u3b5
A · dl. (127)
Aqu´\u131, S\u3b5, \u3b5 > 0, e´ uma fam\u131´lia de superf´\u131cies tal que cada S\u3b5 conte´m o ponto p, tem vetor normal
em p igual n, e tem dia\u2c6metro14 \u3b5, e |S\u3b5| e´ a a´rea de S\u3b5. (A integrac¸a\u2dco ao longo de \u2202S\u3b5 deve
26 Ana´lise Vetorial, 13/07/2010
ser tomada no sentido que obedece a \u201cregra da ma\u2dco direita\u201d com respeito a n.) Veremos logo
(Lema 7.8) que a densidade de circuitac¸a\u2dco R(n) e´ da forma R(n) = R · n para um certo (u´nico)
vetor R. Este vetor chamamos o rotacional de A no ponto p, em s´\u131mbolos ( rotA)(p). Com isso,
o rotacional rotA e´ caracterizado por
( rotA)(p) · n = lim
\u3b5\u21920
1
|S\u3b5|
\ufffd\ufffd\ufffd
\u2202S\u3b5
A · dl, (128)
onde