A5 GPI Probabilidade e Estatística Aplicada Prof. Nelson

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Probabilidade e 
Estatística Aplicada
Aula 5
Prof. Nelson Pereira Castanheira
Tema 1: Distribuição 
Binomial de Probabilidades 
Recordando fatorial
3! = 3 . 2 . 1 = 6
5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
0! = 1 (por definição)
 Recordando combinação
5!
3! . (5 – 3)!
120 = 10
6 . 2
C5, 3 = 
C5, 3 = 
 Uma Distribuição de 
Probabilidades é um modelo 
matemático para a distribuição 
real de frequências
 Tratando-se de distribuição 
de Probabilidade, a variável 
X é dita variável aleatória
 A Distribuição Binomial é 
uma distribuição discreta de 
probabilidade aplicável sempre 
que o processo de Amostragem 
é do tipo de Bernoulli, ou seja:
a) em cada tentativa existem 
dois resultados possíveis 
e mutuamente exclusivos, 
denominados de sucesso 
e fracasso
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b) as séries de tentativas 
ou observações são 
eventos independentes
c) a probabilidade de 
sucesso, indicada por “p”, 
permanece constante de 
tentativa para tentativa 
(processo estacionário)
Distribuição Binomial
P(X) = CN,X . p X . q N-X = 
N ! . p X . q N-X
X ! (N – X) !
=
Importante:
 p = probabilidade de sucesso
 q = probabilidade de fracasso
 p + q = 1
 Experimento: jogar um 
dado cinco vezes
P (três 6 em cinco lances) = ?
p = 1/6 ; q = 5/6
N = 5 (nº de tentativas)
X = 3 (nº de sucessos)
P(X=3) = C5,3 . p 3 . q 5-3 = 
5 ! . (1/6) 3 . (5/6) 5-3
3 ! (5 – 3) !
1 . 25
216 36
P(X=3) = 0,0321 ou 3,21%
=
P(X=3) = 10. 
Parâmetros da Distribuição 
Binomial
 Média: X = N . p
 Variância: S2 = N . p . q
 Desvio padrão: S = S2
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Tema 2: 
Distribuição de Poisson
 A Distribuição de Poisson 
é usada quando os 
eventos ocorrem em 
um continuum de tempo 
ou espaço. Os eventos 
são independentes e o 
processo é estacionário
Distribuição de Poisson
X . e 
X!
 Obs.:  = nº médio de 
sucessos (é sempre um 
valor conhecido)
P(X  ) = 
 Um departamento de conserto 
de máquinas recebe uma 
média de cinco chamadas 
por hora. Qual a probabilidade 
de que, em uma hora 
selecionada aleatoriamente, 
sejam recebidas exatamente 
três chamadas? 
53 . e5 
3!
125 . 0,00674
6
= 0,1404 ou 14,04%
= =
P(X= 3 = 5) = Parâmetros da Distribuição 
de Poisson
 Média:  = N . p
 Variância: S2 = N . p . q
 Desvio padrão: S = S2
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Tema 3: Distribuição 
Normal de Probabilidades
 A Distribuição Normal é 
contínua e simétrica em 
relação à média. A curva 
que representa a distribuição 
normal é mesocúrtica e 
frequentemente descrita 
como curva em forma de 
sino, sendo também conhecida 
como Curva de Gauss
Distribuição Normal
 Uma variável aleatória 
discreta e contínua, pode 
assumir qualquer valor 
fracionário dentro de um 
intervalo definido de valores
Curva da Distribuição 
Normal de Probabilidades
f(X)
X
Z
 Qualquer conjunto de valores 
X normalmente distribuídos 
pode ser convertido em 
valores normais padronizados 
z pelo uso da fórmula:
z = X  
S
Z 0,00 0,01 0,02 0,03
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910
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Distribuição Normal
 A vida média de um tipo de 
lâmpada segue uma distribuição 
normal, com média  = 2.000 
horas e desvio padrão S = 200 
horas. Qual a probabilidade de 
uma lâmpada escolhida ao acaso 
durar entre 2000 e 2400 horas?
1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600 X
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3 Z
f(X)
P (2000 a 2400 horas) = ?
X   2.400  2.000 
S 200
z = + 2
P(0  z  +2,0) = 0,4772
P(2.000  X  2.400) = 0,4772 
ou 47,72 %
=z = 
O que isso significa? 
 Significa que a área limitada 
pela curva e pelo eixo 
horizontal X, para valores 
de z variando de 0 até +2, 
corresponde a 47,72% 
da área total sob a curva
Outro exemplo
 Os pesos dos alunos de 
determinada escola têm uma 
distribuição normal com média 
de 50 kg e desvio padrão de 
5 kg. Qual a porcentagem de 
alunos dessa escola com peso 
entre 48 kg e 58 kg?
35 40 45 50 55 60 65 X
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3 Z
f(X)
6
Para X = 48, temos:
X   48 – 50 
S 5
Para X = 58, temos:
X   58 – 50
S 5
=z = 
z = = = – 0,4
+ 1,6=
f(X) 48
58
X35 40 45 50 55 60 65 
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3 Z
 Estamos interessados em 
saber o percentual abaixo da 
curva entre os valores de:
z =  0,4 e z = + 1,6
P( 0,4  z  0) = 0,1554
P(48  X  50) = 0,1554 ou 15,54%
P(0  z  +1,6) = 0,4452
P(50  X  68) = 0,4452 ou 44,52%
P(48  X  68) = 0,1554 + 0,4452 
= 0,6006 ou 60,06% dos alunos
Referências de Apoio
 CASTANHEIRA, Nelson 
Pereira. Estatística aplicada 
a todos os níveis. 5. ed. 
Curitiba: Intersaberes, 2010.
 BUSSAB, Wilton de O.; 
MORETTIN, Pedro A. 
Estatística básica. 5. ed. 
São Paulo: Saraiva, 2002.