Fundamentos de Fisica I
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Fundamentos de Fisica I


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cada vez menores, fazendo tem­se que:
 (6.5)
Se em tivermos 
116
FUNDAMENTOS DE FÍSICA I
Conhecendo então a função que descreve a velocidade , a posição inicial 
 e o instante de tempo inicial , podemos dizer qual é a posição de um 
corpo em qualquer instante de tempo t.
Portanto as equações 6.4 e 6.5 têm validade geral e podem ser utilizadas quando 
forem conhecidas as funções que descrevem a aceleração ou a velocidade em função 
do tempo.
As equações que foram desenvolvidas para os casos em que a aceleração era constante 
são casos particulares e podem ser obtidas diretamente da equação 6.4.
Quando a aceleração a é constante, da equação 6.4 obtém­se que:
e então:
Substituindo então em 6.5 e resolvendo a integral, obtém­se que:
Exemplo 6.2
Um corpo se move em uma trajetória retilínea. No instante de tempo , 
sua velocidade é nula e ele está na posição . Sua aceleração é dada pela 
equação:
a) Determine sua velocidade e sua posição no instante de tempo 
b) Faça os gráficos de , e 
c) Determine sua velocidade máxima.
Solução
a) Como você pode observar, a aceleração não é constante. Então você deve 
usar as equações 6.4 e 6.5 para obter a velocidade e a posição desse corpo. Seja 
 e , de modo que . A velocidade pode 
ser obtida integrando a aceleração em relação ao tempo:
117
AULA 6
para , temos:
A posição é obtida pela integração da velocidade em relação ao tempo, conhecida a 
posição inicial:
para , temos:
b) Os gráficos de aceleração, velocidade e posição em função do tempo podem ser 
vistos na Figura 6.6.
Gráfico a-t
ac
el
er
aç
ão
 (m
/s
2 )
tempo (s)
Gráfico v-t
ve
lo
ci
da
de
 (m
/s
)
tempo (s)
Gráfico x-t
po
si
çã
o 
(m
)
tempo (s)
0 5 10 15 20 25
-3,5
-3,0
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
0 5 10 15 20 25
-50
-40
-30
-20
-10
0
0 5 10 15 20 25
-500
-400
-300
-200
-100
0
Figura 6.6 \u2013 Gráficos de aceleração, velocidade e posição em função do tempo.
118
FUNDAMENTOS DE FÍSICA I
c) Observando o gráfico de velocidade por tempo, você verá que há um máximo 
quando a derivada da função )(tv for nula. Então, deve fazer:
Mas:
Logo,
Isso significa que no instante de tempo a velocidade foi máxima. Como:
calculando no instante de tempo 
A velocidade máxima desse corpo foi de 2,1 m/s.
ATIVIDADE 6.2
Uma locomotiva inicia seu movimento ao longo de uma linha férrea, sendo sua 
aceleração dada pela equação:
em que . A sua velocidade é de 6,0 m/s e sua posição x = 8,0 m no 
instante de tempo t = 2,0 s.
a) Faça os gráficos de aceleração, velocidade e posição em função do tempo 
para o movimento da locomotiva.
b) Calcule a velocidade da locomotiva no instante de tempo t = 3,0 s.
c) Determine a sua posição no instante de tempo t = 4,0 s.
119
AULA 6
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS
Atividade 6.1
O tempo de corrida do \u201ccorredor\u201d é simplesmente:
pois o tempo de ida é igual ao tempo de volta.
Para o remador, na ida, sua velocidade em um referencial na margem (referencial fixo 
em relação ao movimento do barco) é dada pela equação:
Então, na ida ele gasta um tempo 
Na volta, a velocidade da correnteza é contrária à velocidade do barco e então a velo­
cidade do remador em relação à margem na volta é:
Logo o tempo gasto na volta é:
O remador no percurso gasta um tempo:
120
FUNDAMENTOS DE FÍSICA I
Como o remador gasta um tempo maior para fazer o mesmo percurso que o corredor, 
pode­se concluir que o \u201ccorredor\u201d é o vencedor do desafio.
Atividade 6.2
a) Veja os gráficos de posição, velocidade e aceleração em função do tempo na Figura 
6.5.
b) A velocidade pode ser obtida integrando a função que descreve a aceleração em 
função do tempo:
A posição é obtida pela integração da velocidade:
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
Gráfico a-t
ac
el
er
aç
ão
 (m
/s
2 )
tempo (s)
40,0
35,0
30,0
25,0
20,0
15,0
10,0
5,0
0
Gráfico v-t
ve
lo
ci
da
de
 (m
)
tempo (s)
160,0
140,0
120,0
100,0
80,0
60,0
400,0
20,0
0
-20,0
Gráfico x-t
po
siç
ão
 (m
)
tempo (s) 
Figura 6.7 \u2013 Movimento dos atletas da atividade 6.1.
121
AULA 1AULA 6
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
E1. Osama está sentado na poltrona de um trem A, que viaja em um trecho retilíneo com 
velocidade constante de 50 km/h para a direita. A polícia foi informada e começa a perse­
guir o trem inicialmente com velocidade constante de 70 km/h. Osama corre então para 
a porta de emergência ao fundo do trem, com velocidade de 3,0 m/s para a esquerda.
a) Qual é a velocidade de Osama em relação à estação do trem?
b) Qual é a velocidade de Osama em relação à viatura policial?
c) Qual é a velocidade da viatura policial em relação ao trem? E a velocidade do trem 
em relação à viatura?
E2. Considere o exercício 6.1. No momento em que Osama está se aproximando da porta 
de emergência, com velocidade de 3,5 m/s, um trem B passa no sentido oposto ao trem 
A na linha férrea ao lado com velocidade de 60 km/h para a esquerda. A viatura policial 
está se aproximando do trem A com velocidade constante de 90 km/h.
a) Qual é a velocidade de um passageiro sentado no trem A em relação a um passa­
geiro sentado no trem B?
b) Qual é a velocidade de Osama em relação ao segundo trem B?
c) Qual é a velocidade da viatura em relação ao trem B?
E3. Em um filme de ação, um motoqueiro deve se deslocar em cima dos vagões de um 
metrô de 300 m de comprimento, dentro de um túnel retilíneo e sem saídas laterais, 
antes que este exploda. O metrô possui velocidade constante de 65 km/h, e o moto­
queiro só pode se mover na mesma direção e sentido do trem, com velocidade de 
86 km/h. O motoqueiro tem 1 minuto para se deslocar da extremidade traseira até a 
frente do metrô antes que ele exploda. Despreze o comprimento da moto.
a) Qual é a velocidade do motoqueiro em relação ao metrô?
b) O motoqueiro sobreviverá?
E4. Um trem possui um grande vagão aberto e está se deslocando para a direita com velo­
cidade de 45 km/h em relação ao solo. Um garoto se desloca sobre esse vagão aberto 
utilizando um skate. Qual é a velocidade do garoto em relação ao vagão se sua velocidade 
em relação ao solo for
a) nula?
b) 23 m/s para a direita?
c) 10 m/s para a esquerda?
E5. A aceleração de um caminhão é dada pela equação em que 
 e . O caminhão está na posição quando .
a) Determine sua posição e velocidade em função do tempo.
b) Determine sua velocidade máxima.
122
FUNDAMENTOS DE FÍSICA I
E6. Em um certo intervalo de tempo a aceleração de um carro esportivo é dada pela 
equação , em que e .
a) Calcule a velocidade nos instantes de tempo e . Calcule a 
velocidade média nesse intervalo de tempo.
b) Qual é a posição do carro nos instantes de tempo e ? Calcule 
o deslocamento nesse intervalo de tempo.
123
AULA 6
PROBLEMAS DA UNIDADE 2
P1. Em uma competição de corrida livre com percurso de 200 m um atleta percorre os 
primeiros 100 m com velocidade escalar média de 11,5 m/s. Qual deve ser a sua velocidade 
escalar média nos 100 m restantes se sua velocidade escalar média no percurso total de 
200 m for igual a:
a) 6,50 m/s?
b) 19,0 m/s? Você acha isso possível? Explique.
P2. Em certo momento o movimento de um corpo é observado e sua posição em função do 
tempo é dada pela equação , em que , 
e .
a) Determine a velocidade e a aceleração do corpo em função do tempo.
b) Para quais instantes de tempo o corpo está em repouso?
c) Faça os gráficos de posição, velocidade e aceleração em função do tempo.
P3. Uma viatura policial deseja ultrapassar uma moto que se desloca com velocidade cons­
tante de 75,0 km/h