Fundamentos de Fisica I
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Fundamentos de Fisica I


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uma vez que é ortogonal a 
esse vetor.
Você pode perceber que, se a componente ta for nula, o vetor velocidade possui 
módulo constante, mudando apenas sua direção. Veja a Figura 8.2b. Em uma situação 
em que a componente ca é nula, o vetor velocidade não muda sua direção (apenas seu 
módulo) e o movimento ocorre em uma dimensão. 
Exemplo 8.1
O vetor posição de certa partícula que se move no espaço é dado por:
a) Determine a velocidade instantânea dessa partícula.
b) Calcule a aceleração média no intervalo de tempo entre t = 1,0s e t = 2,0s.
c) Calcule as componentes xa , ya e za da aceleração instantânea.
Solução
a) Seja , em que , e 
. Pela equação 7.8, temos que . Logo:
144
FUNDAMENTOS DE FÍSICA I
b) Para t = 1,0 s,
Para t = 2,0 s,
E então:
c) Inicialmente calculamos a aceleração instantânea:
que comparada à equação 8.4 permite concluir que:
ATIVIDADE 8.1
A posição de uma partícula que se move no espaço é dada pela equação:
em que 22,5 /A mm s= , 33,0 /B mm s= e 41,0 / .C mm s=
a) Determine o vetor velocidade dessa partícula.
b) Determine o vetor aceleração.
c) Obtenha o vetor velocidade média dessa partícula no intervalo de tempo 
entre t = 0 s e t = 2,0 s.
145
AULA 8
RESPOSTA COMENTADA DA ATIVIDADE PROPOSTA
Atividade 8.1
a) Sabemos que:
Então:
( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 4 3\u2c6\u2c6 \u2c65,0 / 9,0 / 4,0 / .v t i mm s t j mm s t k mm s t= + \u2212\uf072
b) A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a derivada segunda 
da posição em relação ao tempo:
c) As posições da partícula nesses instantes de tempo são:
O deslocamento é então:
Logo podemos obter a velocidade média:
146
FUNDAMENTOS DE FÍSICA I
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
E1. Uma motocicleta está transitando pela cidade e em sua velocidade possui 
componentes e . No instante de tempo sua ve­
locidade possui componentes e .
a) Calcule as componentes da aceleração média.
b) Determine o vetor aceleração.
c) Faça um esboço das velocidades nos instantes de tempo e . Qual é a diferença 
entre esses dois vetores?
E2. Um táxi faz uma corrida pelo centro da cidade e em sua velocidade possui 
componentes e . No intervalo de tempo entre e 
2 17t min= sua aceleração possui módulo igual a e faz um ângulo de 45º 
com o eixo Ox.
a) Determine os módulos das componentes e da velocidade do táxi em .
b) Escreva o vetor velocidade do táxi em .
c) Faça um esboço das velocidades nos instantes de tempo e . Qual é a diferença 
entre esses dois vetores?
E3. As coordenadas de um avião a jato variam no tempo de acordo com as equações:
,
em que , e .
a) Faça um esboço da trajetória do avião entre e .
b) Encontre uma expressão para a velocidade v e aceleração a para todo tempo t.
c) Faça um esboço mostrando o vetor velocidade e o vetor aceleração do avião no instan­
te de tempo t = 10 s.
E4. Um ciclista faz um percurso de A para C, como indicado na Figura 8.3. Desenhe o vetor 
aceleração e suas componentes vetoriais nos pontos A, B e C indicados na Figura 8.3, 
quando:
a) o vetor velocidade possui módulo constante.
b) o módulo do vetor velocidade diminui de A para C.
c) o módulo do vetor velocidade aumenta de A para C.
147
AULA 8
Observação: em nenhum dos pontos assinalados na Figura 8.3 a velocidade do ciclista 
é nula.
C
B
A
Figura 8.3 \u2013 Percurso do ciclista do exercício 8.4.
E5. Um abutre está voando em círculos. No instante de tempo t = 0 sua velocidade possui 
componentes e . No instante de tempo t = 3,0 s sua veloci­
dade possui componentes e .
a) Faça um desenho esquemático mostrando parte da trajetória do abutre e o vetor ve­
locidade com suas componentes para os instantes de tempo t = 0 s e t = 3,0 s.
b) Determine as componentes do vetor aceleração média nesse intervalo de tempo.
Desafio: Obtenha então o vetor aceleração em termos dos vetores i\u2c6 e j\u2c6 .
AULA 9
Movimento circular e 
movimento de projéteis
Objetivos
\u2022 Descrever o movimento de uma partícula ao longo de uma trajetória circular;
\u2022 Aplicar as equações desenvolvidas para o movimento unidimensional para o caso de movimento 
de projéteis pelo princípio da independência de movimentos .
9.1 MOVIMENTO CIRCULAR
9.1.1 Aceleração tangencial e aceleração centrípeta
Quando um corpo descreve um movimento curvilíneo, existe uma aceleração dirigida 
para a parte de dentro da curva, denominada aceleração centrípeta ca
\uf072
(o termo 
\u201ccentrípeta\u201d se refere ao que aponta para o centro). Lembre­se de que em cada ponto 
da curva o vetor aceleração média ma
\uf072
 possui a mesma direção e sentido do vetor v\uf072\u2206 .
Considere o movimento de uma partícula, uma pedra presa a um barbante, por 
exemplo, girando em torno de um ponto fixo à medida que move ao longo de uma 
circunferência de raio R, conforme mostra a Figura 9.1.
R
v\uf072
v\uf072 R
v\uf072
v\uf072
v\uf072
v = 0\uf072
R
v\uf072
v\uf072
ca
\uf072
(a) (b) (c)
Figura 9.1 \u2013 (a) Partícula em movimento circular; (b) aceleração tangencial nula; (c) aceleração tangencial não nula. Em 
todos os casos existe aceleração centrípeta, porque, mesmo quando a velocidade tangencial é constante em módulo, sua 
direção varia.
150
FUNDAMENTOS DE FÍSICA I
Quando a componente tangencial da aceleração for nula, a partícula descreve um 
movimento circular uniforme (MCU), em que o módulo do vetor velocidade não 
varia e, portanto, o módulo de sua velocidade é constante (Figura 9.1b).
Se a componente tangencial não for nula, como podemos ver na Figura 9.1c, além 
de variar sua direção, o módulo do vetor velocidade também varia, fazendo com que 
o módulo da velocidade não seja constante. Nesse caso a partícula descreve um 
movimento circular não uniforme.
Em ambos os casos existe aceleração centrípeta, pois, mesmo quando a velocidade 
tangencial é constante em módulo, sua direção varia. 
Para ambos os movimentos, pode­se mostrar que o módulo da componente se 
relaciona com o módulo da velocidade v e com o raio da trajetória R pela equação:
 (9.1)
A demonstração completa será deixada para mais adiante, quando discutirmos a 
rotação em maiores detalhes. 
Atente para o fato de que se o movimento for uniforme, ou seja, quando o 
módulo da velocidade v for constante, o módulo da aceleração centrípeta ac 
também será constante. Já no movimento circular não uniforme, em que 
o módulo da velocidade varia no tempo, a aceleração centrípeta ainda será 
dada pela equação 9.1, mas ac não será mais constante.
9.1.2 Período e frequência no movimento circular uniforme
O tempo necessário para que a partícula efetue uma volta completa ao longo de todo o 
perímetro da circunferência com velocidade v constante é chamado de período 
T do movimento. Desse modo:
 (9.2)
No caso do movimento circular, o corpo realiza um número de voltas completas por 
unidade de tempo. Em uma volta completa a partícula descreve 360º da circunfe­
rência que correspondem a radianos em um intervalo de tempo T; definimos sua 
frequência angular como:
 (9.3) 
Assim, se a partícula efetua três voltas a cada segundo, a sua frequência angular é 
igual a três voltas por segundo ou . Note que se ela realiza três voltas 
a cada segundo, ela gasta para efetuar uma volta. Ou seja, ela tem um período 
Para indicar quantas vezes o movimento é repetido por unidade de tempo, define­se 
também a frequência f do movimento, tal que:
 (9.4)
151
AULA 9
Ou seja, período e frequência são grandezas inversamente proporcionais.
A unidade de frequência f é o 1\u2212s ou Hz (Hertz).
9.1.3 Velocidade angular média e velocidade angular instantânea
Observe a Figura 9.2, que mostra uma partícula se movendo ao 
longo de uma circunferência de raio R. No instante de tempo 1t 
a partícula está no ponto P1. O segmento OP1, que une o centro da 
circunferência à partícula no instante