Fundamentos de Fisica I
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Fundamentos de Fisica I


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de tempo 1,t faz um ângulo 
1\u3b8 com o eixo OX. Em um instante de tempo 2t posterior, a partí­
cula está no ponto P2 e o segmento OP2 faz um ângulo 2\u3b8 com o 
eixo OX.
A velocidade angular média m\u3c9 é definida como a razão entre 
o deslocamento angular 12 \u3b8\u3b8\u3b8 \u2212=\u2206 e o intervalo de tempo 
12 ttt \u2212=\u2206 decorrido:
 (9.5)
Por exemplo: se a partícula está no ponto P1 no instante de tempo st 0,11 = , em 
 que 1 20º 0,34 rad\u3b8 = = , e em um instante de tempo st 0,22 = ela está no ponto P2, 
sendo 1 50º 0,87 rad\u3b8 = = . Sua velocidade angular média foi então:
Isso significa que a cada segundo a partícula descreve 0,53 rad (isto é, 30º) da circun­
ferência.
A velocidade angular instantânea é o limite da velocidade angular média m\u3c9 
quando o intervalo de tempo t\u2206 tende a zero, ou seja:
 (9.6) 
Em uma volta completa a partícula descreve 360º da circunferência que correspondem 
a radianos em um tempo T. Logo, para uma volta completa a velocidade angular 
é dada por:
Do mesmo modo, a velocidade v, para uma volta completa é dada pela equação 9.2. 
Portanto, das equações 9.2 e 9.6, podemos obter uma relação entre a velocidade 
linear e a velocidade angular:
 (9.7)
R
y
x
P2
P1
Figura 9.2 \u2013 Partícula se moven­
do ao longo de uma circunferência 
de raio R. Observe o deslocamento 
angular 12 \u3b8\u3b8\u3b8 \u2212=\u2206 no intervalo 
12 ttt \u2212=\u2206 .
152
FUNDAMENTOS DE FÍSICA I
Se você colocar uma roda de bicicleta para girar com módulo da velocidade cons­
tante, poderá verificar que todos os pontos giram com a mesma velocidade angular. 
Qualquer ponto descreve o mesmo ângulo em certo intervalo de tempo. Os pontos 
mais distantes do eixo, no entanto, possuem velocidade escalar maior, pois têm raios 
maiores em relação ao eixo. Eles percorrem uma distância maior para o mesmo inter­
valo de tempo que os pontos mais próximos do eixo.
9.1.4 Relação entre aceleração centrípeta e velocidade angular
Também é possível expressar a componente da aceleração centrípeta em função da 
velocidade angular, do raio R e do período T, combinando as equações 9.1, 9.2 e 9.7. 
Elevando ao quadrado a equação 9.2, obtemos:
.2 2
2
2 R
T
v \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
=
pi
Substituindo na equação 9.1, temos que:
R
T
aR
TR
a cc
2
2
2 221 \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
=\u21d2\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
=
pipi
 .4 2
2
R
T
ac
pi
= (9.8) 
E da equação 9.8:
.2
2
R
T
ac \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
=
pi
Obtemos a relação entre a componente da aceleração centrípeta e a velocidade angular:
 .2Rac \u3c9= (9.9)
Exemplo 9.1
Uma pessoa gira em uma roda­gigante de raio 10R m= que possui velocidade de 
módulo constante igual a 4,5 /v m s= .
a) Determine a aceleração da pessoa que está na roda­gigante.
b) Calcule o tempo necessário para que a pessoa realize uma volta completa na 
roda­gigante.
153
AULA 9
Solução
a) A pessoa que está na roda­gigante executa um movimento circular uniforme, 
pois sua velocidade possui módulo constante. Isso significa que a aceleração 
muda apenas a direção da velocidade e aponta a trajetória para o centro, 
sendo seu módulo ca dado pela equação 9.8:
A aceleração centrípeta possui módulo e aponta para o centro da 
roda­gigante em qualquer ponto ao longo da trajetória descrita pelo movimento da 
pessoa que está na roda.
Atenção: o item a pede a aceleração e por isso devemos especificar tanto o seu módulo 
( ) quanto sua direção e sentido (para o centro da roda­gigante), 
pois a aceleração é uma grandeza vetorial.
b) O tempo de uma revolução completa é o período T do movimento. Pela 
equação 9.2, podemos ver que:
ATIVIDADE 9.1
Considere que a Terra faça seu movimento de rotação em exatamente 24 horas. O 
raio da Terra é igual a 6,38×106m. Um CD de raio 6,0 cm faz um giro em torno do 
eixo que passa pelo seu centro em 0,5 s.
a) Determine as frequências dos movimentos do CD e da Terra.
b) Qual é a razão entre as velocidades angulares do CD e da Terra?
c) Qual é a componente radial ca da aceleração no equador? 
d) Qual é a razão entre essa componente e a aceleração da gravidade g ? Qual 
é maior? Quantas vezes?
154
FUNDAMENTOS DE FÍSICA I
ATIVIDADE 9.2
Uma barra com 0,90 m de comprimento gira com movimento 
uniforme em torno do eixo que passa pelo ponto O, conforme 
indica a Figura 9.3. O ponto A está no ponto médio da barra que 
efetua uma volta completa a cada 1,8 s.
a) Obtenha as velocidades angulares dos pontos A e B.
b) Determine o módulo do vetor velocidade média 
dos pontos A e B quando a barra executa uma volta 
completa.
c) Calcule a velocidade escalar média dos pontos A e B.
ATIVIDADE 9.3
Dois discos estão fixos por um eixo que gira uniformemente, 
como mostra a Figura 9.4. Se a relação entre seus raios é 
BA RR 3= , determine a razão entre:
a) as velocidades angulares dos dois discos.
b) as velocidades escalares médias dos pontos na borda 
de cada um dos discos.
c) as acelerações dos pontos nas bordas de cada um dos 
discos.
ATIVIDADE 9.4
A Figura 9.5 mostra de forma esquemática duas catracas de uma 
bicicleta de raios 1 15,0R cm= e 2 8,00R cm= ligadas por uma 
correia.
a) Determine a velocidade angular 1\u3c9 do ponto P1 
em função da velocidade angular 2\u3c9 do ponto P2. 
Quantas vezes 1\u3c9 é maior (ou menor) que 2\u3c9 ?
b) Quando a catraca maior girar com uma frequência de 
65 rpm (rotações por minuto) qual será a frequência 
da catraca menor?
0
B
A
Figura 9.3 \u2013 Barra girando em torno 
do eixo que passa pelo ponto O.
RA RB
A
B
Figura 9.4 \u2013 Discos fixos por um eixo 
que gira uniformemente.
R2
R1
P2
v2
P1
v1
Figura 9.5 \u2013 Duas catracas de raios R1 
e R2 da bicicleta da atividade 9.4.
155
AULA 9
9.2 MOVIMENTO DE PROJÉTEIS
Um corpo lançado de qualquer ponto da Terra sobre a influência da resistência do ar é 
um projétil. O movimento das fagulhas de fogos de artifício, o de uma bola de futebol 
e o da bala de canhão são bons exemplos de movimentos de projéteis que ocorrem em 
duas dimensões.
Quando um corpo é lançado com um ângulo \u3b8 em relação à horizontal e certa veloci­
dade inicial 0v
\uf072
, ele descreve uma trajetória parabólica, como ilustra a Figura 9.6.
yv = o
\uf072
0xv =
\uf072
a\uf072
R
h
y
x0 a\uf072
a\uf072
a\uf072
a\uf072
yv
\uf072
yv
\uf072
yv
\uf072
xv
\uf072
xv
\uf072
xv
\uf072
xv
\uf072
xv
\uf072
xv
\uf072
yv =
\uf072
0y-v
\uf072
Figura 9.6 \u2013 Um projétil é lançado de um ângulo \u3b8 com velocidade inicial 0v
\uf072
. A trajetória descrita pelo seu movimento é 
uma parábola.
Na análise do movimento de projéteis, as componentes da posição, da velocidade e da 
aceleração do projétil em cada eixo são determinadas separadamente (eixos X e Y da 
Figura 9.6).
Você pode observar que não existe aceleração na direção horizontal (eixo X). Assim, 
as equações para essa direção são as de um movimento em linha reta com velocidade 
constante. Considerando então o movimento ao longo do eixo OX, temos que:
 tvxx x00 += (9.10)
 xx vv 0= (9.11)
 .0=xa (9.12)
Na vertical (eixo Y) a aceleração é a da gravidade g\uf072 , dirigida de cima para baixo, e é 
uma boa aproximação considerá­la com módulo constante 29,8 /g m s= nas proxi­
midades da Terra. Sendo assim, as equações para essa direção são as de um movi­
mento retilíneo com aceleração constante, ou seja, 
 200 )(2
1 tgtvyy y \u2212+= 
(9.13)
 
(9.14)
 .gax \u2212= (9.15)
Observe atentamente, usando a Figura 9.6, que:
 e 
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FUNDAMENTOS DE FÍSICA I
Desse modo, podemos expressar os módulos das componentes da posição e veloci­
dade do projétil em função dos módulos das componentes da velocidade inicial e do 
ângulo \u3b8 , tal que:
 (9.16)
 (9.17)
 
(9.18)
 
(9.19)
Se você determinar a equação da trajetória do corpo, pode se convencer de que ela é 
uma parábola. Para simplificar os cálculos, considere a origem do sistema de coorde­