Fundamentos de Fisica I
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Fundamentos de Fisica I


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 (17.6)
A equivalência entre massa e energia, expressa pela famosa expressão , 
é uma das grandes descobertas do século XX. Ela está na base da explicação de um 
grande número de fenômenos atômicos e nucleares, como, por exemplo, as bombas 
atômicas, a geração de energia pelas estrelas, a radioatividade etc.
RESPOSTA COMENTADA DA ATIVIDADE PROPOSTA
Atividade 17.3 \u2013 Cálculo do trabalho total 
O trabalho realizado pelo peso P é igual a zero porque sua direção é perpendicular ao 
deslocamento. O ângulo entre a força gravitacional e o deslocamento é igual a 90°, e 
.
Pela mesma razão, o trabalho realizado pela força normal N é igual a zero. Logo, 
.
O trabalho WF realizado pelo homem é:
A força de atrito possui sentido contrário ao do deslocamento de modo . O 
trabalho do atrito será:
.
O trabalho total sobre o trenó é a soma algébrica dos trabalhos calculados até aqui:
Utilizando o método vetorial, haveria força resultante somente na direção x, uma vez 
que só há movimento nesta direção:
Aplicando esse valor na equação 17.2, temos que:
mesmo resultado que foi encontrado utilizando­se o outro método.
252
FUNDAMENTOS DE FÍSICA I
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
E1. Para empurrar um baú de 27 kg para cima, ao longo de um plano inclinado de 25°, um 
trabalhador exerce uma força de 120 N, paralela ao plano. Depois que o baú desliza 3,6 m, 
que trabalho foi realizado sobre o baú
a) pelo trabalhador?
b) pela força da gravidade?
c) pela força normal ao plano?
E2. Um cabo de aço é usado para baixar verticalmente um bloco de massa M através de uma 
distância d, com uma aceleração constante para baixo de g/4.
a) Encontre o trabalho realizado pelo cabo no bloco.
b) Encontre o trabalho realizado pela força da gravidade.
E3. Um esquiador aquático é puxado por um barco a motor por meio de um cabo de reboque. 
Ele esquia lateralmente, de modo que o cabo faz um ângulo de 13° com a direção do mo­
vimento, e em seguida continua em linha reta. A tensão no cabo é igual a 175 N. Qual é o 
trabalho realizado sobre o esquiador durante um deslocamento de 300 m?
AULA 18
Trabalho, energia cinética e 
trabalho de forças variáveis
Objetivos
\u2022 Relacionar o conceito de trabalho com o de energia cinética de um corpo;
\u2022 Aplicar o conceito de trabalho em situações em que a força é variável .
18.1 TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA
Quando um corpo se move sob a ação de uma força resultante não perpendicular à 
direção de seu movimento, podem ser destacados dois fenômenos: sua velocidade 
varia (primeira e segunda leis de Newton) e é realizado um trabalho sobre esse corpo. 
Será possível concluir que existe uma relação entre o trabalho realizado por essa força 
resultante e a variação de velocidade do corpo?
Vamos fazer um pouco de álgebra com as equações básicas do movimento uniforme­
mente acelerado. Em módulo podemos escrever que:
 força resultante;
 trabalho total (considerando a soma das forças na direção do desloca­
mento);
 equação de Torricelli (considerando a soma das forças na direção 
do deslocamento).
Substituindo a equação da força e de Torricelli na equação do trabalho e após um 
pouco de álgebra, temos:
 (18.1)
254
FUNDAMENTOS DE FÍSICA I
O termo é denominado energia cinética do corpo. Ao longo deste livro 
usaremos os termos cE ou K (do grego kinetos, que significa \u201cem movi-
mento\u201d) para a energia cinética.
A equação 18.1 mostra que o trabalho total realizado sobre o corpo TW é dado 
por:
 (18.1)
sendo e as energias cinéticas inicial e final do corpo, respectivamente. A 
equação 18.2 é conhecida como teorema do trabalho-energia. Ela confirma as 
seguintes observações:
\u2022 quando TW é positivo, a velocidade do corpo aumenta, ou seja, ele 
ganha energia cinética;
\u2022 quando TW é negativo, a velocidade do corpo diminui, ou seja, ele 
perde energia cinética; 
\u2022 finalmente, se TW é nulo, a velocidade é constante e não há ganho nem 
perda de energia cinética pelo corpo. 
ATIVIDADE 18.1 \u2013 DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA DO TRABALHO-ENERGIA
Substitua a equação da força e de Torricelli na equação do trabalho e demonstre o 
teorema do trabalho­energia. (Você não irá encontrar resposta comentada para esta 
atividade.)
18.2 TRABALHO E ENERGIA NO CASO DE FORÇAS VARIÁVEIS
Quando uma força variável com a posição do corpo atua 
sobre ele, temos que generalizar a definição de trabalho 
dada pela equação 17.1.
Inicialmente, considere um movimento retilíneo sob a 
ação de uma força F
\uf072
 variável em módulo, que possui 
uma componente de módulo xF , que varia com x para­
lela ao deslocamento. Suponha uma partícula movendo­
­se ao longo do eixo Ox de um ponto x1 a um ponto x2. 
A Figura 18.1 mostra um gráfico do componente xF da 
força em função da coordenada x da partícula. 
Se o deslocamento total for dividido em pequenos 
intervalos, nos quais a força pode ser considerada cons­
tante, podemos aplicar a definição de trabalho. Assim, 
na Figura 18.1, o deslocamento total foi dividido em 
pequenos intervalos de tamanho \u394x, de modo que o 
Fx
x
x2 \u2013 x1
\u2206xO
Fx
\uf072
Figura 18.1 \u2013 Gráfico da componente xF da força em 
função da coordenada x da partícula.
255
AULA 18
trabalho realizado pela força média no deslocamento \u394x seja aproximadamente o seu 
produto escalar pelo deslocamento \u394x.
Como o trabalho é uma grandeza escalar, basta somarmos o resultado desse produto 
para cada intervalo. Esse procedimento nada mais é do que a definição de integral.
O trabalho realizado pela força nesse deslocamento é dado então por:
 (18.3)
ATIVIDADE 18.2
Mostre que a equação 18.3, na verdade, é outra forma do teorema do trabalho­
­energia cinética.
ATIVIDADE 18.3
Calcule o trabalho realizado sobre um corpo que repousa sobre uma superfície 
horizontal pela força, também horizontal, xxxF 25)( 3 \u2212= . O corpo se desloca da 
posição 0x m= até 1x m= .
18.2.1 Deformação de molas
Devemos aplicar uma força de módulo F em cada uma das extremidades de uma 
mola para esticá­la além de sua posição de equilíbrio 0x . Quando o alongamento x 
provocado na mola for pequeno, pela lei de Hooke, o módulo de F será proporcional 
ao deslocamento x , tal que:
Substituindo F na equação 18.3, temos que:
Esse resultado também pode ser obtido graficamente. 
Analisando a Figura 18.2, vemos que a área do triângulo 
sombreado é: , ou seja, , que é o trabalho reali­
zado pela força de 0 a x. 
F
x
kx
xO
Figura 18.2 \u2013 Gráfico da força restauradora da 
mola em função da deformação.
256
FUNDAMENTOS DE FÍSICA I
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS
Atividade 18.2
 
, 
que é a relação 
Atividade 18.3
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AULA 18
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
E1. Um trenó com massa igual a 9,00 kg se move em linha reta sobre uma superfície horizon­
tal sem atrito. Em um ponto de sua trajetória, sua velocidade possui módulo igual a 4,00 
m/s; depois de percorrer mais 2,40 m além desse ponto, sua velocidade possui módulo 
igual a 6,00 m/s. Calcule a força que atua sobre o trenó, supondo que essa força seja cons­
tante e que ela atue no sentido do movimento do trenó.
E2. Uma bola de futebol de massa igual a 0,410 kg possui velocidade inicial de 2,00 m/s. Um 
jogador de futebol dá um chute na bola, exercendo uma força constante de módulo igual 
a 45,0 N na mesma direção e no mesmo sentido do movimento da bola. Até que distância 
seu pé deve penetrar na bola para que a velocidade da bola aumente para 6,00 m/s?
E3. Um jogador arremessa uma bola de beisebol de massa 250 g com velocidade inicial de 35,0 
m/s. Exatamente antes de o jogador da base pegá­la no mesmo nível, a sua velocidade é 
reduzida para 33,5 m/s. Quanta energia foi perdida devido à resistência do ar?
E4. Um melão de 300 g é abandonado (sem velocidade inicial) da