Fundamentos de Fisica I
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Fundamentos de Fisica I


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assim, o conceito de trabalho 
perde a utilidade. Então, porque introduzimos esse conceito na Física? 
A resposta é que, felizmente, as forças mais importantes existentes 
na Natureza possuem uma característica especial que torna o uso do 
teorema do trabalho­energia muito útil. Para conhecer essa característica 
estudaremos algumas situações em que se calcula o trabalho realizado por 
essas forças.
AULA 20
Forças conservativas e não conservativas
Objetivos
\u2022 Definir forças conservativas e dissipativas;
\u2022 Conhecer as propriedades dessas forças .
20.1 UTILIDADE DO TEOREMA DO TRABALHO-ENERGIA
O teorema do trabalho­energia, 
,
discutido nas aulas anteriores, permite que calculemos a velocidade de uma partícula 
de massa m em um ponto B do espaço, quando conhecemos a sua velocidade em um 
outro ponto A e o trabalho realizado pelas forças que nela atuam durante o seu deslo­
camento de A até B. Esse trabalho é dado por:
 
, (20.1)
em que representa a soma das forças que atuam na partícula. Os limites da integral 
representam a posição da partícula no início e no fim do seu deslocamento.
Quando uma partícula se move em uma dimensão, o vetor tem sempre a mesma 
direção, que é a da reta descrita pela partícula. Para calcular o trabalho realizado por 
uma força , basta então conhecer o ângulo entre e em cada ponto da traje­
tória da partícula. 
Em duas ou três dimensões, o problema fica mais difícil porque, em geral, o vetor 
tem direção e sentido variáveis. Além disso, a trajetória da partícula é uma curva, e 
como é sempre tangente à curva em cada ponto dela, temos também que conhecer 
a curva descrita pela partícula para calcular o trabalho.
Essas considerações sugerem que nem sempre é possível ou viável calcular o trabalho reali­
zado sobre uma partícula num dado deslocamento, e, assim, o conceito de trabalho perde a 
utilidade. As forças mais importantes existentes na Natureza possuem uma característica 
especial que torna o uso do teorema do trabalho­energia muito útil.
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FUNDAMENTOS DE FÍSICA I
20.2 FORÇAS CONSERVATIVAS
Considere inicialmente um caso simples: uma partícula (por 
exemplo uma bola) de massa m é lançada verticalmente para 
cima. Calcule o trabalho realizado pela força da gravidade (peso 
da partícula) no deslocamento dela de um ponto A a outro B, 
situado a uma distância h de A (Figura 20.1).
Da figura temos que: 
a) o peso da partícula é constante em módulo, tem direção vertical 
e está sempre com sentido para baixo;
b) a partícula se move de A para B verticalmente e no sentido de baixo 
para cima, o vetor em qualquer ponto da trajetória está dirigido 
de baixo para cima, então, o ângulo entre o vetor peso e o vetor 
deslocamento é constante e igual a .
Escolhendo um sistema de coordenadas com origem O no solo 
e eixo O x vertical e positivo para cima, as coordenadas de A e B 
são, respectivamente ax e bx . Então:
Calcule agora o trabalho da força peso da partícula que se move 
verticalmente para baixo, no deslocamento de um ponto B para 
outro A, situado a uma distância h de B. Nesse caso (Figura 20.2), 
será utilizado o mesmo sistema de coordenadas adotado acima.
Assim o vetor está sempre dirigido verticalmente para baixo, 
assim como o peso; o ângulo entre esses vetores agora é zero. 
Como aponta no sentido negativo de Ox, devemos levar isso 
em conta escrevendo . Temos, então:
Se compararmos os resultados, veremos que:
E, então:
.
A equação acima nos mostra que: o trabalho realizado pela força da gravidade em 
um deslocamento de um ponto A para outro ponto B é igual e de sinal contrário 
ao trabalho que ela realiza no deslocamento do ponto B para o ponto A. 
Outra maneira de dizermos isso é: o trabalho realizado pela força da gravidade 
em uma trajetória fechada (aquela em que o ponto de partida é o mesmo que 
o de chegada) é nulo. Uma força que tem essa característica é chamada de força 
conservativa.
xb
B
x
ds
mg
A
O
h
xa
Figura 20.1 \u2013 Vetores gmF \uf072
\uf072
= e de 
uma partícula em movimento vertical 
para cima.
xb
B
x
ds
mg
A
O
h
xa
Figura 20.2 \u2013 Vetores e de 
uma partícula em movimento vertical 
para baixo.
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AULA 20
Uma força conservativa tem outra propriedade que só fica evidente quando o movi­
mento da partícula sobre o qual ela atua ocorre no plano ou no espaço. Para poder 
determiná­la, considere o seguinte exemplo:
Exemplo 20.1
Calcule o trabalho realizado pela força da gravidade no deslocamento de uma partí­
cula de um ponto A a outro B ao longo da trajetória retilínea AB no plano vertical 
mostrado na Figura 20.3. A distância entre A e B é L; a altura de B em relação a A é h.
a f
q mg
\uf072
ds
\uf072
B
x
A
h
Figura 20.3 \u2013 Movimento de uma partícula ao longo de AB.
Nesse caso, a força da gravidade não é paralela ao deslocamento, fazendo um ângulo 
constante com ele. Como a trajetória é retilínea, podemos escolher a origem de 
coordenadas no ponto A e um eixo Ox ao longo da reta AB. Então e: 
Mas . Levando esse resultado na integral, 
obtemos que: 
Novamente, comparando esse resultado com os obtidos na discussão acima, 
podemos ver que os dois são iguais.
Isso significa que o trabalho exercido pela força da gravidade no deslocamento da 
partícula de A até B é o mesmo nas duas trajetórias, isto é, independe da trajetória do 
corpo ao ir de A para B.
ATIVIDADE 20.1
Cálculo do trabalho da força 
peso da partícula que se move 
ao longo da trajetória formada 
pelas retas e da Figura 
20.4.
C2
C1
ds
\uf072
ds
\uf072
B
A
D
h
mg
\uf072
mg
\uf072
Figura 20.4 \u2013 Trabalho realizado no deslocamento ao longo de e .
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FUNDAMENTOS DE FÍSICA I
O exemplo 20.1 e a atividade 20.1 ilustram a propriedade fundamental de uma força 
conservativa: se uma força é conservativa, o trabalho realizado por ela sobre 
uma partícula no deslocamento de um ponto A a um ponto B é independente 
da trajetória que a partícula descreve ao ir de A até B.
20.3 FORÇAS NÃO CONSERVATIVAS OU DISSIPATIVAS
Quando o trabalho que a força realiza depende da trajetória da partícula, essa força 
é denominada força não conservativa ou dissipativa. Um exemplo dela é a força 
de atrito. Calculemos o trabalho da força de atrito no deslocamento de uma partí­
cula sobre uma mesa horizontal ao longo das trajetórias AD e ABD da Figura 20.5. 
O módulo dessa força é constante e vale , pois a mesa é horizontal. A sua 
direção é a do movimento da partícula e seu sentido, oposto a ele.
Para a trajetória AD, integrando sobre a reta AD (tal como foi feito no exemplo 20.1), 
temos que: 
Ao longo de ABD podemos escrever: 
y
C2
C3
C1
xB
dsds
ds
ff
fA
D
c
a
b 
Figura 20.5 \u2013 Trabalho da força de atrito ao longo de AD e ABD.
Como cba +< , o trabalho (WAD) realizado pelo atrito no deslocamento da partícula 
de A até D depende da trajetória que a partícula tem ao se deslocar entre esses dois 
pontos. 
Portanto, podemos dizer que uma força é não conservativa quando o trabalho 
que ela realiza sobre uma partícula depende da trajetória que a partícula 
segue ao se deslocar entre um dado ponto A e um dado ponto B.
A questão importante no conceito de forças conservativas e dissipativas é que, 
para as forças conservativas, o trabalho realizado por elas sobre uma partí-
cula, no deslocamento de um ponto A para outro B do espaço, depende apenas 
da posição relativa de A e B; já o trabalho realizado pelas forças dissipativas, 
além de depender da posição relativa desses pontos, depende da trajetória 
percorrida pela partícula para ir de A até B.
A independência do trabalho com a trajetória é que dá substância e utilidade ao 
teorema do trabalho­energia cinética, pois, como o trabalho realizado no desloca­
mento entre dois pontos A e B depende apenas