FisicaBasicaVol I
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FisicaBasicaVol I


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sistema de referência qualquer. 
Curso de Física Básica \u2013 Volume I 58 
 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
Considere um avião (veja a Figura 33) que se move a certa altitude em relação ao solo. Este avião 
possui dois tipos de energia. Como ele está se movendo com certa velocidade, possui energia 
cinética. Além da energia cinética, o avião possui ainda energia potencial gravitacional, pois se 
encontra a certa altura do solo. Portanto, a energia total deste avião é dada por: 
Energia total = Energia cinética + Energia potencial gravitacional. 
Figura 33 - Um avião. 
Considere agora esta outra situação. Suponha que a mola mostrada na Figura 34 esteja fora da sua 
posição de equilíbrio e que esteja se movendo em uma dada direção. Neste caso, a mola possui 
tanto energia cinética, pois está se movendo, mas também energia potencial, que é elástica e não 
mais gravitacional37. 
Neste caso, a energia total será dada por: 
Energia total = Energia cinética + Energia potencial elástica. 
Deve sempre ser lembrado que o que se conserva é a energia total e não as formas individuais de 
energia. 
Figura 34 - Mola na posição x. 
 
37
 Observe que a energia gravitacional está presente, mas como o objeto preso à mola se desloca em um plano a uma altura 
constante do solo, essa energia é constante e, como veremos mais adiante, podemos tomar seu valor sobre a direção de 
deslocamento como sendo zero. 
v 
Curso de Física Básica \u2013 Volume I 59 
 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
O Princípio da Conservação da Energia é uma ferramenta extremamente poderosa e que nos 
permite calcular uma série de quantidades que não seriam facilmente calculadas de outro modo. 
Se os sistemas físicos são constituídos, basicamente, de matéria e energia, poderemos afirmar que 
nestes sistemas, quando isolados de interações com a vizinhança, a quantidade de matéria e 
energia se conservará. Assim, diremos que estes sistemas possuem simetria temporal com relação 
a quantidade de energia e matéria e, com base nessa simetria, poderemos fazer previsões de 
possíveis situações que o sistema poderá atingir ao longo do tempo. 
Exemplo 16 
Um sistema massa - mola é constituído de um objeto de massa m preso na extremidade de uma 
mola de massa desprezível (Figura 35). A outra extremidade da mola está presa no teto, o qual 
pode ser interpretado como parte do planeta Terra. Se, de alguma maneira, for cedida certa 
quantidade de energia a este sistema ele oscilará e, se nenhuma outra vizinhança interagir com o 
sistema, esta quantidade de energia será conservada no tempo. 
Durante as oscilações, uma parte desta energia estará armazenada na mola na forma de energia 
potencial elástica, Epe, a qual depende da deformação da mola; outra parte, Epg, também na forma 
de energia potencial, mas agora gravitacional, está armazenada nos componentes do objeto preso 
à mola e no planeta Terra. Essa parte da energia total depende da configuração espacial entre o 
objeto de massa m e o planeta Terra e varia no tempo à medida que o sistema oscila. O restante 
da energia está armazenada no objeto de massa m, na forma de energia de cinética de translação, 
Ec, e depende dos valores da massa e da velocidade do objeto. 
Figura 35 - Sistema objeto - mola \u2013 Terra. 
Desprezaremos aqui, a energia cinética armazenada no planeta Terra, pois esta possui uma inércia 
extremamente superior que a do objeto preso à mola e o planeta praticamente não se movimenta 
enquanto o objeto oscila. Consideraremos ainda, que o objeto preso à extremidade da mola não 
m 
Terra 
Curso de Física Básica \u2013 Volume I 60 
 
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possui movimento de rotação e também que o ar não oferece resistência ao movimento, ou seja, 
outras interações com a vizinhança são insignificantes. 
A energia total do sistema, E, é igual à soma de todas as energias, isto é: 
, = ,-. \ufffd ,-/ \ufffd ,0 \ufffdconservada no tempo\ufffd 
Como esta soma mantém-se constante no tempo, se conhecermos a quantidade E num dado 
instante bem como a soma de duas das três formas de energia presentes (por exemplo, Epe + Epg), 
poderemos determinar a quantidade da terceira, Ec. Esse conhecimento nos permitiria conhecer a 
velocidade do objeto preso à extremidade da mola neste instante. Isto somente é possível porque 
o sistema possui simetria temporal, ou seja, a energia total do sistema E é conservada no tempo. 
Cada uma das quantidades (Epe, Epg e Ec) poderá variar no tempo, acontecendo transformações de 
uma forma em outra. Por exemplo, quando Ec aumenta, a soma das outras duas deverá diminuir 
de maneira que a soma total permaneça constante no tempo. Se durante as oscilações interações 
externas ao sistema causarem perdas ou ganhos de quantidade desconhecidas ou não 
controláveis de energia, esta previsão não poderá ser realizada. 
Exemplo 7 - O Plano inclinado 
Um problema interessante e que pode ser resolvido facilmente usando o princípio da conservação 
da energia é o problema do plano inclinado (veja a Figura 36). 
O problema geral do plano inclinado é descobrir qual será a velocidade com a qual o bloco que 
desliza ao longo do plano inclinado vai chegar até a base do plano. 
Para solucionar esse problema devemos fazer duas hipóteses: 
\ufffd Hipótese 1: não temos atrito; 
\ufffd Hipótese 2: o bloco não rola. 
A primeira hipótese nos diz que não temos dissipação (perda) de energia no problema. Como 
conseqüência, podemos aplicar o princípio da conservação da energia de uma forma simples, 
escrevendo a energia total como sendo a soma das energias cinética e potencial. A segunda 
hipótese nos diz que, ao calcularmos a energia cinética, podemos nos preocupar apenas com a 
energia cinética de translação, sem precisar a energia cinética de rotação da massa que desce o 
plano. 
Dessa forma podemos escrever a energia total em qualquer ponto da trajetória como: 
\uf8f1
=\uf8f4
= + \u21d2\uf8f2
\uf8f4
=\uf8f3
= +
2
2
1
2
1
2
c
t c p
p
t
E mv
E E E
E mgh
E mv mgh
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Nessa expressão, h é a altura em relação à base do plano inclinado, v a velocidade do bloco, m a 
massa do bloco e g a aceleração da gravidade. Observe que essa expressão é válida para qualquer 
ponto da trajetória. 
A estratégia geral de solução é calcular a energia total no topo do plano inclinado, de onde o bloco 
começa a deslizar e na base do plano inclinado, onde ele para. A seguir devemos igualar essas 
duas quantidades, já que a energia se conserva. O que nos motiva a escolher essa estratégia é o 
fato de que no topo do plano inclinado temos quantidades que, em princípio conhecemos e na 
base a energia potencial pode ser tomada como zero, uma vez que a altura em relação ao solo é 
nula. 
Etapa 1 - Energia total no topo do plano inclinado 
No topo do plano inclinado, que chamaremos de posição 1, podemos escrever: 
2
1 1 1 1 1
1
2
t c p
E E E mv mgh= + = + 
Nessa expressão Et1, Ec1, e Ep1 são, respectivamente, a energia total, a energia cinética e a energia 
potencial no topo do plano inclinado, denotado pelo índice 1. 
Figura 36 \u2013 O plano inclinado. 
Etapa 2 \u2013 Energia total na base do plano inclinado 
Na base do plano inclinado, que chamaremos de posição 2, podemos escrever: 
2
2 2 2 2
1
0
2
t c p
E E E mv= + = + 
m 
h1 
Corpo inicialmente em repouso 
(posição 1). 
No final o corpo não tem energia potencial 
(posição 2). 
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