FisicaBasicaVol I
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FisicaBasicaVol I


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sistema fechado42 então o Princípio da Conservação do Momento Linear nos 
diz que: 
O momento linear total P do sistema permanece constante, ou 
seja, os momenta de partículas individuais podem variar, mas não 
a soma total que permanece constante. 
Vimos anteriormente, quando do nosso estudo das simetrias, que a toda conservação temos 
associada uma simetria. No caso do momento linear total de um sistema, qual será a simetria que 
temos associada? A resposta é a simetria frente a translações espaciais. Como já vimos 
anteriormente, esta simetria vem do fato de que, dadas as mesmas condições, todos os pontos do 
espaço são absolutamente equivalentes. 
 
41
 Letra sigma, maiúscula, do alfabeto grego. 
42
 Lembre que um sistema fechado é um sistema que não interage com a vizinhança,ou seja, está isolado da sua vizinhança. 
Curso de Física Básica \u2013 Volume I 66 
 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
Exemplo 17 
Como exemplo de aplicação da conservação do momento linear de um sistema de partículas, 
vamos considerar um problema bastante importante na Física: o problema da colisão elástica 
entre duas esferas. Esse problema além de ser intrinsecamente interessante, possui utilidade no 
campo da pesquisa experimental e teórica. O processo básico para descobrirmos qual é a 
estrutura da matéria consiste em jogarmos uma partícula em direção a um obstáculo (superfície, 
núcleo atômico, partículas cuja estrutura interna queremos estudar, etc.) e estudarmos o 
resultado do choque. A esse tipo de colisão chamamos de espalhamento. 
No nosso exemplo, vamos estudar o espalhamento de uma partícula que se desloca em linha reta 
por outra que está parada. O problema é ilustrado na Figura 37. 
 
Figura 37 - Colisão elástica. 
Nosso objetivo é calcular as velocidades das partículas após a colisão, indicadas por v1f e V2f na 
figura. O problema é simples: a partícula de massa M, com velocidade V2i (supostamente 
conhecida), colide com a partícula de massa m (inicialmente em repouso). Após o choque as duas 
partículas adquirem velocidades v1f e V2f, as quais são as quantidades que queremos conhecer. O 
problema é completamente unidimensional uma vez que o choque é frontal. 
Esse tipo de colisão é chamado de espalhamento elástico (ou choque elástico) porque fazemos a 
hipótese de que não temos perda de energia por deformação, calor, som ou qualquer outra 
forma. Nesse tipo de espalhamento, temos apenas a transferência de energia cinética entre as 
partículas que sofrem o espalhamento. Quando essa hipótese não pode ser feita temos um 
espalhamento inelástico (ou choque inelástico). 
Temos duas variáveis desconhecidas. Nossa estratégia de solução do problema é calcular o 
momento linear total antes do choque e o momento linear total após o choque e então usar a 
Situação antes do choque Situação depois do choque 
m, v1i = 0 M, V2i 
Posição do choque 
m, v1f 
M, V2f 
Posição do choque 
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conservação da energia para eliminar uma das variáveis desconhecidas do problema pelo método 
da substituição. 
Etapa 1 \u2013 Escrever o momento linear total antes da colisão 
O momento linear total antes do choque é simplesmente o momento da partícula de massa M, 
uma vez que a partícula de massa m está em repouso: 
Observe que na passagem da segunda para a terceira linha da equação anterior não temos mais as 
variáveis em negrito. Como o caso é unidimensional, a equação vetorial da linha 2 se reduz a uma 
equação escalar na linha 3. 
Vamos agora escrever o momento linear total após a colisão. Em princípio as velocidades das 
partículas podem ser quaisquer: 
Agora podemos igualar os valores do momento linear total antes e depois do choque: 
=
= +
\u2212 =
2 1 2
2 2 1
ti tf
i f f
i f f
P P
MV mv MV
MV MV mv
 
( )1 2 2f i fMv V V
m
= \u2212 
eq. 3 
Obtivemos assim uma expressão que relaciona a velocidade após o choque da partícula que estava 
inicialmente em repouso em função das massas das partículas (em princípio conhecidas), da 
velocidade inicial da partícula que bateu (V2i), supostamente também conhecida, e da velocidade 
final da partícula que bateu (V2f), a outra incógnita do nosso problema. Para que possamos 
escrever a eq. 3 em termos de quantidades completamente conhecidas vamos usar o princípio da 
conservação da energia. 
 
= +
= +
= + =
1 2
1 2
1 2 2
ti i i
ti i i
ti i i i
m M
P mv MV MV
P p p
P v V
= +
= +
= +
1 2
1 2
1 2
tf f f
tf f f
tf f f
m M
P mv MV
P p p
P v V
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Etapa 2 \u2013 Aplicação do princípio da conservação da energia 
A energia mecânica total se conserva nesse caso, já que estamos considerando um espalhamento 
de tipo elástico. Portanto, podemos escrever: 
Vamos isolar nessa equação a velocidade final da partícula que sofreu a colisão (v1f) em função das 
outras quantidades e então substituir na eq. 3: 
= +
= \u2212
\uf8ee \uf8f9= \u2212\uf8f0 \uf8fb
\uf8ee \uf8f9= \u2212\uf8f0 \uf8fb
2 2 2
2 1 2
2 2 2
1 2 2
2 2 2
1 2 2
2 2 2
1 2 2
1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 2 2
1 1
2 2
i f f
f i f
f i f
f i f
MV mv MV
mv MV MV
mv M V V
m
v V V
M
 
 
( )( )= + \u221221 2 2 2 2f i f i fMv V V V V
m
 eq. 4 
A eq. 4 relaciona a velocidade final da partícula que sofreu a colisão com grandezas conhecidas 
(V2i, m e M) e com a grandeza V2f. Vamos agora substituir o resultado mostrado na eq. 4 na eq. 3: 
\u2212
=
+2 2f i
M m
V V
M m
 
eq. 5 
 
Temos agora a expressão desejada para a velocidade da partícula que bateu escrita apenas em 
termos de variáveis conhecidas no problema: V2i, m e M. Podemos agora usar esse resultado para 
=
= +2 2 22 1 2
1 1 1
2 2 2
ci cf
i f f
E E
MV mv MV
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )
2
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
1 1
i f i f i f
i f i f i f
i f i f
f i
f i
m M
V V V V V V
M m
M
V V V V V V
m
M
V V V V
m
M M
V V
m m
m M M m
V V
m m
\uf8ee \uf8f9
+ \u2212 = \u2212\uf8ef \uf8fa
\uf8f0 \uf8fb
+ \u2212 = \u2212
+ = \u2212
\uf8eb \uf8f6 \uf8eb \uf8f6
+ = \u2212\uf8ec \uf8f7 \uf8ec \uf8f7
\uf8ed \uf8f8 \uf8ed \uf8f8
+ \u2212
=
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obter a velocidade da partícula que sofreu o choque. Substituindo a expressão da velocidade da 
partícula que bateu na eq. 4 obtemos finalmente a velocidade da segunda partícula: 
( )1 2 2
1 2 2
f i f
f i i
M
v V V
m
M M m
v V V
m M m
= \u2212
\u2212\uf8eb \uf8f6
= \u2212\uf8ec \uf8f7+\uf8ed \uf8f8
 
=
+1 2
2f i
M
v V
M m
 
eq. 6 
As eq. 5 e eq. 6 são as equações que procurávamos. Por inspeção, podemos ver que os resultados 
apresentam as dimensões corretas. 
Vamos agora analisar alguns casos limites. 
Limite 1 \u2013 As duas partículas têm a mesma massa M =m (problema do jogador de sinuca) 
Nessa situação podemos escrever: 
Vemos, então, que a partícula que bateu fica parada, enquanto a partícula que estava inicialmente 
parada passa a se movimentar com a mesma velocidade da que bateu. 
Limite 2 - A partícula incidente tem massa muito maior do que a partícula que sofre choque: 
M >> m (problema do projétil massivo) 
Como a massa do projétil incidente é muito maior que a massa do projétil que recebe o choque 
(partícula alvo), podemos desprezar a massa da partícula alvo (m) no denominador da eq. 5 e da 
eq. 6 e no numerador da equação eq. 6. Nesse caso temos que: 
= = = =
+ +
\u2212 \u2212
= = =
+ +
1 2 2 2 2
2