FisicaBasicaVol I
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FisicaBasicaVol I


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2
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f i i i i
f i i
M m m
v V V V V
M m m m m
M m m m
V V V
M m m m
1 2
1 2 2
1
2
f i
f i i
M M m
v V
m M m
M M m M m M m
v V V
m M m m M m
\u2212\uf8eb \uf8f6
= \u2212\uf8ec \uf8f7+\uf8ed \uf8f8
+ \u2212 +
= =
+ +
Curso de Física Básica \u2013 Volume I 70 
 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
Podemos concluir, então, que nessa situação o projétil incidente praticamente não muda a sua 
velocidade enquanto que o projétil que recebe o choque sai com velocidade aproximadamente o 
dobro da velocidade do projétil incidente. 
Limite 3 \u2013 A partícula incidente tem massa muito menor do que a da partícula alvo M<< m 
(problema do alvo massivo) 
Nessa situação, vamos desprezar a massa da partícula incidente (M) nas equações eq. 5 e eq. 6, 
obtendo: 
Vemos, então, que a partícula incidente simplesmente inverte o sentido da sua velocidade, 
enquanto a partícula alvo praticamente não se movimenta. 
O momento angular 
O momento angular, simbolizado pela letra L, é uma quantidade bastante semelhante ao 
momento linear (ou quantidade de movimento). Porém, enquanto esse diz respeito ao movimento 
de translação, o momento angular diz respeito ao movimento de rotação em torno de um eixo. 
 
Figura 38 \u2013 Visão geométrica do momento angular. 
= \u2245 =
+
\u2212
= \u2245
+
1 2 2 2
2 2 2
2 2 2f i i i
f i i
M M
v V V V
M m M
M m
V V V
M m
1 2 2
2 2 2 2
2 2 1f i i
f i i i
M M
v V V
M m m
M m m
V V V V
M m m
= \u2245 <<
+
\u2212
= \u2245 \u2212 = \u2212
+
r 
L 
p 
y 
z 
r 
x 
v 
m 
O 
(a) (b) 
Curso de Física Básica \u2013 Volume I 71 
 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
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Definimos o momento angular em função do momento linear de uma partícula que descreve um 
movimento em torno de um eixo. Veja a Figura 38.a. 
Nessa figura, mostramos uma partícula de massa m localizada pelo vetor r. Portanto, essa 
partícula possui momento linear dado por: 
m=p v 
Definimos o momento angular L da partícula em relação à origem como: 
×L r p= 
Do que vimos sobre o produto vetorial43 o vetor momento angular é perpendicular ao plano que 
contém os vetores r e p (Figura 38.b). 
O momento angular está associado a uma 
simetria, da mesma forma que as outras 
quantidades conservadas, no caso a 
simetria frente às rotações, ou seja, a 
propriedade do sistema permanecer 
inalterado frente à rotação em torno de um 
eixo. Um exemplo de aplicação deste tipo 
de conservação é encontrado no projeto de helicópteros. Você já se perguntou por que este tipo 
de veículo possui duas hélices ao invés de uma? Bem, a resposta se encontra na necessidade de 
conservar o momento angular. Observe que, ao girar uma das hélices, o helicóptero passa a ter 
certa quantidade de momento angular, pois agora os pontos da hélice giram em torno do seu eixo. 
Como o momento angular total era nulo antes de a hélice começar a girar, para manter o 
momento conservado o resto do helicóptero deveria girar no sentido oposto. Para evitar que isto 
ocorra é adicionada a segunda hélice que cria certa quantidade de momento na direção oposta de 
modo a compensar o momento introduzido pela primeira e, assim, estabilizar o aparelho. 
Como no caso do momento linear, o momento angular é uma grandeza vetorial, mas não nos 
preocuparemos com isso por enquanto. O que importa é que, do mesmo modo que o momento 
linear, o momento angular é conservado, ou seja, para que um corpo gire em um sentido é 
necessário que outro gire em outro sentido. 
 
43
 Ver Complementos de Matemática. 
 
Figura 39 \u2013 Um helicóptero. 
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Podemos então expressar um teorema para a conservação do momento angular como fizemos 
para o momento linear: 
O momento angular total de um sistema fechado de partículas é 
constante. 
A simetria associada nesse caso é a simetria frente às rotações. 
Exemplo 18 
A conservação do momento angular é utilizada em naves espaciais e satélites artificiais para fazer 
correções no direcionamento das baterias solares com relação à direção dos feixes de luz emitidos 
pelo Sol (veja a Figura 40). 
Figura 40 - Esquema do sistema de posicionamento da antena coletora em um satélite. 
Para mudar a direção dos painéis solares que estão fixos na parte externa da nave, grandes 
rotores fixos na carcaça da nave são acionados girando em um dado sentido. Para que o momento 
angular do sistema permaneça nulo, nesse momento a carcaça da nave começa girar em sentido 
contrário, indo até uma posição desejada para direcionamento dos painéis. Quando a posição 
desejada é atingida, o rotor central é freado e a carcaça, como todo o sistema, para de girar. 
Exemplo 19 
O momento linear (P) e a energia cinética de translação (Ec) estão relacionados ao movimento de 
translação e dependem da massa (inércia) e da velocidade v. Por outro lado, a quantidade de 
momento angular (L) e a energia cinética de rotação (Er) de um sistema dependem da velocidade 
angular (\u3c9\u3c9\u3c9\u3c9) em torno de um eixo e da forma como a massa do sistema está distribuída em torno 
do eixo, isto é cilíndrica, esférica ou alguma outra forma. 
Radiação solar 
Painel 
carcaça 
rotor 
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Um ventilador de teto que gira em torno de um eixo sem transladar possui apenas energia de 
rotação e momento angular enquanto uma hélice de um avião que voa possui energia de rotação 
e translação, momento linear e angular. A energia cinética de translação e o momento linear de 
um sistema dependem do referencial nos quais foram medidos 
Por outro lado, um ventilador de teto dentro de um trem em movimento possui apenas energia de 
rotação e momento angular para o passageiro, mas para um observador fora do trem possui 
energias de rotação e translação, momento linear e angular. 
Figura 41 - Diferentes tipos de movimento para o haltere. 
A Figura 41 mostra um altere que gira em torno de diferentes eixos. Nos casos a, b e c o haltere 
gira em torno de eixos fixos, com diferentes direções com relação ao eixo do haltere, mas com a 
mesma velocidade angular \u3c9. Nos três casos, o haltere possui apenas energia de rotação e 
momento angular. Observe que, no caso a, a massa do haltere está distribuída mais distante do 
eixo que nos casos b e c. Portanto, no caso a, o haltere possui maior energia de rotação e maior 
momento angular. A energia de rotação e o momento angular são maiores que no caso b, que por 
sua vez é maior que no caso c. 
d) 
\u3c9\u3c9\u3c9\u3c9 
e) 
\u3c9\u3c9\u3c9\u3c9 
\u3c9\u3c9\u3c9\u3c9 
a) 
\u3c9\u3c9\u3c9\u3c9 
c) 
\u3c9\u3c9\u3c9\u3c9 
b) 
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Já nos casos d e e, vemos dois halteres de massas diferentes, também girando com a mesma 
velocidade angular \u3c9\u3c9\u3c9\u3c9. Como no caso e, temos uma quantidade maior de massa girando e, 
portanto, este haltere possui maior momento angular e maior energia cinética de rotação. 
Outros tipos de conservações 
Além das conservações discutidas acima temos duas outras quantidades que são conservadas em 
processos físicos: a massa e a carga elétrica. Podemos expressar esses dois princípios da seguinte 
forma: 
1. Em todos os processos físicos, a massa total permanece constante. 
2. Em todos os processos físicos, a carga elétrica total permanece constante. 
Análise de equilíbrio e estabilidade 
Um tipo de gráfico bastante interessante e ilustrativo é mostrado na