FisicaBasicaVol I
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a 
cada parede e ao solo, como na Figura 49.d. Se medirmos os segmentos de reta desenhados na 
figura, saberemos dizer com certeza qual é a posição da base do ventilador. Se os números que se 
encontram sobre as linhas indicarem o comprimento de cada segmento de reta então poderemos 
dizer que a base do ventilador se encontra a 2 m da parede definida pelas arestas que chamamos 
de x e z, a 2 metros da parede definida pelas arestas y e z e a 4 m do solo (definido pelas arestas x 
e y). De modo a simplificar a maneira de comunicarmos essa informação poderíamos 
convencionar um modo de indicar a posição dos vários pontos do espaço em relação às paredes e 
 
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 Uma aresta é por definição o conjunto de pontos comuns a dois planos que se cruzam ou, em outras palavras, a linha comum aos 
dois planos. 
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Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
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ao solo. Indicaremos as posições de objetos no espaço por um conjunto de três números sempre 
na seguinte ordem: 
\u2666 Primeiro a distância da parede formada pelas arestas y e z; 
\u2666 A seguir, a distância da parede formada pelas arestas x e z; 
\u2666 Por último, a distância ao solo (definida pelas arestas x e y). 
Figura 49 - Localização de um ponto no espaço. 
Com isso, a posição da base do ventilador no exemplo será denotada por (2, 2, 4). Observe que 
essas distâncias correspondem à distância ao longo de cada uma das arestas até a origem. 
Denotaremos esses números por um terno ordenado composto pelas distâncias até a origem ao 
longo das arestas x, y e z. Dizemos então que a coordenada x vale 2, que a coordenada y vale 2 e 
que a coordenada z vale 4. Todos os outros pontos do espaço podem ser referenciados da mesma 
maneira, através dos valores das suas coordenadas (x, y, z). 
Solo 
parede 
parede 
Solo 
parede parede 
x 
z 
y 
P 
x 
z 
y 
P 
2 m 
2 m 
4 m 
O 
z 
(c) 
(b) (a) 
(d) 
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Mas como fazer para indicar pontos que estão fora da sala, em uma sala ao lado, por exemplo? 
Uma forma de resolver esse problema é definindo uma orientação para o nosso sistema de eixos. 
Indicaremos um sentido de crescimento para os valores indicados em cada eixo. Assim, pontos 
sobre um eixo que estão após a origem, no sentido definido como positivo terão valores positivos 
e pontos que se encontram antes da origem terão valores negativos. Por exemplo, para o eixo x 
teremos a situação mostrada na figura abaixo: 
 
Nos outros eixos teremos algo semelhante. O eixo y terá valores positivos à direita da origem e 
negativos à esquerda e o eixo z terá valores positivos acima da origem e negativos abaixo da 
origem. Com os segmentos orientados dessa maneira, nosso sistema de coordenadas fica como 
mostrado na Figura 50. 
Figura 50 - Sistema de Coordenadas Cartesiano. 
Esta forma de definir os números associados a cada um dos pontos do espaço recebe o nome de 
Sistema Cartesiano de Coordenadas. Observe-se que as grandezas x, y e z podem assumir valores 
nos intervalos46: 
- \u221e < x < + \u221e; 
- \u221e < y < + \u221e; 
- \u221e < z < + \u221e 
 
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 \u221e : este símbolo, chamado de infinito, indica uma quantidade infinitamente grande, sem limite, que pode crescer sem limite. 
Origem 
Valores negativos de x (x<0) Valores positivos de x (x>0) 
x 
z 
y 
P 
2 m 
2 m 
4 m 
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No entanto, esta não é a única maneira de indicarmos os diferentes pontos do espaço. Podemos 
definir várias outras receitas de como associar números a pontos no espaço. Por exemplo, veja a 
Figura 51. Veja que nessa figura introduzimos duas novas quantidades: os ângulos \u3c6 e \u3b8. O 
primeiro é o ângulo entre o eixo x e o segmento de reta que vai da origem até o ponto onde a 
projeção perpendicular do ponto P encontra o plano xy. O segundo é o ângulo entre o vetor r, que 
localiza o ponto P, e o eixo z. Estas quantidades também definem univocamente o ponto P se 
impusermos algumas condições. 
Figura 51 - Sistema de Coordenadas Esférico. 
1) O vetor r tem módulo47 que pode ser 0 (zero), quando o ponto P é a própria origem, e pode 
crescer indefinidamente, para pontos que estão afastados da origem. Então o intervalo de 
variação do módulo de r, que simbolizaremos por r, será dado por: 
0 < r < \u221e 
O estudante deve observar que o valor de r deve ser maior do que zero. Isto acontece porque para 
este valor particular de r poderíamos ter qualquer ângulo, o que levaria a uma múltipla atribuição 
de valores para a origem. Por essa razão, a origem, correspondendo a r = 0 é indicada por 
r=(0,0,0). 
 
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 O módulo de um vetor é uma medida da sua intensidade. Graficamente, é representado pelo tamanho do segmento de reta 
orientado que o representa: quanto maior é o segmento de reta maior é a intensidade do vetor. 
x 
z 
y 
P 
\u3c6 
\u3b8 
r 
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2) Os ângulos \u3b8 e \u3c6 merecem uma análise mais detalhada. Ambos podem, em princípio, ter 
qualquer valor. No entanto, queremos uma forma de atribuir a cada ponto do espaço apenas um 
conjunto de números que o identifique, e que cada conjunto de números identifique apenas um 
ponto no espaço. Para fazermos isto imporemos que os ângulos variem da seguinte maneira: 
0 \u2264 \u3c6 < 2pi 
0 \u2264 \u3b8 \u2264 pi 
Figura 52 - Esfera definida pela variação das coordenadas \u3b8 e \u3c6 (r = a, a constante). 
Desta maneira, qualquer ponto no espaço será definido pelo terno ordenado de números (r,\u3b8,\u3c6). 
Este sistema de coordenadas recebe o nome de Sistema de Coordenadas Esférico. O nome vem 
da observação de que se tomarmos um valor constante para a coordenada r a variação das 
coordenadas \u3b8 e \u3c6 desenha uma esfera no espaço, como mostrado na Figura 52. 
Além das duas maneiras descritas acima, podemos ainda localizar os pontos no espaço através de 
outra receita. Observe a Figura 53. 
Novamente, o ponto que queremos localizar no espaço está indicado pelo vetor r. Agora, no 
entanto, usamos as seguintes grandezas para caracterizar esse ponto: 
1. A distância perpendicular do ponto ao eixo z. A essa distância damos o nome de \u3c1; 
2. O próprio valor da coordenada z; 
3. E, por fim, o ângulo entre o eixo x e o segmento de reta obtido ligando-se a origem 
do sistema de referência ao ponto onde a projeção perpendicular do ponto sobre o 
plano xy intercepta esse plano. 
 
x 
z 
y 
a 
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As coordenadas variam da seguinte maneira: 
\u2022 Como no Sistema Cartesiano, a variação da coordenada z é dada por: 
- \u221e < z < + \u221e; 
\u2022 A coordenada \u3c1 tem valor mínimo 0 (zero) quando o ponto se encontra sobre o 
eixo z e pode crescer indefinidamente para pontos que estão muito distantes do 
eixo z. Da mesma forma que a coordenada r no Sistema Esférico de Coordenadas, a 
coordenada \u3c1 varia da seguinte maneira: 
0 < \u3c1 < \u221e; 
\u2022 Por fim a coordenada \u3b8 pode variar entre 0 e 2pi: 0 \u2264 \u3b8 < 2pi. 
Figura 53 - O Sistema de Coordenadas Cilíndrico. 
Observe que, da mesma forma que no Sistema Esférico de Coordenadas a variável r é definida 
positivamente, com a origem tendo um tratamento especial, no Sistema Cilíndrico de 
Coordenadas a variável \u3c1 é definida maior do que zero. A razão é a mesma