FisicaBasicaVol I
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FisicaBasicaVol I


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contudo, 
examinar esse conceito mais de perto. Por exemplo, qual a direção do vetor velocidade angular 
(\u3c9\u3c9\u3c9\u3c9)? Essa direção é um tanto arbitrária. Por convenção, a direção do vetor \u3c9\u3c9\u3c9\u3c9 é definida em termos 
da trajetória instantânea da partícula: a direção de \u3c9\u3c9\u3c9\u3c9 é perpendicular ao plano que contém a 
trajetória instantânea da partícula. O seu sentido é obtido a partir da observação da trajetória da 
partícula pela regra da mão direita: se colocarmos os dedos, exceto o polegar, na direção da 
velocidade v, o polegar nos dá o sentido de \u3c9\u3c9\u3c9\u3c9. 
Para uma órbita circular a direção da velocidade angular é a mostrada na Figura 73. Observe que a 
velocidade angular e o vetor velocidade são sempre perpendiculares entre si. 
 
\u3c9v r=
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Figura 73 \u2013 Direção da velocidade angular. 
Isto é uma consequência da definição apresentada na eq. 11: o vetor resultante de um produto 
vetorial sempre é perpendicular ao plano que contém os dois vetores sendo multiplicados. Se 
colocarmos a origem do sistema de referências no centro da órbita da partícula, o vetor r será 
perpendicular também aos outros dois vetores (veja a Figura 74). 
Figura 74 
Exemplo 22 
Um avião voa com velocidade horizontal v constante no sentido de Oeste para Leste. Um 
observador dispara um cronômetro no instante em que o avião passa sobre sua cabeça. Após um 
intervalo de tempo \u2206t de observação o ângulo de visada do avião com relação à vertical é como 
mostrado na Figura 75. 
r 
v 
\u3c9\u3c9\u3c9\u3c9 
x 
y 
z 
r v 
\u3c9\u3c9\u3c9\u3c9 
x 
y 
z 
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Figura 75 - Exemplo 3. 
a) Escreva o vetor posição r do avião em função de t, \u3b8 e v. 
 
 
Nessa expressão: 
 
Portanto: 
tan( )x yvt x= + \u3b8r e e 
O momento linear e Sistemas de Referência Inerciais 
Estado dinâmico de uma partícula 
Como vimos na seção anterior, velocidade é um conceito muito útil para falarmos do movimento, 
mas não basta se quisermos quantificar o movimento. A quantidade que melhor descreve o 
estado de movimento de um objeto é o momento linear, definido anteriormente: 
= \u21d2 =
d
d dt
dt
r
v r v
=
= +
\u222b \u222b
0 0
0
t
d dt
t
r
r
r v
r r v
\u3b8 =
= +
= + \u3b8
= +
\ufffd \ufffd
0 0 ( )
0
x y
x y
tg y x
xi yj
x tg
v
r
r e e
v e e
x 
y 
\u3b8 
r 
i 
j 
r0 
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p \u2261 m v 
eq. 12 
Esta expressão indica claramente que o momento linear depende, ao mesmo tempo, das duas 
quantidades: a massa e a velocidade. É o momento linear que caracteriza o que chamamos de 
estado de movimento de uma partícula. Quando falamos em modificar o estado de movimento de 
uma partícula, estamos querendo afirmar algo a respeito da variação no tempo dessa quantidade. 
Precisamos introduzir agora a definição do que entendemos por estado dinâmico da partícula 
(simbolizaremos por Ed). Para caracterizar completamente uma partícula, identificá-la sem 
qualquer dúvida, precisamos especificar duas coisas: onde ela está e qual o seu momento linear. A 
localização da partícula, como já vimos, é dada pelo vetor posição r enquanto que o momento 
depende do produto da sua massa pela sua velocidade (eq. 12). Logo, o estado dinâmico da 
partícula será dado pelo conjunto: 
Ed = {r,p} 
Portanto, cada partícula, para ser completamente identificada, deve ter um rótulo com 6 números: 
as três coordenadas de posição (x, y, z) e três referentes às componentes do momento (px, py, pz). 
Há uma estreita relação entre a quantidade de movimento e a Energia Cinética. Vamos tomar o 
módulo ao quadrado do momento linear. Usando a eq. 12, podemos escrever: 
= = =
2 2 2. ( ). ) .p m m m vp p v v eq. 13 
Vamos reescrever essa equação, dividindo ambos os lados por 2m: 
= = \u21d2 =
2 2 2 2
2. 1
2 2 2 2
c
p m v p
mv E
m m m
 
eq. 14 
Essa expressão nos mostra que a energia cinética da partícula é igual ao módulo ao quadrado do 
momento linear dividido por duas vezes a massa da partícula. 
Variação do momento linear e a definição de força 
O estudante deve observar que a variação do momento linear pode acontecer tanto pela variação 
da massa (pela variação da inércia da partícula) como pela variação da velocidade da partícula. 
Comecemos analisando a variação da massa da partícula. Aqui nos referimos à variação que pode 
ocorrer com a quantidade de inércia, que é medida pela massa. Não nos referimos a uma perda de 
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matéria (como ocorre em um foguete, por exemplo), mas sim a uma variação nessa 
propriedade intrínseca da matéria (e também da energia). No entanto, essa variação somente é 
significativa a grandes velocidades57 e, na maior parte dos problemas, estaremos no domínio dos 
fenômenos a baixas velocidades (Física Clássica) e poderemos considerar as massas das partículas 
como constantes. Quando a variação da massa se torna importante estamos no domínio da Física 
Relativística. 
Portanto, na maior parte do tempo estaremos analisando situações nas quais a quantidade de 
movimento varia pela variação da velocidade da partícula. Olhando para a variação da quantidade 
de movimento, e na forma com ela ocorre, podemos dividir os sistemas de referência em dois 
grandes grupos. Se em um dado sistema de referência a quantidade de movimento de uma 
partícula variar se e somente pela ação de algo externo a ela, dizemos que temos um Sistema de 
Referência Inercial. Em outras palavras, se nenhum agente externo à partícula atuar esta não 
modificará a sua quantidade de movimento e, por conseqüência: p = constante. Por outro lado, se 
o sistema de referência ao qual nos referimos estiver acelerado em relação a um dado sistema de 
referência inercial então o sistema de referência acelerado é chamado de Sistema de Referência 
Não Inercial. Por incrível que possa parecer os sistemas não inerciais são os mais comuns de 
serem encontrados na Natureza, os sistemas inerciais sendo bastante raros, quase uma abstração 
teórica. Um exemplo típico desse tipo de sistema é a própria Terra no seu movimento de rotação 
em torno do seu eixo e no seu movimento de rotação (incorretamente chamado de translação) 
em torno do Sol. 
Interessaremo-nos aqui apenas pelos sistemas de referência inerciais. Nesse tipo de sistema, 
damos aos agentes capazes de modificar a quantidade de movimento de uma partícula o nome de 
Força, normalmente simbolizada pela letra F. À ação combinada de vários desses agentes damos o 
nome de Força Resultante (indicada pelo símbolo Fr): 
 
Numericamente, a força resultante atuando em uma partícula é igual à variação temporal do 
momento da partícula: 
 
57
 Velocidades da ordem da velocidade da luz. 
1 2
1
...
n
r n i
i=
= + + + = \u2211F F F F FF F F F FF F F F FF F F F F
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Naturalmente, se somente um desses agentes atuar na partícula a força resultante é a própria 
força. 
Primeira Lei de Newton \u2013 Lei da Inércia 
Podemos retirar algumas conseqüências dessa definição de força resultante. Aqui citaremos duas 
delas e uma terceira será demonstrada mais adiante, quando discutirmos a conservação do 
momento linear relacionada às colisões elásticas. 
A primeira das conseqüências