FisicaBasicaVol I
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Nessa situação, não faz muito sentido 
chamá-las de leis, entendidas como relações causais entre observáveis60. 
No Sistema Internacional de Unidades a unidade de medida da força é o Newton (símbolo: N): 
[ ] [ ][ ] [ ]2 2.SIL mm M kg NT s= = \uf8e7\uf8e7\u2192 = \u2261F a F 
Exemplo 23 
Desenhe o vetor que representa a variação da quantidade de movimento de uma bolinha de 
pingue-pongue solta em queda livre sobre um piso rígido. Analise o que acontece em todas as 
fases do movimento, isto é: durante a queda, durante a colisão e durante a subida. 
Solução 
A Figura 77 mostra as três situações. Os vetores em vermelho mostram a variação do momento 
linear, indicada pela 2a lei de Newton: 
 
Figura 77 - Exemplo 22. 
Na descida e na subida existe uma força resultante vertical para baixo, chamada de força peso, 
aplicada na bolinha. Durante a colisão, no entanto, além da força peso, atuou uma força média, 
mais intensa, vertical para cima (aplicada pelo solo) e que faz com que a bolinha inverta seu 
sentido de movimento. 
 
60
 Veja o Capítulo I para uma discussão sobre o que é uma lei física. 
d
dt
=
p
F
dp na 
descida 
dp na 
subida. 
dp na 
colisão 
Curso de Física Básica \u2013 Volume I 
 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
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O momento angular 
Como vimos no Capítulo 2, o momento angular é uma quantidade bastante semelhante ao 
momento linear (ou quantidade de movimento). Porém, enquanto esse diz respeito ao movimento 
de translação, o momento angular diz respeito ao movimento de rotação em torno de um eixo. 
Definimos anteriormente o momento angular de uma partícula em termos do seu momento linear 
e da sua distância ao eixo de rotação. No momento não temos ainda condições de justificar essa 
definição, pois ainda não analisamos o conceito de Trabalho, o que faremos mais adiante. 
Considere a situação mostrada na Figura 78. 
Nessa figura tomamos por conveniência o eixo de rotação como sendo o próprio eixo z. Definimos 
o momento angular da partícula como: 
 eq. 16 
Nessa expressão, r é o vetor que localiza a partícula e p é o momento linear da partícula. O 
momento angular L desempenha no movimento de rotação o mesmo papel que o momento linear 
desempenha no movimento de translação: indica a quantidade de movimento de rotação que a 
partícula possui. Como já observamos antes, o momento angular é conservado, ou seja, para que 
um corpo gire em um sentido é necessário que outro gire em outro sentido. 
Figura 78 \u2013 Partícula movimentando-se em torno de um eixo. 
A variação do momento angular e o torque 
Para alterar essa quantidade de movimento de rotação é necessário que alguma coisa atue sobre 
a partícula. Do mesmo modo que o momento linear de uma partícula somente pode ser alterado 
se algo externo estiver atuando (nossa definição de força), algo semelhante acontece no 
movimento de rotação: ao agente externo capaz de modificar a quantidade de movimento de 
= ×L r p
x 
z 
y 
p 
r 
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rotação chamamos de torque (que simbolizaremos pela letra grega \u3c4\u3c4\u3c4\u3c4). Observe que o torque faz 
o mesmo papel nas rotações que a força no movimento linear. 
Definiremos o torque simplesmente como a variação por unidade de tempo do momento angular: 
 
eq. 17 
Usando a definição que demos mais acima para o momento angular (eq. 16): 
 
A primeira parcela do lado direito pode ser reescrita como: 
 
Uma vez que o produto vetorial de dois vetores paralelos é nulo61. Conseqüentemente, o torque 
pode ser escrito como: 
 
eq. 18 
F sendo a força resultante sobre a partícula. O estudante deve observar que o torque é 
perpendicular ao plano que contém a força resultante sobre a partícula e o vetor posição (Figura 
79). 
Figura 79 
 
61
 Lembre que, da definição de produto vetorial, o produto vetorial de um vetor por ele mesmo (e por qualquer vetor que lhe seja 
paralelo) é nulo, pois depende do seno do ângulo entre os dois vetores que, no caso de vetores paralelos, vale zero. 
( )lim lim
0 0
( )
t t
t t t d
t t dt\u2206 \u2192 \u2206 \u2192
\u2206 + \u2206 \u2212
= = =
\u2206 \u2206
L L L LL L L LL L L LL L L L
\u3c4\u3c4\u3c4\u3c4
( )d d d
dt dt dt
×
= = × + ×
r p r pr p r pr p r pr p r p
\u3c4\u3c4\u3c4\u3c4 p rp rp rp r
( ) 0d m
dt
× = × =
rrrr
p v vp v vp v vp v v
d
dt
= × = ×
pppp
r r Fr r Fr r Fr r F\u3c4\u3c4\u3c4\u3c4
r 
\u3c4\u3c4\u3c4\u3c4 
F 
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Vimos que o torque pode ser escrito como . Vamos agora obter uma expressão geral 
para o torque em função da velocidade angular e da aceleração angular. Tendo obtido a expressão 
geral, vamos aplicá-la ao caso particular de uma partícula que executa um movimento de rotação 
em torno da origem do sistema de coordenadas (veja a Figura 80) 
Para começar, escreveremos a força que aparece na expressão para o torque em termos da 
derivada do momento: 
 
Vamos agora expressar a velocidade v que aparece na expressão acima em termos da velocidade 
angular \u3c9\u3c9\u3c9\u3c9: 
 
 
eq. 19 
Na expressão anterior introduzimos a aceleração angular: 
. 
eq. 20 
 
Esta expressão é geral, válida para qualquer sistema de referência. 
Vamos agora particularizar para a situação na qual a partícula descreve um movimento circular em 
torno da origem (veja a Figura 80). Nesse caso, temos as seguintes relações: 
 
Vamos calcular cada um dos produtos vetoriais que aparecem na equação eq. 19, começando pela 
segunda parcela. Como os vetores são perpendiculares entre si, o produto vetorial da velocidade 
angular pela velocidade da partícula resulta em um vetor que é paralelo ao vetor r: ( )×\u3c9 v r\ufffd . 
Portanto, o produto vetorial desse vetor pelo vetor posição é nulo. Vamos agora abrir a primeira 
parcela da eq. 19: 
 
eq. 21 
= ×\u3c4\u3c4\u3c4\u3c4 r Fr Fr Fr F
d d
m
dt dt
= × = × = ×r F r p r vr F r p r vr F r p r vr F r p r v\u3c4\u3c4\u3c4\u3c4
[ ]
( ) ( ) [ ]
d d
m m
dt dt
d d
m m
dt dt
\u3b1
= × \u21d2 = × = × ×
\uf8ee \uf8f9
= × × + × = × × + ×\uf8ef \uf8fa
\uf8f0 \uf8fb
vvvv \u3c9\u3c9\u3c9\u3c9 rrrr \u3c4\u3c4\u3c4\u3c4 r v rr v rr v rr v r \u3c9\u3c9\u3c9\u3c9 rrrr
\u3c4\u3c4\u3c4\u3c4 rrrr \u3c9\u3c9\u3c9\u3c9 rrrr \u3c9\u3c9\u3c9\u3c9 r r rr r rr r rr r r \u3c9\u3c9\u3c9\u3c9 vvvv
d
dt
\u2261\u3b1 \u3c9\u3b1 \u3c9\u3b1 \u3c9\u3b1 \u3c9
\u22a5 \u22a5\u3c9\u3c9\u3c9\u3c9 r vr vr vr v
( ) ( ) ( ) 2. . . dm m m r
dt
\u3b1
\uf8ee \uf8f9\uf8eb \uf8f6
\uf8ee \uf8f9× × = \u2212 = \u2212 \uf8ec \uf8f7\uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb
\uf8ed \uf8f8\uf8f0 \uf8fb
r r r rr r r rr r r rr r r r \u3b1\u3b1\u3b1\u3b1 rrrr \u3b1\u3b1\u3b1\u3b1 rrrr \u3b1\u3b1\u3b1\u3b1 rrrr \u3c9\u3c9\u3c9\u3c9 rrrr
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Figura 80 
Nessa expressão usamos a identidade vetorial:. ( . ) ( . )× × = \u2212a b c a c b a b c Observando que: 
( ) 0d
dt
=r.\u3c9 , pois 0=r.\u3c9 , a segunda parcela da eq. 21 pode ser reescrita como: 
( ) 0 . . 0 0d d d
dt dt dt \u22a5
= \u21d2 + = + = \u21d2 =
\u3c9 v
r.\u3c9 r \u3c9 \u3c9 r r.\u3b1 \u3c9.v r.\u3b1 
A última igualdade seguindo do fato de que os vetores posição, velocidade e velocidade angular 
são perpendiculares entre si. Logo, a eq. 21 pode ser reescrita simplesmente como: 
 
E o torque (eq. 19) como: 
 
 
eq. 22 
Essa expressão é formalmente igual à expressão da força resultante que age em uma partícula, se 
identificarmos o produto mr2 como um análogo da massa da partícula no movimento de rotação. 
Aceleração tangencial e aceleração radial no movimento circular 
Estamos agora em condições de calcular a aceleração no movimento circular. Observe que 
definimos claramente, em termos da direção perpendicular ao plano da trajetória, a direção e o 
sentido da velocidade angular. Mas qual a direção e o sentido da aceleração angular (\u3b1\u3b1\u3b1\u3b1)? Vamos 
( ) 2m mr\u3b1×