FisicaBasicaVol I
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× =r rr rr rr r \u3b1\u3b1\u3b1\u3b1
[ ]
2
m
mr
= × × + ×
=
\u3c4\u3c4\u3c4\u3c4 rrrr \u3b1\u3b1\u3b1\u3b1 rrrr \u3c9\u3c9\u3c9\u3c9 vvvv
\u3c4 \u3b1\u3c4 \u3b1\u3c4 \u3b1\u3c4 \u3b1
r v 
\u3c9\u3c9\u3c9\u3c9 
x 
y 
z 
Curso de Física Básica \u2013 Volume I 
 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
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analisar o caso do movimento circular. Sabemos que nessa situação os vetores posição, 
velocidade angular e velocidade linear são perpendiculares entre si. 
Outro ponto que devemos considerar é a direção da força F que atua sobre a partícula. Como o 
movimento da partícula nesse caso é confinado ao plano (x,y) a força somente pode ter 
componentes nesse plano. Se assim não fosse, a partícula teria uma aceleração na direção z e 
sairia do plano. Vamos escrever as componentes dessa força como: F = Fr er + F\u3b8 e\u3b8. Nessa 
expressão, os índices r e \u3b8 denotam, em coordenadas cilíndricas as direções do vetor posição r e 
do vetor tangente à trajetória da partícula que, no caso, é a mesma direção do vetor velocidade v. 
O sentido da força na direção radial é oposto ao sentido do vetor unitário nessa direção (er). 
Usando essa informação podemos dizer que o torque, dado pela eq. 18: 
 
deve ser na direção z, perpendicular ao vetor F e ao vetor r, na direção do vetor velocidade 
angular, portanto. 
Por outro lado, da eq. 22 vemos que, para o movimento circular o torque é colinear com a 
aceleração angular \u3b1\u3b1\u3b1\u3b1. A conclusão que podemos tirar é que a aceleração angular está na direção z, 
a mesma do torque. 
Vamos agora usar essa informação para calcular a aceleração linear experimentada pela partícula. 
Partimos da expressão da velocidade linear escrita em termos da velocidade angular e do vetor 
posição (eq. 11): 
 eq. 23 
Derivando essa expressão obtemos: 
 
Vamos agora analisar as componentes dessa equação vetorial ao longo da direção do vetor 
posição (direção radial) e ao longo do vetor tangente à trajetória da partícula (direção tangencial): 
1) Componente radial da aceleração 
Tomando a componente radial da aceleração temos: 
= ×r Fr Fr Fr F\u3c4\u3c4\u3c4\u3c4
= ×v \u3c9 r
( ) ( ) ( )
( );
= × \u21d4 = = × = × + ×
\uf8ee \uf8f9
= × + × \u2261\uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb
d d d d
dt dt dt dt
d
dt
v
v \u3c9 r a \u3c9 r \u3c9 r \u3c9 r
a \u3b1 r \u3c9 v \u3b1 \u3c9
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O zero que aparece na expressão acima, na segunda igualdade vem do fato de que o produto 
vetorial entre os vetores \u3b1\u3b1\u3b1\u3b1 e r gera um vetor que é perpendicular aos dois, na direção e\u3b8 e que, 
portanto, não pode ter componente na direção radial. 
2 2
r r r
v v
a
r r
= \u21d2 = \u2212a e 
eq. 24 
A componente da aceleração, cujo módulo é dado pela primeira igualdade da eq. 24, é chamada 
de aceleração centrípeta. Observe que o vetor aceleração centrípeta tem a direção do vetor r, 
mas aponta em direção ao centro da órbita da partícula, daí o sinal de menos. 
2) Componente tangencial da aceleração 
Tomando da componente tangencial da aceleração temos: 
 
O zero no lado direito vem do fato de que o produto vetorial entre a velocidade angular e o vetor 
velocidade, no movimento circular gerar um vetor na direção do vetor r e que, portanto, não tem 
componente tangencial. 
O módulo da aceleração tangencial sendo dado por: 
 eq. 25 
Usando as equações eq. 24 e eq. 25 podemos escrever a força que age sobre a partícula no 
movimento circular como: 
2
r
v
m m r
r
\u3b8\u3b1= = \u2212 +F a e e 
Se a partícula descreve um movimento circular no qual o módulo de sua velocidade não muda, 
então a velocidade angular também é constante (v = \u3c9r, com v e r constantes a velocidade 
angular \u3c9 também será constante) e a aceleração angular é nula. Nesse caso, a aceleração a da 
partícula terá apenas a componente radial, assim como a força: 
 
( ) ( ) ( )0 \u3c9= × + × = + × \u21d2 = =r rr r r va v vra \u3b1 r \u3c9 v \u3c9 v
( ) ( ) ( ) 0= × + × = × +t t t ta \u3b1 r \u3c9 v \u3b1 r
\u3b1=ta r
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2 2
r r r
v v
m
r r
= \u2212 \u21d2 = \u2212a e F e 
\u201cLeis de Newton\u201d para o movimento de rotação 
Podemos escrever um conjunto de leis que desempenham o papel das leis de Newton para o 
movimento de rotação. São elas: 
1. Na ausência de torques externos o movimento de rotação de um objeto se mantém 
inalterado. 
Essa afirmação é conseqüência direta da definição de torque que vimos antes. Se o torque 
é nulo (veja a eq. 17), então: 
 
Como o momento angular expressa a quantidade de movimento de rotação da partícula, 
sendo L constante a quantidade de movimento de rotação também o será. 
2. A variação da quantidade do momento angular é proporcional ao torque e ao intervalo 
de tempo durante o qual esse torque é exercido. 
Essa afirmação nada mais é que a definição do torque que apresentamos antes: 
 
Energia cinética no movimento de rotação 
Vamos agora calcular a energia cinética de uma partícula que executa um movimento de rotação. 
Vimos que a energia cinética é dada por: 
. 
Usando a expressão da velocidade em termos da velocidade angular (eq. 23), podemos escrever o 
módulo ao quadrado da velocidade que aparece nessa equação, para o caso particular do 
movimento circular, com a origem do sistema de referência no centro da trajetória circular, como: 
 
0 constanted
dt
= \u21d2 =
L L
d
dt
=
L
\u3c4
21
2
cE mv=
( ) ( ) ( )22 2. . | |v r\u3c9= = × × = × =v v r r rv v r r rv v r r rv v r r r\u3c9 \u3c9 \u3c9\u3c9 \u3c9 \u3c9\u3c9 \u3c9 \u3c9\u3c9 \u3c9 \u3c9
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Como já vimos, I é o momento de inércia da partícula. Embora tenhamos obtido esse resultado 
para o movimento de rotação específico de uma partícula em trajetória circular esse resultado é 
geral e podemos expressar a energia cinética de um objeto em rotação por: 
 
eq. 26 
O cálculo do momento de inércia de um corpo rígido é mais complicado, pois envolve integração 
sobre o corpo, como veremos nas seções a seguir. 
Sistemas de partículas: o centro de massa e o momento de inércia 
O que vimos até agora se aplica a uma partícula. Mas, e se tivermos um sistema com muitas 
partículas? 
Figura 81 - Sistema de muitas partículas. 
Vamos analisar a seguinte situação: temos um sistema composto por N partículas (veja a Figura 
81). Cada uma dessas partículas de massa mi é localizada por um vetor ri e possui uma velocidade 
vi. Portanto, cada partícula será portadora de certa quantidade de momento linear dada por: 
 eq. 27 
Definiremos a quantidade total de movimento do sistema, que indicaremos pela letra P, à soma 
das quantidades dos momenta individuais das partículas: 
 
Substituindo nessa expressão a definição dos momenta de cada partícula (eq. 27), obteremos: 
( ) ( )22 2 2 2 21 1 1 1 ;
2 2 2 2
c c cE mv m r E mr E I I mr\u3c9 \u3c9 \u3c9 \uf8ee \uf8f9= = \u21d2 = \u21d2 = \u2261\uf8f0 \uf8fb
21
2
cE I\u3c9=
i i im=p vp vp vp v
1
N
i
i=
=\u2211P p
pi 
ri 
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Vamos tomar a derivada temporal do momento total do sistema: 
 
O que essa equação nos diz é que a força resultante agindo sobre um sistema de partículas é igual 
à variação do momento linear total do sistema. Deve ser observado que estamos falando de forças 
externas ao sistema de partículas. Como veremos mais adiante, após derivarmos a Terceira Lei de 
Newton, as forças internas entre as partículas se cancelam exatamente e não contribuem para a 
soma. 
Por analogia com a Segunda Lei de Newton, poderíamos tentar escrever a variação do momento 
total como sendo o produto de uma massa (M) por uma aceleração (acm), definidas de forma