FisicaBasicaVol I
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que o plano inclinado empurra o bloco de madeira. Sua origem é a repulsão de natureza elétrica 
entre as duas superfícies e é sempre perpendicular à superfície. 
Figura 91 \u2013 O plano inclinado e a disposição dos eixos do Sistema de Referência no plano 
inclinado. 
A terceira força que atua sobre o bloco é a força de atrito, indicada por Fa, oposta à direção de 
movimento nesse caso. Na maior parte dos casos a força de atrito é proporcional à força normal: 
Fa = µ N 
A letra grega µ representa o coeficiente de atrito. 
A força resultante que age no bloco é dada pela soma dessas três forças: 
Fr = Fa + P + N = m a eq. 36 
Figura 92 - O plano inclinado e as forças atuando sobre o bloco que desliza. 
Devemos escrever as componentes x e y da Segunda Lei de Newton (eq. 36). O estudante pode ver 
da figura que a força de atrito (Fa) atua somente na direção x enquanto que a força normal atua 
N Fa 
P 
\u3b8 
x 
y 
\u3b8 
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somente na direção y. A força peso, por outro lado, pode ser decomposta em duas partes: uma 
atuando ao longo da direção x, Px, e outra atuando ao longo da direção y, Py. Temos então: 
Direção x: Px \u2013 Fa = m ax 
Direção y: N \u2013 Py = m ay 
Como o bloco não se desloca na direção y também não possui aceleração nessa direção, o que 
implica na igualdade: 
N \u2013 Py = 0 \u21d2 N = Py 
Um pouco de trigonometria nos mostra que o ângulo entre o eixo y e a força peso (P) é o mesmo 
ângulo entre o plano inclinado e a superfície horizontal (\u3b8). Portanto: 
Py = P cos (\u3b8) 
Px = P sen (\u3b8). 
Usando esse resultado, podemos escrever: 
N = P cos (\u3b8) 
O estudante deve observar que, à medida que o plano inclinado for deslocado em direção à 
horizontal, teremos: 
cos (\u3b8) \u2192 1 \u21d2 N = P 
Por outro lado, se aumentarmos o ângulo \u3b8, teremos no limite do plano inclinado perpendicular à 
horizontal: 
cos (\u3b8) \u2192 0 \u21d2 N = 0. 
Equacionando na direção x: 
P sen (\u3b8) \u2013 Fa = m ax 
P sen(\u3b8) \u2013 µ N = m ax 
P sen(\u3b8) \u2013 µ P cos(\u3b8) = m ax 
Isolando a aceleração na direção x, ax: 
[ ]= \u3b8 \u2212 µ \u3b8sen( ) cos( )x Pa
m
 
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Usando a definição de força peso: P = mg, a expressão acima pode ser simplificada: 
[ ]= \u3b8 \u2212µ \u3b8sen( ) cos( )xa g 
Uma consequência dessa expressão é que a aceleração do bloco não depende de sua massa, 
apenas do ângulo do plano inclinado e do coeficiente de atrito, o qual depende da natureza das 
superfícies do bloco e do plano inclinado sobre o qual o bloco desliza. 
No limite da força de atrito nula (µ\u21920) temos que: 
ax = g sen(\u3b8). 
Exemplo 27 \u2013 O plano inclinado com contrapeso. 
Outro problema clássico de aplicação da Segunda Lei de Newton está mostrado na Figura 93. 
 
Figura 93 \u2013 O plano inclinado com contrapeso. 
Esse problema é semelhante ao anterior. Agora, no entanto, temos duas massas, M e m, e 
queremos saber se a massa M que está sobre o plano inclinado descerá ou subirá. Por hipótese, 
inicialmente os dois blocos estão em repouso. 
Sobre a massa M que está sobre o plano inclinado, agem as seguintes forças: 
1. A força peso, indicada na figura por PM; 
2. A força de atrito entre a massa M e o plano inclinado, indicada por Fa; 
3. A tensão na corda, indicada por TM; 
4. E, finalmente, a força normal, indicada por N. 
Portanto, a massa M está sujeita à ação de uma força resultante dada por: 
FM = P + Fa + N + TM 
N 
Fa 
PM
\u3b8 
M 
m 
Pm 
Tm TM 
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Sobre a massa que está suspensa, m, agem as seguintes forças: 
1. A força peso, indicada por Pm; 
2. A tensão na corda, indicada por Tm. 
As forças de tensão formam um par de ação e reação. Equacionando como antes as forças que 
atuam sobre a massa M: 
= \u3b8 \u2212 \u2212 µ \u3b8sen( ) cos( )
x M
ma Mg T Mg 
Para chegar nessa equação usamos o resultado do problema anterior que relaciona a normal à 
componente da força peso na direção y: 
= µ = µ \u3b8cos( )
a
F N g . 
Então: 
[ ]
[ ]
= \u3b8 \u2212 µ \u3b8 \u2212
= \u3b8 \u2212 µ \u3b8 \u2212
sen( ) cos( )
sen( ) cos( )
x M
M
x
Ma Mg T
T
a g
M
 
Precisamos agora calcular a tensão TM. Para isso, vamos calcular o que acontece com a massa m. A 
força resultante sobre a massa suspensa é dada por: 
P + Tm = m am 
Onde am é a aceleração experimentada pela massa suspensa. Escrevendo explicitamente a força 
peso: 
 
Como as forças TM e Tm formam um par de ação e reação, podemos fazer a seguinte hipótese: a 
corda permanece sempre esticada. Isto implica que os módulos das duas tensões são iguais e que 
as acelerações das duas massas são iguais: 
| | | | e | | | | 
M m M m
T a= = = =T T a a 
Então a aceleração sobre o bloco de massa M será dada por: 
[ ]= \u3b8 \u2212 µ \u3b8 \u2212 \u2212sen( ) cos( ) ( )ma g g a
M
 
 
( )m m m mmg T ma T m g a\u2212 = \u21d2 = \u2212
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Isolando a aceleração: 
\uf8ee \uf8f9
= \u3b8 \u2212 µ \u3b8 \u2212\uf8ef \uf8fa+ \uf8f0 \uf8fb
sen( ) cos( )
M m
a g
M m M
 
Vamos analisar essa expressão. Por hipótese, suponhamos que inicialmente as duas massas 
estejam em repouso (velocidade inicial nula). Temos três possibilidades para o sinal da aceleração: 
1. A aceleração é nula: |a| = 0. 
Para que isso aconteça o termo entre colchetes deve ser nulo, já que tanto g como m e M são 
diferentes de zero: 
\u3b8 \u2212 µ \u3b8 \u2212 = \u21d2 = \u3b8 \u2212 µ \u3b8sen( ) cos( ) 0 sen( ) cos( )m m
M M
 
Esta é a situação de equilíbrio: os blocos permanecem exatamente na posição. 
2. A aceleração é positiva: |a| > 0. 
Isto indica que a massa M se move em direção à base do plano inclinado72. A condição a ser 
satisfeita nesse caso é: 
sen( ) cos( ) 0 sen( ) cos( )
m m
M M
\u3b8 \u2212 µ \u3b8 \u2212 > \u21d2 < \u3b8 \u2212 µ \u3b8 
3. A aceleração é negativa: |a| < 0. 
Nesse caso, a massa M se moverá em direção ao topo do plano inclinado. A condição a ser 
satisfeita nesse caso é: 
sen( ) cos( ) 0 sen( ) cos( )
m m
M M
\u3b8 \u2212 µ \u3b8 \u2212 < \u21d2 > \u3b8 \u2212 µ \u3b8 . 
 
Exemplo 28 \u2013 
Um carro de massa m descreve uma trajetória circular de raio r, em uma pista plana horizontal, 
com velocidade v constante em módulo. 
a) Demonstre que o carro está submetido a uma força Fr resultante, cujo módulo é dado 
por73: 
 
72
 Naturalmente que a massa m se moverá verticalmente para cima. 
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b) Que natureza possui a força Fr acima e qual vizinhança que a produz? 
c) Sendo o momento linear p do carro um vetor, quais características desse vetor a força Fr 
modifica? O módulo, a direção ou o sentido? 
d) Com base nas respostas dos itens a e c, explique porque não é seguro fazer curvas 
fechadas em grande módulo de velocidade? 
Figura 94 - Exemplo 27. 
a) A força que atua sobre o carro é dada por: 
. 
Nessa expressão: 
 
Do triângulo isósceles mostrado na Figura 94 podemos escrever: 
 
 
 
73 O estudante deve observar que já obtivemos esta expressão por outro caminho. 
2
r
v
F m
r
=
0
lim
t t\u2206 \u2192
\u2206
=
\u2206
p
F
S r
t
v v
\u2206 \u3b8\u2206 = =
| | 2 sin
2
p
\u3b8\u2206 =p
\u3b8 
\u2206S 
ro 
r 
po 
p \uf8e6p\uf8e6= \uf8e6po\uf8e6= mv 
\u2206p 
\u3b8/2 
-po 
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