FisicaBasicaVol I
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Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
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Assim: 
 
Mas, se \u2206t \u21920 implica que o ângulo \u3b8 tende a zero também e o limite (use a regra de L\u2019Hôpital, 
que você aprendeu no curso de Cálculo74): 
( ) ( ) ( )
0 0 ' 0
sen sen cos 12 2 2
lim lim lim 1
1
2 2 2
t L Hôpital\u2206 \u2192 \u3b8\u2192 \u3b8\u2192
\u3b8 \u3b8 \u3b8
= = = =\u3b8 \u3b8 \u3b8 
Portanto: 
 
Figura 95 - Direção da trajetória do carro no item d do Exemplo 28. 
b) Como a força resultante tem a direção e sentido de dP , e dP tem direção radial e voltado para 
o centro da curvatura, concluímos que a força resultante Fr também é radial e voltada para o 
centro da trajetória. As únicas vizinhanças que interagem com o carro são: a Terra, atraindo o 
 
74
 Caso você não tenha estudado ainda esta regra, consulte os Complementos de Matemática. 
2
0 0 0
2 2
0 0
2 sin 2 sin
2 2lim lim lim
sin sin2 2 2lim lim
2
t t p mv t
t t
pv mvp
F
t r r
mv mv
F
r r
\u2206 \u2192 \u2206 \u2192 = \u2206 \u2192
\u2206 \u2192 \u2206 \u2192
\u3b8 \u3b8\u2206
= = =
\u2206 \u3b8 \u3b8
\u3b8 \u3b8
= =
\u3b8 \u3b8
2mv
F
r
=
r 
p 
Direção da tangente 
p 
F=0 
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carro para seu centro, e a superfície do solo interagindo com os pneus do carro. A primeira, o peso 
do carro, não possui componentes contidas no plano da trajetória, logo a vizinhança que aplica a 
força resultante Fr, é o solo, isto é uma força de aderência entre o solo e os pneus de natureza 
elétrica. 
c) Como o módulo de p é constante, sua variação é devida apenas a uma mudança em sua 
direção, logo a força resultante Fr causa uma mudança apenas na direção de p. 
d) O item a mostra que a força resultante (Fr) é proporcional a v2. O item c justifica que esta força 
causa uma mudança de direção de p, causando uma mudança de direção no movimento do carro. 
Por outro lado, a coesão entre o solo e os pneus, devida a interações elétricas, possui um limite. 
Assim, a força Flimite será aquela que romperá a coesão entre os pneus e o solo e, para esta força 
limite, teremos uma velocidade vlimite. Valores do módulo da velocidade acima desse valor farão 
com que o carro derrape: a força de coesão se anularia e a direção do momento linear p do carro 
não sofreria mudanças. 
Daí para frente o movimento do carro seria retilíneo e, conseqüentemente o carro sairia na 
direção da tangente nesse ponto da trajetória, veja a Figura 95. 
 
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Capítulo IV - O Princípio da Relatividade 
Uma questão que se impõe é a seguinte: 
Se soubermos as coordenadas de uma partícula em um dado 
sistema de referências inercial, poderíamos saber sem usar 
qualquer processo de medição as coordenadas daquela partícula 
em outro sistema de referência inercial? 
A resposta a esta questão não é simples e é o divisor de águas entre a Física Clássica e a Física 
Moderna. Antes de entrarmos nessa questão, devemos fazer uma pequena digressão e discutir o 
que se entende por relatividade. 
O termo relatividade expressa o fato de que diferentes pessoas (chamadas observadores) 
percebem os eventos que acontecem no seu meio ambiente de formas diferentes. Tomemos um 
exemplo simples: em um terminal de ônibus duas pessoas observam um coletivo que manobra 
para sair do pátio de estacionamento. Uma delas está em pé em um bar tomando um café. A 
outra é passageira no ônibus que manobra. Do ponto de vista da pessoa que está tomando café na 
plataforma, é o ônibus que se movimenta. O terminal (suas construções) está parado. No entanto, 
da perspectiva do nosso passageiro no ônibus, não é isso que está acontecendo. Para o 
passageiro, o ônibus está em repouso, pois a posição dele em relação aos outros passageiros, ao 
motorista e a todo o resto dos objetos que se encontram no ônibus não muda. Todavia, ao olhar 
pela janela, o passageiro vê que todas as outras pessoas e objetos da estação se movimentam. 
Qual dos dois observadores está com a razão? O passageiro no ônibus ou a pessoa que se 
encontra na estação tomando seu café? Ambas estão certas, simplesmente estão usando dois 
sistemas de referência diferentes. Isto é o que o termo relatividade significa em Física: o 
movimento existe ou não, com tais e quais características, dependendo do observador e do 
sistema de referência que ele escolhe. 
Esquematicamente, os dois sistemas de referência do nosso exemplo são mostrados na Figura 96. 
Nela, o sistema de referência escolhido pelo observador que toma café na estação é representado 
por S e o sistema de referência escolhido pelo observador no ônibus é representado por S\u2019. O 
sistema S\u2019 se move com certa velocidade v quando visto do sistema S. Naturalmente, o sistema S, 
quando visto do sistema S\u2019, se move com velocidade \u2013 v, no sentido oposto. 
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Cada sistema de referência tem seu próprio sistema de eixos: (x,y,z) no sistema S e (x\u2019,y\u2019,z\u2019) no 
sistema S\u2019. 
Figura 96 - Representação esquemática dos dois sistemas de coordenadas do exemplo da 
estação de ônibus. 
Podemos agora endereçar a questão que nos propusemos antes: sabendo as coordenadas de um 
ponto no sistema S (isto é, sabemos quais são os valores dos números x, y e z) como saber as 
coordenadas do ponto no sistema S\u2019 (isto é, quais são os valores dos números x\u2019, y\u2019 e z\u2019)? A forma 
de fazer isto, as equações que levarão a descobrir estes números são chamadas de equações de 
transformação de coordenadas
75. A maneira como as construímos obedece a um Princípio de 
Relatividade. Esse princípio indica como essas equações devem ser construídas ao estabelecerem 
como observadores em diferentes sistemas de referência percebem o tempo e o espaço. Dois 
desses princípios nos interessam aqui. 
O primeiro, devido a Galileu, chamado de Princípio da Relatividade Clássico diz que todos 
observadores observam os mesmos tempo e espaço. Desse princípio derivam as equações de 
transformação de coordenadas conhecidas pelo nome de Transformações de Galileu. 
O segundo desses princípios, devido a Einstein, diz que os tempo e espaço percebidos pelos 
observadores em diferentes sistemas de referência inerciais serão diferentes. Por esse princípio, o 
que é comum a todos os observadores baseados nesses diferentes sistemas de referência é a 
 
75 O estudante não deve confundir com as equações apresentadas anteriormente para a mudança entre os sistemas de 
coordenadas cartesianas, esféricas e cilíndricas. 
S 
S\u2019 
v 
x 
z 
y 
x' 
z' 
y' 
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velocidade da luz76. Desse princípio são retiradas as equações de transformação de coordenadas 
chamadas de Transformações de Lorentz. A teoria que trata desse tipo de situação é a Teoria da 
Relatividade Restrita. O adjetivo restrita vem do fato de que essa teoria é válida apenas para 
transformações de coordenadas entre sistemas de referência inerciais. Para sistemas de referência 
não inerciais uma generalização é necessária e também foi desenvolvida por Einstein e recebe o 
nome de Teoria da Relatividade Geral. Essa teoria está bastante longe do nosso objetivo e não 
será abordada nesse texto. 
Antes de prosseguirmos, é importante que o estudante reflita sobre a diferença entre mudanças 
de coordenadas e mudanças de sistemas de referência. Quando falamos em mudanças de sistemas 
de coordenadas apenas mudamos a \u201creceita\u201d pela qual associamos números a pontos no espaço 
usando o mesmo sistema de referência: