FisicaBasicaVol I
205 pág.

FisicaBasicaVol I


DisciplinaFísica Básica I1.081 materiais10.587 seguidores
Pré-visualização44 páginas
sistema cartesiano, sistema cilíndrico ou sistema esférico. 
Por outro lado, quando usamos as transformadas de Galileu ou Lorentz, mudamos efetivamente 
de sistema de referência. Normalmente, essas transformações de sistema de referência são 
realizadas usando coordenadas cartesianas em ambos os sistemas de referência. 
Transformações de Galileu 
Já sabemos referenciar todos os pontos do espaço se tivermos um sistema de referência e um 
sistema de coordenadas, as paredes e o piso de nossa sala hipotética77. 
Uma pergunta colocada por Galileu, que apresentamos anteriormente, é a seguinte: se soubermos 
as coordenadas de um ponto em um sistema de referência seríamos capazes de descobrir as 
coordenadas desse mesmo ponto em outro sistema de referência que se mova com certa 
velocidade constante em relação ao primeiro? A situação é esquematizada na Figura 96. Nessa 
figura, o sistema de referência no qual sabemos as coordenadas do ponto P é chamado de S e o 
sistema de referência que se move em relação ao sistema S é chamado de S\u2019. 
 
76 Em verdade, a imposição de que essa velocidade seja a velocidade da luz não é fundamental. Pode-se obter um princípio de 
relatividade apenas exigindo que exista uma velocidade máxima permitida e mostra-se então que essa velocidade é a velocidade 
para partículas sem massa de repouso, os fótons (partículas que compõe a luz). 
77 Veja a página 99. 
Curso de Física Básica \u2013 Volume I 
 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
161 
Figura 97 
Para responder a essa pergunta, devemos fazer duas hipóteses: 
A) Os observadores nos dois sistemas de referências medem os 
mesmos intervalos de tempo; 
B) Os observadores nos dois sistemas de referências medem as 
mesmas distâncias. 
Chamaremos por P(x,y,z) as coordenadas do ponto no sistema de referência S. Além disso, v é a 
velocidade do segundo sistema de referência, S\u2019, medida no sistema de referência S. Para 
trabalharmos, podemos imaginar que um sistema de referência seja o sistema de referência a que 
nos referimos antes, a sala de aula, e o outro seja uma outra sala idêntica à primeira que se mova 
com velocidade constante para a direita. Outra visualização possível é a de um carro no qual 
estejamos sentados (sistema S) e outro que se movimente com velocidade constante em relação 
ao nosso. 
Figura 98 - Os sistemas S e S' no instante t. 
P(x,y,z) 
y 
x 
z 
z 
y´ 
x´ 
z´ 
v 
x 
P(x,y,z) 
y 
z 
z 
y´ 
x´ 
z 
z´ 
v 
d 
S 
S\u2019 
Curso de Física Básica \u2013 Volume I 
 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
162 
A pergunta que queremos responder é se é possível saber as coordenadas do mesmo ponto no 
sistema S\u2019 se soubermos as coordenadas do ponto no sistema S. Vamos supor que em um dado 
instante de tempo os dois conjuntos de eixos fossem coincidentes, ou seja, os eixos do sistema S\u2019 
(x\u2019,y\u2019,z\u2019) estavam perfeitamente alinhados aos eixos do sistema S (x,y,z), como na Figura 97. 
Chamemos o instante de tempo em que isso aconteceu de instante de tempo zero78. 
Nessa figura, v é a velocidade com que o sistema S\u2019 se move em relação ao sistema de referência 
S, a qual, por simplicidade, é na direção y. Após algum tempo, os dois sistemas de referência se 
encontram na situação mostrada na Figura 98. 
A letra d indica a distância percorrida pelo sistema S\u2019 desde o instante zero até o instante de 
tempo t. Claramente, a distância d é dada por (v =|v| é o módulo da velocidade): 
d = vt, 
uma vez que o sistema S\u2019 move-se com velocidade constante em relação ao sistema S. Da figura 
vemos que a coordenada y no sistema S é dada pela soma da coordenada y´, medida no sistema S\u2019, 
com a distância d: 
y = y´+ d. 
Usando a expressão para d: 
y = y´ + vt eq. 37 
Isolando y´, que é o que nos interessa: 
y´ = y \u2013 v t eq. 38 
y´ = y \u2013 v t\u2019 eq. 39 
Ou seja, podemos saber a coordenada y´ se soubermos a coordenada y, medida no sistema S, e o 
tempo t´ medido no sistema S\u2019, suposto igual ao tempo t medido no sistema S: t´ = t. 
As demais coordenadas ficam inalteradas: 
x´ = x eq. 40 
 
78
 Naturalmente que isso é arbitrário. Contudo, o valor dado a este instante de tempo é irrelevante, uma vez que somente 
diferenças de tempo (duração) são importantes. 
Curso de Física Básica \u2013 Volume I 
 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
163 
z\u2019 = z 
Esse conjunto de equações, as quais relacionam as coordenadas no sistema de referência S com as 
coordenadas no sistema de referência S\u2019, são chamadas de Transformações de Galileu (eq. 39 e 
eq. 40). Na derivação dessas equações, as duas hipóteses feitas anteriormente foram aplicadas ao 
admitirmos que os dois observadores medem os mesmos tempos t e t\u2019 e ao usarmos o fato que a 
distância d é a mesma tanto para o observador no sistema S como para o observador no sistema 
S\u2019. Essas duas hipóteses estão por trás da igualdade que obtivemos ao substituir t por t´, na 
passagem da eq. 38 para a eq. 39 na derivação acima. Essas hipóteses parecem naturais a um 
primeiro olhar. No entanto, como iremos ver mais adiante, elas não se sustentam. 
Podemos agora demonstrar a afirmação que fizemos antes que se um sistema de referência é 
inercial todos os outros sistemas de referência que se movem com velocidade constante em 
relação a ele serão igualmente inerciais. 
A força resultante sobre a partícula no sistema S é dada por: 
Fr = ma 
(a é a aceleração medida no sistema S). Esta aceleração pode ser escrita como: 
. 
Se o sistema de referência for inercial então, se a força resultante for nula, a aceleração também o 
será e a velocidade da partícula será constante. Vamos ver o que acontece no sistema de 
referência S\u2019. Nesse sistema de referência, a aceleração sobre a partícula se escreve: 
. 
Nesta última expressão escrevemos a velocidade da partícula no sistema S\u2019 como a derivada da 
coordenada y\u2019 uma vez que as outras coordenadas são iguais em ambos os sistemas de referência. 
Usando agora a eq. 39, a aceleração medida no sistema S\u2019 pode ser reescrita como (em módulo): 
. 
d
dt
=
v
a
2
'2
' '
' = = y
d d y
dt dt
v
a e
2
2
( ')
'
d y vt
a
dt
\u2212
=
Curso de Física Básica \u2013 Volume I 
 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
164 
Como, por hipótese, o tempo é medido do mesmo modo nos dois sistemas de referência o tempo 
t\u2019 medido no sistema de referência S\u2019 que aparece no numerador dessa expressão pode ser 
substituído pelo tempo t medido no sistema de referência S: 
. 
Executando agora as derivadas, obtemos que: 
 
Ou seja, a aceleração observada no sistema S\u2019 é a mesma observada no sistema S. 
Com esse resultado, podemos afirmar que a lei que governa os fenômenos nos dois sistemas de 
referência é a mesma (os subscritos S e S\u2019 indicam quantidades medidas nos sistemas S e S\u2019, 
respectivamente): 
 
eq. 41 
Portanto, se não há forças atuando no sistema S a aceleração é nula e por conseqüência também 
será nula no sistema de referências S\u2019. Neste caso, o sistema de referência S\u2019 será também um 
sistema de referência inercial. 
Podemos também inferir uma regra de transformação das velocidades entre os dois sistemas de 
referências. A partir da eq. 37, tomando a derivada em relação ao tempo de y obtemos a 
velocidade da partícula no sistema S: 
 eq. 42 
Essa é a regra para a adição de velocidades: a velocidade medida no sistema S é a velocidade com 
a qual o sistema S\u2019 se movimenta em relação ao sistema S adicionada à velocidade com