Resistencia dos materiais 2 P3

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Torção = momento(torque) e a distância é Radial( raio) a unidade então é radiano.
 (σ) 
Tensão mínima= não tiver material no centro da peça será = 0
p/Eixo Sólidos
p/Eixo Tubular
Ângulo de torção 
* G(Módulo de elasticidade ao cisalhamento)
Quando o torque não for constante fazer o somatório das áreas dos módulos de elasticidade. quanto maior o raio + deformação cisalhante.
Condição de compatibilidade: estaticamente indeterminados carregados por toque, usa-se a técnica de definir os apoios como fixos.
Torção eixos maciços não circulares:
 Ʈ = tensão máxima Ф = ângulo de torção
Quando o momento é plástico A1=A2 Então a linha deu três irá estar no meio da peça( dividir a área em dois)
 Se aumentar o diâmetro e a peça circular ficar OCA, Diminuir o peso da estrutura, mas não é a região central da Viga que sofre o maior tensão de cisalhamento.
Torção
1) Um eixo circular vazado de Aço tem comprimento L= 15 metros e diâmetro interno e externo respectivamente 40 e 60 mm . a) Qual é o momento máximo de torção que pode ser aplicado ao eixo para que as tensões de cisalhamento não excedam 120 Mega Pascoal? 
Ʈmáx.=120x ; diâmetro Ext.=60 mm p/m ÷ 1000 = 0,06 m ; diâmetro Interno =40 mm p/m ÷ 1000 = 0,04 m	Centro ou Raio= diâmetro ÷ 2 então C Ext.= 0,06 m ÷ 2 = 0,03 m ; C Interno =0,04 m ÷ 2 = 0,02 . p/Eixo Tubular
 → → 
 → T .= → T = 4,8xN/m ou 4,8 kN/m torque ou momento necessário. 
 b) Qual é o valor máximo de cisalhamento para esse caso?
 → Ʈ mÍn. = 120x * → Ʈ mín. = 80x Pa ou 80 MPa.
2) O eixo circular BC é vazado e tem diâmetro de 90 mm e 120 MM respectivamente interno e externo os eixos A B e C D são maciços com diâmetros ”d”. 
 Ta= 6 kN/M d Tb=14 kN/m d
. 
 120 mm 
 0,9 m 0,7 m 0,5 m 
a) Determinar para o carregamento indicado. A o valor máximo e valor mínimo da tensão de cisalhamento no eixo BC?
Ʈmáx.=120x ; diâmetro Ext.=120 mm p/m ÷ 1000 = 0,12 m ; diâmetro Interno =90 mm p/m ÷ 1000 = 0,09 m	Centro ou Raio= diâmetro ÷ 2 então C Ext.= 0,12 m ÷ 2 = 0,06 m ; C Interno =0,09 m ÷ 2 = 0,045 . p/Eixo Tubular
Secionar o elemento p/ver qual o esforço agindo em cada seção.
 6 14 Resultante 20 kN/m
 T = 20 kN/m ou 20x
 N/m ou 86,33 MPa 
 Pa ou 64,75 MPa.
b) Qual é o diâmetro necessário nos eixos A B e C D se a tensão admissível no material é de 65 Mega Pascal?
 
 → C= 0,0008386 ou 8,386x m
Ângulo de Torção
3) Considere o eixo abaixo submetido a 4 torque. determine o ângulo de torção da extremidade A em relação à extremidade D?
 A B C D
20 mm 80 150 60 10 (kN/m)
 0,8 0,5 0,8 (m)
Secionar o elemento p/ver o Torque em cada seção.
Seção AB - 80 = 80 Resultante 80 kN/m
 Seção AB → T = 80 kN/m ou 80x N/m
Seção BC 80 - 150 = - 70 Resultante - 70 kN/m
 Seção BC →T = - 70 kN/m ou - 70xN/m
Seção CD 10 = - 10 Resultante - 10 kN/m
 Seção CD → T = - 10 kN/m ou - 10x N/m
Saindo da peça Positivo é Entrando na peça e Negativo 
diâmetro Ext.= 20 mm p/m ÷ 1000 = 0,02 m ; C =0,02 m ÷ 2 = 0,01 . p/Eixo Sólidos
 → → 1,57 x . Seção AB Seção BC Seção CD → → Ф= 27,17662081+ (- 14,86199575x) + (- 3,397027601) → Ф= 8,92 rad 180º ------ π rad . Ф ------ 8,92 rad → Ф = → Ф = 511 º 
Torção Elementos Estaticamente Indeterminados 4) Determine as reações nos apoios fixos A e B ( usar equação de compatibilidade)? tb A D=500 N/m
 C=800 N/m B tb . 0,3 1,5 0,2 (m)
Σ Mx=0 ∴ - Ta+500 - 800 -Tb = 0 Ф AB = 0 (Equação de compatibilidade) . . Seção AD Seção DC Seção CB Ф=Σ = 0 assim = 0 
 → → = - 750 antes Ta + Tb = 300 Isolar um dos termos Tb= 300 - Ta → → → 
5) O eixo composto( 2 materiais) tem núcleo de Aço recoberto com tubo de alumínio. sabendo que a máxima tensão do Alumínio + 60 Mega Pascoal, determine o valor máximo da tensão de cisalhamento no núcleo de Aço, Tem sim G do Aço = 80 GPa; G alumínio = 27 GPa?
Torque Aço Alumínio 
 60(mm) . 80(mm) 2 m
Ф Aço = Ф Alumínio (Equação de compatibilidade)
Ʈmáx. Aço=? ; Ʈmáx. Alumínio =60x; diâmetro Ext.=80 mm p/m ÷ 1000 = 0,08 m ; diâmetro Interno =60 mm p/m ÷ 1000 = 0,06 m	 Centro ou Raio= diâmetro ÷ 2 então C Ext.= 0,08 m ÷ 2 = 0,04 m ; C Interno =0,06 m ÷ 2 = 0,03 . p/Eixo Tubular
 
Ʈ máx. = → → Ʈ 𝑚á𝑥. = 0,22243
Torção Eixos maciços não Circulares 6)Determine o maior torque que pode ser aplicado considerando, tensão admissível igual a 56 Mega Pa, (Ф)rotação admissível = 0,02 radianos, G = 26 GPa? 
 T
 1,2 40 mm
Ʈ adm.=56 MPa ou 56xPa ; Ф adm. = 0,02 rad 
Triângulo eqüilátero= Ʈ max= | Ф=
56x =→ T= → T = 179,2 N/m
Ф= → 0,02 = → 0,02* = T* 55,20 → 1331,2 = T* 55,20 → T = → T= 24,12 N/m
A Ʈ máxima menor prevalece que a Ʈ=24,12 N/m restrita pela (Ф)Rotação de 0,02 radianos
7) A extremidade B da barra de aço inoxidável indica giro de 2% pela ação do torque (T). sabendo-se que G= 80 GPa determine a máxima tensão de cisalhamento na Barra? . 20 mm A a . 30 mm b 
 750 mm B
1º ------ = 0,01745 2º = → 2º = 0,0349 rad
Ф = → 0,035 = → = T → = 175,43 N/m
8) Determinar em cada uma das Barras o maior valor de torque T que pode ser aplicado, e o correspondente ângulo de torção, adotar (Ʈ) tensão admissível = 35 MPa e G = 40 GPa. a) Maior dimensão? 
 → 35x = 
→ 35x * 0,208 * 0,05 * = → T = 910 N/m
 
180º ------ π rad . . Ф ------ 0,0084 rad → Ф = → Ф = 0,4812 º ; Ф = 0,48º
b ) Menor dimensão?
→ N|m ou 0,0092 rad 
180º ------ π rad . Ф ------ 0,0092 rad → Ф = → Ф = 0,5271 º Ф = 0,52º
Os dois eixos maciços de aço mostrados na figura estão interligados por meio das engrenagens engrenadas. Determine o ângulo de torção da extremidade A do eixo AB quando é aplicado o (T) torque= 45 N/m. Considere G = 80 GPa. O eixo AB é livre para girar dentro dos mancais E e F, enquanto o eixo DC é fixo em D. Cada eixo tem diâmetro de 20 mm.
Dados: T = 45 N/m; G=80xPa; Diâmetro Ext.= 20 mm p/m ÷ 1000 = 0,02 m Centro ou Raio= diâmetro ÷ 2 então C Ext.= 0,02 m ÷ 2 = 0,01 m ; 
Engrenagem AB= 150 mm p/m ÷1000= 0,150 m Engrenagem DC= 75 mm p/m ÷1000= 0,075 m Engrenagem AB: Força = Momento(Torque) ÷ Distância → . = 300 N Engrenagem DC: F = = 22,5 N/m 
p/Eixo Sólidos
Ф Seção CD → → Ф cd = 2,687x → Ф cd = 0,0268 rad
Ф b*c= Ф c*c → Ф b*(0,15)= 0,0268*(0,075) → Ф b= → Ф b= 0,0134 rad Seção AB → Ф ab= 7,165x Ф ab = 0,0716 rad Ф a= Ф ab + Ф b → Ф a= 0,0716 + 0,0134→ Ф b= 0,0850 rad 
O eixo tubular de transmissão para a hélice de um aero deslizador tem (L) comprimento = 6 m. Se o motor transmitir 4 MW de potência ao eixo quando as hélices giram a 25 rad/s, determine o diâmetro interno exigido para o eixo, considerando que o diâmetro externo seja 250 mm. Qual é o ângulo de torção do eixo quando ele está em operação? Considere τ adm. = 90 MPa e G = 75 GPa. 
Ʈ adm.= 90x ; G= 90x ; L=6 m; W=25 rad/s; P= 4 MW; Diâmetro Ext.=250 mm p/m ÷ 1000 = 0,250 m ; Centro ou Raio= diâmetro ÷ 2 então C Ext.= 0,250 m ÷ 2 = 0,125m ; Diâmetro Interno? 
 p/Torque → P=T*W → T= P ÷ W → T = → T = 160xN/m. . p/Eixo Tubular
J=
→ 
 Assim teremos Duas INCÓGNITAS 
Ʈ = →
 →
 → 
 → 
 → 
→ → C interno = 0,10059 m C interno = Diâmetro interno ÷ 2 , então 0,10059 = Diâmetro interno ÷ 2 → Diâmetro interno = 0,10059 * 2 → Diâmetro interno = 0,20118 m 
 C Interno= 0,10059 m; C Externo= 0,125 m
 → → J= 2,2267x Ф = → Ф = → Ф = 0,0574 rad 
 → Ф = 3,28 º → Ф ≅ 3,30 º
 . Ф _______ 0,0574 rad 
. Flexão Plástica ou Inelástica
Uma barra é constituída de material elastoplástico com tensão de escoamento de 240 MPa e tem seção Transversal indicada abaixo. Determinar seu momento plástico. 
 LN → (Linha Neutra)
Ha( Linha Neutra será a metade da área total, assim na A1=A2
A total= (100*20)+(20*80)+(60*20) = 4800 ÷ 2 = 2400 
 → (100*20) + (20* )=2400 → → 20 mm
 R1
 R2
 R3
 R4
R1 = σ *A1 → R1 = 240 * (0,1 * 0,02) → R1 = 480xou 480 kN
R2 = σ *A1 → R2 =240 * (0,02 * 0,02) → R1 = 96x ou 96 kN
R3 = σ *A1 → R3 =240 * (0,02 * 0,06) → R1 = 288x ou 288 kN
R4 = σ *A1 → R4 =240 * (0,02 * 0,06) → R1 = 288x ou 288 kN
 → Momento Plástico= (480*(40 - ()+ (96*(0,01) + (288*(0,03)) + (288 *(0,07) → Momento Plástico = 44,16x ou 44,16 kN/m
Flexão Pura
Para a viga constituída de perfil de aço laminado com abas largas e submetida ao carregamento indicado. determine a máxima tensão normal na seção localizada no meio do vão.
 
diâmetro (e a distância até a linha neutra)
 → 
 ]
→ 
 → → kN/M ou 12000 kN/cm
C=d ÷ 2 → C= → C= 203,5 m converter para (cm) ÷ 100 → C=2,035 m
σ máx. = → σ máx. = → σ máx.= 1,146 N/ p/ * 1000 → 1.146 N/
Modulo de Resistência a Flexão (momento estático) 
W =→ W= W= 
Torque é o momento que tende a torcer a peça em torno de seu eixo longitudinal. 
Quando um torque externo é aplicado a um eixo, cria um torque interno correspondente no interior do eixo. A equação da torção relaciona o torque interno com a distribuição das tensões de cisalhamento na seção transversal de um eixo ou tubo circular.
Para material linear-elástico aplica-se a lei de Hooke. τ =G(Módulo de rigidez) * γ (Deformação por cisalhamento) 
A tensão de cisalhamento varia LINEARMENTE ao longo de cada reta radial da seção transversal.
Equação da Torção
 ou 
onde: 
τ = Tensão de cisalhamento no eixo
T = Torque interno resultante que atua na seção transversal
J = Momento de inércia polar da área da seção transversal
c = Raio externo do eixo
ρ = Raio medido a partir do centro do eixo
. p/Eixo Tubular
p/Eixo Sólidos
Angulo de Torção 
 
 
Torção além dos esforços axiais também podemos ter esforços de torção que tendem a torcer os elementos em torno de seu eixo longitudinal esse esforço é comumente chamado de torque/ momento.
*Secção Plana permanece Plana no eixo Longitudinal.
*Não há deformação longitudinal (sem empenamento).
*produz uma rotação no eixo Longitudinal (eixo X).
*toda seção sofre uma rotação constante e de pequeno valor.
 Que passa pelo elemento os círculos contornando todo meu elemento continua o mesmo e as linhas Radiais/Centro também, mais as linhas longitudinais (ficam torcidas) .
Raio = 0 então τ =0 se Raio = máx. então τ = máx.
A tensão de cisalhamento máxima o corre na periferia da haste e tem uma variação linear ;
Flexão Pura: Elemento prismático(deformável) com um plano de simetria em flexão pura: eleme+nto continua simétrico(regular). 
* Secção transversal perpendicular ao eixo da barra permanece plana ao eixo e o plano da secção passa pelo centro C.
* Se Momento > 0 a linhaAB diminui o comprimento enquanto A' B' aumenta o comprimento (flexão ( [+] traciona as barra de baixo é [-] comprime as barras de cima).
*Tensões e Deformações são negativas (compressão) acima do plano neutro e positivas (tração) abaixo.
* No centro de gravidade (L.N. [linha neutra]) a tensão σ = 0, a σ varia linearmente (da L.N para baixo positivo e para cima negativo quando o (+) Momento for Positivo e vive versa.)
σ máx. = *C 
Se σ → σ [tração]
Se σ ≤ 0 → σ ≥ [compressão]
Flexão
a) Pura → só há momento fletor → RETA eixos X e Y
b) Simples → quando só existe momento fletor + esforço cortante 
c) Composta → quando existe momento fletor + esforço cortante + esforço normal.
RETA esforços nos eixos X e Y
OBLÍQUA esforços em ângulos. 
Momento Fletor (M) e responsável pela flexão e Esforço Cortante (Q) pelo cisalhamento da viga.
Em uma seção em que não se considera a força cortante , a força normal centrada e um momento fletor resultam em flexão composta.
Em uma peça de eixo reto que recebe apenas momento fletor no seu plano de simetria, as seções transversais , após deformação, conservam -se planas.(flexão pura é elástica) 
As análises para flexões puras em vigas prismáticas é para vigas composta de materiais homogêneos e elásticos lineares, que esteja submetida a uma flexão uniforme gerará um empenamento, ou seja, uma distorção no plano transversal. Dessa forma, classifique como Verdadeira (V) ou Falsa (F) os seguintes comentários sobre vigas planas em flexão.
 Certo 	A linha neutra está alinhado ao centróide da área da seção transversal quando o material segue a lei de Hooke e não existem forças axiais agindo na seção transversal.
O tubo mostrado tem um diâmetro interno de 80mm de diâmetro externo de 100mm. supondo que sua extremidade seja apertada quanto apoio em a por meio do torquímetro em B, determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida no material nas paredes internas e externas ao longo da parte central do tubo quando são aplicados por 80 N ao torquímetro?
∑My=0
80 * 0,3 + 80 * 0,2 −T = 0 
T= 40 Nm
. p/Eixo Tubular
C = → 
C= → C ext.= 50 mm p/m ÷ 1000 = 0,05 m
 → C inter.= 40 mm p/m ÷ 1000 = 0,04 m
 → 
 
 → → τ ext.= 0,344 MPa
 → → τ ext.= 0,275 MPa
Considerando uma viga com seção na figura determine o momento plástico o último? 
Área total da seção: (3*20)+(22*4)+(5*20) = 248 cm2
A linha neutra dividirá a seção em 2 áreas iguais de 124 cm2
 (3*20) + 4* = 124
 
 
Linha Neutra: 3+16 = 19 cm do bordo superior
Linha Neutra: (3+22+5) - 19 = 11 cm do bordo inferior
Acima da Linha Neutra: (60 * 17,5) + (64 * 8) = 1562 
Abaixo da Linha Neutra: (100 * 8,5) + (24 * 3) = 922 
Momento Plástico = (1562 + 922 ) * 5 kN/ = 12420 kN/cm p/ metro ÷1000 = 124,2 kN/m
Eixo cilíndrico representado pelo desenho determine o torque interno resultante na seção sabendo que na extremidade a tensão de cisalhamento e 60 MPa?
 
 5 cm 
C= 5 cm p/ m 
 → 
 → → → 
O eixo maciço de 32mm de diâmetro é usado para transmitir os torques aplicados às engrenagens. Se o eixo estivesse apoiado em mancais lisos em A e B, que não resistem a tosse determine a tensão de cisalhamento desenvolvida nos lixos nos pontos C e D?
 +260 75 -75
-185
 → → C= 16 mm p/metro ÷ 1000 fica C= 0,016 m
 → 
Ta= 185 N/m
Tb= -75 N/m
 
 → 
 
Achar os diâmetros d1 e d2, com tensão admissível ao cisalhamento de 800 kgf/ , G= 210 GPa (módulo de elasticidade transversal). Sendo que 1 kgf = 9,81 Newton)? 
diâmetro interno= ?
diâmetro externo= ? 60 kgf/m 40 kgf/m
Ʈ=800 kgf/
 2 m 1 m . . A B C 
 
Σ M=0
Fa *0 - 60 - 40=0 → Fa=100 kgf/m então T2=100 kgf/m e T1=40 kgf/m é T1= 40.000 N/m
 → 
 → → →
 → C = → C= 3,1697
 
A peça da máquina de alumínio está sujeita a um momento M= 75 N/m . Determinar a tensão normal de flexão nos pontos B e C da seção transversal . Desenhar os resultados em um elemento de volume localizado em cada um desses pontos? 
Um modelo dos esforços de flexão composta, no plano horizontal de um reservatório de concreto armado de planta-baixa quadrada e duplamente simétrica, é apresentado esquematicamente na figura a seguir por meio do diagrama de momentos fletores em uma das suas paredes. Na figura, p é a pressão hidrostática no plano de análise, a é o comprimento da parede de eixo a eixo, h é a espessura das paredes (h << A), M1 M2 são os momentos fletores, respectivamente, no meio da parede nas suas extremidades, e N é o esforço normal aproximado existente em cada parede.
Considerando o reservatório cheio de água, verifica-se que, na direção longitudinal da parede, os pontos Q, R e S ilustrados na figura estão submetidos às seguintes tensões normais:
Certo Q [compressão] - R [tração] - S [tração]
Considere uma viga homogênea e de seção retangular de largura b e altura h. Suponha que este elemento estrutural esteja sob um carregamento tal que em uma dada seção o esforço cortante seja igual a V. A distribuição da tensão de cisalhamento nesta seção transversal:
Certo Varia de maneira parabólica com a altura sendo seu máximo na metade da altura.