PÓRTICOS HIPERESTÁTICOS TEORIA DAS ESTRUTURAS 1

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3 RESOLUÇÃO DO PÓRTICO 3 PELO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 
 
 
 
 
 Para o pórtico proposto, temos os seguintes dados: 
 
Módulo de Elasticidade (E): 31000000,0000 kN/m² 
Momento de Inércia (I): 0,0021 m4 
Área (A): 0,1000 m² 
 
3.1 Matriz de rigidez do Elemento 1 (6m) 
 
 
 
 
 u1 v1 1 u2 v2 2 
 10763,89 0,00 0,00 -10763,89 0,00 0,00 u1 
 0,00 3587,96 10763,89 0,00 -3587,96 10763,89 v1 
KE1 0,00 10763,89 43055,56 0,00 -10763,89 21527,78 1 
-10763,89 0,00 0,00 10763,89 0,00 0,00 u2 
 0,00 -3587,96 -10763,89 0,00 3587,96 -10763,89 v2 
 0,00 10763,89 21527,78 0,00 -10763,89 43055,56 2 
MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO DO ELEMENTO “1” 
 
 0 -1 0 0 0 0 
 1 0 0 0 0 0 
TE1 0 0 1 0 0 0 
0 0 0 0 -1 0 
 0 0 0 1 0 0 
 0 0 0 0 0 1 
 
 MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO TRANSPOSTA 
 
 0 1 0 0 0 0 
 -1 0 0 0 0 0 
te1transp 0 0 1 0 0 0 
0 0 0 0 1 0 
 0 0 0 -1 0 0 
 0 0 0 0 0 1 
 
 
MATRIZ DE RIGIDEZ TRANSFORMADA 
 
 u1 v1 1 u2 v2 2 
 3587,96 0,00 10763,89 -3587,96 0,00 10763,89 u1 
 0,00 10763,89 0,00 0,00 
-
10763,89 0,00 v1 
MATRIZ 
TRANSFORMADA 
10763,89 0,00 43055,56 -10763,89 0,00 21527,78 1 
-3587,96 0,00 -10763,89 3587,96 0,00 
-
10763,89 u2 
 0,00 -10763,89 0,00 0,00 10763,89 0,00 v2 
 10763,89 0,00 21527,78 -10763,89 0,00 43055,56 2 
 
 
3.2 MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO 2 (6,32m) 
 
 u2 v2  u3 v3  
 490506,33 0,00 0,00 -490506,33 0,00 0,00 u2 
 0,00 3070,09 9701,47 0,00 -3070,09 9701,47 v2 
KE2 0,00 9701,47 40875,53 0,00 -9701,47 20437,76 
-490506,33 0,00 0,00 490506,33 0,00 0,00 u3 
 0,00 -3070,09 -9701,47 0,00 3070,09 -9701,47 v3 
 0,00 9701,47 20437,76 0,00 -9701,47 40875,53 
MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO DO ELEMENTO 2 
 
 0,95 -0,32 0,00 0,00 0,00 0,00 
 0,32 0,95 0,00 0,00 0,00 0,00 
TE2 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 
0,00 0,00 0,00 0,95 -0,32 0,00 
 0,00 0,00 0,00 0,32 0,95 0,00 
 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 
 
 
MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO TRANSPOSTA DO ELEMENTO 2 
 
 0,95 0,32 0 0 0 0 
 -0,32 0,95 0 0 0 0 
TE2 
TRANSP 
0 0 1 0 0 0 
0 0 0 0,95 0,32 0 
 0 0 0 -0,32 0,95 0 
 0 0 0 0 0 1 
 
 
MATRIZ TRANSFORMADA DO ELEMENTO 2 
 
 u2 v2  u3 v3  
 442399,7604 
-
146441,7492 3070,08548 
-
442399,7604 146441,7 3070,085 u2 
 -146441,7492 51888,42918 9210,25644 146441,7492 -51888,4 9210,256 v2 
KE2 
TRANSFORMADA 
3070,08548 9210,25644 40875,52743 -3070,08548 -9210,26 20437,76 
-442399,7604 146441,7492 -3070,08548 442399,7604 -146442 -3070,09 u3 
 146441,7492 
-
51888,42918 -9210,25644 
-
146441,7492 51888,43 -9210,26 v3 
 3070,08548 9210,25644 20437,76371 -3070,08548 -9210,26 40875,53 
 
 
 
3.3 MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO 3 
 
 
 
 
 u3 v3  u4 v4  
 490506,33 0,00 0,00 -490506,33 0,00 0,00 u3 
 0,00 3070,09 9701,47 0,00 -3070,09 9701,47 v3 
KE3 0,00 9701,47 40875,53 0,00 -9701,47 20437,76 
-490506,33 0,00 0,00 490506,33 0,00 0,00 u4 
 0,00 -3070,09 -9701,47 0,00 3070,09 -9701,47 v4 
 0,00 9701,47 20437,76 0,00 -9701,47 40875,53 
 
 
MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO DO ELEMENTO 3 
 
 0,949367089 0,316455696 0 0 0 0 
 -0,316455696 0,949367089 0 0 0 0 
TE3 0 0 1 0 0 0 
0 0 0 0,949367089 0,316456 0 
 0 0 0 
-
0,316455696 0,949367 0 
 0 0 0 0 0 1 
 
 
MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO TRANSPOSTA DO ELEMENTO 3 
 
 0,949367089 -0,31646 0 0 0 0 
 0,316455696 0,949367 0 0 0 0 
TE3 
TRANSP 
0 0 1 0 0 0 
0 0 0 0,949367 -0,31646 0 
 0 0 0 0,316456 0,949367 0 
 0 0 0 0 0 1 
 
 
MATRIZ DE RIGIDEZ TRANSFORMADA DO ELEMENTO 3 
 u3 v3  u4 v4  
 442399,7604 146441,7492 -3070,08548 
-
442399,7604 -146442 -3070,09 u3 
 146441,7492 51888,42918 9210,25644 
-
146441,7492 -51888,4 9210,256 v3 
KE3 
TRANSFORMADA 
-3070,08548 9210,25644 40875,52743 3070,08548 -9210,26 20437,76 
-442399,7604 
-
146441,7492 3070,08548 442399,7604 146441,7 3070,085 u4 
 -146441,7492 
-
51888,42918 -9210,25644 146441,7492 51888,43 -9210,26 v4 
 -3070,08548 9210,25644 20437,76371 3070,08548 -9210,26 40875,53 
 
3.4 MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO 4 (6m) 
 
 u4 v4  u5 v5  
 10763,89 0,00 0,00 -10763,89 0,00 0,00 u4 
KE4 0,00 3587,96 10763,89 0,00 -3587,96 10763,89 v4 
0,00 10763,89 43055,56 0,00 -10763,89 21527,78 
 -10763,89 0,00 0,00 10763,89 0,00 0,00 u5 
 0,00 -3587,96 -10763,89 0,00 3587,96 -10763,89 v5 
 0,00 10763,89 21527,78 0,00 -10763,89 43055,56 
 
 
MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO DO ELEMENTO 4 
 
 0 1 0 0 0 0 
TE4 -1 0 0 0 0 0 
0 0 1 0 0 0 
 0 0 0 0 1 0 
 0 0 0 -1 0 0 
 0 0 0 0 0 1 
 
 
MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO TRANSPOSTA DO ELEMENTO 4 
 
 0 -1 0 0 0 0 
TE4 
TRANSP 
1 0 0 0 0 0 
0 0 1 0 0 0 
 0 0 0 0 -1 0 
 0 0 0 1 0 0 
 0 0 0 0 0 1 
 
 
MATRIZ DE RIGIDEZ TRANSFORMADA DO ELEMENTO 4 
 u4 v4  u5 v5  
 3587,96 0,00 -10763,89 -3587,96 0,00 
-
10763,89 u4 
KE4 
TRANSFORMADA 
0,00 10763,89 0,00 0,00 
-
10763,89 0,00 v4 
-10763,89 0,00 43055,56 10763,89 0,00 21527,78 
 -3587,96 0,00 10763,89 3587,96 0,00 10763,89 u5 
 0,00 -10763,89 0,00 0,00 10763,89 0,00 v5 
 -10763,89 0,00 21527,78 10763,89 0,00 43055,56 
3.5 MATRIZES DE RIGIDEZ ACOPLADAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
u1 v1 1 u2 v2 2 u3 v3 q3 u4 v4 q4 u5 v5 q5
3587,96 0,00 10763,89 -3587,96 0,00 10763,89 0 0 0 0 0 0 0 0 0 u1
0,00 10763,89 0,00 0,00 -10763,89 0,00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 v1
10763,89 0,00 43055,56 -10763,89 0,00 21527,78 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
-3587,96 0,00 -10763,89 445987,96 -146442,00 -7693,89 -442400 146442 3070 0 0 0 0 0 0 u2
0,00 -10763,89 0,00 -146442,00 62651,89 9210,00 146442 -51888 9210 0 0 0 0 0 0 v2
10763,89 0,00 21527,78 -7693,89 9210,00 83931,56 -3070 -9210 20438 0 0 0 0 0 0 2
0 0 0 -442400 146442 -3070 884799,76 -0,25 -6140,09 -442400 -146442 -3070 0 0 0 u3
0 0 0 146442 -51888 -9210 -0,25 103776,43 0,09 -146442 -51888 9210 0 0 0 v3
0 0 0 3070 9210 20438 -6140,09 0,26 81751,53 3070 -9210 20438 0 0 0 q3
0 0 0 0 0 0 -442400 -146442 3070 445987,72 146441,75 -7693,8 -3587,96 0,00 -10763,89 u4
0 0 0 0 0 0 -146442 -51888 -9210 146441,75 62652,32 -9210,26 0,00 -10763,89 0,00 v4
0 0 0 0 0 0 -3070 9210 20438 -7693,8 -9210,26 83931,09 10763,89 0,00 21527,78 q4
0 0 0 0 0 0 0 0 0 -3587,96 0,00 10763,89 3587,96 0,00 10763,89 u5
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,00 -10763,89 0,00 0,00 10763,89 0,00 v5
0 0 0 0 0 0 0 0 0 -10763,89 0,00 21527,78 10763,89 0,00 43055,56 q5
 Com as condições de contorno sobre o pórtico, podemos eliminar linhas e colunas 
que restringem movimentos, e assim, reduzir a matriz, tendo como restrições: u1, v1, 
q1, u5, v5 e q5. 
 Sendo assim, teremos a seguintes matriz reduzida: 
 
 
 
 
 
3.6 VETOR DE FORÇAS NODAIS 
 
 
 Para o vetor de forças nodais, com as condições dadas pelo pórtico, obtemos 
a seguinte matriz: 
 
 
 
 
 
 Foram eliminados os elementos que 
mantiveram restrição em seus movimentos, 
reduzindo assim a matriz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
u2 v2 q2 u3 v3 q3 u4 v4 q4
445987,96 -146442,00 -7693,89 -442399,76 146441,75 3070,09 0,00 0,00 0,00 u2
-146442,00 62651,89 9210,00 146441,75 -51888,43 9210,26 0,00 0,00 0,00 v2
-7693,89 9210,00 83931,56 -3070,09 -9210,26 20437,76 0,00 0,00 0,00 q2
-442399,76 146441,75 -3070,09 884799,76 -0,25 -6140,09 -442399,76 -146441,75 -3070,09 u3
146441,75 -51888,43 -9210,26 -0,25 103776,43 0,09 -146441,75 -51888,43 9210,26 v3
3070,09 9210,26 20437,76 -6140,09 0,26 81751,53 3070,09 -9210,26 20437,76 q3
0,00 0,00 0,00 -442399,76 -146441,75 3070,09 445987,72 146441,75 -7693,80 u4
0,00 0,00 0,00 -146441,75 -51888,43 -9210,26 146441,75 62652,32 -9210,26 v4
0,00 0,00 0,00 -3070,09 9210,2620437,76 -7693,80 -9210,26 83931,09 q4
KE
N1 0 
V1 0 
M1 -6 
N2 0 
V2 -6,32 
M2 0,34 
N3 0 
 V3 -12,64 
M3 0,00 
N4 0 
V4 6,32 
M4 6,66 
N5 0 
V5 0 
M5 0 
3.7 SOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES F= K x D 
 
 
 
 
 
 
 
MATRIZ DE RIGIDEZ INVERSA 
 
 
 
 
 
VETOR DE DESLOCAMENTO 
 
 
 
 
 
 
 
u2 v2 q2 u3 v3 q3 u4 v4 q4
445987,96 -146442,00 -7693,89 -442399,76 146441,75 3070,09 0,00 0,00 0,00 u2
-146442,00 62651,89 9210,00 146441,75 -51888,43 9210,26 0,00 0,00 0,00 v2
-7693,89 9210,00 83931,56 -3070,09 -9210,26 20437,76 0,00 0,00 0,00 q2
-442399,76 146441,75 -3070,09 884799,76 -0,25 -6140,09 -442399,76 -146441,75 -3070,09 u3
146441,75 -51888,43 -9210,26 -0,25 103776,43 0,09 -146441,75 -51888,43 9210,26 v3
3070,09 9210,26 20437,76 -6140,09 0,26 81751,53 3070,09 -9210,26 20437,76 q3
0,00 0,00 0,00 -442399,76 -146441,75 3070,09 445987,72 146441,75 -7693,80 u4
0,00 0,00 0,00 -146441,75 -51888,43 -9210,26 146441,75 62652,32 -9210,26 v4
0,00 0,00 0,00 -3070,09 9210,26 20437,76 -7693,80 -9210,26 83931,09 q4
KE
0,00027169 -0,00001685 0,00003441 0,00025997 -0,00004997 -0,00001492 0,00023676 0,00001687 0,00004218
-0,00001685 0,00009197 -0,00000562 -0,00003202 0,00004645 -0,00000858 -0,00001685 0,00000094 -0,00000562
0,00003441 -0,00000562 0,00001971 0,00004021 0,00001220 -0,00000497 0,00004218 0,00000562 0,00000583
0,00025997 -0,00003202 0,00004021 0,00027190 0,00000002 -0,00001199 0,00025998 0,00003203 0,00004021
-0,00004997 0,00004645 0,00001220 0,00000002 0,00019935 0,00000000 0,00005001 0,00004646 -0,00001219
-0,00001492 -0,00000858 -0,00000497 -0,00001199 0,00000000 0,00001687 -0,00001492 0,00000858 -0,00000497
0,00023676 -0,00001685 0,00004218 0,00025998 0,00005001 -0,00001492 0,00027171 0,00001687 0,00003441
0,00001687 0,00000094 0,00000562 0,00003203 0,00004646 0,00000858 0,00001687 0,00009197 0,00000562
0,00004218 -0,00000562 0,00000583 0,00004021 -0,00001219 -0,00000497 0,00003441 0,00000562 0,00001971
0,001137
-0,001202
-0,000038
0,000686
-0,002597
0,000074
-0,000176
0,000027
0,000358
0 N1
0 V1
-6 M1
0,001137 N2
-0,001202 V2
-0,000038 M2
0,000686 N3
-0,002597 V3
0,000074 M3
-0,000176 N4
0,000027 V4
0,000358 M4
0 N5
0 V5
0 M5
MATRIZ DE RIGIDEZ DA ESTRUTURA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
u1 v1 q1 u2 v2 q2 u3 v3 q3 u4 v4 q4 u5 v5 q5
3587,962963 0 10763,88889 -3587,962963 0 10763,88889 0 0 0 0 0 0 0 0 0 u1
0 10763,88889 0 0 -10763,88889 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 v1
10763,88889 0 43055,55556 -10763,88889 0 21527,77778 0 0 0 0 0 0 0 0 0 q1
-3587,962963 0 -10763,88889 445987,96 -146442 -7693,89 -442399,7604 146441,7492 3070,08548 0 0 0 0 0 0 u2
0 -10763,88889 0 -146442 62651,89 9210 146441,7492 -51888,42918 9210,25644 0 0 0 0 0 0 v2
10763,88889 0 21527,77778 -7693,89 9210 83931,56 -3070,08548 -9210,25644 20437,76371 0 0 0 0 0 0 q2
0 0 0 -442399,7604 146441,7492 -3070,08548 884799,76 -0,25 -6140,09 -442399,7604 -146441,749 -3070,08548 0 0 0 u3
0 0 0 146441,7492 -51888,42918 -9210,25644 -0,25 103776,43 0,09 -146441,7492 -51888,4292 9210,25644 0 0 0 v3
0 0 0 3070,08548 9210,25644 20437,76371 -6140,09 0,26 81751,53 3070,08548 -9210,25644 20437,76371 0 0 0 q3
0 0 0 0 0 0 -442399,7604 -146441,7492 3070,08548 445987,72 146441,75 -7693,8 -3587,96 0 -10763,9 u4
0 0 0 0 0 0 -146441,7492 -51888,42918 -9210,25644 146441,75 62652,32 -9210,26 0 -10763,9 0 v4
0 0 0 0 0 0 -3070,08548 9210,25644 20437,76371 -7693,8 -9210,26 83931,09 10763,89 0 21527,78 q4
0 0 0 0 0 0 0 0 0 -3587,962963 0 10763,88889 3587,963 0 10763,89 u5
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -10763,8889 0 0 10763,89 0 v5
0 0 0 0 0 0 0 0 0 -10763,88889 0 21527,77778 10763,89 0 43055,56 q5
RE=KE*DG-F 
 
 
 
 
RE-F -64587,819
12,936
-258346,386
64583,333
-6,320
-129166,330
0,000
-12,640
0,000
0,000
6,320
6,660
4,487
-0,295
9,605
RE -64587,819 N1
12,936 V1
-258340,386 M1
64583,333 N2
0,000 V2
-129166,667 M2
0,000 N3
0,000 V3
0,000 M3
0,000 N4
0,000 V4
0,000 M4
4,487 N5
-0,295 V5
9,605 M5