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3 RESOLUÇÃO DO PÓRTICO 3 PELO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS Para o pórtico proposto, temos os seguintes dados: Módulo de Elasticidade (E): 31000000,0000 kN/m² Momento de Inércia (I): 0,0021 m4 Área (A): 0,1000 m² 3.1 Matriz de rigidez do Elemento 1 (6m) u1 v1 1 u2 v2 2 10763,89 0,00 0,00 -10763,89 0,00 0,00 u1 0,00 3587,96 10763,89 0,00 -3587,96 10763,89 v1 KE1 0,00 10763,89 43055,56 0,00 -10763,89 21527,78 1 -10763,89 0,00 0,00 10763,89 0,00 0,00 u2 0,00 -3587,96 -10763,89 0,00 3587,96 -10763,89 v2 0,00 10763,89 21527,78 0,00 -10763,89 43055,56 2 MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO DO ELEMENTO “1” 0 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 TE1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO TRANSPOSTA 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 te1transp 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 1 MATRIZ DE RIGIDEZ TRANSFORMADA u1 v1 1 u2 v2 2 3587,96 0,00 10763,89 -3587,96 0,00 10763,89 u1 0,00 10763,89 0,00 0,00 - 10763,89 0,00 v1 MATRIZ TRANSFORMADA 10763,89 0,00 43055,56 -10763,89 0,00 21527,78 1 -3587,96 0,00 -10763,89 3587,96 0,00 - 10763,89 u2 0,00 -10763,89 0,00 0,00 10763,89 0,00 v2 10763,89 0,00 21527,78 -10763,89 0,00 43055,56 2 3.2 MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO 2 (6,32m) u2 v2 u3 v3 490506,33 0,00 0,00 -490506,33 0,00 0,00 u2 0,00 3070,09 9701,47 0,00 -3070,09 9701,47 v2 KE2 0,00 9701,47 40875,53 0,00 -9701,47 20437,76 -490506,33 0,00 0,00 490506,33 0,00 0,00 u3 0,00 -3070,09 -9701,47 0,00 3070,09 -9701,47 v3 0,00 9701,47 20437,76 0,00 -9701,47 40875,53 MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO DO ELEMENTO 2 0,95 -0,32 0,00 0,00 0,00 0,00 0,32 0,95 0,00 0,00 0,00 0,00 TE2 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,95 -0,32 0,00 0,00 0,00 0,00 0,32 0,95 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO TRANSPOSTA DO ELEMENTO 2 0,95 0,32 0 0 0 0 -0,32 0,95 0 0 0 0 TE2 TRANSP 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0,95 0,32 0 0 0 0 -0,32 0,95 0 0 0 0 0 0 1 MATRIZ TRANSFORMADA DO ELEMENTO 2 u2 v2 u3 v3 442399,7604 - 146441,7492 3070,08548 - 442399,7604 146441,7 3070,085 u2 -146441,7492 51888,42918 9210,25644 146441,7492 -51888,4 9210,256 v2 KE2 TRANSFORMADA 3070,08548 9210,25644 40875,52743 -3070,08548 -9210,26 20437,76 -442399,7604 146441,7492 -3070,08548 442399,7604 -146442 -3070,09 u3 146441,7492 - 51888,42918 -9210,25644 - 146441,7492 51888,43 -9210,26 v3 3070,08548 9210,25644 20437,76371 -3070,08548 -9210,26 40875,53 3.3 MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO 3 u3 v3 u4 v4 490506,33 0,00 0,00 -490506,33 0,00 0,00 u3 0,00 3070,09 9701,47 0,00 -3070,09 9701,47 v3 KE3 0,00 9701,47 40875,53 0,00 -9701,47 20437,76 -490506,33 0,00 0,00 490506,33 0,00 0,00 u4 0,00 -3070,09 -9701,47 0,00 3070,09 -9701,47 v4 0,00 9701,47 20437,76 0,00 -9701,47 40875,53 MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO DO ELEMENTO 3 0,949367089 0,316455696 0 0 0 0 -0,316455696 0,949367089 0 0 0 0 TE3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0,949367089 0,316456 0 0 0 0 - 0,316455696 0,949367 0 0 0 0 0 0 1 MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO TRANSPOSTA DO ELEMENTO 3 0,949367089 -0,31646 0 0 0 0 0,316455696 0,949367 0 0 0 0 TE3 TRANSP 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0,949367 -0,31646 0 0 0 0 0,316456 0,949367 0 0 0 0 0 0 1 MATRIZ DE RIGIDEZ TRANSFORMADA DO ELEMENTO 3 u3 v3 u4 v4 442399,7604 146441,7492 -3070,08548 - 442399,7604 -146442 -3070,09 u3 146441,7492 51888,42918 9210,25644 - 146441,7492 -51888,4 9210,256 v3 KE3 TRANSFORMADA -3070,08548 9210,25644 40875,52743 3070,08548 -9210,26 20437,76 -442399,7604 - 146441,7492 3070,08548 442399,7604 146441,7 3070,085 u4 -146441,7492 - 51888,42918 -9210,25644 146441,7492 51888,43 -9210,26 v4 -3070,08548 9210,25644 20437,76371 3070,08548 -9210,26 40875,53 3.4 MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO 4 (6m) u4 v4 u5 v5 10763,89 0,00 0,00 -10763,89 0,00 0,00 u4 KE4 0,00 3587,96 10763,89 0,00 -3587,96 10763,89 v4 0,00 10763,89 43055,56 0,00 -10763,89 21527,78 -10763,89 0,00 0,00 10763,89 0,00 0,00 u5 0,00 -3587,96 -10763,89 0,00 3587,96 -10763,89 v5 0,00 10763,89 21527,78 0,00 -10763,89 43055,56 MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO DO ELEMENTO 4 0 1 0 0 0 0 TE4 -1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 1 MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO TRANSPOSTA DO ELEMENTO 4 0 -1 0 0 0 0 TE4 TRANSP 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 MATRIZ DE RIGIDEZ TRANSFORMADA DO ELEMENTO 4 u4 v4 u5 v5 3587,96 0,00 -10763,89 -3587,96 0,00 - 10763,89 u4 KE4 TRANSFORMADA 0,00 10763,89 0,00 0,00 - 10763,89 0,00 v4 -10763,89 0,00 43055,56 10763,89 0,00 21527,78 -3587,96 0,00 10763,89 3587,96 0,00 10763,89 u5 0,00 -10763,89 0,00 0,00 10763,89 0,00 v5 -10763,89 0,00 21527,78 10763,89 0,00 43055,56 3.5 MATRIZES DE RIGIDEZ ACOPLADAS u1 v1 1 u2 v2 2 u3 v3 q3 u4 v4 q4 u5 v5 q5 3587,96 0,00 10763,89 -3587,96 0,00 10763,89 0 0 0 0 0 0 0 0 0 u1 0,00 10763,89 0,00 0,00 -10763,89 0,00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 v1 10763,89 0,00 43055,56 -10763,89 0,00 21527,78 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -3587,96 0,00 -10763,89 445987,96 -146442,00 -7693,89 -442400 146442 3070 0 0 0 0 0 0 u2 0,00 -10763,89 0,00 -146442,00 62651,89 9210,00 146442 -51888 9210 0 0 0 0 0 0 v2 10763,89 0,00 21527,78 -7693,89 9210,00 83931,56 -3070 -9210 20438 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 -442400 146442 -3070 884799,76 -0,25 -6140,09 -442400 -146442 -3070 0 0 0 u3 0 0 0 146442 -51888 -9210 -0,25 103776,43 0,09 -146442 -51888 9210 0 0 0 v3 0 0 0 3070 9210 20438 -6140,09 0,26 81751,53 3070 -9210 20438 0 0 0 q3 0 0 0 0 0 0 -442400 -146442 3070 445987,72 146441,75 -7693,8 -3587,96 0,00 -10763,89 u4 0 0 0 0 0 0 -146442 -51888 -9210 146441,75 62652,32 -9210,26 0,00 -10763,89 0,00 v4 0 0 0 0 0 0 -3070 9210 20438 -7693,8 -9210,26 83931,09 10763,89 0,00 21527,78 q4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -3587,96 0,00 10763,89 3587,96 0,00 10763,89 u5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,00 -10763,89 0,00 0,00 10763,89 0,00 v5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -10763,89 0,00 21527,78 10763,89 0,00 43055,56 q5 Com as condições de contorno sobre o pórtico, podemos eliminar linhas e colunas que restringem movimentos, e assim, reduzir a matriz, tendo como restrições: u1, v1, q1, u5, v5 e q5. Sendo assim, teremos a seguintes matriz reduzida: 3.6 VETOR DE FORÇAS NODAIS Para o vetor de forças nodais, com as condições dadas pelo pórtico, obtemos a seguinte matriz: Foram eliminados os elementos que mantiveram restrição em seus movimentos, reduzindo assim a matriz. u2 v2 q2 u3 v3 q3 u4 v4 q4 445987,96 -146442,00 -7693,89 -442399,76 146441,75 3070,09 0,00 0,00 0,00 u2 -146442,00 62651,89 9210,00 146441,75 -51888,43 9210,26 0,00 0,00 0,00 v2 -7693,89 9210,00 83931,56 -3070,09 -9210,26 20437,76 0,00 0,00 0,00 q2 -442399,76 146441,75 -3070,09 884799,76 -0,25 -6140,09 -442399,76 -146441,75 -3070,09 u3 146441,75 -51888,43 -9210,26 -0,25 103776,43 0,09 -146441,75 -51888,43 9210,26 v3 3070,09 9210,26 20437,76 -6140,09 0,26 81751,53 3070,09 -9210,26 20437,76 q3 0,00 0,00 0,00 -442399,76 -146441,75 3070,09 445987,72 146441,75 -7693,80 u4 0,00 0,00 0,00 -146441,75 -51888,43 -9210,26 146441,75 62652,32 -9210,26 v4 0,00 0,00 0,00 -3070,09 9210,2620437,76 -7693,80 -9210,26 83931,09 q4 KE N1 0 V1 0 M1 -6 N2 0 V2 -6,32 M2 0,34 N3 0 V3 -12,64 M3 0,00 N4 0 V4 6,32 M4 6,66 N5 0 V5 0 M5 0 3.7 SOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES F= K x D MATRIZ DE RIGIDEZ INVERSA VETOR DE DESLOCAMENTO u2 v2 q2 u3 v3 q3 u4 v4 q4 445987,96 -146442,00 -7693,89 -442399,76 146441,75 3070,09 0,00 0,00 0,00 u2 -146442,00 62651,89 9210,00 146441,75 -51888,43 9210,26 0,00 0,00 0,00 v2 -7693,89 9210,00 83931,56 -3070,09 -9210,26 20437,76 0,00 0,00 0,00 q2 -442399,76 146441,75 -3070,09 884799,76 -0,25 -6140,09 -442399,76 -146441,75 -3070,09 u3 146441,75 -51888,43 -9210,26 -0,25 103776,43 0,09 -146441,75 -51888,43 9210,26 v3 3070,09 9210,26 20437,76 -6140,09 0,26 81751,53 3070,09 -9210,26 20437,76 q3 0,00 0,00 0,00 -442399,76 -146441,75 3070,09 445987,72 146441,75 -7693,80 u4 0,00 0,00 0,00 -146441,75 -51888,43 -9210,26 146441,75 62652,32 -9210,26 v4 0,00 0,00 0,00 -3070,09 9210,26 20437,76 -7693,80 -9210,26 83931,09 q4 KE 0,00027169 -0,00001685 0,00003441 0,00025997 -0,00004997 -0,00001492 0,00023676 0,00001687 0,00004218 -0,00001685 0,00009197 -0,00000562 -0,00003202 0,00004645 -0,00000858 -0,00001685 0,00000094 -0,00000562 0,00003441 -0,00000562 0,00001971 0,00004021 0,00001220 -0,00000497 0,00004218 0,00000562 0,00000583 0,00025997 -0,00003202 0,00004021 0,00027190 0,00000002 -0,00001199 0,00025998 0,00003203 0,00004021 -0,00004997 0,00004645 0,00001220 0,00000002 0,00019935 0,00000000 0,00005001 0,00004646 -0,00001219 -0,00001492 -0,00000858 -0,00000497 -0,00001199 0,00000000 0,00001687 -0,00001492 0,00000858 -0,00000497 0,00023676 -0,00001685 0,00004218 0,00025998 0,00005001 -0,00001492 0,00027171 0,00001687 0,00003441 0,00001687 0,00000094 0,00000562 0,00003203 0,00004646 0,00000858 0,00001687 0,00009197 0,00000562 0,00004218 -0,00000562 0,00000583 0,00004021 -0,00001219 -0,00000497 0,00003441 0,00000562 0,00001971 0,001137 -0,001202 -0,000038 0,000686 -0,002597 0,000074 -0,000176 0,000027 0,000358 0 N1 0 V1 -6 M1 0,001137 N2 -0,001202 V2 -0,000038 M2 0,000686 N3 -0,002597 V3 0,000074 M3 -0,000176 N4 0,000027 V4 0,000358 M4 0 N5 0 V5 0 M5 MATRIZ DE RIGIDEZ DA ESTRUTURA u1 v1 q1 u2 v2 q2 u3 v3 q3 u4 v4 q4 u5 v5 q5 3587,962963 0 10763,88889 -3587,962963 0 10763,88889 0 0 0 0 0 0 0 0 0 u1 0 10763,88889 0 0 -10763,88889 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 v1 10763,88889 0 43055,55556 -10763,88889 0 21527,77778 0 0 0 0 0 0 0 0 0 q1 -3587,962963 0 -10763,88889 445987,96 -146442 -7693,89 -442399,7604 146441,7492 3070,08548 0 0 0 0 0 0 u2 0 -10763,88889 0 -146442 62651,89 9210 146441,7492 -51888,42918 9210,25644 0 0 0 0 0 0 v2 10763,88889 0 21527,77778 -7693,89 9210 83931,56 -3070,08548 -9210,25644 20437,76371 0 0 0 0 0 0 q2 0 0 0 -442399,7604 146441,7492 -3070,08548 884799,76 -0,25 -6140,09 -442399,7604 -146441,749 -3070,08548 0 0 0 u3 0 0 0 146441,7492 -51888,42918 -9210,25644 -0,25 103776,43 0,09 -146441,7492 -51888,4292 9210,25644 0 0 0 v3 0 0 0 3070,08548 9210,25644 20437,76371 -6140,09 0,26 81751,53 3070,08548 -9210,25644 20437,76371 0 0 0 q3 0 0 0 0 0 0 -442399,7604 -146441,7492 3070,08548 445987,72 146441,75 -7693,8 -3587,96 0 -10763,9 u4 0 0 0 0 0 0 -146441,7492 -51888,42918 -9210,25644 146441,75 62652,32 -9210,26 0 -10763,9 0 v4 0 0 0 0 0 0 -3070,08548 9210,25644 20437,76371 -7693,8 -9210,26 83931,09 10763,89 0 21527,78 q4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -3587,962963 0 10763,88889 3587,963 0 10763,89 u5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -10763,8889 0 0 10763,89 0 v5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -10763,88889 0 21527,77778 10763,89 0 43055,56 q5 RE=KE*DG-F RE-F -64587,819 12,936 -258346,386 64583,333 -6,320 -129166,330 0,000 -12,640 0,000 0,000 6,320 6,660 4,487 -0,295 9,605 RE -64587,819 N1 12,936 V1 -258340,386 M1 64583,333 N2 0,000 V2 -129166,667 M2 0,000 N3 0,000 V3 0,000 M3 0,000 N4 0,000 V4 0,000 M4 4,487 N5 -0,295 V5 9,605 M5
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