trabalho de vibração PENDULO

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Faculdade Anhanguera de Anápolis 
Departamento de Engenharia 
Engenharia Mecânica 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vibrações mecânicas 
Pendulo de Newton 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Anápolis, setembro de 2015
 
 
 
 
Faculdade Anhanguera de Anápolis 
Departamento de Engenharia 
Engenharia Mecânica 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vibrações mecânicas 
Pendulo de Newton 
 
 
 
 
 
Acácio Lima Falcão - 5660119570 
Leandro de Oliveira Campos - 5670129166 
Leandro Fernandes de Oliveira – 4200061576 
Lucas Eduardo Galvão Rêgo – 3767739712 
Mikael Gomes Garcia – 3776741636 
Raylan Araújo Lima - 5203951104 
Ricardo Fernandes de Souza - 3773767026 
 
 
 
 
 
Anápolis, setembro de 2015 
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Engenharia Mecânica – Vibrações Mecânicas 
 
SUMARIO 
 
1. INTRODUÇÃO A VIBRAÇÕES MECÂNICAS..................................................................4 
1.1. VIBRAÇÕES LIVRES DE PARTÍCULAS. MOVIMENTO HARMÔNICO 
SIMPLES..............................................................................................................................4 
1.2. PÊNDULO SIMPLES (SOLUÇÃO APROXIMADA).................................................7 
1.3. PÊNDULO SIMPLES (SOLUÇÃO EXATA)..............................................................9 
2. PENDULO DE NEWTON.....................................................................................................9 
2.1. UTILIZANDO O PÊNDULO DE NEWTON NO ENSINO DE MECÂNICA..........10 
3. MEMORIAL DE CÁLCULOS............................................................................................10 
4. CONCLUSÃO......................................................................................................................13 
5. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS..................................................................................14 
 
4 
 
Engenharia Mecânica – Vibrações Mecânicas 
 
1. INTRODUÇÃO A VIBRAÇÕES MECANICAS 
 
Vibração mecânica é o movimento de uma partícula ou corpo que oscila em torno de uma 
posição de equilíbrio. A maioria das vibrações em máquinas e estruturas são indesejáveis 
devido ao aumento das tensões e as perdas de energia. 
O intervalo de tempo necessário para um sistema para completar um ciclo completo do 
movimento é o período da vibração. O número de ciclos por unidade de tempo define a 
freqüência das vibrações. O deslocamento máximo do sistema a partir da posição de 
equilíbrio é a amplitude da vibração. 
Quando o movimento é mantido pelas forças restauradoras apenas, a vibração é descrita 
como vibração livre. Quando uma força periódica é aplicada ao sistema, o movimento é 
descrito como vibração forçada. 
Quando a dissipação de energia por atrito é desprezada, o movimento é dito ser não 
amortecido. Na verdade, todas as vibrações são amortecidas em algum grau. 
 
1.1. VIBRAÇÕES LIVRES DE PARTÍCULAS. MOVIMENTO HARMÔNICO 
SIMPLES 
Se uma partícula é deslocada através de uma distância xm de sua posição de equilíbrio e 
liberada sem velocidade inicial, a partícula vai desenvolver um movimento harmônico 
simples, 
 
 
�� � � � �	�	
� � 
� � 	��
 �
� � �
 � 0 
5 
 
Engenharia Mecânica – Vibrações Mecânicas 
 
 
 
A solução geral é a soma de duas soluções particulares: 
 � 	�� sin ���� �� �	sin���� ��		 
�	��	 sin����� �	 C�cos����� 
 
x é uma função periódica e ωn é a frequência natural circular do movimento 
C1 e C2 são determinados pelas condições iniciais: 
 � 	��	 sin����� �	 C�cos�����													�� �	
 ! � 	
" � 	��	 cos����� �	 C�sin�����												�� �	! /�� 
 
 
 
6 
 
Engenharia Mecânica – Vibrações Mecânicas 
 
�� �	 ! �� �� �	
 
 
O deslocamento é equivalente ao componente x da soma dos dois vetores	��$$$$% � 	��$$$$% 
 que gira com velocidade angular constante ��. 
 � 	
& sin���� � 	∅� 
 
& � 	(�V*/���� �	+ � � ��,-.�/01 
∅ � 	 ��23� 	4 5 + �67 � 	Â29/-:	01	;�<1 � � �=>? � ,1@í:0: 
; � 	1� � 	��2D � ;@1E/ê2G.� 
Curvas de velocidade vs. tempo e aceleração vs. tempo podem ser representadas por 
curvas de seno do mesmo período que a curva de deslocamento vs. tempo, mas com diferentes 
ângulos de fase. 
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Engenharia Mecânica – Vibrações Mecânicas 
 
 
 � 	
& sin���� � 	∅� ! � 
" 	�!1-:G.0�01� � 	
&�� cos 	���� � 	∅� � 	
&�� sin	���� � 	∅ � 	D/2� 
 � � 
� 	�HG1-1@�çã:� � 	
&��� sin 	���� � 	∅� � 	
&��� sin	���� � 	∅ � 	D� 
 
1.2. PÊNDULO SIMPLES (SOLUÇÃO APROXIMADA) 
A maioria das vibrações encontradas em aplicações de engenharia pode ser 
representada por um movimento harmônico simples. Muitas outras, embora de tipos 
diferentes, podem ser aproximadas por um movimento harmônico simples, desde que suas 
amplitudes permaneçam pequenas. 
Consideramos, por exemplo, um pendulo simples, consistindo em uma massa m presa 
a um corda de comprimento l, que pode oscilar num plano vertical. Num determinado instante 
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t, a corda forma um angulo ϴ com a vertical. As forças que atuam sobre a massa são seu peso 
P e a força T exercida pela corda. 
Expressando o vetor ma em componentes tangencial e normal, com mat
 
apontando 
para a direita, isto é, no sentido correspondente aos valores crescentes de ϴ, e observado que �� � -� � -N� , escrevemos: ΣP� � �� :																				� R	<12	N � �-N� 
 
 
Considere a componente tangencial da aceleração e da força para um pêndulo simples, ΣP� � ���	 :	� �	<.2N � �-N� 
N� � 	9- sin N � 0 
Para pequenos ângulos, 
N� � 	9- sin N � 0 N � 	N& sin���� � S	� 
9 
 
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�� �	 2D�� � 2D	T9- 
 
1.3. PÊNDULO SIMPLES (SOLUÇÃO EXATA) 
 
Uma solução exata para: 
	N� � 	9- sin N � 0 
Leva a, 
�� �	2�D �2D	� -9 
 
 
 
Tabela: Fator de correção para o período de um pendulo simples. 
 
2. PENDULO DE NEWTON 
O pêndulo de Newton é um dispositivo que pode ser utilizado em sala de aula no 
ensino da conservação da quantidade de movimento e da energia mecânica nas colisões e 
vibrações mecânicas. 
 O nome dado a esse experimento é uma homenagem ao físico Isaac Newton, que foi 
quem o propôs para fazer a análise de vários princípios da Mecânica. Esse instrumento é 
construído a partir de uma série de, no mínimo, cinco pêndulos, que são colocados adjacentes 
uns aos outros. Cada um dos pêndulos deve ser preso a uma armação, de metal ou madeira, 
por meio de duas cordas de comprimentos e massas iguais. 
 Quando se levanta uma bolinha de sua extremidade, ela adquire energia potencial e, 
ao ser solta, choca-se com as outras e transfere energia e quantidade de movimento para o 
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sistema, de forma que a bolinha da extremidade oposta levante-se também. O movimento 
repete-se por várias vezes até parar em razão das perdas de energia que ocorrem no sistema. 
 
2.1. UTILIZANDO O PÊNDULO DE NEWTON NO ENSINO DE MECÂNICA 
Para fazer o experimento funcionar, deve-se levantar a bolinha de uma extremidade e 
soltá-la. Quando isso é feito, ela colide com a bolinha em sua proximidade e transfere energia 
e quantidade de movimento para o sistema, o que faz com que uma bolinha na outra 
extremidade levante-se também na mesma altura. 
Analisando a execução desse experimento com os alunos, o professor pode abordar os 
seguintes conceitos: 
Conservação da energia mecânica: Quando levantamos a bolinha da extremidade, ela 
passa a armazenar energia potencial gravitacional. Quando a bolinha é solta, ela cai graças à 
ação da gravidade, e essa energia é transformada em energia cinética durante o movimento. 
Conservação do momento linear: ele ocorre quando abolinha choca-se com a que estava 
em sua vizinhança e transfere toda a sua energia e momento linear para a bolinha da outra 
extremidade; 
Ação e reação: podem ser observadas no choque da bolinha com a que estava ao seu lado 
e no movimento da bolinha na extremidade oposta; 
Sabemos que se o experimento fosse ideal, ou seja, se não houvesse perdas de energia, 
esse movimento realizar-se-ia infinitamente e jamais pararia, mas, na prática, isso não 
acontece. Dessa forma, aproveite esse experimento para explicar aos seus alunos as perdas de 
energia que ocorrem na natureza. Nesse caso, pode ser citado como exemplo o som produzido 
pelo choque das bolinhas, que indica a transformação da energia mecânica em energia sonora, 
o que causa redução na intensidade do movimento das pequenas esferas. 
3. MEMORIAL DE CÁLCULOS 
 
O pendulo utilizado possui um grau de liberdade em cada extremidade, conforme figura 
abaixo: 
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m=200g 
 
Diagrama de Corpo livre: 
 
O movimento do sistema será descrito por meio da coordenada de posição ϴ. Quando 
a esfera está deslocada de um angulo ϴ, a força restauradora que age nela é dada pelo 
componente do peso mg	sen	ϴ. Além disso, a aceleração a tem o sentido de s. 
Equação de Movimento 
Aplicando a equação de movimento na direção tangencial, pois a força restauradora 
tem essa direção, obtemos, ΣP� � ��� 										� �9	<12	N � 	��� (1) 
Cinemática 
A coordenada está relacionada com a posição angular ϴ pela equação s=l ϴ, de 
modo que at= l ϴ. Logo a equação 1 se reduz a: 
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N� + 
9
-
 <12N = 0 (2) 
A solução dessa equação envolve o uso de uma integral eliptica. Todavia, para pequenos 
delocamentos, sen ϴ =0, logo: 
N� � 	9- 	N � 0												�3� 
A comparação dessa equação com a equação, 
� � 	���
 � 0											�4� 
Mostra que a frequencia natural será, 
�� � TZ[ (5) 
�� � T� � � 2	@�0/< 
O período para uma oscilação será: 
� =
2D
��
								�6� 
� � �=� � 3,14	<		 
A frequencia do pendulo será; 
; � 1� 								�7� ; � �_,�` 	� 0,32	ab. 
 
 
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4. CONCLUSÃO 
Concluímos neste artigo, a primeira fase do trabalho proposto para a matéria de vibrações 
mecânicas. Foi mostrado a introdução aos sistemas vibratório, movimento simples harmônico 
e pendulo simples. 
Foi demonstrado o memorial de calculo de um sistema vibratório escolhido, no caso o 
pendulo de Newton. Na próxima fase do trabalho apresentaremos o modelo físico. 
 
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5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS 
 
FERDINAND P. BEER,E. RUSSEL JOHNSTON JR.,PHILLIP J. CORNWELL, 
MECÂNICA VETORIAL PARA ENGENHEIROS – DINÂMICA. 5° EDIÇÃO. 
 
R. C. HIBELLER, DINAMICA MECANICA PARA ENGENHARIA, 10° EDIÇÃO. 
 
SINGIRESU S. RAO, VIBRAÇÕES MECÂNICAS, 4° EDIÇÃO.