Mat - Geo Plana

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Geometria Euclidiana Plana -
Um pouco de histo´ria
Profa. Ariane Piovezan Entringer
Ariane Piovezan Entringer Geometria Euclidiana Plana - Introduc¸a˜o
Introduc¸a˜o
Daremos in´ıcio ao estudo axioma´tico da geometria estudada no
ensino fundamental e me´dio, a Geometria Euclidiana Plana.
Faremos uso do me´todo utilizado por Euclides em seu livro Os
Elementos, o me´todo axioma´tico.
A palavra geometria vem do grego geometrien
geo : terra
metrien: medida.
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Os Elementos de Euclides
e´ um tratado matema´tico
e geome´trico consistindo de
13 livros escrito pelo matema´tico
grego Euclides em Alexandria
por volta de 300 a.C. Os
4 primeiros livros, que hoje pode
ser pensando como cap´ıtulos,
tratam da Geometria Plana
conhecida da e´poca, enquanto
os demais tratam da teoria dos
nu´meros e da geometria espacial.
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Um pouco de histo´ria
No livro 1 dos Elementos de Euclides, inicia-se o estudo da
geometria plana, hoje conhecida como Geometria Euclidiana Plana
em sua homenagem. Inicialmente ele define os objetos geome´tricos
cujas propriedades deseja-se estudar. Sa˜o 23 definic¸o˜es, entre as
quais encontramos as definic¸o˜es de ponto, reta, c´ırculo, triaˆngulo,
retas paralelas, etc. Em seguida ele enuncia 5 noc¸o˜es comuns, que
sa˜o afirmac¸o˜es admitidas como verdades o´bvias. Sa˜o elas:
1 Coisas iguais a uma mesma coisa sa˜o tambe´m iguais.
2 Se iguais sa˜o adicionados a iguais, os totais obtidos sa˜o iguais.
3 Se iguais sa˜o subtra´ıdos de iguais, os totais obtidos sa˜o iguais.
4 Coisas que coincidem uma com a outra sa˜o iguais.
5 O todo e´ maior do que qualquer uma de suas partes.
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Me´todo Axioma´tico
O que Euclides faz e´ construir axiomaticamente a geometria plana,
atrave´z do me´todo axioma´tico.
O que e´ o me´todo axioma´tico?
A estrutura teo´rica de cada a´rea da Matema´tica e´ disposta em:
O Conceito Primitivo;
Os Axiomas ou Postulados;
As Definic¸o˜es; os Teoremas, Lemas e Corola´rios.
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Um Conceito e´ Primitivo quando e´ tido como verdade e isento
de definic¸a˜o. Os exemplos cla´ssicos sa˜o:“ponto”,“reta”, “plano”.
Na˜o os definimos, apenas os aceitamos.
Axiomas sa˜o afirmativas (conjunto de regras) aceitas sem
comprovac¸a˜o e que determinam as propriedades de alguns
conceitos primitivos.
Uma teoria e´ axioma´tica quando e´ constru´ıda a partir de axiomas
ou postulados.
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Uma teoria axioma´tica e´ tanto mais elegante quanto menor for seu
nu´mero de axiomas e estes devem ser escolhidos com a
preocupac¸a˜o de que sejam:
* Consistentes: na˜o conduz a teoremas contradito´rios.
* Suficientes: a teoria pode ser desenvolvida sem a necessidade
de outros axiomas.
* Independentes: quando nenhum outro pode ser demonstrado
a partir dos demais.
Conceitos Primitivos ⇒ Axiomas ⇒ Teoremas / Lemas ⇒
Corola´rios
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Durante muito tempo distinguiu-se axioma de postulado. Os
axiomas eram proposic¸o˜es evidentes por si mesmas; e postulados,
proposic¸o˜es que se pediam fossem aceitas sem demonstrac¸a˜o.
Atualmente, axiomas e postulados sa˜o designac¸o˜es das proposic¸o˜es
sem demonstrac¸a˜o.
Constituem o ponto de partida de uma teoria dedutiva.
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A Geometria de Euclides foi a primeira teoria matema´tica a ser
axiomatizada. Ele apresentou, em sua famosa obra Os Elementos,
um conjunto de cinco axiomas e cinco postulados.
Axiomas:
A1 Coisas iguais a uma terceira sa˜o iguais entre si.
A2 Se quantidades iguais sa˜o adicionadas a iguais, os totais sa˜o
iguais.
A3 Se quantidades iguais sa˜o subtra´ıdas de iguais, os restos sa˜o
iguais.
A4 Coisas que coincidem uma com a outra sa˜o iguais.
A5 O todo e´ maior do que qualquer de suas partes.
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Postulados:
P1 Pode-se trac¸ar uma (u´nica) reta ligando quaisquer dois
pontos.
P2 Pode-se continuar (de uma u´nica maneira) qualquer reta finita
continuamente em uma reta.
P3 Pode-se trac¸ar um c´ırculo com qualquer centro e com
qualquer raio.
P4 Todos os aˆngulos retos sa˜o iguais.
Observac¸a˜o: Euclides define aˆngulos sem falar em medida e
aˆngulo reto como um aˆngulo que e´ igual ao seu suplementar.
Da´ı, a necessidade do Postulado 4.
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P5 Se uma reta secante a duas outras forma aˆngulos de um
mesmo lado dessa secante, cuja soma e´ menor que dois
aˆngulos retos, enta˜o essas retas, se prolongadas
suficientemente, encontrar-se-a˜o em um ponto desse mesmo
lado.
O 5◦ Postulado e´ o famoso postulado das paralelas. Atualmente e´
apresentado com as seguintes palavras:
Por um ponto P exterior a uma reta m, considerados em um
mesmo plano, existe uma u´nica paralela a` reta m.
Muitos acreditavam que quando Euclides chegou ao Postulado 5
na˜o soube como demonstra´-lo e enta˜o resolveu deixa´-lo como
postulado.
Diferentemente dos demais postulados, este se parece muito mais
com um teorema do que com uma simples afirmac¸a˜o que podemos
aceitar sem demonstrac¸a˜o.
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Renomados matema´ticos tentaram provar o 5◦ Postulado de
Euclides, pois o consideravam menos intuitivo e de redac¸a˜o mais
complicada. Pore´m, essa pretenc¸a˜o na˜o foi alcanc¸ada, pois o 5◦
Postulado na˜o e´ uma consequeˆncia lo´gicas dos quatro anteriores.
Substituindo tal postulado, surgiram as geometrias na˜o-euclidianas.
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Um fato interessante
A primeira proposic¸a˜o do livro I de Euclides e´ a seguinte:
Proposic¸a˜o
Existe um triaˆngulo equila´tero com um lado igual a um segmento
de reta dado.
Demonstrac¸a˜o.
Existe uma falha nesta demonstrac¸a˜o. Se queremos contruir a
geometria a partir dos axiomas, precisamos justificar toda
afirmac¸a˜o a partir deles. Na˜o existe nenhum postulado que garante
que o ponto de intersec¸a˜o entre os dois c´ırculos existe.
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Vemos, assim, que os postulados de Euclides na˜o sa˜o suficientes
para demonstrar todos os resultados da geometria plana.
Neste curso vamos axiomatizar a geometria de tal forma que os
axiomas sejam suficientes para demonstrar todos os resultados
conhecidos desde o ensino fundamental.
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Definic¸o˜es, Teoremas e Demonstrac¸o˜es
? Uma definic¸a˜o e´ um conceito que e´ feito em func¸a˜o de termos
considerados previamente conhecidos.
Por exemplo, “um segmento de reta e´ uma parte ou porc¸a˜o da
reta limitada por dois pontos”. Observe que sa˜o conhecidos
os termos ponto, reta e parte, dentre outros.
Partindo-se de uma teoria devidamente axiomatizada, surgem as
definic¸o˜es, as porposic¸o˜es ou teoremas, corola´rios, leis e regras
matema´ticas.
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? Teorema e´ uma afirmac¸a˜o que pode ser provada e de grande
importaˆncia,
? Proposic¸a˜o e´ uma sentenc¸a na˜o associada a algum outro
teorema, de simples prova e de importaˆncia matema´tica “
menor”,
? Lema e´ um “pre´-teorema”, um teorema que serve para ajudar
na prova de outro teorema maior,
? Corola´rio e´ uma consequeˆncia direta de outro teorema ou de
uma definic¸a˜o, muitas vezes tendo suas demonstrac¸o˜es
omitidas, por serem simples.
? conjectura e´o termo usado para afirmac¸o˜es que ainda na˜o
foram provadas, mas que acredita-se que sa˜o verdadeiras.
Alguns teoremas continuam a ser chamados de conjecturas
(Conjectura de Poicare`).
Observac¸a˜o: A distinc¸a˜o entre Lema, Teorema e Proposic¸a˜o e´ um
tanto quanto arbitra´ria.
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Um teorema e´ aceito como logicamente verdadeiro somente
mediante uma prova ou demonstrac¸a˜o.
O enunciado de um teorema compreende duas partes distintas:
hipo´tese: conjunto de condic¸o˜es aceitas como verdadeiras;
tese: verdade lo´gica que se pretende demonstrar a partir da
hipo´tese.
O racioc´ınio que permite concluir o estabelecimento da tese,
supondo compreendidas as condic¸o˜es da hipo´tese e´ chamado de
demonstrac¸a˜o.
Hipo´tese → Demonstrac¸a˜o → Tese
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Existem, basicamente, duas formas de demonstrar um teorema. Os
me´todos:
Direto - que se utiliza das informac¸o˜es contidas na hipo´tese e
outros resultados pertinentes e que atrave´s de uma sequeˆncia
lo´gica coerente chega ao resultado ou tese.
Indireto - tambe´m conhecido como me´todo de reduc¸a˜o ao
absurdo (ou me´todo da contradic¸a˜o). Sua estrate´gia e´
baseada na negac¸a˜o lo´gica da proposic¸a˜o tese e consequente
contradic¸a˜o da hipo´tese.
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