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Resolução: a) Para a equação 27. ( 1 3 ) 𝑥 4 = 3 deve-se isolar o valor da variável x, inicialmente passando o 27 que está no lado esquerdo (multiplicando), para o lado direito (dividindo), o que resulta ( 1 3 ) 𝑥 4 = 3 27 = 1 9 = 1 32 = ( 1 3 ) 2 e comparando as bases no lado esquerdo e no lado direito da igualdade observa-se os mesmos valores (no caso 1 3 ). Se as bases são iguais, os expoentes também são iguais resultando 𝑥 4 = 2 e isolando o x (mediante passar o 4 que está no lado esquerdo (dividindo) para o lado direito (multiplicando) resulta 𝑥 = 4.2 = 8 para o valor da incógnita. b) Na equação 16. ( 1 2 ) 𝑥 3 = 1 passamos o 16 para o lado direito da igualdade, resultando ( 1 2 ) 𝑥 3 = 1 16 = 1 24 = ( 1 2 ) 4 e observamos que as bases são iguais de forma que os expoentes também devem ser iguais, resultando 𝑥 3 = 4 e passando o 3 para o lado direito da igualdade temos 𝑥 = 3.4 = 12 como solução. c) Para a equação 3 . 43𝑥 = 96 deve-se passar o 3 do lado esquerdo para o lado direito da igualdade resultando: 43𝑥 = 96 3 = 32 = 25. As bases são diferentes pois no lado esquerdo temos base 4 e no lado direito temos base 2. Reescrevendo como base 2 o lado esquerdo da igualdade vem: (4)3𝑥 = (22)3𝑥 = 26𝑥 e reescrevendo a equação tem-se 26𝑥 = 25. Observando as bases são iguais, e pode-se igualar os expoentes de forma a ter 6𝑥 = 5 ou 𝑥 = 5 6 para a solução. d) Na equação 5 . 3 𝑥 4 = 45 deixando somente a exponencial no lado esquerdo tem-se 3 𝑥 4 = 45 5 = 9 = 32. Tem-se bases iguais e os expoentes devem ser iguais, resultando 𝑥 4 𝑧2 ou 𝑥 = 4.2 = 8 para a solução. e) Na equação 4. 5 2𝑥 3 = 36 emprega-se processo para isolar a variável x, de forma a obter 5 2𝑥 3 = 36 4 = 9 que não pode ser reescrito usando mesmas bases. Tem-se a equação 5 2𝑥 3 = 9 para ser resolvida, e aplicando logaritmos nos dois lados da igualdade (usando a base natural, ou seja logaritmo neperiano) vem resultando ln( 5 2𝑥 3 ) = ln (9) com solução obtida pela aplicação da propriedade de logaritmos, ou seja log𝑎 𝑅 𝑏 = 𝑏 . log𝑎 𝑅, resultando 2𝑥 3 . ln(5) = ln (9). Passando o ln (5) para o lado direito vem 2𝑥 3 = ln(9) ln(5) = 2,197224577336 1,609437912434 = 1,365212388971. Enfim o valor da incógnita é dado por: 2𝑥 3 = 1,365212 ou 𝑥 = 3 .1,365212 2 que resulta 𝑥 = 2,047818. f) Na equação 5 + 2. 𝑒𝑥 = 9 isolando o termo com exponencial no lado esquerdo resulta 2. 𝑒𝑥 = 9 − 5 = 4 ou 𝑒𝑥 = 4 2 = 2 e aplicando logaritmo neperiano (base natural) em ambos os lados da igualdade vem: ln(𝑒𝑥) = ln (2). No lado esquerdo usando a propriedade relativa a potência em logaritmos resulta: 𝑥. ln(𝑒) = 𝑥 . 1 = 𝑥. Então 𝑥 = ln(2) = 0,693147 para a solução. g) Para a equação 4 − 3. 𝑒−𝑥 = 2 buscando isolar a exponencial vem −3. 𝑒−𝑥 = 2 − 4 = −2 ou simplesmente 3. 𝑒−𝑥 = 2 ou ainda 𝑒−𝑥 = 2 3 . Aplicando logaritmo natural nos dois lados da igualdade resulta −𝑥. ln(𝑒) = ln ( 2 3 ) ou −𝑥 = −0,405461 … E, finalmente, 𝑥 = 0,405461 … como solução. h) Aplicando logaritmo nos dois lados da igualdade 1,832𝑥−1 = 4,2 resulta ln( 1,832𝑥−1) = ln (4,2). No lado esquerdo utiliza-se a propriedade relativa a potência em logaritmos resultando (2𝑥 − 1). ln(1,83) = ln(4,2). Deixando o fator (2𝑥 − 1) isolado no lado esquerdo da igualdade vem: 2𝑥 − 1 = ln(4,2) ln(1,83) = 1,435084… 0,604315… = 2,374725 … e buscando isolar a incógnita x vem 2𝑥 = 1 + 2,374725 … = 3,374725 … e finalmente 𝑥 = 3,374725… 2 = 1,687362 … i) Na equação 4 . ln(𝑥 − 2 ) = 1,2 inicia-se a resolução passando o 4 para o lado direito em processo de divisão obtendo ln(𝑥 − 2) = 1,2 4 = 0,3. Aplicando exponencial nos dois lados da igualdade vem: 𝑒ln(𝑥−2) = 𝑒0,3 No lado esquerdo pode-se aplicar a propriedade relativa a exponencial 𝑒ln(𝑎) = 𝑎 e no lado direito da igualdade faz-se o cálculo 𝑒0,3 = 1,349858 … Tem-se 𝑥 − 2 = 1,349858 … e passando o 2 para o lado direito em processo de soma resulta 𝑥 = 3,349858 … para a incógnita. j) Isolando o termo que envolve logaritmo na expressão 3 − log(𝑥 + 4) = 1 resulta − log(𝑥 + 4) = 1 − 3 = −2 Os sinais podem ser invertidos nos dois lados da igualdade (multiplicando por -1), resulta log(𝑥 + 4) = 2 e usando a transformação para exponencial vem: 𝑥 + 4 = 102 = 100 de forma que resulta 𝑥 = 100 − 4 = 96 para a solução. k) Neste caso os termos envolvem logaritmos de mesma base ln(𝑥 + 1) − ln(5) = 0 e pode-se passar um deles para o lado direito do sinal de igualdade, resultando ln(𝑥 + 1) = ln(5). Nesta situação como os logaritmos são iguais, os logaritmandos também são iguais, resultando 𝑥 + 1 = 5 ou 𝑥 = 5 − 1 ou ainda 𝑥 = 4 para a solução. l) Para a solução de ln(𝑥 + 1) + ln(5) = 0 observa-se que todos os termos envolvem logaritmos de mesma base (base “e” ou natural). Passando um dos termos para o lado direito da igualdade, vem ln(𝑥 + 1) = −ln (5). No lado direito surge um sinal negativo que deve ser modificado utilizando a propriedade de logaritmo de potência 𝑎 . ln(𝑥) = ln(𝑥𝑎) resultando para o lado direito ln(5−1) = ln ( 1 5 ). Fazendo a substituição dos valores obtidos tem-se ln(𝑥 + 1) = ln ( 1 5 ) e igualando os logaritmandos vem: 𝑥 + 1 = 1 5 e isolando x, resulta 𝑥 = 1 5 − 1 = − 4 5 para o valor da incógnita. m) Para a equação 2 . log(𝑥) − log(49) = 0 passamos o segundo termo para o lado direito do sinal da igualdade resultando 2. log(𝑥) = log (49) . No lado esquerdo deve-se usar a propriedade relativa a potência de logaritmos resultando log(𝑥2) = log (49). Considerando que os logaritmandos sejam iguais tem-se 𝑥2 = 49 que resultaria dois valores para x, ou seja 𝑥 = 7 e 𝑥 = −7. Considerando que somente existem logaritmos de números positivos, deve-se excluir uma das respostas, restando apenas 𝑥 = 7 para a solução da equação.
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