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aplicações das funções logaritmicas

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Resolução: 
a) Para a equação 27. (
1
3
)
𝑥
4
= 3 deve-se isolar o valor da variável x, 
inicialmente passando o 27 que está no lado esquerdo (multiplicando), 
para o lado direito (dividindo), o que resulta (
1
3
)
𝑥
4
=
3
27
=
1
9
=
1
32
= (
1
3
)
2
 e 
comparando as bases no lado esquerdo e no lado direito da igualdade 
observa-se os mesmos valores (no caso 
1
3
). Se as bases são iguais, os 
expoentes também são iguais resultando 
𝑥
4
= 2 e isolando o x (mediante 
passar o 4 que está no lado esquerdo (dividindo) para o lado direito 
(multiplicando) resulta 𝑥 = 4.2 = 8 para o valor da incógnita. 
 
b) Na equação 16. (
1
2
)
𝑥
3
= 1 passamos o 16 para o lado direito da igualdade, 
resultando (
1
2
)
𝑥
3
=
1
16
=
1
24
= (
1
2
)
4
e observamos que as bases são iguais de 
forma que os expoentes também devem ser iguais, resultando 
𝑥
3
= 4 e 
passando o 3 para o lado direito da igualdade temos 𝑥 = 3.4 = 12 como 
solução. 
 
c) Para a equação 3 . 43𝑥 = 96 deve-se passar o 3 do lado esquerdo para o 
lado direito da igualdade resultando: 43𝑥 =
96
3
= 32 = 25. As bases são 
diferentes pois no lado esquerdo temos base 4 e no lado direito temos 
base 2. Reescrevendo como base 2 o lado esquerdo da igualdade vem: 
(4)3𝑥 = (22)3𝑥 = 26𝑥 e reescrevendo a equação tem-se 26𝑥 = 25. 
Observando as bases são iguais, e pode-se igualar os expoentes de 
forma a ter 6𝑥 = 5 ou 𝑥 =
5
6
 para a solução. 
 
d) Na equação 5 . 3
𝑥
4 = 45 deixando somente a exponencial no lado 
esquerdo tem-se 3
𝑥
4 =
45
5
= 9 = 32. Tem-se bases iguais e os expoentes 
devem ser iguais, resultando 
𝑥
4
𝑧2 ou 𝑥 = 4.2 = 8 para a solução. 
 
e) Na equação 4. 5
2𝑥
3 = 36 emprega-se processo para isolar a variável x, de 
forma a obter 5
2𝑥
3 =
36
4
= 9 que não pode ser reescrito usando mesmas 
bases. Tem-se a equação 5
2𝑥
3 = 9 para ser resolvida, e aplicando 
logaritmos nos dois lados da igualdade (usando a base natural, ou seja 
logaritmo neperiano) vem resultando ln( 5
2𝑥
3 ) = ln (9) com solução obtida 
pela aplicação da propriedade de logaritmos, ou seja log𝑎 𝑅
𝑏 = 𝑏 . log𝑎 𝑅, 
resultando 
2𝑥
3
. ln(5) = ln (9). Passando o ln (5) para o lado direito vem 
2𝑥
3
=
ln(9)
ln(5)
=
2,197224577336
1,609437912434
= 1,365212388971. Enfim o valor da incógnita é dado 
por: 
2𝑥
3
= 1,365212 ou 𝑥 =
3 .1,365212
2
 que resulta 𝑥 = 2,047818. 
 
f) Na equação 5 + 2. 𝑒𝑥 = 9 isolando o termo com exponencial no lado 
esquerdo resulta 2. 𝑒𝑥 = 9 − 5 = 4 ou 𝑒𝑥 =
4
2
= 2 e aplicando logaritmo 
neperiano (base natural) em ambos os lados da igualdade vem: 
ln(𝑒𝑥) = ln (2). No lado esquerdo usando a propriedade relativa a 
potência em logaritmos resulta: 𝑥. ln(𝑒) = 𝑥 . 1 = 𝑥. Então 𝑥 = ln(2) =
0,693147 para a solução. 
 
g) Para a equação 4 − 3. 𝑒−𝑥 = 2 buscando isolar a exponencial vem 
−3. 𝑒−𝑥 = 2 − 4 = −2 ou simplesmente 3. 𝑒−𝑥 = 2 ou ainda 𝑒−𝑥 =
2
3
. 
Aplicando logaritmo natural nos dois lados da igualdade resulta 
−𝑥. ln(𝑒) = ln (
2
3
) ou −𝑥 = −0,405461 … E, finalmente, 𝑥 = 0,405461 … 
como solução. 
 
h) Aplicando logaritmo nos dois lados da igualdade 1,832𝑥−1 = 4,2 resulta 
ln( 1,832𝑥−1) = ln (4,2). No lado esquerdo utiliza-se a propriedade relativa 
a potência em logaritmos resultando (2𝑥 − 1). ln(1,83) = ln(4,2). 
Deixando o fator (2𝑥 − 1) isolado no lado esquerdo da igualdade vem: 
2𝑥 − 1 =
ln(4,2)
ln(1,83)
=
1,435084…
0,604315…
= 2,374725 … e buscando isolar a incógnita x 
vem 2𝑥 = 1 + 2,374725 … = 3,374725 … e finalmente 𝑥 =
3,374725…
2
=
1,687362 … 
i) Na equação 4 . ln(𝑥 − 2 ) = 1,2 inicia-se a resolução passando o 4 para o 
lado direito em processo de divisão obtendo ln(𝑥 − 2) =
1,2
4
= 0,3. 
Aplicando exponencial nos dois lados da igualdade vem: 𝑒ln(𝑥−2) = 𝑒0,3 
No lado esquerdo pode-se aplicar a propriedade relativa a exponencial 
𝑒ln(𝑎) = 𝑎 e no lado direito da igualdade faz-se o cálculo 𝑒0,3 = 1,349858 … 
Tem-se 𝑥 − 2 = 1,349858 … e passando o 2 para o lado direito em 
processo de soma resulta 𝑥 = 3,349858 … para a incógnita. 
 
j) Isolando o termo que envolve logaritmo na expressão 3 − log(𝑥 + 4) = 1 
resulta − log(𝑥 + 4) = 1 − 3 = −2 Os sinais podem ser invertidos nos dois 
lados da igualdade (multiplicando por -1), resulta log(𝑥 + 4) = 2 e usando 
a transformação para exponencial vem: 𝑥 + 4 = 102 = 100 de forma que 
resulta 𝑥 = 100 − 4 = 96 para a solução. 
 
k) Neste caso os termos envolvem logaritmos de mesma base ln(𝑥 + 1) −
ln(5) = 0 e pode-se passar um deles para o lado direito do sinal de 
igualdade, resultando ln(𝑥 + 1) = ln(5). Nesta situação como os 
logaritmos são iguais, os logaritmandos também são iguais, resultando 
𝑥 + 1 = 5 ou 𝑥 = 5 − 1 ou ainda 𝑥 = 4 para a solução. 
 
l) Para a solução de ln(𝑥 + 1) + ln(5) = 0 observa-se que todos os termos 
envolvem logaritmos de mesma base (base “e” ou natural). Passando um 
dos termos para o lado direito da igualdade, vem ln(𝑥 + 1) = −ln (5). No 
lado direito surge um sinal negativo que deve ser modificado utilizando a 
propriedade de logaritmo de potência 𝑎 . ln(𝑥) = ln(𝑥𝑎) resultando para o 
lado direito ln(5−1) = ln (
1
5
). Fazendo a substituição dos valores obtidos 
tem-se ln(𝑥 + 1) = ln (
1
5
) e igualando os logaritmandos vem: 𝑥 + 1 =
1
5
 e 
isolando x, resulta 𝑥 =
1
5
− 1 = −
4
5
 para o valor da incógnita. 
 
m) Para a equação 2 . log(𝑥) − log(49) = 0 passamos o segundo termo para 
o lado direito do sinal da igualdade resultando 2. log(𝑥) = log (49) . No lado 
esquerdo deve-se usar a propriedade relativa a potência de logaritmos 
resultando log(𝑥2) = log (49). Considerando que os logaritmandos sejam 
iguais tem-se 𝑥2 = 49 que resultaria dois valores para x, ou seja 𝑥 = 7 e 
𝑥 = −7. Considerando que somente existem logaritmos de números 
positivos, deve-se excluir uma das respostas, restando apenas 𝑥 = 7 para 
a solução da equação.

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