PRÉ-CÁLCULO aula 4

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Conversa inicial 
Olá! Seja bem-vindo à nossa terceira aula. Nela, iremos abordar um 
tema muito importante e constantemente presente em nossas vidas: 
as funções. Nesta aula e nas próximas discutiremos sobre o que são 
funções e como as funções podem ser utilizadas na resolução de 
diversos problemas práticos. 
Para começarmos, vamos assistir ao vídeo do professor Ricardo sobre 
os conteúdos dessa aula no material on-line! 
Contextualizando 
As funções estão presentes nas mais diversas situações 
Quando vamos ao mercado fazer compras, o total a ser pago é dado 
em função dos produtos comprados, preços e quantidades. 
As funções podem servir de inspiração para construções dos mais 
diversos tipos, como o Memorial da Paz de Hiroshima destacado na 
imagem. 
A água que sai da mangueira ou de um chafariz descreve um 
movimento com a forma de uma parábola, curva associada a uma 
função quadrática. 
Pré-Cálculo - Aula 03
Prof.: Ricardo Zanardini
 
 
As funções podem descrever também a trajetória de objetos. Uma 
bola de futebol, por exemplo, muitas vezes descreve um movimento 
que acompanha uma parábola. 
As funções logarítmicas são utilizadas no estudo da intensidade de 
terremotos, pois são muito adequadas a problemas que envolvem 
grandezas com uma grande amplitude de valores. 
As intensidades dos terremotos têm uma amplitude de valores muito 
grande. Na escala Richter, a magnitude M de um terremoto é igual ao 
logaritmo da razão entre sua intensidade física I e a intensidade física 
Io de um terremoto tomado como padrão. Logo: M = log(I/Io) 
Na química, podemos utilizar funções logarítmicas para medirmos a 
acidez de soluções que está relacionada com a concentração do íon 
hidrogênio. 
A concentração do íon hidrogênio [H+] pode variar desde 100 mol/L até 
10-14 mol/L. O pH é o logaritmo decimal do inverso da [H+]. Logo: pH = 
log (1 / [H+]) 
Funções e suas propriedades 
As funções estão presentes em diversos problemas do nosso 
cotidiano. Desde situações simples, tais como a compra de alguns 
produtos até problemas mais específicos, como, por exemplo, um 
estudo sobre o crescimento populacional ou até mesmo a estimativa 
do tempo da morte de uma pessoa. 
Antes de começarmos as nossas explicações, vamos assistir a um 
vídeo sobre a importância das funções: 
https://www.youtube.com/watch?v=84VbUs8GNfg 
Funções 
Diversas relações entre grandezas podem ser descritas através de 
funções. Uma função de uma variável é uma relação que existe entre 
elementos x e y pertencentes a dois conjuntos distintos, um chamado 
de domínio e o outro de contradomínio. 
Essa relação não é uma relação qualquer, pois existe uma 
característica importante para que tenhamos uma função. A condição 
é que cada elemento do domínio, o conjunto dos possíveis valores da 
variável independente x esteja relacionado a um único elemento do 
contradomínio, conjunto das variáveis dependentes. 
Todos os elementos do contradomínio que estão relacionados aos 
elementos do domínio formam um conjunto chamado de conjunto 
imagem. O conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio, ou 
seja, os elementos do conjunto imagem também são elementos do 
contradomínio. Em alguns casos podemos ter a imagem igual ao 
contradomínio. 
A variável y é chamada de variável dependente, pois é uma 
consequência do valor de x, ou seja, y depende de x. 
A figura a seguir ilustra o que é o domínio e o que é o contradomínio 
de uma função. 
Já sabemos que para que uma relação entre elementos de dois 
conjuntos seja uma função, cada elemento do domínio deve estar 
 
 
associado a um único elemento do contradomínio. A figura a seguir 
mostra isso. 
 
 
No entanto, muitas vezes podemos ter relações que não são 
classificadas como funções. Isso ocorre quando um valor da variável 
independente x está associado a dois ou mais valores. A figura abaixo 
ilustra isso. 
 
Mas, de fato, que problemas podem ser representados por funções? A 
resposta é bem simples. Na prática, temos diversas situações 
envolvendo funções. Vamos apresentar algumas aplicações. 
Primeiro, vamos imaginar a situação onde uma pessoa vai até um 
supermercado para comprar algumas frutas. Essa pessoa pega 1 quilo 
de maçã, dois quilos de banana e uma dúzia de laranjas. O total a ser 
pago pela compra é função da quantidade comprada de cada produto 
e, para que possamos determinar o total da compra, precisamos 
também saber qual é o preço cobrado pelas frutas adquiridas. 
Vamos organizar essas informações em uma tabela para facilitar a 
resolução do problema: 
Produto Quantidade Preço Total 
Maçã 1 kg R$ 5,00 por quilo 1x5=5,00 
Banana 2 kg R$ 2,00 por quilo 2x2=4,00 
Laranja 1 dúzia R$ 4,00 por dúzia 1x4=4,00 
Total da compra --- --- 5+4+4=13,00 
Nesse caso, conhecendo o preço das frutas e as quantidades que 
foram compradas, podemos determinar o total da compra a partir da 
soma dos valores que serão pagos pelos produtos adquiridos em 
função das quantidades de cada um deles. Logo, no caso dessa 
compra, o total a ser pago é dado em função das quantidades 
adquiridas de cada produto. Essas quantidades são as variáveis do 
nosso problema. Nos nossos estudos, vamos nos concentrar em 
funções de uma variável. 
Como exemplo, podemos relacionar a alta do preço da gasolina em 
função do tempo ou também o lucro de uma empresa em função da 
quantidade vendida do seu produto. Nessa aula e nas próximas 
veremos muitas aplicações das funções nas mais diversas áreas do 
conhecimento. 
O vídeo a seguir apresenta importantes tópicos relacionados às 
funções: 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=OcYB_B0IISg&list=PLf4asln_6hSe
N868g8mXhAAQfQV6L1nsc&index=33 
Domínio e Imagem 
Inicialmente é interessante falarmos sobre o domínio de uma função, 
ou seja, os possíveis valores que podem ser atribuídos à variável 
independente. Mas por que é importante conhecermos o domínio de 
uma função? 
Por um motivo bem simples: muitas vezes podemos calcular os 
valores de uma função para quaisquer valores de x, mas, em outras 
situações, há restrições em relação aos possíveis valores dessa 
variável. Para entendermos melhor, vamos analisar alguns exemplos: 
Vamos considerar, inicialmente, a função 
 
x
xf
1

. Observe que 
nesse caso a variável x pode assumir qualquer valor, exceto o zero, 
pois não é possível efetuarmos uma divisão por zero. Logo, o domínio 
da função 
 
x
xf
1

 consiste em todos os valores de x pertencentes ao 
conjunto dos reais tal que x é diferente de zero. Matematicamente 
podemos escrever o domínio da função como 
 0,  xRxD f
. 
Quanto mais próximo de zero estiver x, mais próximo de 

 ou de 

estará f(x). O gráfico a seguir apresenta o comportamento da 
função. 
 
 
Algo parecido acontece com a função 
 
3
1


x
xf
. Nesse caso, a 
condição de existência da função é que o denominador seja diferente 
de zero, ou seja, 
03 x
. Nesse caso, temos 
3x
. Logo, o domínio 
dessa função é 
 3,  xRxD f
. 
Graficamente podemos observar o comportamento da função em torno 
do ponto x=-3. 
 
Vamos agora analisar o domínio da função 
  xxf 
. Como 
sabemos, não é possível, dentro do conjunto dos reais, calcularmos a 
raiz quadrada de um número negativo. Logo, x deve ser maior ou igual 
a zero. Nesse caso, o domínio da função consiste em todos os 
números reais maiores ou igual a zero, ou seja, 
 0,  xRxD f
. 
Graficamente, temos: 
 
 
 
Em relação à função 
  5 xxf
, o domínio consiste em 
05 x
 ou, 
equivalentemente, 
5x
.A imagem abaixo mostra o gráfico da função 
  5 xxf
. 
 
Além do domínio, temos também a possibilidade de analisarmos a 
imagem de uma função. Em algumas situações, a imagem de uma 
função consiste em todos os números reais. Em outros casos, o 
conjunto imagem consiste em um subconjunto dos reais. 
Se considerarmos, como exemplo, a função f(x)=2x, o conjunto 
imagem (Im) de f consiste em todos os números reais. Podemos 
escrever, então, que Im=R. O gráfico a seguir ilustra esse fato. 
 
 
Em relação à função y=x2, o conjunto imagem consiste em todos os 
números reais não negativos. Isso ocorre por que qualquer número 
elevado ao quadrado é igual a zero ou positivo e nunca menor do que 
zero. Logo, 
 0/RIm  yy
. 
O gráfico ilustra o comportamento da função quadrática e, com isso, 
fica fácil de visualizar a imagem da função. 
 
Veja como os gráficos podem ser úteis para que possamos analisar 
melhor o comportamento das funções. 
O vídeo a seguir apresenta como os diversos tipos de gráficos podem 
ser úteis para nós: 
https://www.youtube.com/watch?v=Dox-
GTZVEhA&list=PLf4asln_6hSeN868g8mXhAAQfQV6L1nsc&index=38] 
Continuidade de Funções 
De acordo com as suas características, podemos classificar as 
funções como contínuas ou descontínuas. Uma função é dita contínua 
quando o seu gráfico não possui interrupções. A imagem a seguir 
apresenta uma função contínua. 
 
 
 
Por outro lado, quando há qualquer tipo de interrupção na função, 
dizemos que a função é descontínua. O tipo de descontinuidade da 
função e pode ser classificado como descontinuidade de salto, 
removível ou infinita. 
A descontinuidade de salto, como o nome diz, apresenta um salto no 
ponto de descontinuidade. O gráfico abaixo ilustra esse tipo de 
descontinuidade. 
 
A descontinuidade removível consiste em uma interrupção da função 
no ponto de descontinuidade. 
 
 
E, finalmente, a descontinuidade infinita ocorre quando, no ponto de 
descontinuidade, a função tende a infinito. 
 
O vídeo a seguir ilustra a relação entre funções descontínuas e 
problemas do cotidiano: 
https://www.youtube.com/watch?v=Axalqv09SpE&index=15&list=PLf4
asln_6hSeN868g8mXhAAQfQV6L1nsc 
Funções Crescentes 
Sempre que, ao aumentarmos o valor da variável independente, a 
variável dependente tem um acréscimo no valor, temos uma função 
crescente. Uma função pode ser crescente para todo o domínio ou em 
um determinado intervalo. De um modo geral, uma função é dita 
 
 
crescente quando 
1212 yyxx 
. O gráfico a seguir ilustra esse 
fato. 
 
O preço total referente à compra de uma certa quantidade de garrafas 
de água é um exemplo de uma função crescente. Quanto maior o 
número de garrafas compradas, maior é o total a ser pago por elas. 
Funções Decrescentes 
Se ao aumentarmos o valor da variável independente temos uma 
redução no valor da variável dependente, a função é dita decrescente. 
Assim como no caso de uma função crescente, uma função pode ser 
decrescente em todo o domínio ou em um certo intervalo. E uma 
função é decrescente, temos que 
1212 yyxx 
. 
 
 
Uma função decrescente representa, por exemplo, o tempo para a 
realização de uma determinada atividade. Quanto maior o número de 
pessoas envolvidas, menor o tempo total para a realização desse 
trabalho. 
Funções Constantes 
Se há alteração no valor da variável independente, mas mesmo assim 
não há alteração no valor da variável dependente, a função é dita 
constante. Para as funções constantes, temos que 
1212 yyxx 
. 
 
Para entendermos o que é uma função constante, podemos imaginar 
o salário mínimo que, em um determinado intervalo de tempo, não se 
altera com o passar do tempo. 
Extremos de Funções (Máximos e Mínimos) 
Em muitas aplicações do cotidiano, queremos o maior lucro possível, a 
maior audiência possível... por outro lado, também queremos 
minimizar custos ou a utilização de matérias-primas. Nesse caso, as 
funções podem ser muito úteis. Com o auxílio das funções podemos 
determinar máximos e mínimos de problemas práticos. 
No gráfico abaixo, o ponto x1 indica um máximo local da função, ou 
seja, em torno do ponto x1 a função assume o maior valor exatamente 
 
 
em x1. O ponto x2 indica um mínimo local. Note que em torno desse 
ponto, a função assume o menor valor no ponto x2. 
 
Mais adiante estudaremos diversos problemas envolvendo máximos e 
mínimos de funções. 
Simetria 
Para finalizarmos, vamos abordar a simetria de funções. O que é 
simetria? A simetria é a correspondência em forma, grandeza e 
posição de partes situadas em lugares opostos de uma reta ou plano 
ou também em torno de um centro ou de um eixo. No caso das 
funções, temos a simetria em relação ao eixo y e também a simetria 
em relação à origem do sistema de eixos coordenados. 
Quanto à simetria em relação ao eixo y, a função é dita função par, 
pois 
   xfxf 
. O gráfico abaixo ilustra bem isso. 
 
 
Para que possamos entender melhor, vamos observar, por exemplo, a 
função 
2xy 
. A tabela a seguir apresenta os valores funcionais para 
alguns valores de x. 
x y=x2 
-3 9 
-2 4 
-1 1 
0 0 
1 1 
2 4 
3 9 
 
Observe que tanto f(1) como f(-1) são iguais a 1, f(2) e f(-2) são iguais 
a 4, f(3) e f(-3) são iguais a 9 e assim por diante, ou seja, a função 
2xy 
 é um exemplo de função par e, consequentemente, é simétrica 
em relação ao eixo y. O gráfico a seguir ilustra esse fato. 
 
Quando uma função é simétrica 
em relação à origem, ela é dita 
função ímpar. No caso de uma 
função ímpar, temos a relação 
   xfxf 
. 
 
 
 
Como exemplo, vamos considerar a função 
3xy 
. A relação entre os 
valores de x e de y pode ser analisada na tabela a seguir. 
x y=x3 
-3 -27 
-2 -8 
-1 -1 
0 0 
1 1 
2 8 
3 27 
 
Como 
   xfxf 
 para todo x pertencente ao domínio, a função 
3xy 
 é uma função ímpar e, nesse caso, simétrica em relação à 
origem. A figura a seguir mostra o gráfico da função 
3xy 
. 
 
1) Nas funções abaixo, determine o domínio de cada uma. 
a) 
b) 
c) +3 
d) 
e) 
 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
Resolução: 
a) Neste caso o domínio é o conjunto dos Reais, pois não ocorre 
nenhuma situação de restrição, ou . 
b) Para esta função linear, o domínio é o conjunto dos reais devido 
não haver restrições presentes, ou . 
c) Para esta situação, observa-se que a função +3 
apresenta denominador, onde não é aceito valor nulo, ou seja, o 
denominador deve ser diferente de zero, ou ainda . O domínio 
será ou . 
d) Para esta situação, ocorre um denominador, porém neste 
aparece uma constante, o que não é uma restrição para domínio. 
Tem-se como solução o conjunto dos Reais, ou . 
e) Na função observa-se a ocorrência de raiz de índice 
par, o que implica no radicando ser maior ou igual a zero. Tem-se 
, com valores aceitos para x, ou ou . 
f) Na função ocorre uma raiz de índice par no 
denominador, sendo uma dupla restrição, ou seja, o radicando 
 
 
somente pode ser positivo. Para o domínio tem-se 
ou . 
g) Para a função não há restrições pois a raiz apresenta 
índice ímpar, e as restrições ocorrem para raízes de índice par. 
Domínio é o conjunto dos Reais, ou . 
h) Na função tem-se ocorrência de raiz de índice par (4) 
(deve-se ter o radicando maior ou igual a zero) no denominador (deve 
ser diferente de zero), restando os valores maiores que zero para a 
variável x. , ou . 
i) Para a função ocorrem duas frações, onde os 
denominadores não podem ser nulos.Para o primeiro denominador 
tem-se ou . Para o segundo denominador tem-se 
 ou O domínio para esta função é 
 ou . 
Na função observa-se a ocorrência de uma raiz de índice 
par no denominador. Desta forma ou ou ou 
. Para o domínio tem-se ou . 
2) Trace os gráficos das funções dadas, e classifique quanto a 
continuidade e descontinuidade. Em caso de funções descontínuas, 
identifique o tipo da descontinuidade (salto, removível ou infinita). 
a) . 
b) 
 
c) 
d) 
e) 
Resolução: Uma função é contínua quando o traçado de seu gráfico 
pode ser feito sem retirarmos o lápis do papel, ou seja, sem 
interrupções no traçado. 
As descontinuidades podem ser de três tipos: salto, removível ou 
infinita. 
As descontinuidades por salto podem ocorrer em funções que sejam 
definidas por equações diferentes para cada região do domínio real 
As descontinuidades removíveis e infinitas ocorrem devido a presença 
da variável (x) no denominador da equação de definição da função. 
As descontinuidades removíveis ocorrem em funções onde o 
numerador pode ser fatorado e permita simplificação com a expressão 
do denominador. 
As descontinuidades infinitas ocorrem quando não há possibilidade 
de fatoração de numerador ou denominador e posterior simplificação 
da equação. À esquerda do valor de x (que não pertence ao domínio), 
a função tende a infinito (negativo ou positivo) e à direita do valor de x 
(que não pertence ao domínio), a função tende a infinito (positivo ou 
negativo). 
a) A função é contínua porque não apresenta 
denominador. 
 
 
 
b) A função é descontínua, porque no 
denominador tem-se o fator , ou seja, com a variável x. Este 
denominador nunca poderá ser nulo, pois não é possível realizar 
divisão por zero. Deve-se fazer ou 
O domínio são todos os valores reais, com exceção de . 
Observando o numerador é possível reescrever por 
fatoração Pode-se escrever a equação original 
como e simplificar o fator do 
numerador e do denominador, resultando . Quando ocorre 
a simplificação ocorre a remoção da descontinuidade. 
 
O Wimplot apresenta o gráfico após a remoção da descontinuidade. 
Antes da remoção da descontinuidade o gráfico seria uma reta com o 
ponto (-2,1) em aberto. 
 
 
c) A função apresenta a variável x no denominador, 
fazendo com que ou . O domínio será o conjunto dos 
reais com exceção de . No numerador não é possível realizar 
fatoração, logo não haverá possibilidade de simplificação e remoção 
da descontinuidade. Observa-se que à esquerda de x = 1, o traçado 
do gráfico mostra que o valor de y tende a menos infinito e à 
direita de x = 1, o valor de y tende a mais infinito A 
descontinuidade é infinita. 
 
d) A função é contínua, porque não ocorre a variável x 
no denominador da equação. Tem-se apenas o valor 3 no 
denominador (que é uma constante). 
 
 
 
e) A função é descontínua, com duas 
descontinuidades. A equação pode ser reescrita por fatoração, como 
. As descontinuidades ocorrem em 
 e . É possível simplificar a expressão resultando 
. Quando ocorre uma simplificação, uma 
descontinuidade é removida ( em ). Resta uma 
descontinuidade (infinita) em . 
 
 
3) Classifique as funções abaixo em relação a paridade (função 
par, função ímpar, ou função nem par nem ímpar). 
a) 
b) 
c) 
d) . 
e) 
f) 
g) 
Resolução: 
a) Para a função verificando: 
. 
Função PAR 
b) Para a função verificando: 
. 
Função NEM PAR NEM ÍMPAR. 
 
c) Para a função verificando: 
 
FUNÇÃO NEM PAR NEM ÍMPAR. 
 
d) Para a função testando: 
. 
 
 
FUNÇÃO PAR. 
 
e) Para testando . 
FUNÇÃO ÍMPAR. 
 
f) Para a função verificando: 
. 
FUNÇÃO PAR. 
 
g) Considerando a função testando: 
. 
FUNÇÃO NEM PAR NEM ÍMPAR. 
 
Acessando o material on-line, assista ao vídeo do Prof. Ricardo sobre 
funções e suas propriedades! 
Funções lineares 
Agora que já sabemos o que é uma função e que também 
conhecemos diversas propriedades, vamos estudar algumas das mais 
importantes funções de uma variável. Vamos começar com as funções 
lineares, também conhecidas como função do primeiro grau. Mas o 
que é uma função linear e onde podemos utilizar esse tipo de função? 
É isso o que vamos aprender a seguir. 
Vamos, inicialmente, assistir a um vídeo bem interessante sobre 
funções lineares, também conhecidas como funções afim. 
 
https://www.youtube.com/watch?v=DPDUdPEu-
IA&list=PLf4asln_6hSeN868g8mXhAAQfQV6L1nsc&index=56 
Função do primeiro grau 
Uma função é dita função linear ou função do primeiro grau quando 
essa função tem a forma 
baxy 
 onde a e b são constantes e 
0a
. 
O termo a é o coeficiente angular e indica a taxa de crescimento ou de 
decrescimento da função é o termo b é o coeficiente linear que indica 
o ponto no qual o gráfico da função linear intercepta o eixo y. 
Para que possamos entender melhor o que é uma função linear e 
onde essas funções podem ser utilizadas, vamos considerar uma 
panificadora que vende pães de queijo por R$ 0,50 cada. Nesse caso, 
o valor a ser pago por uma certa quantidade de pães de queijo é dado 
em função do número de pães de queijo comprados. Como cada pão 
de queijo custa R$ 0,50, a função que relaciona o preço P com a 
quantidade x de pães de queijo é P=0,5x. 
Sendo assim, a tabela abaixo apresenta o total a ser pago em função 
da quantidade comprada. 
Quantidade Total (R$) 
0 0,00 
1 0,50 
2 1,00 
3 1,50 
4 2,00 
5 2,50 
 
Podemos ilustrar essa situação através de um gráfico. 
 
 
 
Uma função do tipo y=ax+b é chamada de linear, pois o gráfico é uma 
linha reta. Se o coeficiente de x for positivo, a função é crescente e se 
o coeficiente de x for negativo, a função é decrescente: 
se a>0, a função é crescente 
se a<0, a função é decrescente. 
Podemos utilizar funções lineares em diversos problemas práticos. 
Para ilustrarmos uma aplicação de função linear, vamos pensar em 
um proprietário de uma barraca de cachorro quente que lucra R$ 1,50 
por unidade vendida, ou seja, se um determinado tipo de cachorro 
quente tem um preço de custo de R$ 2,00, então esse cachorro 
quente é vendido por R$ 3,50 ou se um determinado tipo tem um 
custo equivalente a R$ 4,50, esse mesmo tipo de cachorro quente é 
vendido por R$ 6,00. 
Vamos supor ainda que esse comerciante tem por mês custos fixos 
tais como salário de um ajudante, encargos, gastos com gás e energia 
elétrica, entre outros, que totalizam R$ 2.000,00 por mês. Nesse caso, 
a função que relaciona o lucro mensal com a quantidade de cachorros 
quentes vendida corresponde a 1,50 vezes o número de cachorros 
quentes vendidos durante o mês menos os custos fixos que 
correspondem a R$ 2.000,00, ou seja, L(x)=1,50x-2000. 
 
Essa função é útil para que possamos estimar o lucro mensal em 
função das vendas ou também para que possamos determinar 
quantos cachorros quentes devem ser vendidos para que o 
comerciante possa pagar os custos fixos. A tabela a seguir apresenta 
o lucro referente a alguns valores referentes à venda mensal. 
Venda mensal (unidades) Lucro(R$) 
0 -2.000,00 
1.000 -500,00 
2.000 1.000,00 
3.000 2.500,00 
4.000 4.000,00 
5.000 5.500,00 
 
Podemos observar que quanto maior a quantidade vendida, maior é o 
lucro desse comerciante. É também importante ressaltar que nesse 
exemplo estamos considerando apenas os cachorros quentes. 
No entanto, também é possível considerar a venda de água, sucos ou 
refrigerantes. 
Considerando ainda a função L(x)=1,50x-2000, podemos determinarquantos cachorros quentes precisam ser comercializados para que os 
custos fixos possam ser pagos. Para isso, faremos L=0, pois pagar os 
custos fixos significa que não haverá falta, mas também não haverá 
sobra de dinheiro. 
33,333.1
5,1
2000
20005,1
020005,1
0





x
x
x
x
L
 
 
 
Igualando a função 1,5x-200 a zero, temos que x deve ser igual a 
1.333,33 unidades vendidas por mês. Como os cachorros quentes são 
vendidos inteiros, o comerciante precisa vender 1.334 unidades para 
pagar os custos mensais fixos. 
É claro que temos diversas outras aplicações de funções lineares. 
Uma sugestão é a leitura do texto a seguir: 
http://www.matematicadidatica.com.br/FuncaoAfim.aspx 
1) Para as funções a seguir, identifique as lineares (ou de primeiro 
grau), determinando o ponto de intersecção com o eixo das abcissas, 
se a função é crescente ou decrescente e traçando seu gráfico. 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
Resolução: 
a) Função linear. Para o ponto de intersecção faz-se e 
isolando x vem e . O ponto de intersecção é . 
A função é crescente pois o valor de “a” é positivo (a>0). 
 
 
b) Função não linear, devido ao termo . 
c) Função linear. Ponto de Intersecção obtido por ou 
 . As coordenadas do ponto de intersecção são . Função 
decrescente devido ao valor de “a” ser negativo (-1). 
 
d) Função linear. Para o ponto de intersecção faz-se e 
isolando x vem e . O ponto de intersecção é . A 
função é crescente devido o valor de “a” ser positivo (a = 4). 
 
 
 
e) Função linear. Ponto de Intersecção obtido por ou 
 . As coordenadas do ponto de intersecção são . Função 
decrescente devido ao valor de “a” ser negativo (-2). 
 
f) A função é não linear devido ao termo 
g) A função é não linear devido ao termo . 
Assista ao vídeo do Prof. Ricardo sobre funções lineares acessando o 
material on-line! 
 
 
 
Funções quadráticas 
Um outro tipo muito comum de função é o que conhecemos como 
sendo função quadrática, também chamada de função do segundo 
grau. 
Vamos assistir a um vídeo bastante interessante sobre funções 
quadráticas: 
https://www.youtube.com/watch?v=8DaCpxRstYQ&index=115&list=PL
f4asln_6hSeN868g8mXhAAQfQV6L1nsc 
Função do segundo grau 
Uma função da forma: 
cbxaxy  2
 
Onde a, b e c são constantes e 
0a
é conhecida como função 
quadrática ou função do segundo grau. 
As funções quadráticas estão presentes nas mais variadas situações. 
Podemos pensar em uma função quadrática como sendo a função que 
relaciona a variação do preço de um produto com o lucro referente à 
venda desse produto. 
Por outro lado, uma pessoa que salta sobre uma poça de água para 
não se molhar ou um cavalo que salta sobre um obstáculo descrevem 
no ar um movimento muito próximo do gráfico de uma função 
quadrática, que é uma parábola. Na física, esses movimentos são 
conhecidos como movimentos parabólicos. 
Quando lidamos com problemas envolvendo funções quadráticas, 
muitas vezes trabalhamos com a função toda. Outras vezes, 
precisamos apenas dos coeficientes a, b e c. Para que possamos 
identificar corretamente os coeficientes a, b e c, vamos ver alguns 
exemplos. 
 
 
a) 
842 2  xxy
 onde a = 2, b = -4 e c = 8 
1175 2  xxy
 onde a = -5, b = 7 e c = -11 
xxy 103 2 
 onde a = -3, b = 10 e c = 0 
1002  xy
 onde a = 1, b = 0 e c = 100. 
Quando pensamos em uma função quadrática, sabemos que o gráfico 
é uma parábola. No entanto, essa parábola pode ter a concavidade 
para cima ou para baixo e isso depende apenas do sinal do 
coeficiente de x2, ou seja, depende apenas de a. 
Se 
0a
, a parábola tem concavidade voltada para cima. 
 
Se 
0a
, a parábola tem concavidade voltada para baixo. 
 
A relação entre a concavidade do gráfico de uma parábola e um 
determinado problema é bastante útil. Se pensarmos, por exemplo, 
 
em uma bola de futebol que foi chutada pelo goleiro de um 
determinado time em direção ao meio de campo, a função quadrática 
que descreve o movimento descrito por essa bola tem como gráfico 
uma parábola com a concavidade voltada para baixo. Logo, o 
coeficiente do termo em x2 é negativo. 
Podemos também pensar assim: se a parábola tem concavidade para 
baixo, então essa função quadrática tem um ponto de máximo e se a 
parábola tem a concavidade voltada para cima, então a função tem 
um ponto de mínimo. E, para determinarmos qual é o valor de x que 
implica no ponto de máximo ou ponto de mínimo da função, basta 
considerarmos a fórmula do x referente ao vértice, chamado, de xv. 
Podemos dizer que: 
a
b
xv
2


. 
Antes de falarmos mais sobre as coordenadas do vértice, vamos 
assistir a um vídeo sobre esse assunto: 
https://www.youtube.com/watch?v=QwryQbKvaqM&list=UUWhuro_dM
p3wVDloVCbapDQ 
As coordenadas do vértice podem ser obtidas pelas fórmulas: 
a
b
xv
2


 e 
acb
a
yv 4 onde 
4
2 


 
Observe a figura a seguir. O vértice de uma parábola coincide com a 
extremidade da função que, como já vimos, pode ser um ponto de 
máximo ou um ponto de mínimo dessa função. 
 
 
 
Uma aplicação bastante interessante sobre as coordenadas do vértice 
pode ser vista a seguir. 
Exemplo: 
 
Sabendo que o lucro referente à venda de rádios FM é dado pela 
função 
L(x) = -400x2+6800x+12000 
 
Onde x é o preço de venda de cada rádio, determine: 
a) O preço que maximiza o lucro 
b) O lucro máximo 
 
Resolução: 
a) O preço que maximiza o lucro é o valor de x referente ao vértice, 
que pode ser facilmente calculado utilizando-se a fórmula do xv. 
a
b
xv
2


 
Em primeiro lugar, precisamos dos coeficientes a e b da função: 
a = -400 
b = 6800 
O próximo passo é substituirmos esses coeficientes na fórmula. 
 4002
6800


vx
 
800
6800


vx
 
50,8vx
 
Nesse caso, R$ 8,50 é o preço que maximiza o lucro. 
 
b) Para determinarmos o lucro máximo, podemos utilizar a fórmula 
referente ao yv ou também podemos substituir o valor do x encontrado 
no item anterior na função L(x) = -400x2+6800x+12000. 
 
 
Fazendo então a substituição de x por 8,5 na função quadrática, 
temos: 
L(8,5) = -400(8,5)2+6800(8,5)+12000 
L(8,5) = -400(72,25)+6800(8,5)+12000 
L(8,5) = -28900+57800+12000 
L(8,5) = 40.900,00 
Portanto, o lucro máximo corresponde a R$ 40.900,00.Além das 
coordenadas do vértice, podemos também determinar as raízes de 
uma função quadrática utilizando a fórmula quadrática: 
 
acb
a
b
x 4 onde 
.2
2 


. 
 
Graficamente, as raízes de uma função quadrática correspondem aos 
valores de x tais que y seja igual a zero. 
 
Uma aplicação do cálculo das raízes de uma função quadrática 
consiste em determinarmos quais são os preços mínimo e máximo 
para que a empresa do exemplo anterior tenha lucro. 
Nesse caso, o primeiro passo é determinarmos as raízes da função 
L(x) = -400x2+6800x+12000 e, em seguida, considerarmos o intervalo 
entre as raízes. Veja como é fácil! 
Primeiro, vamos determinar os coeficientes a, b e c: 
a = -400 
 
 
b = 6800 
c = 12000 
Agora precisamos calcular o valor de 

: 
65440000
1920000046240000
)12000)(400(4)6800(
4
2
2



 acb
 
 
Calculando as raízes, temos: 
a
b
x
.2


 
)400.(2
65440000)6800(


x
 
 























61,18
800
50,14889
80050,80896800
61,1
800
50,1289
800
50,80896800
800
50,80896800
222
111
xxx
xxx
x
 
Nesse caso, para essa empresa, os preços que fazem com que o 
lucro seja maior do que zero estão entre -1,61 e 18,61. Logo, -
1,61<x<18,61. 
1) Para as funções abaixo, identifique as quadráticas (ou de segundo 
grau), determinando os pontos de intersecção com o eixo das 
abcissas, as coordenadas do vértice, a concavidade (para cima ou 
para baixo), o intervalo de crescimento e de decrescimento, e trace o 
gráfico correspondente. 
a) 
 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
Resolução: 
a) A função não é quadrática devido ao 
termo . 
b) A função é quadrática com a = 1, b = -5, 
e c = -6. 
Pontos de intersecção faz-se que pode ser resolvido 
por fatoração como sendo . 
Usando a regra do fator zero, vem resultando e 
também resultando . Os pontos de intersecção são 
 e . 
Coordenadas do vértice: e: 
 . 
O vértice tem coordenadas 
 
 
 
Concavidade para cima, devido ao coeficiente a >0 (a =1). 
À esquerda do vértice, a parábola é decrescente ou seja no intervalo 
 e é crescente à direita do vértice, no intervalo . 
c) A função é quadrática: 
a = 1, b = -5, e c = 6 
 
Pontos de intersecção faz-se que pode ser resolvido 
por fatoração como sendo . Usando a regra do fator 
 
zero, vem resultando e também resultando 
. Os pontos de intersecção são e . 
Coordenadas do vértice: e: 
 . 
O vértice tem coordenadas 
Concavidade para cima, devido ao coeficiente a >0 (a =1). 
À esquerda do vértice, a parábola é decrescente ou seja no intervalo 
 e é crescente à direita do vértice, no intervalo . 
d) A função é quadrática, a = 1, b = 0 e c = 4. 
 
Pontos de intersecção faz-se que pode ser resolvido por 
fórmula de Bhaskara como sendo: 
 
 
 
A solução resultou valores complexos, significando que a parábola 
NÃO intercepta o eixo das abcissas. 
Coordenadas do vértice: 
 e . 
O vértice tem coordenadas 
Concavidade para cima, devido ao coeficiente a >0 (a =1). 
À esquerda do vértice, a parábola é decrescente ou seja no intervalo 
 e é crescente à direita do vértice, no intervalo . 
e) A função é quadrática, a = 1, b = 0 e c = -4. 
 
Pontos de intersecção faz-se que pode ser resolvido por 
fatoração como sendo . Usando a regra do fator 
zero, vem resultando e também 
resultando . Os pontos de intersecção são e . 
Coordenadas do vértice: 
 e . 
 
O vértice tem coordenadas 
Concavidade para cima, devido ao coeficiente a >0 (a =1). 
À esquerda do vértice, a parábola é decrescente ou seja no intervalo 
 e é crescente à direita do vértice, no intervalo . 
f) A função é quadrática, sendo a = 1, b = 
-8 e c= 16. 
 
Pontos de intersecção faz-se que pode ser resolvido 
por fatoração como sendo . Usando a regra do fator 
zero, vem resultando . 
Ocorreram dois valores iguais para as raízes. Há somente um ponto 
de intersecção com o eixo das abcissas que é . 
Coordenadas do vértice: 
 e . 
O vértice é o coincidente com o ponto de intersecção com o eixo x. 
Concavidade para cima, devido ao coeficiente a >0 (a =1). 
 
 
À esquerda do vértice, a parábola é decrescente ou seja no intervalo 
 e é crescente à direita do vértice, no intervalo . 
 
g) A função é quadrática, com a = -1, b = 0 e 
c=4. 
 
Para os pontos de intersecção faz-se que pode ser 
resolvido por fatoração como sendo . 
Usando a regra do fator zero, vem resultando e 
também resultando . Os pontos de intersecção são 
 e . 
Coordenadas do vértice: 
 e . 
Concavidade para baixo, devido ao coeficiente a <0 (a = -1). 
À esquerda do vértice, a parábola é crescente ou seja no intervalo 
 e é decrescente à direita do vértice, no intervalo . 
 
h) A função quadrática tem a = -3, b = 4 
e c = 4. 
 
 
Para os pontos de intersecção faz-se que pode ser 
resolvido por fórmula de Bhaskara como sendo: 
 . 
Tomando o sinal positivo tem-se . 
Tomando o sinal negativo tem-se . 
Os pontos de intersecção são e . 
Coordenadas do vértice: 
 e 
 
Concavidade para baixo, devido ao coeficiente a <0 (a = -3). 
 
 
À esquerda do vértice, a parábola é crescente ou seja no intervalo 
 e é decrescente à direita do vértice, no intervalo . 
 
i) A função quadrática tem a = -1, b = 4 e 
c = 8. Para os pontos de intersecção faz-se que 
pode ser resolvido por fórmula de Bhaskara como sendo: 
 . 
Tomando o sinal positivo tem-se: 
 . 
Tomando o sinal negativo tem-se: 
 . 
Os pontos de intersecção são e . 
Coordenadas do vértice: 
 e: 
 
 
 
Concavidade para baixo, devido ao coeficiente a <0 (a = -1). 
À esquerda do vértice, a parábola é crescente ou seja no intervalo 
 e é decrescente à direita do vértice, no intervalo . 
No material on-line, confira o vídeo do Prof. Ricardo sobre funções 
quadráticas! 
 
Gráficos das funções usando o WinPlot 
Durante essa aula, fizemos vários gráficos de funções. Esses gráficos 
podem ser feitos manualmente, atribuindo-se valores quaisquer para x 
e calculando, com base na função a ser representada graficamente, 
os respectivos valores de y. 
Depois é só desenhar esses pontos em um sistema de eixos 
coordenados e ligá-los para que, finalmente, possamos ver o gráfico 
da função. Mas também é possível fazer o uso de um programa de 
computador para isso. Por se tratar de um software gratuito e de fácil 
uso, escolhemos o Winplot para ser utilizado na construção do gráfico 
de funções. O Winplot é um software com vários recursos e possui 
uma versão em português. 
Para podermos utilizar o Winplot, o primeiro passo é fazermos o 
download: 
http://math.exeter.edu/rparris/peanut/wppr32z.exe 
 
Fazendo isso, irá aparecer a seguinte janela: 
 
 
 
Agora é só clicarmos em “Download”. Vamos escolher agora o local 
onde o arquivo será salvo. Geralmente o padrão é a pasta 
“Downloads”, mas esse local pode ser modificado ou não. 
Após o download, o próximo passo é descompactar o arquivo que é o 
próprio Winplot. O Winplot não precisa ser instalado no computador, 
mas apenas descompactado para que ele possa ser utilizado. 
Para descompactar o arquivo, vamos clicar duas vezes sobre o 
arquivo “wppr32z” que acabamos de salvar. 
 
 
Ao clicarmos duas vezes sobre esse arquivo, vamos ver a seguinte 
janela. 
 
 
 
Para que possamos escolher o local onde o Winplot será 
descompactado, vamos clicar em “Browse” e, em seguida, vamos 
determinar o local de destino desse programa. Escolheremos a Área 
de Trabalho. 
 
Agora é só clicarmos em “OK”. 
 
Finalmente, para que possamos concluir esses passos, vamos clicar 
em “Unzip”. Fazendo isso, temos a seguinte janela informando que o 
Winplot foi descompactado com sucesso. É só clicar em “OK”. 
 
 
 
Agora, para podermos desfrutar de todos os recursos do Winplot, é só 
clicarmos no ícone a seguir que o Winplot irá abrir. 
 
A tela inicial do Winplot é bastante simples. 
 
O primeiro passo é clicarmos no menu 
“Janela” e, em seguida, em “2-dim”. 
Isso por que iremos trabalhar com 
funções de uma variável, logo, com 
funções que estão em duas 
dimensões. 
 
 
 
Após clicarmos e “2-dim”, o Winplot irá nos apresentar uma tela 
contendo um plano cartesiano. 
 
 
Vamos ver agora como podemos representar graficamente algumas 
funções. Primeiro vamos clicar no menu “Equação” e, em seguida, na 
opção “1. Explícita ...”. 
 
Fazendo isso, temos uma tela ondeé possível digitarmos a função que 
queremos representar graficamente. 
Inicialmente, a função trigonométrica 
x.sen(x) já está escrita, mas 
podemos substituir essa função por 
uma outra. 
 
Vamos fazer o gráfico da função 
linear y=x+3. Por isso, no lugar de 
xsin(x) vamos digitar x+3. 
 
 
 
 
 
Agora é só clicarmos em “OK” que teremos o gráfico da função y=x+3. 
 
Vamos agora representar graficamente a função y=x2-5x+6. Podemos 
fechar a janela contendo o gráfico da função que acabamos de 
representar. Ao fazermos isso, irá aparecer uma janela perguntando 
se queremos salvar o arquivo semnome1.wp2. Vamos clicar em “não”. 
 
Agora é só repetirmos os passos anteriores. Vamos clicar em “Janela” 
e, em seguida, em “2-dim”. Depois em “Equação” e, em seguida, na 
opção “1. Explícita ...”. Vamos digitar agora a expressão x^2-5x+6. É 
importante ressaltar que o símbolo “^” indica a potenciação. 
 
Clicando em “OK”, temos o gráfico da função y=x2-5x+6. 
 
 
Se quisermos afastar o gráfico, podemos clicar na tecla “PageDown” e 
se quisermos aproximar o gráfico, clicamos na tecla “PageUp”. 
No link a seguir há uma apostila sobre diversos recursos do Winplot. 
http://math.exeter.edu/rparris/peanut/Explorando%20Winplot%20-
%20Vol%201.pdf 
Utilizando o Winplot, faça o gráfico das seguintes funções: 
a) y=5x+1 
b) y=-5x+1 
c) y=2x2+3x+1 
d) y=-2x2+3x+1 
e) y=2x2-3x+1 
Respostas: 
a) 
 
 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
Assista no material on-line ao vídeo do professor Ricardo sobre o uso 
do Winplot para a construção do gráfico de funções! 
Na prática 
Vamos colocar em prática alguns dos conhecimentos adquiridos. A 
figura abaixo mostra a trajetória da água que sai de um chafariz 
colocado no nível do chão que é horizontal e não apresenta 
irregularidades. 
 
 
 
Resolução 
Primeiro precisamos calcular o valor de xv que está associado à altura 
máxima. Para isso vamos utilizar a fórmula: 
a
b
xv
2

 
Os coeficientes a e b da função são: 
a = -0,5 
b = 3 
Agora é só substituirmos esses coeficientes na fórmula. 
 5,02
3


vx
 
1
3


vx
 
Sabe-se que a equação que descreve 
essa trajetória é: y=-0,5x2+3x 
 
Determine a altura máxima atingida pela 
água e a distância entre o ponto de onde 
sai a água e o ponto onde ela atinge o 
solo. 
 
 
 
3vx
 
Vamos agora substituir na função y=-0,5x2+3x o valor encontrado para 
determinarmos a altura máxima da água: 
y=-0,5x2+3x 
y=-0,5(3)2+3(3) 
y=-0,5(9)+9 
y=-45+9 
y=4,5 
 
Portanto, a altura máxima atingida foi de 4,5 metros. 
Vamos agora calcular as raízes da função para termos os pontos 
correspondentes ao local de onde sai a água e o local onde a água 
atinge o solo. 
Primeiro, vamos determinar 
os coeficientes a, b e c: 
a = -0,5 
b = 3 
c = 0 
Vamos agora calcular o valor 
de

: 
9
09
)0)(5,0(4)3(
4
2
2



 acb
Calculando as raízes, temos: 
a
b
x
.2


 
)5,0.(2
9)3(


x
 





















6
1
6
1
33
0
1
0
1
33
1
33
222
111
xxx
xxx
x 
 
 
 
Como a água partiu do ponto onde x é igual a zero e tocou o solo no 
ponto onde x é igual a 6, a distância total percorrida foi de 6-0=6, ou 
seja, de 6 metros. 
 
Síntese 
Chegamos ao final da aula! 
Vimos o que são funções e suas propriedades. Funções contínuas e 
descontinuidade de funções também foram abordadas nessa aula. 
Vimos que é possível identificar quando uma função é crescente, 
decrescente ou constante. Estudamos diversos aspectos relacionados 
às funções lineares e também às funções quadráticas. Aprendemos a 
utilizar o software gratuito Winplot para a construção do gráfico de 
funções. 
E sempre é possível aprendermos mais. Por isso, a sugestão é a 
leitura dos capítulos 7 e 8 da obra Pré-Cálculo dos autores Franklin D. 
Demana, Bert K. Waits, Gregory D. Foley e Daniel Kennedy, 2a 
edição, editora Pearson, que pode ser encontrado na Biblioteca 
Virtual. 
Até a próxima! 
Referências 
DEMANA, F.D.; WAITS, B.K.; FOLEY, G.D.; KENNEDY, D. Pré-
Cálculo. 2a Ed, São Paulo, Pearson, 2013.