Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA NÚCLEO DE MATEMÁTICA DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR 1ª LISTA DE EXERCÍCIOS Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares Autores: Elecy Moreno, Rosely Bervian e Dian Soares 2017.1 1) Sejam as matrizes 𝐴 = ⎛⎝ 𝑥− 3 2 𝑥− 2𝑦 5 ⎞⎠ e 𝐵 = ⎛⎝ 4𝑦 2 2 𝑥+ 4 ⎞⎠ . Encontre a razão entre 𝑥 e 𝑦 para que se tenha 𝐴 = 𝐵. 2) Sendo 𝐴 = ⎛⎝ 2 −1 3 2 ⎞⎠ e 𝐵 = ⎛⎝ 0 −1 −1 0 ⎞⎠ , calcular as matrizes X e Y no sistema⎧⎪⎨⎪⎩2𝑋 + 3𝑌 = 𝐵3𝑋 + 2𝑌 = 𝐴 . 3) Considere as seguintes matrizes𝐴 = ⎛⎝ 1 2 −3 −4 ⎞⎠ , 𝐵 = ⎛⎝ 5 0 −6 7 ⎞⎠ , 𝐶 = ⎛⎝ 1 −3 4 2 6 −5 ⎞⎠ , 𝐷 = ⎛⎝ 1 2 3 4 ⎞⎠ e 𝐸 = ⎛⎝ 5 4 6 11 ⎞⎠ . Determine: (a) 5𝐴− 2𝐵 (b) 2𝐴+ 3𝐵 (c) 2𝐷 − 12𝐸 (d) 𝐴 2 = 𝐴𝐴 (e) 𝐴𝐶 (f) Mostre que 𝐷𝐸 = 𝐸𝐷 e 𝐴𝐵 ̸= 𝐵𝐴 4) Se 𝐴 = ⎛⎝ 1 −3 −3 5 ⎞⎠ e 𝐴𝐵 = ⎛⎝ −3 −11 1 17 ⎞⎠ , determine a matriz 𝐵. 5) Determine 𝑥, 𝑦, 𝑧 e a matriz 𝐵 de modo que 𝐴𝐵 = ⎛⎜⎜⎜⎝ 2 3 10 6 12 25 4 9 20 ⎞⎟⎟⎟⎠ , 𝐴 = ⎛⎜⎜⎜⎝ 𝑥 1 2 3 𝑦 5 2 3 𝑧 ⎞⎟⎟⎟⎠ e 𝐵 é uma matriz diagonal. 6) Sejam 𝐴 = ⎛⎝ −1 −2 −3 −5 ⎞⎠ , 𝐵 = ⎛⎝ 2 −1 ⎞⎠ e 𝐶 = ⎛⎝ 1 4 −4 −8 ⎞⎠ . Determine, se possível, a matriz 𝑋, tal que 𝐴+𝐵𝑋 = 𝐶. 7) Sejam as matrizes 𝐴 = ⎛⎜⎜⎜⎝ 2 1 6 3 −2 4 ⎞⎟⎟⎟⎠ e 𝐵 = ⎛⎝ 2 4 1 6 ⎞⎠, verifique se (𝐴𝐵)𝑡 = 𝐵𝑡𝐴𝑡. 8) Determine, se possível, 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 para que a matriz ⎛⎜⎜⎜⎝ 0 2𝑥 1 𝑥2 3𝑦 − 1 −4𝑥 𝑥+ 1 𝑥3 0 ⎞⎟⎟⎟⎠ seja: (a) simétrica e (b) anti-simétrica. 9) Calcule o valor de 𝑥 para que o produto das matrizes 𝐴 = ⎛⎝ −2 𝑥 3 1 ⎞⎠ e 𝐵 = ⎛⎝ 1 −1 0 1 ⎞⎠ seja uma matriz (a) simétrica e (b) anti-simétrica. 10) Escreva as matrizes abaixo em sua forma escalonada reduzida e determine o posto e a nulidade de cada uma delas. (a)𝐴 = ⎛⎜⎜⎜⎝ 1 2 1 0 −1 0 3 5 1 −2 1 1 ⎞⎟⎟⎟⎠ (b)𝐵 = ⎛⎜⎜⎜⎝ 1 −1 1 3 2 1 5 5 1 ⎞⎟⎟⎟⎠ (c) 𝐶 = ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 2 −3 1 7 −2 3 0 4 −1 5 4 −3 2 4 −5 0 ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ 11) Dadas as matrizes 𝐴 = ⎛⎝ 1 3 0 1 ⎞⎠ , 𝐵 = ⎛⎝ −1 0 2 −1 ⎞⎠ e 𝐶 = ⎛⎝ 1 1 1 2 ⎞⎠ , determinar 𝑋 em cada equacao abaixo: (a) (𝐴𝑡𝑋)−1 = (𝐵−1)−1 (b) 𝐶(𝐴+𝑋)𝐵 = 𝐼 (c) (𝐴𝑋)−1𝐵 = 𝐶𝐵 12) Supondo que as matrizes 𝐴, 𝐵 e 𝐶 são inversíveis (a) determine a matriz 𝑋 na equação (𝐴−1𝑋𝐶𝑡)−1 = 𝐵. (b) Considerando as matrizes 𝐴 = ⎛⎝ 1 0 −1 2 ⎞⎠ , 𝐵−1 = ⎛⎝ 0 −2 1 3 ⎞⎠ e 𝐶−1 = ⎛⎝ 0 1 −2 7 ⎞⎠ e o resultado obtido na letra (a), determine a matriz 𝑋 (indicando os seus elementos). 13) Calcule a inversa das matrizes abaixo utilizando as operações elementares sobre linhas. (a) 𝐴 = ⎛⎝ 1 3 2 7 ⎞⎠ (b) 𝐵 = ⎛⎜⎜⎜⎝ 3 1 0 −2 −4 3 5 4 −2 ⎞⎟⎟⎟⎠ (c) 𝐶 = ⎛⎜⎜⎜⎝ 1 −1 2 3 2 −4 0 1 −2 ⎞⎟⎟⎟⎠ (d) 𝐷 = ⎛⎜⎜⎜⎝ 2 5 −1 4 −1 2 0 4 1 ⎞⎟⎟⎟⎠ 14) Determine o valor de 𝑎 para que a matriz ⎛⎜⎜⎜⎝ 1 1 1 2 1 2 1 2 𝑎+ 3 ⎞⎟⎟⎟⎠ seja inversível. 15) Verifique se a matriz 𝐴 = ⎛⎜⎜⎜⎝ 1 2 1 2 1 1 1 1 2 ⎞⎟⎟⎟⎠ é inversível. Em caso afirmativo, calcule o determinante de 𝐴−1. 16) Encontre o determinante da matriz 𝐴 = ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 2 1 3 0 1 2 1 0 0 0 2 1 3 1 1 4 ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ . 17) Considere uma matriz 𝐵 = ⎛⎜⎜⎜⎝ −1 2 0 0 𝑥 𝑦 −1 0 𝑦 ⎞⎟⎟⎟⎠ , onde a soma dos elementos da diagonal principal e o seu determinate são iguais a 9 e −20, respectivamente. Calcule 𝑦 2 𝑥3 . 18) Considere as matrizes 𝑀 = ⎛⎝ 1 0 1 3 −2 2 ⎞⎠ , 𝑁 = ⎛⎜⎜⎜⎝ 1 1 0 3 2 4 ⎞⎟⎟⎟⎠ e 𝑃 = ⎛⎝ 1 6 4 1 ⎞⎠ Calcule o determinante da Matriz 𝑄 = 𝑀𝑁 + 𝑃 𝑡. 19) Sejam 𝐴 = ⎛⎝ 1 −1 1 𝑦 −𝑥 1 ⎞⎠ , e 𝐵 = ⎛⎜⎜⎜⎝ 𝑥+ 1 𝑥 𝑦 − 2 𝑦 𝑧 + 3 𝑧 ⎞⎟⎟⎟⎠ matrizes reais tais que 𝐴𝐵 é uma matriz antissimétrica. Considere as afirmações abaixo: I. 𝐴 = ⎛⎝ 1 −1 1 5 1 1 ⎞⎠ . II. 𝐵𝐴 é uma matriz simétrica. III. O traço da matriz 𝐵𝐴 é igual a zero. (O traço de uma matriz quadrada é definido como a soma dos elementos da diagonal principal da matriz). IV. O determinante da matriz 𝐴𝐵 é igual a 2. São verdadeiras, apenas, as afirmações: (a) I e II. (b) II e III. (c) I e III. (d) II e IV. (e) III e IV. 20) Determine a inversa da matriz 𝐴 = ⎛⎜⎜⎜⎝ 2 −1 −2 4 1 2 8 −1 1 ⎞⎟⎟⎟⎠ pelo método da adjunta. 21) Considere a matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)3×3, tal que 𝑎𝑖𝑗 = ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩ 𝑖+ 𝑗, se 𝑖 < 𝑗 2(𝑖− 𝑗)2, se 𝑖 = 𝑗 (𝑗 − 𝑖)2, se 𝑖 > 𝑗 . Determine 𝑋 na equação 𝐴𝑋 = 𝐵, onde 𝐵 = ⎛⎜⎜⎜⎝ −1 −1 1 ⎞⎟⎟⎟⎠ . 22) Usando escalonamento, resolva os seguintes sistemas de equações lineares: (a) ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩ 2𝑥+ 𝑦 − 2𝑧 = 10 3𝑥+ 2𝑦 + 2𝑧 = 1 5𝑥+ 4𝑦 + 3𝑧 = 4 (b) ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩ 𝑥+ 2𝑦 − 𝑧 = 0 2𝑥− 𝑦 + 3𝑧 = 0 4𝑥+ 3𝑦 + 𝑧 = 0 (c) ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 𝑥− 𝑦 + 2𝑧 − 𝑤 = −1 2𝑥+ 𝑦 − 2𝑧 − 2𝑤 = −2 −𝑥+ 2𝑦 − 4𝑧 + 𝑤 = 1 3𝑥− 3𝑤 = −3 (d) ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩ 𝑥+ 𝑦 + 𝑧 = 4 2𝑥+ 5𝑦 − 2𝑧 = 3 𝑥+ 7𝑦 − 7𝑧 = 5 (e) ⎧⎪⎨⎪⎩𝑥− 2𝑦 + 3𝑧 = 02𝑥+ 5𝑦 + 6𝑧 = 0 (f) ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 𝑥+ 𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 0 𝑥+ 𝑦 + 𝑧 − 𝑡 = 4 𝑥+ 𝑦 − 𝑧 + 𝑡 = −4 𝑥− 𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 2 23) Resolvendo o sistema ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩ 𝑥+ 𝑦 + 𝑧 = 0 2𝑥− 𝑦 − 2𝑧 = 1 6𝑦 + 𝑧 = 12 , pode-se afirmar que o valor de 𝑧 é igual a: (a) −3 (b) −2 (c) 0 (d) 2 (e) 3 24) O sistema de equações lineares ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 2𝑥− 𝑦 + 3𝑧 = 0 4𝑥− 3𝑦 + 2𝑧 = 0 𝑥+ 𝑦 + 𝑧 = 0 3𝑥+ 𝑦 + 𝑧 = 0 , é classificado como: (a) Sistema possível e determinado, com 𝑥 = 0. (b) Sistema possível e determinado, com 𝑥 = 1. (c) Sistema possível e determinado, com 𝑥 = 11. (d) Sistema possível e indeterminado. (e) Sistema impossível. 25) Resolva os seguintes sistemas de equações lineares utilizando a regra de Cramer. (a) ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩ 2𝑥+ 𝑦 + 2𝑧 = 4 𝑥+ 2𝑦 + 𝑧 = −1 3𝑥+ 5𝑦 + 2𝑧 = 1 (b) ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩ 𝑥+ 3𝑦 − 𝑧 = 0 2𝑦 + 2𝑧 = 0 𝑥+ 𝑦 + 𝑧 = 0 (c) ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩ 𝑥+ 𝑦 − 𝑧 = 0 2𝑥+ 𝑦 + 𝑧 = 1 3𝑥− 𝑦 + 𝑧 = 1 26) Determine para quais valores de 𝑘 o sistema ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩ −4𝑥+ 3𝑦 = 2 5𝑥− 4𝑦 = 0 2𝑥− 𝑦 = 𝑘 admite solução. 27) Determine os valores de 𝑎 e 𝑏 que tornam o sistema ⎧⎪⎨⎪⎩6𝑥+ 𝑎𝑦 = 124𝑥+ 4𝑦 = 𝑏 possível e indeterminado. 28) Sejam 𝐴 = ⎛⎜⎜⎜⎝ 1 3 4 −4 2 −6 −3 −2 −7 ⎞⎟⎟⎟⎠ e 𝐵 = ⎛⎜⎜⎜⎝ 𝑏1 𝑏2 𝑏3 ⎞⎟⎟⎟⎠ . A resolução do sistema 𝐴𝑋 = 𝐵 é possível para quais valores de 𝑏1, 𝑏2 e 𝑏3? Justifique. 29) Considere o sistema ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩ −3𝑥+ 3𝑦 − 5𝑧 = −2 2𝑥+ 4𝑦 − 6𝑧 = 8 4𝑥− 𝑦 + (𝑎2 − 7)𝑧 = 𝑎+ 3 . Determine os valores de 𝑎 de modo que: (a) O sistema seja possível e determinado (SPD). (b) O sistema seja possível e indeterminado (SPI). (c) O sistema seja impossível (SI). 30) Os estoques de gasolina, álcool e diesel de três postos de combustíveis são dados, em milhares de litros, na tabela abaixo. Seja 𝑀 a matriz formada pelos elementos que constam na tabela acima, na mesma disposição da tabela dada. Gasolina Álcool Diesel Posto 1 2 1 1 Posto 2 1 4 0 Posto 3 3 0 1 Com base nessas informações, marque V (verdadeiro) e F (falso). (a) ( ) A matriz 𝑀2 é simétrica. (b) ( ) O determinante da matriz 𝑀 é igual a −5. (c) ( ) Se o preço por litro de cada combustível é o mesmo nos três postos e que a soma dos valores dos estoques dos postos 1, 2 e 3 são, respectivamente, R$ 8.800, 00, R$ 10.800, 00 e R$ 9.600, 00, então a soma dos preços, por litro, de cada combustível é R$ 6, 00. 31) Controle Linear - Um bom número de problemas importantes na engenharia, em particular, na engenharia elétrica e na teoria do controle, pode ser analisado usando-se transformadas de Laplace. Essa abordagem transforma um sistema apropriado de equações diferenciais lineares, em um sistema linear de equações algébricas, cujos coeficientes envolvem um parâmetro. Considere o seguinte sistema no qual s é um parâmetro não especificado. Determine os valores de s para os quais o sistematem uma única solução e utilize a regra de Cramer para descrever a solução.⎧⎪⎨⎪⎩3𝑠𝑥− 2𝑦 = 4−6𝑥+ 𝑠𝑦 = 1 . 32) Fluxo em Redes - Uma rede é constituída por um número finito de nós, em que fluem os fluxos, entrando e/ou saindo. Em cada nó, o fluxo de entrada é igual ao de saída. A rede da figura abaixo mostra o fluxo de tráfego (em veículos por hora) em diversas ruas da cidade de Baltimore durante uma tarde típica. Determine o padrão gerado pelo fluxo nessa rede utilizando um sistema de equações lineares e interprete os resultados. 33) Fluxo de Calor - Uma consideração importante no estudo da transferência de calor é determinar a distribuição de temperatura do estado estacionário de uma placa fina quando a temperatura em sua borda é conhecida. Suponha que a placa, conforme a figura abaixo, representa uma seção transversal de uma barra de metal, com fluxo de calor desprezível na direção perpendicular à placa. Sejam 𝑇1, ..., 𝑇4 as temperaturas nos quatro nós interiores do reticulado na figura. A temperatura em um nó é igual, aproximadamente, à média aritmética dos 4 nós vizinhos - à esquerda, acima, à direita e abaixo. Por exemplo: 𝑇1 = (10 + 20 + 𝑇2 + 𝑇4)/4. Escreva um sistema com quatro equações cuja solução forneça as estimativas para as temperaturas 𝑇1, ..., 𝑇4. Em seguida, resolva o sistema de equações. 34) Circuitos elétricos - Encontre o valor de cada corrente elétrica que percorre o circuito abaixo, onde 𝑅1 = 𝑅2 = 𝑅4 = 𝑅5 = 0, 5Ω, 𝑅3 = 𝑅7 = 1Ω, 𝑅6 = 3Ω, 𝑉1 = 𝑉2 = 20𝑉 e 𝑉3 = 6𝑉 . Para o cálculo das correntes no circuito, deve-se aplicar as duas leis de Kirchhoff: a lei dos nós e a lei das malhas. Lei dos nós: A soma algébrica das correntes que entram em um nó é igual à soma algébrica das correntes que saem dele. Os nós são os pontos do circuito onde há união/separação de corrente elétrica. Neste exemplo, os nós do circuito são os pontos B e E. Seguindo a orientação das correntes no circuito, conforme a figura, temos a seguinte equação linear no nó E: 𝑖2 + 𝑖3 = 𝑖1 (o análogo vale para o nó B), o que resulta na equação homogênea: 𝑖1 − 𝑖2 − 𝑖3 = 0 (1) Lei das malhas: A soma algébrica das quedas de potencial numa malha é igual a zero. Em cada resistência, a queda de potencial é dada por 𝑉 = 𝑅𝑖. Aplicando a lei das malhas no circuito, obteremos duas novas equações: Malha BEFAB: 𝑅3𝑖1 +𝑅1𝑖1 − 𝑉1 +𝑅2𝑖1 +𝑅4𝑖2 + 𝑉2 +𝑅5𝑖2 = 0 (2) Malha BEDCB: 𝑅6𝑖3 + 𝑉3 +𝑅7𝑖3 −𝑅5𝑖2 − 𝑉2 −𝑅4𝑖2 = 0 (3) Calcule o valor de cada corrente, resolvendo o sistema linear formado pelas equações (1), (2) e (3). Obs.: A unidade de corrente elétrica e o Ampère (A). 35) Balanceamento de uma equação química - A fermentação do açúcar é uma reação em que ocorre a transformação dos açúcares em etanol. Para que a reação seja balanceada, o número de cada átomo nos reagentes de ser igual ao número de átomos nos produtos. Com base nisso, determine, aplicando sistemas de equações lineares, o balanceamento da equação química abaixo: 𝐶6𝐻12𝑂6 −→ 𝐶𝑂2 + 𝐶2𝐻5𝑂𝐻 Gabarito 1) 𝑥 𝑦 = −2 2) 𝑋 = 15 ⎛⎝ 6 −1 11 6 ⎞⎠ e 𝑌 = 15 ⎛⎝ −4 −1 −9 −4 ⎞⎠ 3) (a) ⎛⎝ −5 10 −3 −34 ⎞⎠ (b) ⎛⎝ 17 4 −24 13 ⎞⎠ (c) ⎛⎝ −1/2 2 3 5/2 ⎞⎠ (d) ⎛⎝ −5 −6 9 10 ⎞⎠ (e) ⎛⎝ 5 9 −6 −11 −15 8 ⎞⎠ 4) 𝐵 = ⎛⎝ 3 1 2 4 ⎞⎠ 5) 𝑥 = 1, 𝑦 = 4 e 𝑧 = 4; 𝐵 = ⎛⎜⎜⎜⎝ 2 0 0 0 3 0 0 0 5 ⎞⎟⎟⎟⎠ 6) 𝑋 = (︁ 1 3 )︁ 8) (a) 𝑥 = 0 e 𝑦 ∈ 𝑅; (b) 𝑥 = −2 e 𝑦 = 13 9) (a) 𝑥 = 1 e 𝑥 = −5 10) (a) ⎛⎜⎜⎜⎝ 1 0 0 −7/8 0 1 0 −1/4 0 0 1 11/8 ⎞⎟⎟⎟⎠ 𝑃 (𝐴) = 3 e 𝑁(𝐴) = 1 (b) ⎛⎜⎜⎜⎝ 1 0 3/5 0 1 −2/5 0 0 0 ⎞⎟⎟⎟⎠ 𝑃 (𝐴) = 2 e 𝑁(𝐴) = 1 (c) ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ 𝑃 (𝐴) = 4 e 𝑁(𝐴) = 0 11) (a) 𝑋 = ⎛⎝ −1 0 1 −1 ⎞⎠ (b) 𝑋 = ⎛⎝ −1 −2 −1 −2 ⎞⎠ (c) 𝑋 = ⎛⎝ 5 −4 −1 1 ⎞⎠ 12) a) 𝑋 = 𝐴𝐵−1(𝐶𝑡)−1 b) 𝑋 = ⎛⎝ −2 −14 8 52 ⎞⎠ 13) (a) 𝐴−1 = ⎛⎝ 7 −3 −2 1 ⎞⎠ (b) 𝐵−1 = ⎛⎜⎜⎜⎝ 4 −2 −3 −11 6 9 −12 7 10 ⎞⎟⎟⎟⎠ (c) não possui inversa. (d) 𝐶−1 = ⎛⎜⎜⎜⎝ 1/6 1/6 −1/6 2/27 −1/27 4/27 −8/27 4/27 11/27 ⎞⎟⎟⎟⎠ 14) 𝑎 ̸= −2 15) det𝐴−1 = 14 16) det𝐴 = 35 17) 1 128 18) 𝑄 = ⎛⎝ 4 9 13 6 ⎞⎠ ; det𝑄 = −93 19) (c) 20) 𝐴−1 = ⎛⎜⎜⎜⎝ 1/6 1/6 0 2/3 1 −2/3 −2/3 −1/3 1/3 ⎞⎟⎟⎟⎠ 21) 𝑋 = ⎛⎜⎜⎜⎝ 1/4 0 −1/4 ⎞⎟⎟⎟⎠ 22) (a) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 2,−3) (b) (−𝛼, 𝛼, 𝛼);𝛼 ∈ 𝑅 (c) (𝛼− 1, 2𝛽, 𝛽, 𝛼);𝛼, 𝛽 ∈ 𝑅 (d) SI (e) (−3𝛼, 0, 𝛼);𝛼 ∈ 𝑅 (f) (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = (1,−1, 2,−2) 23) (b) 24) (a) 25) (a) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (5,−2,−2) (b) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0, 0, 0) (c) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1/4, 1/8, 3/8) 26) 𝑘 = −6 27) 𝑎 = 6 e 𝑏 = 8 28) 𝑏1 − 𝑏22 + 𝑏3 = 0 29) (a) 𝑎 ̸= ±3 (b) 𝑎 = 3 (c) 𝑎 = −3 30) (a) F (b) V (c) V 31) 3(𝑠2 − 4) ∴ 𝑠 ̸= ±2 𝑥 = 4𝑠+ 23(𝑠2 − 4) e 𝑦 = 𝑠+ 8 (𝑠2 − 4) 32) (600− 𝑥5, 200 + 𝑥5, 400, 500− 𝑥5, 𝑥5) 33) 𝑇1 = 24, 3𝑜;𝑇2 = 27, 5𝑜;𝑇3 = 30𝑜 e 𝑇4 = 22, 5𝑜 34) (1,−2, 3) 35) 𝛼(1, 2, 2)
Compartilhar