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Lista 1 Algebra Linear

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FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
NÚCLEO DE MATEMÁTICA
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR
1ª LISTA DE EXERCÍCIOS
Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares
Autores: Elecy Moreno, Rosely Bervian e Dian Soares
2017.1
1) Sejam as matrizes 𝐴 =
⎛⎝ 𝑥− 3 2
𝑥− 2𝑦 5
⎞⎠ e 𝐵 =
⎛⎝ 4𝑦 2
2 𝑥+ 4
⎞⎠ . Encontre a razão entre
𝑥 e 𝑦
para que se tenha 𝐴 = 𝐵.
2) Sendo 𝐴 =
⎛⎝ 2 −1
3 2
⎞⎠ e 𝐵 =
⎛⎝ 0 −1
−1 0
⎞⎠ , calcular as matrizes X e Y no sistema⎧⎪⎨⎪⎩2𝑋 + 3𝑌 = 𝐵3𝑋 + 2𝑌 = 𝐴 .
3) Considere as seguintes matrizes𝐴 =
⎛⎝ 1 2
−3 −4
⎞⎠ , 𝐵 =
⎛⎝ 5 0
−6 7
⎞⎠ , 𝐶 =
⎛⎝ 1 −3 4
2 6 −5
⎞⎠ ,
𝐷 =
⎛⎝ 1 2
3 4
⎞⎠ e 𝐸 =
⎛⎝ 5 4
6 11
⎞⎠ . Determine:
(a) 5𝐴− 2𝐵 (b) 2𝐴+ 3𝐵 (c) 2𝐷 − 12𝐸 (d) 𝐴
2 = 𝐴𝐴 (e) 𝐴𝐶
(f) Mostre que 𝐷𝐸 = 𝐸𝐷 e 𝐴𝐵 ̸= 𝐵𝐴
4) Se 𝐴 =
⎛⎝ 1 −3
−3 5
⎞⎠ e 𝐴𝐵 =
⎛⎝ −3 −11
1 17
⎞⎠ , determine a matriz 𝐵.
5) Determine 𝑥, 𝑦, 𝑧 e a matriz 𝐵 de modo que 𝐴𝐵 =
⎛⎜⎜⎜⎝
2 3 10
6 12 25
4 9 20
⎞⎟⎟⎟⎠ , 𝐴 =
⎛⎜⎜⎜⎝
𝑥 1 2
3 𝑦 5
2 3 𝑧
⎞⎟⎟⎟⎠
e 𝐵 é uma matriz diagonal.
6) Sejam 𝐴 =
⎛⎝ −1 −2
−3 −5
⎞⎠ , 𝐵 =
⎛⎝ 2
−1
⎞⎠ e 𝐶 =
⎛⎝ 1 4
−4 −8
⎞⎠ . Determine, se possível,
a matriz 𝑋, tal que 𝐴+𝐵𝑋 = 𝐶.
7) Sejam as matrizes 𝐴 =
⎛⎜⎜⎜⎝
2 1
6 3
−2 4
⎞⎟⎟⎟⎠ e 𝐵 =
⎛⎝ 2 4
1 6
⎞⎠, verifique se (𝐴𝐵)𝑡 = 𝐵𝑡𝐴𝑡.
8) Determine, se possível, 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 para que a matriz
⎛⎜⎜⎜⎝
0 2𝑥 1
𝑥2 3𝑦 − 1 −4𝑥
𝑥+ 1 𝑥3 0
⎞⎟⎟⎟⎠ seja: (a)
simétrica e (b) anti-simétrica.
9) Calcule o valor de 𝑥 para que o produto das matrizes 𝐴 =
⎛⎝ −2 𝑥
3 1
⎞⎠ e 𝐵 =
⎛⎝ 1 −1
0 1
⎞⎠
seja uma matriz (a) simétrica e (b) anti-simétrica.
10) Escreva as matrizes abaixo em sua forma escalonada reduzida e determine o posto e a
nulidade de cada uma delas.
(a)𝐴 =
⎛⎜⎜⎜⎝
1 2 1 0
−1 0 3 5
1 −2 1 1
⎞⎟⎟⎟⎠ (b)𝐵 =
⎛⎜⎜⎜⎝
1 −1 1
3 2 1
5 5 1
⎞⎟⎟⎟⎠ (c) 𝐶 =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
2 −3 1 7
−2 3 0 4
−1 5 4 −3
2 4 −5 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
11) Dadas as matrizes 𝐴 =
⎛⎝ 1 3
0 1
⎞⎠ , 𝐵 =
⎛⎝ −1 0
2 −1
⎞⎠ e 𝐶 =
⎛⎝ 1 1
1 2
⎞⎠ , determinar 𝑋
em cada equacao abaixo:
(a) (𝐴𝑡𝑋)−1 = (𝐵−1)−1
(b) 𝐶(𝐴+𝑋)𝐵 = 𝐼
(c) (𝐴𝑋)−1𝐵 = 𝐶𝐵
12) Supondo que as matrizes 𝐴, 𝐵 e 𝐶 são inversíveis (a) determine a matriz 𝑋 na equação
(𝐴−1𝑋𝐶𝑡)−1 = 𝐵. (b) Considerando as matrizes 𝐴 =
⎛⎝ 1 0
−1 2
⎞⎠ , 𝐵−1 =
⎛⎝ 0 −2
1 3
⎞⎠
e 𝐶−1 =
⎛⎝ 0 1
−2 7
⎞⎠ e o resultado obtido na letra (a), determine a matriz 𝑋 (indicando
os seus elementos).
13) Calcule a inversa das matrizes abaixo utilizando as operações elementares sobre linhas.
(a) 𝐴 =
⎛⎝ 1 3
2 7
⎞⎠ (b) 𝐵 =
⎛⎜⎜⎜⎝
3 1 0
−2 −4 3
5 4 −2
⎞⎟⎟⎟⎠ (c) 𝐶 =
⎛⎜⎜⎜⎝
1 −1 2
3 2 −4
0 1 −2
⎞⎟⎟⎟⎠
(d) 𝐷 =
⎛⎜⎜⎜⎝
2 5 −1
4 −1 2
0 4 1
⎞⎟⎟⎟⎠
14) Determine o valor de 𝑎 para que a matriz
⎛⎜⎜⎜⎝
1 1 1
2 1 2
1 2 𝑎+ 3
⎞⎟⎟⎟⎠ seja inversível.
15) Verifique se a matriz 𝐴 =
⎛⎜⎜⎜⎝
1 2 1
2 1 1
1 1 2
⎞⎟⎟⎟⎠ é inversível. Em caso afirmativo, calcule o
determinante de 𝐴−1.
16) Encontre o determinante da matriz 𝐴 =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
2 1 3 0
1 2 1 0
0 0 2 1
3 1 1 4
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ .
17) Considere uma matriz 𝐵 =
⎛⎜⎜⎜⎝
−1 2 0
0 𝑥 𝑦
−1 0 𝑦
⎞⎟⎟⎟⎠ , onde a soma dos elementos da diagonal
principal e o seu determinate são iguais a 9 e −20, respectivamente. Calcule 𝑦
2
𝑥3
.
18) Considere as matrizes 𝑀 =
⎛⎝ 1 0 1
3 −2 2
⎞⎠ , 𝑁 =
⎛⎜⎜⎜⎝
1 1
0 3
2 4
⎞⎟⎟⎟⎠ e 𝑃 =
⎛⎝ 1 6
4 1
⎞⎠ Calcule
o determinante da Matriz 𝑄 = 𝑀𝑁 + 𝑃 𝑡.
19) Sejam 𝐴 =
⎛⎝ 1 −1 1
𝑦 −𝑥 1
⎞⎠ , e 𝐵 =
⎛⎜⎜⎜⎝
𝑥+ 1 𝑥
𝑦 − 2 𝑦
𝑧 + 3 𝑧
⎞⎟⎟⎟⎠ matrizes reais tais que 𝐴𝐵 é uma
matriz antissimétrica. Considere as afirmações abaixo:
I. 𝐴 =
⎛⎝ 1 −1 1
5 1 1
⎞⎠ .
II. 𝐵𝐴 é uma matriz simétrica.
III. O traço da matriz 𝐵𝐴 é igual a zero. (O traço de uma matriz quadrada é definido
como a soma dos elementos da diagonal principal da matriz).
IV. O determinante da matriz 𝐴𝐵 é igual a 2.
São verdadeiras, apenas, as afirmações:
(a) I e II. (b) II e III. (c) I e III. (d) II e IV. (e) III e IV.
20) Determine a inversa da matriz 𝐴 =
⎛⎜⎜⎜⎝
2 −1 −2
4 1 2
8 −1 1
⎞⎟⎟⎟⎠ pelo método da adjunta.
21) Considere a matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)3×3, tal que 𝑎𝑖𝑗 =
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
𝑖+ 𝑗, se 𝑖 < 𝑗
2(𝑖− 𝑗)2, se 𝑖 = 𝑗
(𝑗 − 𝑖)2, se 𝑖 > 𝑗
. Determine 𝑋
na equação 𝐴𝑋 = 𝐵, onde 𝐵 =
⎛⎜⎜⎜⎝
−1
−1
1
⎞⎟⎟⎟⎠ .
22) Usando escalonamento, resolva os seguintes sistemas de equações lineares:
(a)
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
2𝑥+ 𝑦 − 2𝑧 = 10
3𝑥+ 2𝑦 + 2𝑧 = 1
5𝑥+ 4𝑦 + 3𝑧 = 4
(b)
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
𝑥+ 2𝑦 − 𝑧 = 0
2𝑥− 𝑦 + 3𝑧 = 0
4𝑥+ 3𝑦 + 𝑧 = 0
(c)
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
𝑥− 𝑦 + 2𝑧 − 𝑤 = −1
2𝑥+ 𝑦 − 2𝑧 − 2𝑤 = −2
−𝑥+ 2𝑦 − 4𝑧 + 𝑤 = 1
3𝑥− 3𝑤 = −3
(d)
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
𝑥+ 𝑦 + 𝑧 = 4
2𝑥+ 5𝑦 − 2𝑧 = 3
𝑥+ 7𝑦 − 7𝑧 = 5
(e)
⎧⎪⎨⎪⎩𝑥− 2𝑦 + 3𝑧 = 02𝑥+ 5𝑦 + 6𝑧 = 0 (f)
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
𝑥+ 𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 0
𝑥+ 𝑦 + 𝑧 − 𝑡 = 4
𝑥+ 𝑦 − 𝑧 + 𝑡 = −4
𝑥− 𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 2
23) Resolvendo o sistema
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
𝑥+ 𝑦 + 𝑧 = 0
2𝑥− 𝑦 − 2𝑧 = 1
6𝑦 + 𝑧 = 12
, pode-se afirmar que o valor de 𝑧 é igual a:
(a) −3 (b) −2 (c) 0 (d) 2 (e) 3
24) O sistema de equações lineares
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
2𝑥− 𝑦 + 3𝑧 = 0
4𝑥− 3𝑦 + 2𝑧 = 0
𝑥+ 𝑦 + 𝑧 = 0
3𝑥+ 𝑦 + 𝑧 = 0
, é classificado como:
(a) Sistema possível e determinado, com 𝑥 = 0.
(b) Sistema possível e determinado, com 𝑥 = 1.
(c) Sistema possível e determinado, com 𝑥 = 11.
(d) Sistema possível e indeterminado.
(e) Sistema impossível.
25) Resolva os seguintes sistemas de equações lineares utilizando a regra de Cramer.
(a)
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
2𝑥+ 𝑦 + 2𝑧 = 4
𝑥+ 2𝑦 + 𝑧 = −1
3𝑥+ 5𝑦 + 2𝑧 = 1
(b)
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
𝑥+ 3𝑦 − 𝑧 = 0
2𝑦 + 2𝑧 = 0
𝑥+ 𝑦 + 𝑧 = 0
(c)
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
𝑥+ 𝑦 − 𝑧 = 0
2𝑥+ 𝑦 + 𝑧 = 1
3𝑥− 𝑦 + 𝑧 = 1
26) Determine para quais valores de 𝑘 o sistema
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
−4𝑥+ 3𝑦 = 2
5𝑥− 4𝑦 = 0
2𝑥− 𝑦 = 𝑘
admite solução.
27) Determine os valores de 𝑎 e 𝑏 que tornam o sistema
⎧⎪⎨⎪⎩6𝑥+ 𝑎𝑦 = 124𝑥+ 4𝑦 = 𝑏 possível e
indeterminado.
28) Sejam 𝐴 =
⎛⎜⎜⎜⎝
1 3 4
−4 2 −6
−3 −2 −7
⎞⎟⎟⎟⎠ e 𝐵 =
⎛⎜⎜⎜⎝
𝑏1
𝑏2
𝑏3
⎞⎟⎟⎟⎠ .
A resolução do sistema 𝐴𝑋 = 𝐵 é possível para quais valores de 𝑏1, 𝑏2 e 𝑏3? Justifique.
29) Considere o sistema
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
−3𝑥+ 3𝑦 − 5𝑧 = −2
2𝑥+ 4𝑦 − 6𝑧 = 8
4𝑥− 𝑦 + (𝑎2 − 7)𝑧 = 𝑎+ 3
.
Determine os valores de 𝑎 de modo que:
(a) O sistema seja possível e determinado (SPD).
(b) O sistema seja possível e indeterminado (SPI).
(c) O sistema seja impossível (SI).
30) Os estoques de gasolina, álcool e diesel de três postos de combustíveis são dados, em
milhares de litros, na tabela abaixo.
Seja 𝑀 a matriz formada pelos elementos que constam na tabela acima, na mesma
disposição da tabela dada.
Gasolina Álcool Diesel
Posto 1 2 1 1
Posto 2 1 4 0
Posto 3 3 0 1
Com base nessas informações, marque V (verdadeiro) e F (falso).
(a) ( ) A matriz 𝑀2 é simétrica.
(b) ( ) O determinante da matriz 𝑀 é igual a −5.
(c) ( ) Se o preço por litro de cada combustível é o mesmo nos três postos e que a
soma dos valores dos estoques dos postos 1, 2 e 3 são, respectivamente, R$ 8.800, 00, R$
10.800, 00 e R$ 9.600, 00, então a soma dos preços, por litro, de cada combustível é R$
6, 00.
31) Controle Linear - Um bom número de problemas importantes na engenharia, em
particular, na engenharia elétrica e na teoria do controle, pode ser analisado usando-se
transformadas de Laplace. Essa abordagem transforma um sistema apropriado de equações
diferenciais lineares, em um sistema linear de equações algébricas, cujos coeficientes
envolvem um parâmetro. Considere o seguinte sistema no qual s é um parâmetro não
especificado. Determine os valores de s para os quais o sistematem uma única solução e
utilize a regra de Cramer para descrever a solução.⎧⎪⎨⎪⎩3𝑠𝑥− 2𝑦 = 4−6𝑥+ 𝑠𝑦 = 1 .
32) Fluxo em Redes - Uma rede é constituída por um número finito de nós, em que
fluem os fluxos, entrando e/ou saindo. Em cada nó, o fluxo de entrada é igual ao de saída.
A rede da figura abaixo mostra o fluxo de tráfego (em veículos por hora) em diversas ruas
da cidade de Baltimore durante uma tarde típica. Determine o padrão gerado pelo fluxo
nessa rede utilizando um sistema de equações lineares e interprete os resultados.
33) Fluxo de Calor - Uma consideração importante no estudo da transferência de calor
é determinar a distribuição de temperatura do estado estacionário de uma placa fina
quando a temperatura em sua borda é conhecida. Suponha que a placa, conforme a figura
abaixo, representa uma seção transversal de uma barra de metal, com fluxo de calor
desprezível na direção perpendicular à placa. Sejam 𝑇1, ..., 𝑇4 as temperaturas nos quatro
nós interiores do reticulado na figura. A temperatura em um nó é igual, aproximadamente,
à média aritmética dos 4 nós vizinhos - à esquerda, acima, à direita e abaixo. Por exemplo:
𝑇1 = (10 + 20 + 𝑇2 + 𝑇4)/4.
Escreva um sistema com quatro equações cuja solução forneça as estimativas para as
temperaturas 𝑇1, ..., 𝑇4. Em seguida, resolva o sistema de equações.
34) Circuitos elétricos - Encontre o valor de cada corrente elétrica que percorre o circuito
abaixo, onde 𝑅1 = 𝑅2 = 𝑅4 = 𝑅5 = 0, 5Ω, 𝑅3 = 𝑅7 = 1Ω, 𝑅6 = 3Ω, 𝑉1 = 𝑉2 = 20𝑉 e
𝑉3 = 6𝑉 .
Para o cálculo das correntes no circuito, deve-se aplicar as duas leis de Kirchhoff: a lei dos
nós e a lei das malhas. Lei dos nós: A soma algébrica das correntes que entram em um nó
é igual à soma algébrica das correntes que saem dele. Os nós são os pontos do circuito
onde há união/separação de corrente elétrica. Neste exemplo, os nós do circuito são os
pontos B e E. Seguindo a orientação das correntes no circuito, conforme a figura, temos a
seguinte equação linear no nó E: 𝑖2 + 𝑖3 = 𝑖1 (o análogo vale para o nó B), o que resulta
na equação homogênea:
𝑖1 − 𝑖2 − 𝑖3 = 0 (1)
Lei das malhas: A soma algébrica das quedas de potencial numa malha é igual a zero. Em
cada resistência, a queda de potencial é dada por 𝑉 = 𝑅𝑖. Aplicando a lei das malhas no
circuito, obteremos duas novas equações:
Malha BEFAB: 𝑅3𝑖1 +𝑅1𝑖1 − 𝑉1 +𝑅2𝑖1 +𝑅4𝑖2 + 𝑉2 +𝑅5𝑖2 = 0 (2)
Malha BEDCB: 𝑅6𝑖3 + 𝑉3 +𝑅7𝑖3 −𝑅5𝑖2 − 𝑉2 −𝑅4𝑖2 = 0 (3)
Calcule o valor de cada corrente, resolvendo o sistema linear formado pelas equações (1),
(2) e (3). Obs.: A unidade de corrente elétrica e o Ampère (A).
35) Balanceamento de uma equação química - A fermentação do açúcar é uma reação
em que ocorre a transformação dos açúcares em etanol. Para que a reação seja balanceada,
o número de cada átomo nos reagentes de ser igual ao número de átomos nos produtos.
Com base nisso, determine, aplicando sistemas de equações lineares, o balanceamento da
equação química abaixo:
𝐶6𝐻12𝑂6 −→ 𝐶𝑂2 + 𝐶2𝐻5𝑂𝐻
Gabarito
1) 𝑥
𝑦
= −2 2) 𝑋 = 15
⎛⎝ 6 −1
11 6
⎞⎠ e 𝑌 = 15
⎛⎝ −4 −1
−9 −4
⎞⎠
3) (a)
⎛⎝ −5 10
−3 −34
⎞⎠ (b)
⎛⎝ 17 4
−24 13
⎞⎠ (c)
⎛⎝ −1/2 2
3 5/2
⎞⎠ (d)
⎛⎝ −5 −6
9 10
⎞⎠
(e)
⎛⎝ 5 9 −6
−11 −15 8
⎞⎠
4) 𝐵 =
⎛⎝ 3 1
2 4
⎞⎠ 5) 𝑥 = 1, 𝑦 = 4 e 𝑧 = 4; 𝐵 =
⎛⎜⎜⎜⎝
2 0 0
0 3 0
0 0 5
⎞⎟⎟⎟⎠
6) 𝑋 =
(︁
1 3
)︁
8) (a) 𝑥 = 0 e 𝑦 ∈ 𝑅; (b) 𝑥 = −2 e 𝑦 = 13 9) (a) 𝑥 = 1 e 𝑥 = −5
10) (a)
⎛⎜⎜⎜⎝
1 0 0 −7/8
0 1 0 −1/4
0 0 1 11/8
⎞⎟⎟⎟⎠ 𝑃 (𝐴) = 3 e 𝑁(𝐴) = 1
(b)
⎛⎜⎜⎜⎝
1 0 3/5
0 1 −2/5
0 0 0
⎞⎟⎟⎟⎠ 𝑃 (𝐴) = 2 e 𝑁(𝐴) = 1
(c)
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ 𝑃 (𝐴) = 4 e 𝑁(𝐴) = 0
11) (a) 𝑋 =
⎛⎝ −1 0
1 −1
⎞⎠ (b) 𝑋 =
⎛⎝ −1 −2
−1 −2
⎞⎠ (c) 𝑋 =
⎛⎝ 5 −4
−1 1
⎞⎠
12) a) 𝑋 = 𝐴𝐵−1(𝐶𝑡)−1 b) 𝑋 =
⎛⎝ −2 −14
8 52
⎞⎠
13) (a) 𝐴−1 =
⎛⎝ 7 −3
−2 1
⎞⎠ (b) 𝐵−1 =
⎛⎜⎜⎜⎝
4 −2 −3
−11 6 9
−12 7 10
⎞⎟⎟⎟⎠ (c) não possui inversa.
(d) 𝐶−1 =
⎛⎜⎜⎜⎝
1/6 1/6 −1/6
2/27 −1/27 4/27
−8/27 4/27 11/27
⎞⎟⎟⎟⎠
14) 𝑎 ̸= −2 15) det𝐴−1 = 14 16) det𝐴 = 35 17)
1
128
18) 𝑄 =
⎛⎝ 4 9
13 6
⎞⎠ ; det𝑄 = −93
19) (c)
20) 𝐴−1 =
⎛⎜⎜⎜⎝
1/6 1/6 0
2/3 1 −2/3
−2/3 −1/3 1/3
⎞⎟⎟⎟⎠ 21) 𝑋 =
⎛⎜⎜⎜⎝
1/4
0
−1/4
⎞⎟⎟⎟⎠
22) (a) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 2,−3) (b) (−𝛼, 𝛼, 𝛼);𝛼 ∈ 𝑅 (c) (𝛼− 1, 2𝛽, 𝛽, 𝛼);𝛼, 𝛽 ∈ 𝑅
(d) SI (e) (−3𝛼, 0, 𝛼);𝛼 ∈ 𝑅 (f) (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = (1,−1, 2,−2)
23) (b) 24) (a)
25) (a) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (5,−2,−2) (b) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0, 0, 0) (c) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1/4, 1/8, 3/8)
26) 𝑘 = −6 27) 𝑎 = 6 e 𝑏 = 8 28) 𝑏1 − 𝑏22 + 𝑏3 = 0
29) (a) 𝑎 ̸= ±3 (b) 𝑎 = 3 (c) 𝑎 = −3
30) (a) F (b) V (c) V
31) 3(𝑠2 − 4) ∴ 𝑠 ̸= ±2
𝑥 = 4𝑠+ 23(𝑠2 − 4) e 𝑦 =
𝑠+ 8
(𝑠2 − 4)
32) (600− 𝑥5, 200 + 𝑥5, 400, 500− 𝑥5, 𝑥5)
33) 𝑇1 = 24, 3𝑜;𝑇2 = 27, 5𝑜;𝑇3 = 30𝑜 e 𝑇4 = 22, 5𝑜 34) (1,−2, 3) 35) 𝛼(1, 2, 2)

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