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O Teorema Fundamental do Cálculo e Aplicações da Integral

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11;11= }, -+ 0, ou equivalentemente quando n -+ 00, as somas se aproximam da integral
J~JCx)d-c = ln(2) -ln(I).
EXEM PLO (7.8)
Mostrar que V n 2:
n ~I
L n lk < ln(2) < :E n lk
k=1 k=O
Neste caso usando as mesmas idéias de somas de Riemann do Exemplo anterior, colocamos o termo
}, em evidência e as desigualdades que queremos provar são
n ~I
À 2: 1 k < ln(2) < }, 2: 1
k=1 1 + n k=O 1 + ~
Consideramos as duas partições do intervalo [O, ]] : P 1 = {}" ~ , ' .. , ~ } e
P {O 1 2 n-l} C d d '- A 12 = '11' 11"'" -n- , a a uma as partições tem norma 11'
Os pontos Zk = ~, desde k = 1, .. " n pertencem aos subintervalos da partição PI, ..enquanto que os
pontos Zk = ~, desde k = 0, ... ,n - 1 pertencem aos subintervalos da partição P2• Seflx) = -1-1-,
+x
a soma }, .2:~ I:.!. pode ser considerada como uma soma de Riemann daf onde os pontos Zk são
n
as estremidades direitas dos subintervalos de PI, enquanto que a soma }, I:~ 1 k pode ser
1+ n
considerada como uma soma de Riemann dai onde os pontos Zk são as estremidades esquerdas dos
subintervalos de P2, Sendo que a funçãoI é contínua e decrescente em [0,1], concluimos que a 2a
soma é maior do que a área entre a curva e o eixo x no intervalo [O, 1] e que a Ia soma é menor do que
a mesma área, De acordo com o exemplo anterior, a área entre essas duas somas é dada pela integral
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-~ ', ..
definida f~1dx = ln(2). Isso prova as duas desigualdades.
EXEMPLO (7.9)
A regra de substituição para integrais definidas pode ser enunciada assim:
Seja g uma função tal que g' é contínua em [a, b] e seja f uma função contínua .ern ..um intervalo
contendo {g(x)/x E [a,b]}. Então se u = g(x) é tal que du = g'(x)dx =>
fb fl.g(x»g' (x)dx = fg(b) j{u)dua g(a)
EXEMPLO (7.10)
A regra de integração por partes para integrais definidas pode ser enunciada assim:
Sejamfe g funções com derivadas contínuas em um intervalo [a, b]. Então
IJ~JI.X)g'(x)dx = [f(b)g(b) -j{a)g(a)] - f:/(x)g(x)d-c
EXEMPLO (7.11) Limites de Integração Variáveis
Sejafcontínua em um intervalo I que contém a.
1. Se H(x) = f:fl.t)dt Vx E [a,b] => H(x) = - f:j{t)dt => H'(x) = -j{x), ou seja,
:Ix (J.:fl.t)dt) = -j{x)
2. Se g(x) é uma função diferenciável em I e o intervalo entre os valores a e g(.i) estiver contido
em I, então
:Ix (f:X) j{t)dt) = j{g(x»g' (x)
Basta a plicar a regra da cadéia a rj{t)dt, onde u = g(x) :
a
1x (f:j{t)dt) = :fu (f:j{t)dt) C;;; = j{u): = fl.g(x»g' (x)
3. Com a mesma idéia da primeira parte, e as hipóteses da parte 2,
dxd(fa j{t)dt) = -I (g(x»g' (x)g(x)
Se g(x) e h(x) são funções diferenciáveis em I e o intervalo entre os valores g(x) e h(x) estiver
contido em I, então
4.
dxd(fhCX)j{t)dt) = j{h(x»h' (x) - j{g(x»g' (x)g(x)
Para mostrar essa propriedade, basta considerar qualquer a E I, e escrever
fhCX)j{t)dt = fa j{t)dt + fhC.T)j{t)dt
g(x) g(.T) a
Agora usamos os resultados 3 e 4 para obter a conclusão.
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INTEGRABILlDADE DE FUNÇÕES
Definição (7.12)
Uma função/definida em um intervalo I, é limitada em I, se existir uma constante Mtal que
-MS.j(x) S. M 'vi x E I.
Geométricamente a condição anterior significa que o gráfico todo da função f no "intervalo '1 está contido
numa faixa horizontal do plano entre as retas y = -M e y = M.
Definição (7.13)
Uma função j definida em um intervalo [a,b], é integrável à Riemann em [a,b], se existir o limite das
Somas de Riemann
n
lim Lj(Zi)(Xi - xi-d
IIPII->O i=O
Nesse caso, definimos a integral defmida S:j(x)dx como sendo esse limite.
Denotando por ÓXi = x, - Xi-!, i = 1,2, ... , n a integrabilidade da função / pode ser reformulada
afirmando que existe lim Ln--"j(Zi)ÓXi e esse valor é denotado por tj(x)dx.IIPII->O 1-,., a
Mencionamos anteriormente que toda função contínua em Ui,1.·interv.llo,{,""·bj.,é·.integr.mel,,,porw
existem funções não contínuas que são integráveis também. Se / for limitada em [a, b] e o número de
pontos de descontinuidade em [a,b] for finito, então / é integrável. Se a função / não for limitada em
[a,b], ela não pode ser integrável. Essas duas afirmações são provadas em cursos mais avançados.
Destacamos aqui que quando / é contínua em um intervalo I, para qualquer a E I a integral S:j(t)dt é
uma primitiva da.f Para duas primitivas (fi.t)dt e f;fi.t)dt ,com a e b quaisquer em I, a diferença é
constante pois rj(t)dt = rj(t)dt + f'j(t)dt.
a a b
EXEMPLO (7.14)
Suponhamos que uma partícula se desloca ao longo de uma reta coordenada e que s = s(t) denota sua
posição no instante t em relação à origem O. Então sabemos ~ue a taxa de variação instantânea, no
instante t, é a velocidade da partícula nesse instante, v(t) = d~; a aceleração da partícula em todo
instante, a(t) = ~~. A integral definida f: v(t)dt = s(b) -s(a) denota o deslocamento da partícula
entre os instantes t = a e t = b. Entre esses dois instantes, a partícula pode parar, inverter seu
movimento, etc. A distância total percorrida pela partícula entre esses dois instantes é dada pela
integral defmida do módulo da velocidade S:lv(t)ldt , pois ela leva em conta o deslocamento da
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-
,-....- -:~"""~:--:",,'~--:'-.""'.'":"':::~~.!"" '--:-.-:"-rr-
partícula independentemente da direção do movimento.
Quando uma partícula é atirada para cima ou para baixo desde uma altura So, agindo sobre ela apenas
a aceleração da gravidade g, o movimento é descrito pela função quadrática
s(t) = so + vot - tgt2
onde vo denota a velocidade inicial que deve ser considerada positiva se a partícula é lançada para
baixo, ou negativa se for lançada para cima. A partir do cofihecimeiito'dessas duas constantes so'e vo,
podemos determinar diversas informações sobre o movimento:
• a velocidade em todo instante: v(t) = ~~ = Vo - gt
• o instante no qual alcança a máxima altura ou seja o instante no qual a velocidade é nula
t= ~g
• o instante no qual atinge o solo: a solução t, > Opara a qual S(t1) = O
• o intervalo de tempo no qual a partícula está subindo ou descendo: {t / c:t = v(t) > O} ou
{t / ~~ = v(t) < O} respectivamente
• quando a aceleração a(t) = dvd = cP2s for positiva, a velocidade está aumentando; quando at dt
aceleração for negativa a velocidade está diminuindo.
EXEMPLO (7.15)
A posição de uma partícula em todo instante t é dada pela equação s(t) = ~ - t3 + t2 + 1, onde t é
medido em minutos e s. em metros ..Descrever em .palavras o movimento da partícula nos primeiros
três minutos.
a v(t) = t3 - 3t2 + 2t, então'l7(l) =-"O'1'ara "1-=,:1 "'C '>p<lra'1·=,2;.·'A~e1oojdade..é,p@sitiva no
intervalo [0,1), negativa em (1,2) e positiva novamente em (2,3], v(l) = v(2) = O, de modo
que a partícula parou nesses dois instantes e houve inversão na direção do movimento nos
instantes t = 1 min e t = 2 mino A aceleração a(t) = 3t2 - 6t + 2 é nula para
t = 1 - I! ~0,4 min e para t = 1 + I! ~1,6 min, portanto a velocidade aumenta no
intervalo [O;O,4], diminui no intervalo [0,4; 1,6] e aumenta a partir do instante 1,6 mino
deslocamento = s(3) - s(O) = ~ m, a distância percorrida = ~(1) - s(O)1 + Is(2) - s(1)1 +
~(3) -s(2)1 = 10,251+ 1-0,251 + 122,51 = 23 m. Essa distância também é f~lt3 - 3t2 + 2tldt
b
c No instante inicial t = O, a partícula se encontrava parada a 1 m de distância e a direita do
ponto de referência O, e durante:'o'primeiro't1fÜlut@'fi·partí.culare.4ieslocou..Ba.óireção,positiva
afastando-se do ponto O aumentando sua velocidade até o instante t = 0,4 quando começou a
diminuir sua velocidade até pararemt ='1;'''<1 'partiniesse'momento··e,nomtewalo .[1,2], a
partícula inverteu seu movimento deslocando-se para esquerda com velocidade crescente até o
instante t = 1,6; a partir de t = 1,6 até t = 2, a partícula diminui sua velocidade e pára
novamente no instante t = 2; daí em diante a partícula inverteu seu movimento outra vez,
deslocando-se na direção positiva com velocidade crescente no resto do intervalo.
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ORSERVAÇÕES SOBRE AS INTEGRAIS