A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
32 pág.
O Teorema Fundamental do Cálculo e Aplicações da Integral

Pré-visualização | Página 3 de 7

DEFINIDAS E INDEFINIDAS
Queremos dirigir a nossa atenção a duas perguntas relativas ao cálculo de integrais:
Existe a integral definida f>Cx)dx de uma função fcontínua em [a, b] ?
A resposta é afirmativa e de acordo com o TFC ela é calculada pela fórmula
tfix)d'C = G(b) - G(a)
a
onde G(x) é uma primitiva qualquer da!
Existem primitivas (integrais indefinidas) de uma função contínuafem um intervalo [a,b] ?
A resposta também é afirmativa e de acordo com o TFC uma primitiva F(x) é dada pela fórmula
F(x) = f:fit)dt
Mas esta resposta deve ser melhor escIarecida.
Na segunda pergunta o que realmente queremos saber é se uma primitiva (que sabemos existe), pode
ser escrita como uma função elementar, ou seja, se podemos escrevé-la de uma forma fechada por
meio de uma fórmula que envolva funções como polinômios, funções trigonométricas, exponenciais,
combinadas de todas as formas possíveis pelas operações algébricas de somas, diferenças, produtos,
quocientes, potências, e também composições e inversas.
Uma análise mais aprofundada das técnicas de integração permite responder categóricamente que isso
não é possível: existem funções muito simples de escrever cujas primitivas não podem ser escritas por
meio de fórmulas que envolvam as chamadas funções elementares.
Como exemplo dessas situações podemos mencionar as primitivas de «=' :
E(x) = f: e-c/! dt, c constante real
que dão lugar às funções de Erro Gaussiano na Estatística;
sen(x)as primitivas da função x que é usada na Engenharia Elétrica na reconstrução de sinais:
S·() fX sen(t) dIX = -- t
o t
Si(x) é chamada a função Seno-Integral;
as primitivas de sen(x2) e COS(x2):
f: sen(t2)dt e f: cos(t2)dt
chamadas de integrais de Fresnel na Ótica etc.
Isto coloca naturalmente a questão de como determinar uma integral definida quando o cálculo de uma
integral indefinida em termos de funções elementares é impossível de realizar. A resposta nesse caso é
de determinar métodos que permitam o cálculo aproximado de integrais definidas. Vamos a mencionar
os mais simples desses métodos ajudados pela nossa intuição geométrica. Métodos mais sofisticados e
efetivos podem ser encontrados em textos específicamente elaborados para esse fim.
152
· . "'i.J"
MÉTODOS NUMÉRICOS DE INTEGRAÇÃO
Antes de mencionar alguns métodos específicos, gostariamos de chamar a atenção do leitor ao fato
fundamental que o significado de uma aproximação numérica não é preciso a menos que ela seja
suplementada por um conhecimento do grau de precisão alcançado.
Para uma função f com derivadas de várias as ordens no intervalo de integração [a, b], vamos supor
que conhecemos estimativas das derivadas no intervalo: isso significa conhecer valores 'numéricos M,
tais que
lf;)(X) I ::;M; "i/ x E [a,b], i = 1,2, ...
onde fi) (x) denota a derivada de ordem i da função r'(os valores M; podem ser os máximos absolutos
de Jfi)(x)I em [a,b]).
O objetivo é de aproximaro valor
1= fb j(x)dx
a
com a < b. O intervalo [a,b] é subdividido em n subintervalos de igual comprimento h ~ b ~ a com
pontos de subdivisão Xo = a, XI = a + h < X2 = a + 2h < ... < x; = b. Os valores da função nos
pontos de divisão são denotados por/; = j(x;), i = 1,2, ... ,n, e nos pontos médios são denotados por
f fi .10+XI ) f fi ·<I+X2 ) r j( ·<._1+-". ) 1 d t c: • d1/2= -2 -, 3/2= -2 - , ... , J (2n-I)/2= -2-' e se j eno a a raixa entre as lias retas
verticais x = Xj e X = Xj+l, o grafico dafe o eixo x, => a área da faixa A(Jj) = t+"j(x)dx e temos
-"j
n-)rj(x)dx = LA(lj)
a j=D
então devemos obter aproximações da área de cada faixa lj.
A Regra do Retângulo.
Esta regra está relacionada com a própria defmição da integral definida: cada área A(lj) ;::::jjh, com
j = 1,2, ... ,n - 1 =-
IJ:j(x)dx ;::::(fo +11 + ... +ItrJ)h = h L;ljj I
e a estimativa do erro para esta regra em cada faixa, é !A(lj) -};·hl ::; tMlh2 =>
IJ:j(x)dx-hL;ljjl::; tMlnh2 = tMI(b-a)h
A Regra do Trapézio
Em lugar de aproximar a faixa lj por um retângulo, obtemos uma aproximação melhor se a faixa ~. é
substituida pelo trapézio de altura h e bases de comprimento};· e};"+1 => A(Jj) ;::::+CIj+jj+l)h
IJ:j(x)dx ~ (fI+/2 + ... +Itr2) + tifo +/trl) I
153
,,",o
e a estimativa do erro correspondente em cada faixa é IA(/j) - t(fj +!j+I)h I :s ~h3 =>
IJ>Cx)dx- L~l t(fj+!j+I)hl :s -h-M2nh3 = -h-M2(b-a)h2
A Regra de Simpson
Uma aproximação numérica bem mais precisa é conseguida com esta regra. Ela depende de estimar a
área da união de duas faixas consecutivas 1j U 1j+), entre as abscissas Xj e Xj+2 considerando o bordo
superior como sendo de uma parábola que passa pelos três pontos de coordenadas (Xj,j(Xj»,
(Xj+1,j(Xj+l» e (Xj+2,j(Xj+2»' A equação desta parábola é dada por
Y
=jj-+(x-x-)!j+l-jj + (x-Xj)(x-xj-h) (Jj+2-2fj+l+Jj)
J J h 2 h
a área entre a parábola e o eixo x (estamos supondo quej(x) ~ Oem [a,b], embora o método funciona
sem esta hipótese), é dada por _
,. .•.. , :::;
ydx = ~(fj + 4fj+1 +fj+2)
e essa expressão representa a aproximação da área da dupla faixa I.i U 1j+l
=> A(Ij U 1;+1) :::: 4-(1;- + 4}j+1 +!j+2). Supondo agora que n = 2m, somando as áreas todas obtemos a
regra de Simpson:r---------------------------------------------------------~
fb 4h . 2h (f f I". haj(x)dx ::::T(JI +f3 + .,. +hm-l) + 3"" 2 + ~+ ... +J2m-2) + }"((o +f2m)
Se Es denota a estimativa do erro para esta regra =>
IIEsl ~ noM4(b - a)h41
Comparando as diversas estimativas dos erros em cada regra, vemos que esta última tem um erro do
ordem muito maior, 4, na pequena quantidade h; então se M; não for muito grande, esta regra é a mais
prática para cálculos aproximados de integrais.
ÁREA ENTRE CURVAS
Consideremos duas funções contínuasfe g em um intervalo 1= [a,b], tais que.f{x) ~ g(x) 'íj X E I.
Vamos provar que a área da região entre os gráficos de y = j(x) e y = g(x) e as verticais x= "a'e
x ~ b, é dada pela integral f:(f(x) - g(x) ]dx.
A idéia é a mesma usada anteriormente: dado x, seja A(x) a área entre os dois gráficos e as verticais
pelos pontos a e x. Vamos calcular a derivada de A. Para isso observamos que A(x + ôx) - A (x)
representa a área entre os gráficos e as verticais pelos pontos x e x + Sx, então aplicando o corolário
(7.7) à funçãoj{x) - g(x),
A(x + ôx) -A(x) = (/(z) - g(z»~
para algum z E [x,x + h] =>
154
r--- __ "__ ...•_ ..
e quando t,x -+ 0, Z --+ x e
A(x+t,x)-A(x) =f(z)-g(z)
Sx
lim[l(z) - g(z)] = f(x) - g(x) =>
Z-)C
1· A(x+ t,x) -A(x) n) ()lITI = J\X - g X
~;r-+O ~
Então-,
A' (x) = f(x) - g(x) =>
A(x) = rA' (t)dt
a
= r [l(t) - g(t) ]dt
a
e a área coincide com A(b) = J:[I(t) - g(t) ]dt.
Se no intervalo [a, b], os gráficos se cortam em um número fínito de pontos, então poderá haver alguns
subintervalos I onde f(x) ~ g(x), e outros J onde f(x) ~ g(x). As áreas correspondentes serão dadas
por
L[I(x)-g(x)]d~ e L[g(x)-f(x)]dx
respectivamente; fmalmente deveremos somar todas as integrais resultantes para encontrar a área
limitada por ambas as curvas em [a, b]. Em geral podemos escrever a área entre as curvas pela integral
fb1f(X) - g(x)ldx.
a
o procedimento para determinar a área entre as curvas defmidas por duas funções contfmras'em[n, b],
pode ser resumido assim:
• calcular todas as soluções da equação f(x) = g(x); essas soluções formam uma divisão do
intervalo [a, b] em um número fmito de subintervalos tais que em cada um deles a diferença
f(x) - g(x) tem sinal constante.
• determinar o sinal de j(x) - g(x) em cada subintervalo, reescrevendo
JfCx) - g(x)J = fCx) - g(x), ou JfCx) - g(x)J = g(x) - fCx) conforme o caso
• a integral J)Cx) - g(x)ldx será a soma de todas as integrais nesses subintervalos.
Pode ocorrer que a região do plano cuja área queremos determinar esteja definida por curvas onde a
variável x é dada como função de y. Se essas funções forem denotadas pelas equações x, =JJy) e
x = g(y), então a área entre essas