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O Teorema Fundamental do Cálculo e Aplicações da Integral

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curvas em um intervalo [c,d], estará dada pela integral
JdJt(y) - g(y)ldy
c
a qual deve ser calculada seguindo o mesmo procedimento descrito anteriormente.
EXEMPLO (7.16)
Calcular a área entre as curvas definidas por y = x - 2 e x = y2. Primeiro fazemos um esboço das
curvas para visualizar a região
155
-/'.'--- .. ~--- - --- .-.--
-1
o
As curvas se cortam nos pontos P e Q cujas ordenadas são as soluções de y + 2 = y2 : y = 2 e
y = -1. Se quisermos calcular a área integrando em relação a x, deveremos calcular a área das regiões
de cada lado da reta vertical x = 1; aquela do lado esquerdo é o dobro da região entre a parábola
y = JX, O :s x :s 1 e o eixo x, enquanto que aquela do lado direito é limitada na parte superior por
y = JX e na parte inferior por x - 2, 1:S x :s 4; observar que x = 1 e x = 4 são as abscissas de Q e
P respectivamente. Observe a figura
o
1
-1
Então a área total é
~\
? 3 2 3 ?
Uma primitiva de .jX é FI(x) = tX T e de,fi - x + 2 é F2(X) ='3 x T - ~- + 2x, logo,
A = 2[FI(1) -FI (O)] + [F2(4) -F2(1)]
= -4..+[lQ.-8+8-(1-_l+2)]
3 3 3 2
=..2.
2"
Uma segunda forma alternativa mais simples desde o ponto de vista dos cálculos, é observar que a
região pode ser considerada entre duas curvas definidas em termos da variável y: x = y2 é a curva que
delimita o contorno inferior da região enquanto que x = y + 2 é a curva que delimita o contorno
156
,-...
---------
superior; neste caso a área é calculada integrando em relação a y
A = fI[(y+ 2) - y2]dy
2 3
e uma primitiva é F(y) = ~ + 2y - ~ =:}
<,A='F(2) -F(-l)
=.2.
·2.'
EXEMPLO (7.17)
Determinar a área entre as curvasj(x) = 2 + Ix - 11 e g(x) = - ~ + 7.
Um esboço das curvas permitirá perceber se é mais apropriado integrar em relação a x ou em relação a
y.
-6 -4 -2 2 4 6
x
Primeiro observamos que é mais conveniente integrar em relação a x; devemos determinar os pontos
de interseção e calcular a área da região entre as retas verticais que correspondem ao vértice superior
esquerdo e o vértice inferior, somando a área desde este último vértice até o superior direito.
Pontos de interseção :
parax< 1,j(x)=2-(x-l)=3-x =:} aequação 3-x=-~ +7 é equivalente a ~x=-4
=:} x = -5
para x 2: 1, j(x) = 2 + (x - 1) = x +'1
=> x = 5
o vértice está localizado no ponto eem abscissa x = 1.
Então a área total é calculada como
f~5[g(x) - j(x)]dx + f:[g(x) - j(x)]dx
= f~J-~+ 7 - (3 - x) Jctc +r[-~+ 7 - (x + 1) Jdx
= f~5 ( ~ X + 4 ) dx + f: (- ~x + 6) dx = 24
157
rr-;-~-~---_._----.. -.
,..-...
r-.
,..-...
""'-
""'
r--
""' a
""'
r--
,.-.,.
EXEM PLO (7.18)
A figura abaixo exibe os gráficos das velocidades de dois carros v) (I) e V2 (t), onde V2 (t) corresponde
ao gráfico da reta. Descrever o movimento no intervalo [O, t2] nos casos em que: (a) as áreas A e B são
iguais e (b) as áreas A e B são distintas.
Os dois veículos partem do repouso pois suas velocidades são nulas para t = O. No intervalo
[O,t)] o veículo 1 tem velocidade maior do que o outro portanto ele anda na frente. No instante
t) os dois veículos têm a mesma velocidade. Para qualquer valor do tempo,X,(T,::S tú, a
integral f~ v) (t)dt representa o deslocamento do veículo 1 e J~v2(t)dt representa o
deslocamento do veículo 2. Como não há inversão nos movimentos y:orque' '?)~'esses
deslocamentos são as distâncias percorridas no intervalo [0,1]. A integral f o [VI (t) - V2 (t) ]dt,
representa a diferença das distâncias percorridas por cada veículo, logo, se T < ti a integral é
positiva => em todo o intervalo [O, T] o veículo 1 está na frente do 2. Quando T = t2,
f~[vl (t) - v2(t)]dt = A - B = ° :. os dois veículos têm a mesma posição.
b Se A > B, no intervalo [OhJ o veículo 1 está na frente do 2; se A < B, no instante ti o veículo
2 está na frente do 1 .•
EXEMPLO (7.19)
Determinar a reta horizontal de equação y = k que divide a área entre as curvasj(x) ~ :t:"e"g(x) ='9,
em duas partes iguais. .
158
x
A partir da figura observamos que é melhor integrar em relação a y. A área dentro da parábola até a
altura k é dada por 2J~JY dy, e da altura k até a altura 9, é dada por 2J: .jY dy, então k deve ser
escolhido de tal modo que
Uma primitiva de JY é ~ Y+ ~
2 J.. 2 ( __i \ '"'.~
3" k i = 3" ";I '- ) -- 3 "- .:.
EXEMPLO (7.20)
Determinar a área entre a curvaj(x) = sen(x) e sua reta tangente na origem, para O:s x:s ~. Neste
exemplo é importante lembrar que a tangente está acima do gráfico do seno no intervalo dado. A
equação da tangente é y = x, então área é
2
e uma pnmitrva é F(x) = ~ + cos(x)
2 2
~ + cose ; ) - [O+ 1] = '8 - 1 ~ 0,23
Te
fo2 [x - sen(x) Jdx
Te
~ fo2 [x - sen(x) Jdx = F(;) - F(O) =
EXEMPLO (7.21)
Seja F(x) = JX sen(lt) dt, defmida no intervalo [0,(0). Determinar os máximos e mínimos locais da F.
o t +
De acordo com o TFC, a derivada :Ix (F(x» = s::(~). Nos intervalos da forma (2k7r, (2k+ l)rr) a
derivada é positiva => F é crescente, e nos intervalos da forma ((2k + l)rr, (2k + 2)7r) a derivada é
159
~----_._----
negativa ~ F é decrescente, então pelo teste da derivada Ia, F tem máximos locais nos pontos da
forma (2k+ 1)1l'. Um argumento semelhante mostra que nos pontos da forma Zkn; F tem mínimos
locais.
EXEMPLO (7.21)
Provar que 't;j n E N e 't;j x > O
X x2 x"eX > 1 + -'- + _ ... + -'-
I! 2! n!
Observamos primeiramente que e' > I, então da igualdade J~e'dt = eX - 1 vem que
e" = 1 + f: e'dt > 1 + f: dt = 1 + x =>
fx fX X x
2
e" = 1 + o e'dt > 1 + o (I + t)dt = 1 + TI+ 2'! =>
e·T = 1 + f: e'dt > 1 + f: (I + t + ~2!)dt = 1 + f! + ~~ + ~~, etc.
EXEM PLO (7.22)
A densidade de massa de uma substância é uma medida da quantidade de massa por unidade de
volume da substância. Essa densidade é as vezes constante e outras vezes variável e a unidade de
volume usada para especificar a densidade pode ser cm+, ou mí , etc. Quando a densidade é variável,
para determinar a massa total o que devemos fazer é dividir o volume total em partes menores' onde a
densidade é aproximadamente constante, calcular a massa de cada parte, depois somar todas essas
massas e por último calcular o limite dessas somas quando os volumes de cada parte tendem a zero.
Suponhamos que a densidade do ar na atmosfera a uma altura h metros acima do solo seja dada pela
funçãoj(h) = 1,3 e-D,OOOI2h k~. Queremos determinar a massa de uma coluna cilíndrica de ar com
m
um diâmetro de 40 em e 40 km de altura a partir do solo.
Observemos que a densidade do ar permanece constante se a altura é constante; então "fatiamos"
horizontalmente o cilindro em fatias de espessura M metros e se a espessura M for pequena, a
densidade em toda a fatia será aproximadamente igual ao valor da densidade na base da fatia;
suponhamos que h, = O < h, < h: < ... < hrrl < 40.000 são as alturas das bases de cada fatia e a
distância h; - h;_1 = M é constante ~ a massa de ar da fatia i-ésima cuja base tem altura h; será
(volume)(densidade por unidade de volume) = 1l'r2Mj(h;) = 1r(0,20)2M (1,3 e-D,OOOI2h; )kg. Sendo!
uma função contínua de h, a soma de todas as massas é uma soma de Riemann do tipo
( ~ ,,(0,20) '/Ih(l, 3e -o,OOOW") ) kg
e o limite quando n -+ 00 será a masa total da coluna de ar ~
( f40.000 )Massa da coluna de ar = 0, 041l'(1, 3) o e-D,OOOI2h dh kg
Integrando obtemos a primitiva F(h) =
e-D,OOOI2h
~0,00012
160
Massa da coluna de ar = (4, 08(F( 40.000) - F(O» )kg
::::( 4,08 (I _ eC-Q,OOOI2)C40.000))kg
0,00012
::::34.000(1 - 0,008) kg
::::33.728 kg
A FUNÇÃO LOGARITMO NATURAL COMO UMA INTEGRAL DEFINIDA
As idéias sobre o cálculo de áreas podem ser utilizadas para dar uma definição alternativa da função
logaritmo natural:
A função l é contínua em qualquer intervalo fechado contido no intervalo (O,a), portanto a integral
F(x) = IX dt
I t
existe para qualquer x E (O.co). Se definirmos
ln(x) = f~~t, V x E (0,00)
observamos imediatamente