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O Teorema Fundamental do Cálculo e Aplicações da Integral

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pelo TFC que :fx (Infx) = .~ e ln(l) = O. Isso significa que ln(x) é uma
função diferenciável e crescente em todo seu domínio => ln(x) tem inversa a qual será denotada por
e' e que também é diferenciável. As restantes propriedades do logaritmo
ln(XIX2)= ln(XI) + In(x2), ln( ~~ ) = ln(XI) - ln(X2), V XI e X2 positivos,
e ln(x?) = X2ln(XI), V XI > Oe X2 qualquer,
ln(x) < Osex E (0,1), ln(x) > Osex E (Lco ), e
lim ln(x) = -00 e lim ln(x) = a)x-o- ;\"-+<.0
podem ser provadas a partir da definição anterior, e os métodos de integração numérica podem ser
usados para obter aproximações numéricas de ln(x) para qualquer X real positivo; isso permite também
determinar numéricamente aproximações da exponencial e" V X real. Como exemplo, vamos mostrar a
Lei do Produto e da Potência: ln(ab) = ln(a) + ln(b) e ln(ab) = b ln(a); as outras leis são obtidas de
maneira similar.
a Seja g(x) = ln(ax); então diferenciando e usando a regra da cadéia => g' (x) = dx a = l
=> g(x) é uma primitiva de ln(x) => g(x) = ln(x) + C; fazendo x = 1 vem que g(l) = C
=> ln(a) = C => C = ln(a) => g(x) = ln(x) + ln(a), e fazendo x = b, obtemos a
propriedade.
lntx")
b Seja g(x) = a ' com a real qualquer; usando a regra da ·'l}ooéia -obtemes
g'(x) = ~a axa-I = l V x > O => g(x) = ln(x) + C e fazendo x = 1 vem que
ln(xa)
C = O=> a = ln(x) V x > O; particularizando para x = b, obtemos a propriedade.
Uma vez provada a propriedade da potência ln(ab) = b ln(a), aplicamos ao cálculo de
ln(2n) = n ln(2) e deduzimos que lim ln(2n) = a) pois ln(2) > O, logo, sendo ln(x) crescente e
n-«J
contínua., deduzimos que lim ln(x) = a). Do mesmo modo ln(2-n) = -n ln(2) e essa última expressão
:1:-+<.0
tende a -00 quando n ~ a), usando novamente que ln(x) crescente e contínua concluimos que
161
·-.__ .._.~ .
.-...
s-
,;-..
/""'
/""'
lim ln(x) = -C().
x-O+
,.......
,....... INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
,-
Lembremos que no processo de-cálculo de áreas que nos levou ao conceito de integral defmida,
consideramos apenas funções limitadas defmidas em intervalosfinitos. Vamos ver agora que podemos
generalizar essas idéias para considerar'>C8soo·-.f13squa-is...os,.illtenr.alos"podemsec.infinitos e as funções
podem ser ilimitadas no intervalo de integração. Consideremos o caso da função j(x) = ~ no
x
intervalo [1,(0). Observemos a região entre o gráfico dafe o eixo x:
Sendo a região do plano infmita, como poderiamos tentar calcular sua "área" ? A figura seguinte sugere
o que devemos fazer: .
t
Calculamos a área da região sombreaàt1·qoe4epemk.oo.:J(~lor"t,.,.,e"enseguida -üJimite·.1iela quando
(-+00:
SI dx - 1"J'X=1I ~ - -x- x=l =
Então defmimos a área A da região como
A = limeI _1..)
t-«l (
11--t
= I
Neste exemplo a região, embora sendo uma parte não limitada do plano, tem área finita,
162
· .
./""...
Agora analisemos o caso da função j(x) = 1 no mesmo intervalo [1,00). A região entre o gráfico da
função e o eixo x também não é limitada
A mesma idéia do caso anterior aplicada a esta função nos leva a calcular a área da região
correspondente ao intervalo [1, t] como indica a figura
t
Observamos porém que neste caso a região é comparativamente maior que no caso da função -\-. A
x
região sombreada tem agora área dada pela integral
f: T = ln(/)]:~ = ln(/)
e lim ln(l) = 00. Para esta região diremos que a área não é finita. A superposição dos dois gráficos nos
t-+<:CJ
exemplos anteriores mostra que a função 1 embora seja decrescente, não decresce suficientemente
rápido para garantir que o processo descrito anteriormente .iltriaUa,uma.ár.ea ..fiIDta..à,i".egião.:nãolimitada
correspondente:
-
163
r,
Em geral damos as seguintes definições
Definição (7.23)
Seja f uma função defmida e contínua em um intervalo da forma [a, 00). Se o limite
lim fI j(x)dx
I-+GO a
existir, diremos que a integral ir:-:;:::-.5jJ:-::: rfix)dx converge e seu valor é defmido por
. a
JOOj(x)dx=lim JI j(x)dxa l-+<e a
Se o limite lim fI j{x)dx não existir, diremos que a integral imprópria diverge e não
t~..J:) a
atribuimos nenhum valor à integral J:j(x)dx.
Definição (7.24)
Seja f uma função definida e contínua em um intervalo da forma (-00, a]. Se o limite
lim fa j(x)dx
I-+-<Z) t
existir, diremos que a integral imprópria J:'j(x)dx converge e seu valor é definido por
I f:'j(x)dx=t~ J;j(x)dx I
Se o limite lim fa j{x)dx não existir, diremos que a integral imprópria diverge e não
1--00 t
atribuimos nenhum valor à integral f:'j(x)dx.
Definição (7.25)
Seja f uma função defmida e contínua em (~, 00). Dado qualquer a E ~, se os dois
limites
164
---~--_. __ ...- .
lim Ja j(x)dx e
s-+-<rJ s
lim JI j(x)dx
/-<rJ a
existirem, diremos que a integral imprópria J:j(x)dx converge e seu valor é definido
por
JOO j(x)dx= lim fa j(x)dx + lim fI j(x)dx~ s........a:> s I-.:t) a
Notar que o segundo membro independe do ponto a escolhido.
Se pelo menos algum dos dois limites anteriores não existir, diremos que a integral
imprópria diverge e não atribuimos nenhum valor à integral J:j(x)dx.
Observação
Nas definições anteriores não estamos supondo que as funções devam ser
necessáriamente decrescentes como nos exemplos analisados anteriormente.
EXEMPLO (7.26)
JOOo dx e Je2", dxDeterminar o valor das integrais imprópias 1 +x2 xln(x) .
a A integral indefmida é imediata: J dx = tg-1 (x) + C =.. 'JI .~- =."tg:::1.(rX) y=/ ..=1 + x2 o I +x: .J.r={)
tg-1 (t) e lim tg " (t) = 71:
2
, A integral imprópria é convergente e
1-<;0
Joo dx _ 71:o 1+x2 - 2"
A primitiva de 1 é obtida fazendo a substituição u = ln(x) :
xln(x)b
J dx = J du = ln(u) + C = ln(ln(x)) + Cxln(x) u
Então r ~()= ln(ln(t)) -ln(ln(2)) e o limite dessa última expressão quando t -+ co é
2X x
infinito, logo a integral imprópria J; x:cX) diverge.
Observação (7.27)
Suponhamos agora que temos duas funções f e g defmidas e contínuas em um intervalo do tipo
[a,co) tais que O ~j(x) ~ g(x) \::j x E[a,co). Se a integral imprópria J:g(x)dx for convergente então
a integral imprópria J:j(x)dx também deve convergir pois a região entre o gráfico da f e o eixo x no
intervalo [a,t] está incluida na região entre o gráfico da g e o eixo x no mesmo intervalo 'ti
t => lim JI j(x)dx ~ lim JI g(x)dx, e este último limite existe. Se por outro lado, a integral imprópria
/-<;0 a 1....a:J aCj(x)dx diverge então Cg(x)dx também deve divergir, pois caso contrário J:j(x)dx resultaria
convergente. Finalmente, observemos que se a condição O ~j(x) ~ g(x) é verificada apenas em
165
:- .
algum subintervalo infmito [h,oo) c [a,oo), então valem as mesmas afirmações pois V t ~ b temos
J:J(x)dx = (J(x)dx+ J:J(x)dx
e a convergência de f=J(x)dx vai depender da existência de E~f:J(x)dx . Em particular temos o
seguinte teorema
Teorema (7.28)
Seja f uma função positiva e contínua em um intervalo da forma [a,oo).
a Se V t E [h,oo) existirem um número M e outro m > 1 tais que O <JCx):s Af, ,então ax
integral imprópria rJ(x)dx converge.
a
b Se V t E [h,oo) existirem um número N e outro m < tais que JCx) ~ 1'[" para alguma
00 x
constante positiva Nem < 1, então a integral imprópria Ia fix)dx diverge.
Prova
Para o caso a basta observar que f:j(x)d-c s 1V!f: _~! = m~ 1 (hL1 - tm~l ),
portanto limAtJ ~ = M i : Logo lim r fix)d-c existe e a integral imprópria
I-«J b X (m - I)bm- 1-:1) b
rJCx)d'C converge.
a
Para o caso b observamos que fI f(x)d'C ~ Nfl d'C = ~(tl-m - bi.~m'rl::ss8rúltima
b bxm I-m
expressão tem limite 00 quando t - 00 => lirn fblj(x)d'C = 00, logo a integralimprópria
l-Xl
CJCx)dx diverge .•
Quando a função não é positiva em um intervalo ilimitado [a, 00), devemos fazer uma análise diferente.
A função/pode ser escrita como diferença de duas funções positivas
fCx) = j(x) - F(x)
onde
f"(x) = i (jf(x)J +fix» e ri» = i (jf(x)J- JCx»
e também vale que