O Teorema Fundamental do Cálculo e Aplicações da Integral

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o TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
E
APLICAÇÕES DA INTEGRAL
'-.
143
,....." . . -
'--:::'-':~::.;T':~"'---',-~'~ ·--"-----c"'-~-."_'- -_- "--_--
r- .
A INTEGRAL DEFINIDA
o problema de determinar a área da região entre o gráfico de uma função contínua e positiva em um
intervalo [a, b] e o eixo x, foi formulado em termos de um processo limite de certas somas descritas no
capítulo anterior. Não é dificil provar que esse processo define sempre um único valor limite quando a
função f é contínua, e esse valor é chamado de "área da região entre o gráfico daf e o eixo x".
Definição (7.1)
A integral definida defde a a b , denotada pelo símbolo f:JCx)dx,é o valor dessa área, ou seja,
b nf JCx)d-c = lim DZi)(Xi -Xi-I)
a IIPII-+O i='J
onde p denota a subdivisão do intervalo [a,b] pelos pontos
a = Xo < XI < ... < X;_I < x, < ... < x; = b
escolhidos arbitráriamente em cada ~lIh;~'--_
e os pontos z, E [X;-J,X;], ; = 1,2, ... ,n, são
A soma L:~=oJCz;)(x; -x;-J) é chamada de "Soma de Riemann da função f no intervalo [a,b],
correspondente à partição P e pontos {z;}:7 nos intervalos da partição P". Esse nome é um
reconhecimento ao trabalho de Georg F. B. Riemann, matemático alemão responsável por muitos
resultados importantes no desenvolvimento da teoria da integral.
Observação Embora as notaçces,rla,integr.aUndefinidada,..f,J-trx)d-ce da integral definida
J:JCx)dx sejam muito parecidas, elas representam coisas completamente diferentes: a
primeira representa uma coleçãoinfinita de pririíiiíVásâa"fÚTlçãof'enquanto·quea
segunda representa a área de uma certa região do plano. Essa semelhança nas notações
é devida básicamente ao Teorema Fundamental do Cálculo (TFC).
Vemos imediatamente a partir da Definição (7.1) que não é necessário supor que a função f seja
positiva em todo o intervalo [a, b] , nem que os pontos da subdivisão P sejam escolhidos de algum
modo específico. Na realidade o essencial nessa definição é que a norma da subdivisão tenda para
zero.
O Exemplo (6.1) permite perceber como o limite pode ser determinado em um caso particular e ao
mesmo tempo mostra que em geral não.podemosesperar cálculos similarmente "simples" para outras
funções mais complicadas.
Algumas propriedades básicas das integrais definidas podem ser resumidas no seguinte teorema cuja
demonstração segue diretamente da definição:
Teorema (7.2)
Sejamf e g duas funções contínuas em um intervalo [a, bJ.
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f: {ttx) + g(x)}dx = J:J(x)dx +J: g(x)dx
fb (j{x) - g(x)}dx = fb J(x)dx - r g(x)dxa a aii
iii J:(cJ(x»dx = c J:J(x)dx, v c E IR
b 'êib
Se a < d < b então LJ(x)dx = LJ(x)dx + J)Cx)dx
SeJ(x) 2 O V X E [a,b], então J:J(x)dx 2 O.
SeJ(x) 2 g(x) V X E [a,b], então f:J(x)dx 2 f:g(x)d-c
iv
v
vi
Definição (7.3)
Se f é contínua em um intervalo I que contém os pontos a e b, então f:J(x)dx = O
f:J(x)dx = - f:J(x)dx
e
Essas definições combinadas com a propriedade iv do Teorema (7.2) têm como consequência a
igualdade
fb J(x)dx = fd J(x)dx +rJ(x)dxa a d
para qualquer tema de números a, b e d do intervalo I, não necessáriamente ordenados na forma
a < d < b.
o seguinte resultado será necessário na demonstração do principal teorema deste capítulo:
Teorema (7.4) (Teorema do Valor Médio para Integrais)
SejamJ(x) ep(x) funcões contínuas em [a, b] e p(x) > O V X E [a, b]. Então existe c E [a, b] tal que
fb j{x)p(x)dx = j{c) fb p(x)dx
a a
Prova
Sejam m e M o mínimo absoluto e o máximo absoluto daf em [a, b] respectivamente. Então
mp(x) ~J(x)p(x) ~ Mp(x) V X E [a,b] => pelo Teorema (7.2) iii e vi,
m f:P(X)dx = f: mp(x)dx s (J(x)p(x)dx s f: Mp(x)dx = MJ:p(x)dx
ou seja
m~
J:J(x)p(x)dx
J:p(x)dx
~M
145
~_.~---------~---
Então pelo TVI, existe algúm número c E [a, b] tal que j( c) =
rj(x)p(x)dx
a b ••
Lp(x)dx
Corolário (7.5)
Se j(x) for contínua em um intervalo [a, b], existe um z E [a, b] tal querj(x)dx = j(z)(b - a )
a
Prova
Basta tomar p(x) = 1 'd x e aplicar o teorema anterior..
No caso particular em que a funçãofé contínua ej(x) 2: O em um intervalo [a,b], o teorema anterior
afirma existe algum z E [a,b] tal que a área entre o gráfico da.r. o eixo x e as verticais x = a e x = b,
coincide com a área de um retângulo da mesma base e altllr~D_).
o CÁLCULO DEÁREAS
Vamos descrever o método devido a Newton e Leibnitz para calcular áreas entre gráficos de curvas
contínuas e o eixo x.
Sejafuma função contínua e positiva em [a, b) e suponhamos que F(x) denota a área entre o gráfico da
f, o eixo horizontal e as retas verticais pelos pontos a e x, onde x é qualquer número entre a e b. A área
que queremos calcular é exatamente F(b). Então pela definição de integral definida
F(x) = f'j(l)dt
a
Vamos provar que Fé diferenciável calculando F (x) pela definição. Usando o Teorema (7.4) iv,
J
X+/U
F(x + ilx) - F(x) = fCt)dt
x
Pelo Corolário (7.7) existe um z E [x,x + Ax] tal que
F(x + /).:{)- F(x) = j(z)/).:{
L F(x + /).:{)- F(x) - j() M d A ~ O I' id d d I,ogo, /).:{ - z. as quan o UA. -+ => z -+ x e pe a continui a e a , o limite
lim fl'z) = limj(z) = j(x). Então
Clx-.:;;(T' . Z--+X
lim F(x + ~x) - F(x) = j(x)
Clx-'() ~"C
ou seja, F(x) = j(x). Isso quer dizer que F(x) é uma primitiva da/que tem a propriedade F(a) = O, e
para essa primitiva particular daI, a área é F(b). Daí tiramos a seguinte conclusão fundamental:
A área entre o gráfico de uma f contínua não negativa e o eixo x, no intervalo [a, b] é
F(b),onde Fé a primitiva daj'tal que F(a) = O.
146
Podemos observar também que nos cálculos anteriores, é desnecessário supor que j(x) ~ Oem todo o
intervalo pois o corolário usado é válido para qualquer função contínua, então vale a seguinte afirnação:
1. Se/for contínua em [a,b], a função
F(x) = r j(t)dt
a
é diferenciável e além disso
F(x) = j(x)
2.
ou seja, F(x) é uma primitiva da!
Suponhamos agora que G(x) é uma outra primitiva da/no intervalo [a,b], então 3 uma
constante C tal que G(x) = F(x) + C em [a,b], e portanto G(a) = F(a) + C = C; quando
x = b, temos G(b) = F(b) + C e quando x = a ~ C = G(a) ~ G(b) - G(a) = F(b), ou
seja
G(b) - G(a) = rj(x)dx
a
As partes 1 e 2 juntas, mostram a íntima relação entre integrais indefinidas e definidas (daí terem
notações semelhantes), que são resumidas no seguinte resultado que está na raiz de todo o Cálculo
Diferencial e Integral:
Teorema (7.6) (Teorema Fundamental do Cálculo - TFC)
Seja/uma função contínua em [a,bJ. Então
a a função
F(x) = r j(t)dt
a
é uma primitiva daI, ou seja, Fé diferenciável e F (x) = j(x).
b se G(x) é qualquer primitiva dafem [a,b],
G(b) - G(a) = Jb j(x)dx
a
Em particular, a integral f:j(t)dt ,que tem um significado geométrico claro, dependeconrtnuarnenre
dex.
EXEMPLO (7.7)
Calcular o limite seguinte interpretando-o como uma soma de Riemann de uma certa função no
intervalo [0,1], subdividido em n subintervalos do mesmo comprimento:
n
L = lim "_1_.
n-«) ~ n + k
k=\
O primeiro a fazer é colocar n em evidência no denominador:
147
r-- .
Consideremos a seguinte partição P do intervalo [O, ] ]
Então IIPII= ,\ e Zk E [ k -;;1 , ~ J. Se/é a função
JCx) = _1_
l+x
então --,1,-:-- = JC nk) e L pode ser considerado como o limite quando 11PII-+ °da soma' de Riernann da1 + .!.
n
fno intervalo [0,1], correspondente à partição P e pontos {Zk}Z=I' Logo, sendofuma função contínua
no intervalo e observando que F(x) = ln(I+ x) é uma primitiva da f, concluimos que
L = f ;JCx)d-c = F(l) - F(O) = ln(2)
n
L = lim .i. '" ---,1,--:-
n-sco n L.J 1 + .s.
k=1 n
: P={},,~, ... ,~}, e os pontos Z k = ~,
Neste exemplo podemos também observar que a soma }, .2:;=1 I:.!. pode ser considerada uma
n
soma de Riemann da função j(x) = .~ no intervalo [1,2], correspondente à partição P dos pontos da
forma Xk = 1+ f, para k = 1,2, ... ,n e com pontos Zk = xi, A continuidade dafgarante que quando11;11= }, -+ 0, ou equivalentemente quando n -+ 00, as somas se aproximam da integral
J~JCx)d-c = ln(2) -ln(I).
EXEM PLO (7.8)
Mostrar que V n 2:
n ~I
L n lk < ln(2) < :E n lk
k=1 k=O
Neste caso usando as mesmas idéias de somas de Riemann do Exemplo anterior, colocamos o termo
}, em evidência e as desigualdades que queremos provar são
n ~I
À 2: 1 k < ln(2) < }, 2: 1
k=1 1 + n k=O 1 + ~
Consideramos as duas partições do intervalo [O, ]] : P 1 = {}" ~ , ' .. , ~ } e
P {O 1 2 n-l} C d d '- A 12 = '11' 11"'" -n- , a a uma as partições tem norma 11'
Os pontos Zk = ~, desde k = 1, .. " n pertencem aos subintervalos da partição PI, ..enquanto que os
pontos Zk = ~, desde k = 0, ... ,n - 1 pertencem aos subintervalos da partição P2• Seflx) = -1-1-,
+x
a soma }, .2:~ I:.!. pode ser considerada como uma soma de Riemann daf onde os pontos Zk são
n
as estremidades direitas dos subintervalos de PI, enquanto que a soma }, I:~ 1 k pode ser
1+ n
considerada como uma soma de Riemann dai onde os pontos Zk são as estremidades esquerdas dos
subintervalos de P2, Sendo que a funçãoI é contínua e decrescente em [0,1], concluimos que a 2a
soma é maior do que a área entre a curva e o eixo x no intervalo [O, 1] e que a Ia soma é menor do que
a mesma área, De acordo com o exemplo anterior, a área entre essas duas somas é dada pela integral
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-~ ', ..
definida f~1dx = ln(2). Isso prova as duas desigualdades.
EXEMPLO (7.9)
A regra de substituição para integrais definidas pode ser enunciada assim:
Seja g uma função tal que g' é contínua em [a, b] e seja f uma função contínua .ern ..um intervalo
contendo {g(x)/x E [a,b]}. Então se u = g(x) é tal que du = g'(x)dx =>
fb fl.g(x»g' (x)dx = fg(b) j{u)dua g(a)
EXEMPLO (7.10)
A regra de integração por partes para integrais definidas pode ser enunciada assim:
Sejamfe g funções com derivadas contínuas em um intervalo [a, b]. Então
IJ~JI.X)g'(x)dx = [f(b)g(b) -j{a)g(a)] - f:/(x)g(x)d-c
EXEMPLO (7.11) Limites de Integração Variáveis
Sejafcontínua em um intervalo I que contém a.
1. Se H(x) = f:fl.t)dt Vx E [a,b] => H(x) = - f:j{t)dt => H'(x) = -j{x), ou seja,
:Ix (J.:fl.t)dt) = -j{x)
2. Se g(x) é uma função diferenciável em I e o intervalo entre os valores a e g(.i) estiver contido
em I, então
:Ix (f:X) j{t)dt) = j{g(x»g' (x)
Basta a plicar a regra da cadéia a rj{t)dt, onde u = g(x) :
a
1x (f:j{t)dt) = :fu (f:j{t)dt) C;;; = j{u): = fl.g(x»g' (x)
3. Com a mesma idéia da primeira parte, e as hipóteses da parte 2,
dxd(fa j{t)dt) = -I (g(x»g' (x)g(x)
Se g(x) e h(x) são funções diferenciáveis em I e o intervalo entre os valores g(x) e h(x) estiver
contido em I, então
4.
dxd(fhCX)j{t)dt) = j{h(x»h' (x) - j{g(x»g' (x)g(x)
Para mostrar essa propriedade, basta considerar qualquer a E I, e escrever
fhCX)j{t)dt = fa j{t)dt + fhC.T)j{t)dt
g(x) g(.T) a
Agora usamos os resultados 3 e 4 para obter a conclusão.
149
INTEGRABILlDADE DE FUNÇÕES
Definição (7.12)
Uma função/definida em um intervalo I, é limitada em I, se existir uma constante Mtal que
-MS.j(x) S. M 'vi x E I.
Geométricamente a condição anterior significa que o gráfico todo da função f no "intervalo '1 está contido
numa faixa horizontal do plano entre as retas y = -M e y = M.
Definição (7.13)
Uma função j definida em um intervalo [a,b], é integrável à Riemann em [a,b], se existir o limite das
Somas de Riemann
n
lim Lj(Zi)(Xi - xi-d
IIPII->O i=O
Nesse caso, definimos a integral defmida S:j(x)dx como sendo esse limite.
Denotando por ÓXi = x, - Xi-!, i = 1,2, ... , n a integrabilidade da função / pode ser reformulada
afirmando que existe lim Ln--"j(Zi)ÓXi e esse valor é denotado por tj(x)dx.IIPII->O 1-,., a
Mencionamos anteriormente que toda função contínua em Ui,1.·interv.llo,{,""·bj.,é·.integr.mel,,,porw
existem funções não contínuas que são integráveis também. Se / for limitada em [a, b] e o número de
pontos de descontinuidade em [a,b] for finito, então / é integrável. Se a função / não for limitada em
[a,b], ela não pode ser integrável. Essas duas afirmações são provadas em cursos mais avançados.
Destacamos aqui que quando / é contínua em um intervalo I, para qualquer a E I a integral S:j(t)dt é
uma primitiva da.f Para duas primitivas (fi.t)dt e f;fi.t)dt ,com a e b quaisquer em I, a diferença é
constante pois rj(t)dt = rj(t)dt + f'j(t)dt.
a a b
EXEMPLO (7.14)
Suponhamos que uma partícula se desloca ao longo de uma reta coordenada e que s = s(t) denota sua
posição no instante t em relação à origem O. Então sabemos ~ue a taxa de variação instantânea, no
instante t, é a velocidade da partícula nesse instante, v(t) = d~; a aceleração da partícula em todo
instante, a(t) = ~~. A integral definida f: v(t)dt = s(b) -s(a) denota o deslocamento da partícula
entre os instantes t = a e t = b. Entre esses dois instantes, a partícula pode parar, inverter seu
movimento, etc. A distância total percorrida pela partícula entre esses dois instantes é dada pela
integral defmida do módulo da velocidade S:lv(t)ldt , pois ela leva em conta o deslocamento da
150
-
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partícula independentemente da direção do movimento.
Quando uma partícula é atirada para cima ou para baixo desde uma altura So, agindo sobre ela apenas
a aceleração da gravidade g, o movimento é descrito pela função quadrática
s(t) = so + vot - tgt2
onde vo denota a velocidade inicial que deve ser considerada positiva se a partícula é lançada para
baixo, ou negativa se for lançada para cima. A partir do cofihecimeiito'dessas duas constantes so'e vo,
podemos determinar diversas informações sobre o movimento:
• a velocidade em todo instante: v(t) = ~~ = Vo - gt
• o instante no qual alcança a máxima altura ou seja o instante no qual a velocidade é nula
t= ~g
• o instante no qual atinge o solo: a solução t, > Opara a qual S(t1) = O
• o intervalo de tempo no qual a partícula está subindo ou descendo: {t / c:t = v(t) > O} ou
{t / ~~ = v(t) < O} respectivamente
• quando a aceleração a(t) = dvd = cP2s for positiva, a velocidade está aumentando; quando at dt
aceleração for negativa a velocidade está diminuindo.
EXEMPLO (7.15)
A posição de uma partícula em todo instante t é dada pela equação s(t) = ~ - t3 + t2 + 1, onde t é
medido em minutos e s. em metros ..Descrever em .palavras o movimento da partícula nos primeiros
três minutos.
a v(t) = t3 - 3t2 + 2t, então'l7(l) =-"O'1'ara "1-=,:1 "'C '>p<lra'1·=,2;.·'A~e1oojdade..é,p@sitiva no
intervalo [0,1), negativa em (1,2) e positiva novamente em (2,3], v(l) = v(2) = O, de modo
que a partícula parou nesses dois instantes e houve inversão na direção do movimento nos
instantes t = 1 min e t = 2 mino A aceleração a(t) = 3t2 - 6t + 2 é nula para
t = 1 - I! ~0,4 min e para t = 1 + I! ~1,6 min, portanto a velocidade aumenta no
intervalo [O;O,4], diminui no intervalo [0,4; 1,6] e aumenta a partir do instante 1,6 mino
deslocamento = s(3) - s(O) = ~ m, a distância percorrida = ~(1) - s(O)1 + Is(2) - s(1)1 +
~(3) -s(2)1 = 10,251+ 1-0,251 + 122,51 = 23 m. Essa distância também é f~lt3 - 3t2 + 2tldt
b
c No instante inicial t = O, a partícula se encontrava parada a 1 m de distância e a direita do
ponto de referência O, e durante:'o'primeiro't1fÜlut@'fi·partí.culare.4ieslocou..Ba.óireção,positiva
afastando-se do ponto O aumentando sua velocidade até o instante t = 0,4 quando começou a
diminuir sua velocidade até pararemt ='1;'''<1 'partiniesse'momento··e,nomtewalo .[1,2], a
partícula inverteu seu movimento deslocando-se para esquerda com velocidade crescente até o
instante t = 1,6; a partir de t = 1,6 até t = 2, a partícula diminui sua velocidade e pára
novamente no instante t = 2; daí em diante a partícula inverteu seu movimento outra vez,
deslocando-se na direção positiva com velocidade crescente no resto do intervalo.
151
ORSERVAÇÕES SOBRE AS INTEGRAISDEFINIDAS E INDEFINIDAS
Queremos dirigir a nossa atenção a duas perguntas relativas ao cálculo de integrais:
Existe a integral definida f>Cx)dx de uma função fcontínua em [a, b] ?
A resposta é afirmativa e de acordo com o TFC ela é calculada pela fórmula
tfix)d'C = G(b) - G(a)
a
onde G(x) é uma primitiva qualquer da!
Existem primitivas (integrais indefinidas) de uma função contínuafem um intervalo [a,b] ?
A resposta também é afirmativa e de acordo com o TFC uma primitiva F(x) é dada pela fórmula
F(x) = f:fit)dt
Mas esta resposta deve ser melhor escIarecida.
Na segunda pergunta o que realmente queremos saber é se uma primitiva (que sabemos existe), pode
ser escrita como uma função elementar, ou seja, se podemos escrevé-la de uma forma fechada por
meio de uma fórmula que envolva funções como polinômios, funções trigonométricas, exponenciais,
combinadas de todas as formas possíveis pelas operações algébricas de somas, diferenças, produtos,
quocientes, potências, e também composições e inversas.
Uma análise mais aprofundada das técnicas de integração permite responder categóricamente que isso
não é possível: existem funções muito simples de escrever cujas primitivas não podem ser escritas por
meio de fórmulas que envolvam as chamadas funções elementares.
Como exemplo dessas situações podemos mencionar as primitivas de «=' :
E(x) = f: e-c/! dt, c constante real
que dão lugar às funções de Erro Gaussiano na Estatística;
sen(x)as primitivas da função x que é usada na Engenharia Elétrica na reconstrução de sinais:
S·() fX sen(t) dIX = -- t
o t
Si(x) é chamada a função Seno-Integral;
as primitivas de sen(x2) e COS(x2):
f: sen(t2)dt e f: cos(t2)dt
chamadas de integrais de Fresnel na Ótica etc.
Isto coloca naturalmente a questão de como determinar uma integral definida quando o cálculo de uma
integral indefinida em termos de funções elementares é impossível de realizar. A resposta nesse caso é
de determinar métodos que permitam o cálculo aproximado de integrais definidas. Vamos a mencionar
os mais simples desses métodos ajudados pela nossa intuição geométrica. Métodos mais sofisticados e
efetivos podem ser encontrados em textos específicamente elaborados para esse fim.
152
· . "'i.J"
MÉTODOS NUMÉRICOS DE INTEGRAÇÃO
Antes de mencionar alguns métodos específicos, gostariamos de chamar a atenção do leitor ao fato
fundamental que o significado de uma aproximação numérica não é preciso a menos que ela seja
suplementada por um conhecimento do grau de precisão alcançado.
Para uma função f com derivadas de várias as ordens no intervalo de integração [a, b], vamos supor
que conhecemos estimativas das derivadas no intervalo: isso significa conhecer valores 'numéricos M,
tais que
lf;)(X) I ::;M; "i/ x E [a,b], i = 1,2, ...
onde fi) (x) denota a derivada de ordem i da função r'(os valores M; podem ser os máximos absolutos
de Jfi)(x)I em [a,b]).
O objetivo é de aproximaro valor
1= fb j(x)dx
a
com a < b. O intervalo [a,b] é subdividido em n subintervalos de igual comprimento h ~ b ~ a com
pontos de subdivisão Xo = a, XI = a + h < X2 = a + 2h < ... < x; = b. Os valores da função nos
pontos de divisão são denotados por/; = j(x;), i = 1,2, ... ,n, e nos pontos médios são denotados por
f fi .10+XI ) f fi ·<I+X2 ) r j( ·<._1+-". ) 1 d t c: • d1/2= -2 -, 3/2= -2 - , ... , J (2n-I)/2= -2-' e se j eno a a raixa entre as lias retas
verticais x = Xj e X = Xj+l, o grafico dafe o eixo x, => a área da faixa A(Jj) = t+"j(x)dx e temos
-"j
n-)rj(x)dx = LA(lj)
a j=D
então devemos obter aproximações da área de cada faixa lj.
A Regra do Retângulo.
Esta regra está relacionada com a própria defmição da integral definida: cada área A(lj) ;::::jjh, com
j = 1,2, ... ,n - 1 =-
IJ:j(x)dx ;::::(fo +11 + ... +ItrJ)h = h L;ljj I
e a estimativa do erro para esta regra em cada faixa, é !A(lj) -};·hl ::; tMlh2 =>
IJ:j(x)dx-hL;ljjl::; tMlnh2 = tMI(b-a)h
A Regra do Trapézio
Em lugar de aproximar a faixa lj por um retângulo, obtemos uma aproximação melhor se a faixa ~. é
substituida pelo trapézio de altura h e bases de comprimento};· e};"+1 => A(Jj) ;::::+CIj+jj+l)h
IJ:j(x)dx ~ (fI+/2 + ... +Itr2) + tifo +/trl) I
153
,,",o
e a estimativa do erro correspondente em cada faixa é IA(/j) - t(fj +!j+I)h I :s ~h3 =>
IJ>Cx)dx- L~l t(fj+!j+I)hl :s -h-M2nh3 = -h-M2(b-a)h2
A Regra de Simpson
Uma aproximação numérica bem mais precisa é conseguida com esta regra. Ela depende de estimar a
área da união de duas faixas consecutivas 1j U 1j+), entre as abscissas Xj e Xj+2 considerando o bordo
superior como sendo de uma parábola que passa pelos três pontos de coordenadas (Xj,j(Xj»,
(Xj+1,j(Xj+l» e (Xj+2,j(Xj+2»' A equação desta parábola é dada por
Y
=jj-+(x-x-)!j+l-jj + (x-Xj)(x-xj-h) (Jj+2-2fj+l+Jj)
J J h 2 h
a área entre a parábola e o eixo x (estamos supondo quej(x) ~ Oem [a,b], embora o método funciona
sem esta hipótese), é dada por _
,. .•.. , :::;
ydx = ~(fj + 4fj+1 +fj+2)
e essa expressão representa a aproximação da área da dupla faixa I.i U 1j+l
=> A(Ij U 1;+1) :::: 4-(1;- + 4}j+1 +!j+2). Supondo agora que n = 2m, somando as áreas todas obtemos a
regra de Simpson:r---------------------------------------------------------~
fb 4h . 2h (f f I". haj(x)dx ::::T(JI +f3 + .,. +hm-l) + 3"" 2 + ~+ ... +J2m-2) + }"((o +f2m)
Se Es denota a estimativa do erro para esta regra =>
IIEsl ~ noM4(b - a)h41
Comparando as diversas estimativas dos erros em cada regra, vemos que esta última tem um erro do
ordem muito maior, 4, na pequena quantidade h; então se M; não for muito grande, esta regra é a mais
prática para cálculos aproximados de integrais.
ÁREA ENTRE CURVAS
Consideremos duas funções contínuasfe g em um intervalo 1= [a,b], tais que.f{x) ~ g(x) 'íj X E I.
Vamos provar que a área da região entre os gráficos de y = j(x) e y = g(x) e as verticais x= "a'e
x ~ b, é dada pela integral f:(f(x) - g(x) ]dx.
A idéia é a mesma usada anteriormente: dado x, seja A(x) a área entre os dois gráficos e as verticais
pelos pontos a e x. Vamos calcular a derivada de A. Para isso observamos que A(x + ôx) - A (x)
representa a área entre os gráficos e as verticais pelos pontos x e x + Sx, então aplicando o corolário
(7.7) à funçãoj{x) - g(x),
A(x + ôx) -A(x) = (/(z) - g(z»~
para algum z E [x,x + h] =>
154
r--- __ "__ ...•_ ..
e quando t,x -+ 0, Z --+ x e
A(x+t,x)-A(x) =f(z)-g(z)
Sx
lim[l(z) - g(z)] = f(x) - g(x) =>
Z-)C
1· A(x+ t,x) -A(x) n) ()lITI = J\X - g X
~;r-+O ~
Então-,
A' (x) = f(x) - g(x) =>
A(x) = rA' (t)dt
a
= r [l(t) - g(t) ]dt
a
e a área coincide com A(b) = J:[I(t) - g(t) ]dt.
Se no intervalo [a, b], os gráficos se cortam em um número fínito de pontos, então poderá haver alguns
subintervalos I onde f(x) ~ g(x), e outros J onde f(x) ~ g(x). As áreas correspondentes serão dadas
por
L[I(x)-g(x)]d~ e L[g(x)-f(x)]dx
respectivamente; fmalmente deveremos somar todas as integrais resultantes para encontrar a área
limitada por ambas as curvas em [a, b]. Em geral podemos escrever a área entre as curvas pela integral
fb1f(X) - g(x)ldx.
a
o procedimento para determinar a área entre as curvas defmidas por duas funções contfmras'em[n, b],
pode ser resumido assim:
• calcular todas as soluções da equação f(x) = g(x); essas soluções formam uma divisão do
intervalo [a, b] em um número fmito de subintervalos tais que em cada um deles a diferença
f(x) - g(x) tem sinal constante.
• determinar o sinal de j(x) - g(x) em cada subintervalo, reescrevendo
JfCx) - g(x)J = fCx) - g(x), ou JfCx) - g(x)J = g(x) - fCx) conforme o caso
• a integral J)Cx) - g(x)ldx será a soma de todas as integrais nesses subintervalos.
Pode ocorrer que a região do plano cuja área queremos determinar esteja definida por curvas onde a
variável x é dada como função de y. Se essas funções forem denotadas pelas equações x, =JJy) e
x = g(y), então a área entre essascurvas em um intervalo [c,d], estará dada pela integral
JdJt(y) - g(y)ldy
c
a qual deve ser calculada seguindo o mesmo procedimento descrito anteriormente.
EXEMPLO (7.16)
Calcular a área entre as curvas definidas por y = x - 2 e x = y2. Primeiro fazemos um esboço das
curvas para visualizar a região
155
-/'.'--- .. ~--- - --- .-.--
-1
o
As curvas se cortam nos pontos P e Q cujas ordenadas são as soluções de y + 2 = y2 : y = 2 e
y = -1. Se quisermos calcular a área integrando em relação a x, deveremos calcular a área das regiões
de cada lado da reta vertical x = 1; aquela do lado esquerdo é o dobro da região entre a parábola
y = JX, O :s x :s 1 e o eixo x, enquanto que aquela do lado direito é limitada na parte superior por
y = JX e na parte inferior por x - 2, 1:S x :s 4; observar que x = 1 e x = 4 são as abscissas de Q e
P respectivamente. Observe a figura
o
1
-1
Então a área total é
~\
? 3 2 3 ?
Uma primitiva de .jX é FI(x) = tX T e de,fi - x + 2 é F2(X) ='3 x T - ~- + 2x, logo,
A = 2[FI(1) -FI (O)] + [F2(4) -F2(1)]
= -4..+[lQ.-8+8-(1-_l+2)]
3 3 3 2
=..2.
2"
Uma segunda forma alternativa mais simples desde o ponto de vista dos cálculos, é observar que a
região pode ser considerada entre duas curvas definidas em termos da variável y: x = y2 é a curva que
delimita o contorno inferior da região enquanto que x = y + 2 é a curva que delimita o contorno
156
,-...
---------
superior; neste caso a área é calculada integrando em relação a y
A = fI[(y+ 2) - y2]dy
2 3
e uma primitiva é F(y) = ~ + 2y - ~ =:}
<,A='F(2) -F(-l)
=.2.
·2.'
EXEMPLO (7.17)
Determinar a área entre as curvasj(x) = 2 + Ix - 11 e g(x) = - ~ + 7.
Um esboço das curvas permitirá perceber se é mais apropriado integrar em relação a x ou em relação a
y.
-6 -4 -2 2 4 6
x
Primeiro observamos que é mais conveniente integrar em relação a x; devemos determinar os pontos
de interseção e calcular a área da região entre as retas verticais que correspondem ao vértice superior
esquerdo e o vértice inferior, somando a área desde este último vértice até o superior direito.
Pontos de interseção :
parax< 1,j(x)=2-(x-l)=3-x =:} aequação 3-x=-~ +7 é equivalente a ~x=-4
=:} x = -5
para x 2: 1, j(x) = 2 + (x - 1) = x +'1
=> x = 5
o vértice está localizado no ponto eem abscissa x = 1.
Então a área total é calculada como
f~5[g(x) - j(x)]dx + f:[g(x) - j(x)]dx
= f~J-~+ 7 - (3 - x) Jctc +r[-~+ 7 - (x + 1) Jdx
= f~5 ( ~ X + 4 ) dx + f: (- ~x + 6) dx = 24
157
rr-;-~-~---_._----.. -.
,..-...
r-.
,..-...
""'-
""'
r--
""' a
""'
r--
,.-.,.
EXEM PLO (7.18)
A figura abaixo exibe os gráficos das velocidades de dois carros v) (I) e V2 (t), onde V2 (t) corresponde
ao gráfico da reta. Descrever o movimento no intervalo [O, t2] nos casos em que: (a) as áreas A e B são
iguais e (b) as áreas A e B são distintas.
Os dois veículos partem do repouso pois suas velocidades são nulas para t = O. No intervalo
[O,t)] o veículo 1 tem velocidade maior do que o outro portanto ele anda na frente. No instante
t) os dois veículos têm a mesma velocidade. Para qualquer valor do tempo,X,(T,::S tú, a
integral f~ v) (t)dt representa o deslocamento do veículo 1 e J~v2(t)dt representa o
deslocamento do veículo 2. Como não há inversão nos movimentos y:orque' '?)~'esses
deslocamentos são as distâncias percorridas no intervalo [0,1]. A integral f o [VI (t) - V2 (t) ]dt,
representa a diferença das distâncias percorridas por cada veículo, logo, se T < ti a integral é
positiva => em todo o intervalo [O, T] o veículo 1 está na frente do 2. Quando T = t2,
f~[vl (t) - v2(t)]dt = A - B = ° :. os dois veículos têm a mesma posição.
b Se A > B, no intervalo [OhJ o veículo 1 está na frente do 2; se A < B, no instante ti o veículo
2 está na frente do 1 .•
EXEMPLO (7.19)
Determinar a reta horizontal de equação y = k que divide a área entre as curvasj(x) ~ :t:"e"g(x) ='9,
em duas partes iguais. .
158
x
A partir da figura observamos que é melhor integrar em relação a y. A área dentro da parábola até a
altura k é dada por 2J~JY dy, e da altura k até a altura 9, é dada por 2J: .jY dy, então k deve ser
escolhido de tal modo que
Uma primitiva de JY é ~ Y+ ~
2 J.. 2 ( __i \ '"'.~
3" k i = 3" ";I '- ) -- 3 "- .:.
EXEMPLO (7.20)
Determinar a área entre a curvaj(x) = sen(x) e sua reta tangente na origem, para O:s x:s ~. Neste
exemplo é importante lembrar que a tangente está acima do gráfico do seno no intervalo dado. A
equação da tangente é y = x, então área é
2
e uma pnmitrva é F(x) = ~ + cos(x)
2 2
~ + cose ; ) - [O+ 1] = '8 - 1 ~ 0,23
Te
fo2 [x - sen(x) Jdx
Te
~ fo2 [x - sen(x) Jdx = F(;) - F(O) =
EXEMPLO (7.21)
Seja F(x) = JX sen(lt) dt, defmida no intervalo [0,(0). Determinar os máximos e mínimos locais da F.
o t +
De acordo com o TFC, a derivada :Ix (F(x» = s::(~). Nos intervalos da forma (2k7r, (2k+ l)rr) a
derivada é positiva => F é crescente, e nos intervalos da forma ((2k + l)rr, (2k + 2)7r) a derivada é
159
~----_._----
negativa ~ F é decrescente, então pelo teste da derivada Ia, F tem máximos locais nos pontos da
forma (2k+ 1)1l'. Um argumento semelhante mostra que nos pontos da forma Zkn; F tem mínimos
locais.
EXEMPLO (7.21)
Provar que 't;j n E N e 't;j x > O
X x2 x"eX > 1 + -'- + _ ... + -'-
I! 2! n!
Observamos primeiramente que e' > I, então da igualdade J~e'dt = eX - 1 vem que
e" = 1 + f: e'dt > 1 + f: dt = 1 + x =>
fx fX X x
2
e" = 1 + o e'dt > 1 + o (I + t)dt = 1 + TI+ 2'! =>
e·T = 1 + f: e'dt > 1 + f: (I + t + ~2!)dt = 1 + f! + ~~ + ~~, etc.
EXEM PLO (7.22)
A densidade de massa de uma substância é uma medida da quantidade de massa por unidade de
volume da substância. Essa densidade é as vezes constante e outras vezes variável e a unidade de
volume usada para especificar a densidade pode ser cm+, ou mí , etc. Quando a densidade é variável,
para determinar a massa total o que devemos fazer é dividir o volume total em partes menores' onde a
densidade é aproximadamente constante, calcular a massa de cada parte, depois somar todas essas
massas e por último calcular o limite dessas somas quando os volumes de cada parte tendem a zero.
Suponhamos que a densidade do ar na atmosfera a uma altura h metros acima do solo seja dada pela
funçãoj(h) = 1,3 e-D,OOOI2h k~. Queremos determinar a massa de uma coluna cilíndrica de ar com
m
um diâmetro de 40 em e 40 km de altura a partir do solo.
Observemos que a densidade do ar permanece constante se a altura é constante; então "fatiamos"
horizontalmente o cilindro em fatias de espessura M metros e se a espessura M for pequena, a
densidade em toda a fatia será aproximadamente igual ao valor da densidade na base da fatia;
suponhamos que h, = O < h, < h: < ... < hrrl < 40.000 são as alturas das bases de cada fatia e a
distância h; - h;_1 = M é constante ~ a massa de ar da fatia i-ésima cuja base tem altura h; será
(volume)(densidade por unidade de volume) = 1l'r2Mj(h;) = 1r(0,20)2M (1,3 e-D,OOOI2h; )kg. Sendo!
uma função contínua de h, a soma de todas as massas é uma soma de Riemann do tipo
( ~ ,,(0,20) '/Ih(l, 3e -o,OOOW") ) kg
e o limite quando n -+ 00 será a masa total da coluna de ar ~
( f40.000 )Massa da coluna de ar = 0, 041l'(1, 3) o e-D,OOOI2h dh kg
Integrando obtemos a primitiva F(h) =
e-D,OOOI2h
~0,00012
160
Massa da coluna de ar = (4, 08(F( 40.000) - F(O» )kg
::::( 4,08 (I _ eC-Q,OOOI2)C40.000))kg
0,00012
::::34.000(1 - 0,008) kg
::::33.728 kg
A FUNÇÃO LOGARITMO NATURAL COMO UMA INTEGRAL DEFINIDA
As idéias sobre o cálculo de áreas podem ser utilizadas para dar uma definição alternativa da função
logaritmo natural:
A função l é contínua em qualquer intervalo fechado contido no intervalo (O,a), portanto a integral
F(x) = IX dt
I t
existe para qualquer x E (O.co). Se definirmos
ln(x) = f~~t, V x E (0,00)
observamos imediatamentepelo TFC que :fx (Infx) = .~ e ln(l) = O. Isso significa que ln(x) é uma
função diferenciável e crescente em todo seu domínio => ln(x) tem inversa a qual será denotada por
e' e que também é diferenciável. As restantes propriedades do logaritmo
ln(XIX2)= ln(XI) + In(x2), ln( ~~ ) = ln(XI) - ln(X2), V XI e X2 positivos,
e ln(x?) = X2ln(XI), V XI > Oe X2 qualquer,
ln(x) < Osex E (0,1), ln(x) > Osex E (Lco ), e
lim ln(x) = -00 e lim ln(x) = a)x-o- ;\"-+<.0
podem ser provadas a partir da definição anterior, e os métodos de integração numérica podem ser
usados para obter aproximações numéricas de ln(x) para qualquer X real positivo; isso permite também
determinar numéricamente aproximações da exponencial e" V X real. Como exemplo, vamos mostrar a
Lei do Produto e da Potência: ln(ab) = ln(a) + ln(b) e ln(ab) = b ln(a); as outras leis são obtidas de
maneira similar.
a Seja g(x) = ln(ax); então diferenciando e usando a regra da cadéia => g' (x) = dx a = l
=> g(x) é uma primitiva de ln(x) => g(x) = ln(x) + C; fazendo x = 1 vem que g(l) = C
=> ln(a) = C => C = ln(a) => g(x) = ln(x) + ln(a), e fazendo x = b, obtemos a
propriedade.
lntx")
b Seja g(x) = a ' com a real qualquer; usando a regra da ·'l}ooéia -obtemes
g'(x) = ~a axa-I = l V x > O => g(x) = ln(x) + C e fazendo x = 1 vem que
ln(xa)
C = O=> a = ln(x) V x > O; particularizando para x = b, obtemos a propriedade.
Uma vez provada a propriedade da potência ln(ab) = b ln(a), aplicamos ao cálculo de
ln(2n) = n ln(2) e deduzimos que lim ln(2n) = a) pois ln(2) > O, logo, sendo ln(x) crescente e
n-«J
contínua., deduzimos que lim ln(x) = a). Do mesmo modo ln(2-n) = -n ln(2) e essa última expressão
:1:-+<.0
tende a -00 quando n ~ a), usando novamente que ln(x) crescente e contínua concluimos que
161
·-.__ .._.~ .
.-...
s-
,;-..
/""'
/""'
lim ln(x) = -C().
x-O+
,.......
,....... INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
,-
Lembremos que no processo de-cálculo de áreas que nos levou ao conceito de integral defmida,
consideramos apenas funções limitadas defmidas em intervalosfinitos. Vamos ver agora que podemos
generalizar essas idéias para considerar'>C8soo·-.f13squa-is...os,.illtenr.alos"podemsec.infinitos e as funções
podem ser ilimitadas no intervalo de integração. Consideremos o caso da função j(x) = ~ no
x
intervalo [1,(0). Observemos a região entre o gráfico dafe o eixo x:
Sendo a região do plano infmita, como poderiamos tentar calcular sua "área" ? A figura seguinte sugere
o que devemos fazer: .
t
Calculamos a área da região sombreaàt1·qoe4epemk.oo.:J(~lor"t,.,.,e"enseguida -üJimite·.1iela quando
(-+00:
SI dx - 1"J'X=1I ~ - -x- x=l =
Então defmimos a área A da região como
A = limeI _1..)
t-«l (
11--t
= I
Neste exemplo a região, embora sendo uma parte não limitada do plano, tem área finita,
162
· .
./""...
Agora analisemos o caso da função j(x) = 1 no mesmo intervalo [1,00). A região entre o gráfico da
função e o eixo x também não é limitada
A mesma idéia do caso anterior aplicada a esta função nos leva a calcular a área da região
correspondente ao intervalo [1, t] como indica a figura
t
Observamos porém que neste caso a região é comparativamente maior que no caso da função -\-. A
x
região sombreada tem agora área dada pela integral
f: T = ln(/)]:~ = ln(/)
e lim ln(l) = 00. Para esta região diremos que a área não é finita. A superposição dos dois gráficos nos
t-+<:CJ
exemplos anteriores mostra que a função 1 embora seja decrescente, não decresce suficientemente
rápido para garantir que o processo descrito anteriormente .iltriaUa,uma.ár.ea ..fiIDta..à,i".egião.:nãolimitada
correspondente:
-
163
r,
Em geral damos as seguintes definições
Definição (7.23)
Seja f uma função defmida e contínua em um intervalo da forma [a, 00). Se o limite
lim fI j(x)dx
I-+GO a
existir, diremos que a integral ir:-:;:::-.5jJ:-::: rfix)dx converge e seu valor é defmido por
. a
JOOj(x)dx=lim JI j(x)dxa l-+<e a
Se o limite lim fI j{x)dx não existir, diremos que a integral imprópria diverge e não
t~..J:) a
atribuimos nenhum valor à integral J:j(x)dx.
Definição (7.24)
Seja f uma função definida e contínua em um intervalo da forma (-00, a]. Se o limite
lim fa j(x)dx
I-+-<Z) t
existir, diremos que a integral imprópria J:'j(x)dx converge e seu valor é definido por
I f:'j(x)dx=t~ J;j(x)dx I
Se o limite lim fa j{x)dx não existir, diremos que a integral imprópria diverge e não
1--00 t
atribuimos nenhum valor à integral f:'j(x)dx.
Definição (7.25)
Seja f uma função defmida e contínua em (~, 00). Dado qualquer a E ~, se os dois
limites
164
---~--_. __ ...- .
lim Ja j(x)dx e
s-+-<rJ s
lim JI j(x)dx
/-<rJ a
existirem, diremos que a integral imprópria J:j(x)dx converge e seu valor é definido
por
JOO j(x)dx= lim fa j(x)dx + lim fI j(x)dx~ s........a:> s I-.:t) a
Notar que o segundo membro independe do ponto a escolhido.
Se pelo menos algum dos dois limites anteriores não existir, diremos que a integral
imprópria diverge e não atribuimos nenhum valor à integral J:j(x)dx.
Observação
Nas definições anteriores não estamos supondo que as funções devam ser
necessáriamente decrescentes como nos exemplos analisados anteriormente.
EXEMPLO (7.26)
JOOo dx e Je2", dxDeterminar o valor das integrais imprópias 1 +x2 xln(x) .
a A integral indefmida é imediata: J dx = tg-1 (x) + C =.. 'JI .~- =."tg:::1.(rX) y=/ ..=1 + x2 o I +x: .J.r={)
tg-1 (t) e lim tg " (t) = 71:
2
, A integral imprópria é convergente e
1-<;0
Joo dx _ 71:o 1+x2 - 2"
A primitiva de 1 é obtida fazendo a substituição u = ln(x) :
xln(x)b
J dx = J du = ln(u) + C = ln(ln(x)) + Cxln(x) u
Então r ~()= ln(ln(t)) -ln(ln(2)) e o limite dessa última expressão quando t -+ co é
2X x
infinito, logo a integral imprópria J; x:cX) diverge.
Observação (7.27)
Suponhamos agora que temos duas funções f e g defmidas e contínuas em um intervalo do tipo
[a,co) tais que O ~j(x) ~ g(x) \::j x E[a,co). Se a integral imprópria J:g(x)dx for convergente então
a integral imprópria J:j(x)dx também deve convergir pois a região entre o gráfico da f e o eixo x no
intervalo [a,t] está incluida na região entre o gráfico da g e o eixo x no mesmo intervalo 'ti
t => lim JI j(x)dx ~ lim JI g(x)dx, e este último limite existe. Se por outro lado, a integral imprópria
/-<;0 a 1....a:J aCj(x)dx diverge então Cg(x)dx também deve divergir, pois caso contrário J:j(x)dx resultaria
convergente. Finalmente, observemos que se a condição O ~j(x) ~ g(x) é verificada apenas em
165
:- .
algum subintervalo infmito [h,oo) c [a,oo), então valem as mesmas afirmações pois V t ~ b temos
J:J(x)dx = (J(x)dx+ J:J(x)dx
e a convergência de f=J(x)dx vai depender da existência de E~f:J(x)dx . Em particular temos o
seguinte teorema
Teorema (7.28)
Seja f uma função positiva e contínua em um intervalo da forma [a,oo).
a Se V t E [h,oo) existirem um número M e outro m > 1 tais que O <JCx):s Af, ,então ax
integral imprópria rJ(x)dx converge.
a
b Se V t E [h,oo) existirem um número N e outro m < tais que JCx) ~ 1'[" para alguma
00 x
constante positiva Nem < 1, então a integral imprópria Ia fix)dx diverge.
Prova
Para o caso a basta observar que f:j(x)d-c s 1V!f: _~! = m~ 1 (hL1 - tm~l ),
portanto limAtJ ~ = M i : Logo lim r fix)d-c existe e a integral imprópria
I-«J b X (m - I)bm- 1-:1) b
rJCx)d'C converge.
a
Para o caso b observamos que fI f(x)d'C ~ Nfl d'C = ~(tl-m - bi.~m'rl::ss8rúltima
b bxm I-m
expressão tem limite 00 quando t - 00 => lirn fblj(x)d'C = 00, logo a integralimprópria
l-Xl
CJCx)dx diverge .•
Quando a função não é positiva em um intervalo ilimitado [a, 00), devemos fazer uma análise diferente.
A função/pode ser escrita como diferença de duas funções positivas
fCx) = j(x) - F(x)
onde
f"(x) = i (jf(x)J +fix» e ri» = i (jf(x)J- JCx»
e também vale queJt(x)1 = f"(x) +ri»
Observar que ambas f"(x) e f(x) são positivas.
Se / é contínua em um intervalo fmito, então Jt(x)J também é contínua no mesmo intervalo => f"(x) e
f(x) são contínuas no mesmo intervalo finito,
166
."
Teorema (7.29)
Suponhamos que j é contínua em [a,oo).
Se a integral imprópria rJfCx)ldx converge, então a intergral imprópria f"JCx)dx converge.
. a a
Prova
Sendo que O s..r(x) s. JfCx)1 e O S.f(x) S.1f(x)1 ::::) as integrais impróprias S:f(x)dx e
ef(x)d~ são ambas convergentes pela Observação (7.27). Então V t ~ a "temos
(JCx)dx = (r(x)d~ - f:f-(x)dx
logo o limite
lim fI JCx)dx = lim fI r (x)dx -lim fI j-(x)dxI-+(f) a I-+(f) a I-~ a
existe ~ rJCx)d~ converge .•
a
ATENÇÃO
A recíproca do teorema anterior é falsa em geral como mostra o seguinte exemplo
EXEMPLO (7.30) A Integral de Oirichlet
Uma integral imprópria convergente que aparece em certas aplicações, e que é um caso particular de
certas classes de integrais estudadas por Dirichlet, é f~ se~(x) dx ; entretante.: -a integral
f""l sen(x) Idx d'1 X rverge:
Usando integração por partes com j{x) = _~e g' (x) = sen(x) vem que
s: se~(x) dx = co~(x) J:: + s: Co;~x) dx
[ (1)
cos(t) J fI cos(x) d= cos - + (
t I x2
Quando t --I- 00 a expressão no colchete tem limite cos(l); para a integral no 2° membro temos que
I cos~x) I s. ~ V x ~ 1 e a integral f" di converge, então pelo teorema (7.28),x x IX
. fI cos(x) f:1O cos(x) foo sen(x)hm dx = dx converge :. dx converge.
1....a:J I x2 I x2 I X.rl sen(x) I'· ,Para mostrar que J I X dx diverge, observamos que o grafico (superposto com ,q,.gráfico de
_~) é formado por uma infinidade de ondas de altura decrescente
167
"..... .
1
0.8
0.6
.--- y
0.4
0.2
o
N o intervalo [mr, (n + 1)1r] , a área entre o gráfico de h(x) = I se~Cx) I e o eixo x é maior do que a
área do triângulo de base [mr, (n + 1)7r] e vértice no ponto de coordenadas
(n + ~ )7r,h«(n + ~ )7r) = (cn + ~ )7r, 11 ) como indica a figura
(n + 2)7r
0.3
o.
0.1
o
portanto a integral SCn+l)1r h(x)d'C::: soma das áreas dos triângulos. Agora, cada um dos triângulos tem
1 1 2 r
base tt e altura 1 = (2k 1) para k = 1,2, ... .n. Mostraremos no Capítulo 10 destas
(k+ "2)7r + tt
notas que a correspondente soma A; de áreas
"'2 'v2 . "2An = - + - + ... + -~"---
37r 57r (2n + 1)7r
fct:)l I senxCx)IdxlimAn = 00. Isso mostra que a integraln-><1Jtem limite infinito
168
é divergente pois
FUNÇÕES NÃO LIMITADAS EM INTERVALOS FINITOS
Agora consideramos o caso de funções que têm descontinuidades infinitas em um intervalo finito de
extremidades a < b; tais funções são ilimitadas no intervalo. Discutimos primeiro o caso de funções
positivas com limite infinito na extremidade esquerda do intervalo [a, b]. O seguinte exemplo ilustra
algumas das possilidades:
EXEMPLO (7.31)
Seja fi.x) = + onde c é um número positivo; queremos discutir a integral dafno intervalo comx
extremidades O e 1. A região entre o gráfico daf e o eixo x é ilimitada como mostra a figura seguinte
I I
A função tem uma descontinuidade no ponto O onde o limite pela direita é 00, .portanto não podemos
calcular a integral aplicando a definição; tentamos então, similarmente ao caso de 'intervalos infinitos,
calcular a integral em um intervalo da formal e, 1J onde ê é um número positivo inferior a L Se c "* 1,
de acordo com as regras de integração
fi dx = _1_(1 _ êl--c)E XC 1 - c
Observemos a figura
e
Imediatamente percebemos que podem ocorrer as possibilidades seguintes
1. c> 1, então quando ê --.0, lim-
I
-1-CI-êl-C) = 00
E-<l -c
2. c < 1, então quando ê --. 0, lim -l-I-O - ê1-c) = -1-1-
E-<l -c - c
3. c = 1, então f~1'( = InCx)]:! = In(l) -InCê) = -In(ê); essa última expressão tende a 00
169
quando E -+ O.
Se ocorrer a 2° possibilidade, diremos que a integral imprópria fi ct; converge e defrnimos seuo x
valor por
f~~; = 1 ~ c
Se ocorrer a 13 ou 33 possibilidade, diremos que a integral imprópria fi d~ diverge e não atribuimoso x
nenhum significado à integral fi c!; .
o x
Em geral damos as seguintes definições
Definição (7.32)
Seja f uma função defrnida e contínua em um intervalo da forma (a, b] e tal que o limite da f quando
x -+ a +, é 00 ou -«>. Se
lim f b fCx)dx
&-0+ 0+&
existir, diremos que a integral imprópria f:fCx)d'C converge e seu valor é definido por
fb fCx)d'C = lim fb fCx)dx
a &-0+ aTE
Se esse limite não existir, diremos que a integral imprópria S:fCx)d'C diverge e não atribuimos
nenhum significado à integral f:fCx)d'C.
Definição (7.33)
Seja fuma função definida e contínua em um intervalo da forma [a,b) e tal que o limite daf quando
x -+ b - é 00 ou -«>. Se
lim fb-&fCx)d'C
&-0+ a
existir, diremos que a integral imprópria S:JCx)dx converge e seu valor é definido por
fb fCx)dx = lim fb-&f(x)dxa &-0+ a
Se esse limite não existir, diremos que a integral imprópria f:fCx)d'C diverge e não atribuimos
nenhum significado à integral f:fCx)dx.
Definição (7.34)
Seja fuma função definida e contínua em um intervalo da forma (a, b) e tal que os limites da f quando
x -+ a - e quando x -+ b_ são infrnitos de qualquer sinal. Dado qualquer número c tal que
a < c < b, se os limites
[im fe fCx)d'C e
c>-o+ o+õ f
b-&
lim fCx)dx
&->0 c
170
ambos existirem, diremos que a integral imprópria S:j{x)dx converge e seu valor é definido por
fb fC Jb-&j{x)dx = lim j{x)dx + lim j{x)dxa 05-+0+ a+o5 &->0 c
Notemos que o valor da integral independe do número c. Se pelo menos algum dos dois limites
anteriores não existir, dizemos que a integral imprópria f~j{x)dx diverge e não atribuimos nenhum
significado à integral J:j{x)dx.
Para a integral J Jh
o 1 -x2
fornecem o seguinte cálculo:
f
J-e dx
o JI -x2
o integrando tem limite 00 para x ....•.1 -; as defrnições anteriores
sen -I (x) }\"=I-& = sen -I (1 _ 1::)
.\"=0
fi dxDaí concluimos que a integral imprópria o JI -x2r dx = limsen-I(1-I::) = sen-I(l) = ~.
o JI _x2 &-0
converge e
Neste exemplo observamos que uma substituição apropriada transforma a integral imprópria
J 1 d" em uma integral própria:o JI - x2
com efeito, fazendo a substituição x = sen(e) ~ dx = cos(e)de ~
I .!l.
f dx - f 2 d8 - 1Lo~- o -2
Por outro lado, integrais de funções contínuas em um intervalo fechado e limitado podem ser
transformadas em integrais impróprias; isto ocorre se uma substituição do tipo li = g(x) é tal que a
derivada g' (x) se anula em alguma extremidade do intervalo de integração pois então X será
ilimitada.
Para este tipo de integrais temos os mesmos resultados semelhantes ao primeiro tipo analisados
previamente a saber:
1. Se no intervalo (a,b] temos que j{x) e g(x) são contínuas e O < j{x) :s g(x) com
lirnj{x) = 00 e se a integral imprópria fb g(x)dx for convergente, então fb fi.x~dx.converge.
:c->a+ a a
Se, nas mesmas condições anteriores, a integral imprópria f:j{x)dx diverge então a integral
f:g(x)dx também deve divergir, caso contrário f:j{x)dx seria convergente.
2.
Teorema (7.35)
Sejafuma função positiva, definida e contínua em um intervalo da forma (a,b] tal que lirnj{x) = 00 •
.~--a+
a Se 'íI x E (a, b] existirem um número M e outro c < 1 tais que O < j{x) :s M , então
(x-at
171
---..
r--. .
r-.
'"""
--...
b
~-
---- Prova
---..
a integral imprópria tj(x)dx converge.
a
Se "d x E (a, bJ existirem um número N e outro c >
integral imprópria tj(x)dx diverge.
a
tais que j(x) ~ N , então a
(x-aY
Para a parte a basta observar que J:_8j(x)d,:S MJ:_8 (x ~:)C
~((b - a)I-C - 81-c), logo lim fb JCx)dx existe pois1 - c 8-+0 a-õ
limMfb-a du = ~(b_a)I-C.
0-+0 o UC 1 - c
-
Para a parte b observamos que
Nfb dx - Nfb-a du - ~ (_1_ - 1 ). Esta última expressão tem
a-o (x - aY - o UC - c-I 8c-1 (b - ay-I
limite infmito quando 8 -+ O, logo a integral r j(x)dx diverge .•
a
Vale tambémum teorema similar a (7.29)
Teorema (7.36)
Suponhamos que f é contínua em (a,b] e que limJCx) = 00.
x+b+
Se a integral imprópria f:1ICx)ldx for convergente, então a intergral imprópria f:JCx)dx .converge,
A demonstração segue as mesmas idéias do teorema (7.29).
Finalmente mencionamos que em vários exemplos importantes aparecem simultâneamente integrais
impróprias com intervalos de íntegração infinitos e ao mesmo tempo funções com descontinuidades
infinitas, Nestes casos devemos partir o intervalo de integração em dois ou mais intervalos: intervalos
finitos onde a função não é limitada, e intervalos infinitos onde a função não tem descontinuidades
infmitas. Observe o exemplo (7.38) sobre a função Gama de Euler.
Prova EXEMPLO (7.37)
. . fTr dx fI dx f<XldxTestar a convergência das integrais impróprias o 1 _ cos(x) , -I rx e --oo~.
a o integrando da 1a integral se torna infmito nas duas extremidades O e tt . A substituição t =
tg( X2) e algumas identidades trigonométricas nos permitem escrever cos(x) = 1 - t~ ,1 + t
sen(x) = 2t e..!l!... = 1+ t2 ~ dx = _2-dt então
1+ t2 dx 2 1+ t2 '
f dx f dt1 - cos(x) = f2
Daí concluimos que
172
,r-.. .
1.1.
fo
lr dx = f~ dt
1 - costx) o t2
- Nesta última integral temos uma função com uma descontinuidade infmita em O e também umintervalo de integração infmito. Então escrevemos
f
oo d.[ = fI dI + f:tl dt
o i- o t= I t2
---- Os resultados anteriores nos permitem afirmar que a Ia integral diverge enquanto-que a 2
a
converge. Lego J1r 1 dx () diverge.o - cos r
b o integrando se torna infmito quando r ~ O - e quando x ~ O +, logo como a função não
mantém o mesmo sinal em [-1,1] \ {O}, devemos analisar as duas integrais seguintes
separadamente:
1. J~x-+dx = ~x+ ] ~~= ~ (li ~ - II=> lim r~~x - ~dx = - ~
2. J~x-+dx= ~x31 = ~ (1-€~) => ~!]J>:-·+dx= ~
Concluimos que a integral J I dx converge e seu valor é l.. - l.. = O
-I IX 2 2
c Neste caso é tentador argumentar a partir da igualdade
f:r> dx f-
I dx fO dx fI dx foo dx
-<:.O ~ = -<:.O ~ + -I ~ + o ~ + I 7
que sendo a 13 e 43 integrais convergentes e a soma r ~+ r d~ = O (faça na Ia integral a
-I x o x
substituição li = -x) , então a integral r di converge. Isso porém está errado: é verdade
-<X> X
que a 13 e 43 integrais são convergentes, mas para calcular as integrais impróprias r d-; e
-I x~
I dx .J devem ser calculados os limites07'
I· f-E dx I' fI dxun -e ill1-
E...o _I x E-+O" x
separadamente, sem levar em conta que r: ~"(+ J~~ = O. Este é mais um exemplo do
fato que em geral
lim f-E dx + lim JI dx =#= lim(J-E dx + fI dx)
(-{) -I X E...o E x E-+O _I x E x
a menos que cada limite exista separadamente. Logo a integral f' a; diverge.
-<X> X
EXEMPLO (7.38) A Função Gama de Euler
Um exemplo importante que aparece em diversas aplicações é dado pela função Gama I''(s)
r(s) = J~e-xxs-Idx, s > O
Esta integral é convergente pois ela pode ser escrita como
O < s < 1 a primeira integral converge pois e-x::; 1
J~e-xxs-1dx + J: e-xxs-1dx. Para
no intervalo [O, a] e então
173
1 IDa0< e-,rxl-I :::Xl-I = ~ e O < 1 -s < 1; aplicamos o teorema (7.35) a e concluimos que
x
e-x~-Idx converge. Quando s 2: 1 essa integral não é imprópria e sempre existe. Por outro lado,
dado qualquer número real s, aplicamos a RH e obtemos o limite
lim(e-,rxl-1x2) = O
:C-+<Xl
de onde concluimos que deve existir um número positivo K tal que
=> e-·Txs-I < _1_ V x 2: K. Então temos que
- x2
Vx~K
A Ia integral não é imprópria e existe pois e-,r~-I é contínua em [a,K]; na 2a aplicamos o teorema
(7.28) a e deduzimos que converge.
Uma propriedade interessante da função r é a seguinte: seja s = n um natural ~ I, integrando por
partes vem que
então
r(n) = lim fI e-,rxn-I dx = lim[-e-,rxn-I r=1 + (n - 1) lim fI e-xxn-2dx
l-+<Xl o l-c.o .\"=0 I-+<CJ o
e aplicando a RH ao primeiro termo do 2° membro obtemos que lim[-e-xxn-Il::' = O, ~
t-+<CJ .'41
r(n) = (n - 1) f~e-,rxn-2dx = (n - I )r(n - I)
e iterando essa igualdade obtemos
r(n) = (n-I)(n-2) ... 3.2.1 f~e-:Xdx = (n-l)!
Logo
I f~e-,rxn-1dx = (n - I)! I
Essa igualdade que permite escrever um fatorial por meio de uma integral, é importante em várias
aplicações.
Observação (7.39)
Usando as definições das diversas integrais impróprias, pode ser mostrado que
todas as técnicas de integração já estudadas podem ser aplicadas ao cálculo de integrais
impróprias convergentes (observe o exemplo abaixo). Deixamos.ao leitor interessado a
tarefa de verificar esta afirmação.
EXEMPLO (7.40)
Calcular a integral f~xe-,r2dx.
Fazemos a substituição u = x2 ~ xdx = ~l ; se x = O, u = Oe se x -+ 00, U -+ 00 ~
foo »e=' dx = .L foo e+du = lim l(1- e-I) = l.o 2 o t-+<Xl 2 2
r>.
r--
174,-..
r-.
"..-"
~
-