A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
32 pág.
O Teorema Fundamental do Cálculo e Aplicações da Integral

Pré-visualização | Página 6 de 7

Jt(x)1 = f"(x) +ri»
Observar que ambas f"(x) e f(x) são positivas.
Se / é contínua em um intervalo fmito, então Jt(x)J também é contínua no mesmo intervalo => f"(x) e
f(x) são contínuas no mesmo intervalo finito,
166
."
Teorema (7.29)
Suponhamos que j é contínua em [a,oo).
Se a integral imprópria rJfCx)ldx converge, então a intergral imprópria f"JCx)dx converge.
. a a
Prova
Sendo que O s..r(x) s. JfCx)1 e O S.f(x) S.1f(x)1 ::::) as integrais impróprias S:f(x)dx e
ef(x)d~ são ambas convergentes pela Observação (7.27). Então V t ~ a "temos
(JCx)dx = (r(x)d~ - f:f-(x)dx
logo o limite
lim fI JCx)dx = lim fI r (x)dx -lim fI j-(x)dxI-+(f) a I-+(f) a I-~ a
existe ~ rJCx)d~ converge .•
a
ATENÇÃO
A recíproca do teorema anterior é falsa em geral como mostra o seguinte exemplo
EXEMPLO (7.30) A Integral de Oirichlet
Uma integral imprópria convergente que aparece em certas aplicações, e que é um caso particular de
certas classes de integrais estudadas por Dirichlet, é f~ se~(x) dx ; entretante.: -a integral
f""l sen(x) Idx d'1 X rverge:
Usando integração por partes com j{x) = _~e g' (x) = sen(x) vem que
s: se~(x) dx = co~(x) J:: + s: Co;~x) dx
[ (1)
cos(t) J fI cos(x) d= cos - + (
t I x2
Quando t --I- 00 a expressão no colchete tem limite cos(l); para a integral no 2° membro temos que
I cos~x) I s. ~ V x ~ 1 e a integral f" di converge, então pelo teorema (7.28),x x IX
. fI cos(x) f:1O cos(x) foo sen(x)hm dx = dx converge :. dx converge.
1....a:J I x2 I x2 I X.rl sen(x) I'· ,Para mostrar que J I X dx diverge, observamos que o grafico (superposto com ,q,.gráfico de
_~) é formado por uma infinidade de ondas de altura decrescente
167
"..... .
1
0.8
0.6
.--- y
0.4
0.2
o
N o intervalo [mr, (n + 1)1r] , a área entre o gráfico de h(x) = I se~Cx) I e o eixo x é maior do que a
área do triângulo de base [mr, (n + 1)7r] e vértice no ponto de coordenadas
(n + ~ )7r,h«(n + ~ )7r) = (cn + ~ )7r, 11 ) como indica a figura
(n + 2)7r
0.3
o.
0.1
o
portanto a integral SCn+l)1r h(x)d'C::: soma das áreas dos triângulos. Agora, cada um dos triângulos tem
1 1 2 r
base tt e altura 1 = (2k 1) para k = 1,2, ... .n. Mostraremos no Capítulo 10 destas
(k+ "2)7r + tt
notas que a correspondente soma A; de áreas
"'2 'v2 . "2An = - + - + ... + -~"---
37r 57r (2n + 1)7r
fct:)l I senxCx)IdxlimAn = 00. Isso mostra que a integraln-><1Jtem limite infinito
168
é divergente pois
FUNÇÕES NÃO LIMITADAS EM INTERVALOS FINITOS
Agora consideramos o caso de funções que têm descontinuidades infinitas em um intervalo finito de
extremidades a < b; tais funções são ilimitadas no intervalo. Discutimos primeiro o caso de funções
positivas com limite infinito na extremidade esquerda do intervalo [a, b]. O seguinte exemplo ilustra
algumas das possilidades:
EXEMPLO (7.31)
Seja fi.x) = + onde c é um número positivo; queremos discutir a integral dafno intervalo comx
extremidades O e 1. A região entre o gráfico daf e o eixo x é ilimitada como mostra a figura seguinte
I I
A função tem uma descontinuidade no ponto O onde o limite pela direita é 00, .portanto não podemos
calcular a integral aplicando a definição; tentamos então, similarmente ao caso de 'intervalos infinitos,
calcular a integral em um intervalo da formal e, 1J onde ê é um número positivo inferior a L Se c "* 1,
de acordo com as regras de integração
fi dx = _1_(1 _ êl--c)E XC 1 - c
Observemos a figura
e
Imediatamente percebemos que podem ocorrer as possibilidades seguintes
1. c> 1, então quando ê --.0, lim-
I
-1-CI-êl-C) = 00
E-<l -c
2. c < 1, então quando ê --. 0, lim -l-I-O - ê1-c) = -1-1-
E-<l -c - c
3. c = 1, então f~1'( = InCx)]:! = In(l) -InCê) = -In(ê); essa última expressão tende a 00
169
quando E -+ O.
Se ocorrer a 2° possibilidade, diremos que a integral imprópria fi ct; converge e defrnimos seuo x
valor por
f~~; = 1 ~ c
Se ocorrer a 13 ou 33 possibilidade, diremos que a integral imprópria fi d~ diverge e não atribuimoso x
nenhum significado à integral fi c!; .
o x
Em geral damos as seguintes definições
Definição (7.32)
Seja f uma função defrnida e contínua em um intervalo da forma (a, b] e tal que o limite da f quando
x -+ a +, é 00 ou -«>. Se
lim f b fCx)dx
&-0+ 0+&
existir, diremos que a integral imprópria f:fCx)d'C converge e seu valor é definido por
fb fCx)d'C = lim fb fCx)dx
a &-0+ aTE
Se esse limite não existir, diremos que a integral imprópria S:fCx)d'C diverge e não atribuimos
nenhum significado à integral f:fCx)d'C.
Definição (7.33)
Seja fuma função definida e contínua em um intervalo da forma [a,b) e tal que o limite daf quando
x -+ b - é 00 ou -«>. Se
lim fb-&fCx)d'C
&-0+ a
existir, diremos que a integral imprópria S:JCx)dx converge e seu valor é definido por
fb fCx)dx = lim fb-&f(x)dxa &-0+ a
Se esse limite não existir, diremos que a integral imprópria f:fCx)d'C diverge e não atribuimos
nenhum significado à integral f:fCx)dx.
Definição (7.34)
Seja fuma função definida e contínua em um intervalo da forma (a, b) e tal que os limites da f quando
x -+ a - e quando x -+ b_ são infrnitos de qualquer sinal. Dado qualquer número c tal que
a < c < b, se os limites
[im fe fCx)d'C e
c>-o+ o+õ f
b-&
lim fCx)dx
&->0 c
170
ambos existirem, diremos que a integral imprópria S:j{x)dx converge e seu valor é definido por
fb fC Jb-&j{x)dx = lim j{x)dx + lim j{x)dxa 05-+0+ a+o5 &->0 c
Notemos que o valor da integral independe do número c. Se pelo menos algum dos dois limites
anteriores não existir, dizemos que a integral imprópria f~j{x)dx diverge e não atribuimos nenhum
significado à integral J:j{x)dx.
Para a integral J Jh
o 1 -x2
fornecem o seguinte cálculo:
f
J-e dx
o JI -x2
o integrando tem limite 00 para x ....•.1 -; as defrnições anteriores
sen -I (x) }\"=I-& = sen -I (1 _ 1::)
.\"=0
fi dxDaí concluimos que a integral imprópria o JI -x2r dx = limsen-I(1-I::) = sen-I(l) = ~.
o JI _x2 &-0
converge e
Neste exemplo observamos que uma substituição apropriada transforma a integral imprópria
J 1 d" em uma integral própria:o JI - x2
com efeito, fazendo a substituição x = sen(e) ~ dx = cos(e)de ~
I .!l.
f dx - f 2 d8 - 1Lo~- o -2
Por outro lado, integrais de funções contínuas em um intervalo fechado e limitado podem ser
transformadas em integrais impróprias; isto ocorre se uma substituição do tipo li = g(x) é tal que a
derivada g' (x) se anula em alguma extremidade do intervalo de integração pois então X será
ilimitada.
Para este tipo de integrais temos os mesmos resultados semelhantes ao primeiro tipo analisados
previamente a saber:
1. Se no intervalo (a,b] temos que j{x) e g(x) são contínuas e O < j{x) :s g(x) com
lirnj{x) = 00 e se a integral imprópria fb g(x)dx for convergente, então fb fi.x~dx.converge.
:c->a+ a a
Se, nas mesmas condições anteriores, a integral imprópria f:j{x)dx diverge então a integral
f:g(x)dx também deve divergir, caso contrário f:j{x)dx seria convergente.
2.
Teorema (7.35)
Sejafuma função positiva, definida e contínua em um intervalo da forma (a,b] tal que lirnj{x) = 00 •
.~--a+
a Se 'íI x E (a, b] existirem um número M e outro c < 1 tais que O < j{x) :s M , então
(x-at
171
---..
r--. .
r-.
'"""
--...
b
~-
---- Prova
---..
a integral imprópria tj(x)dx converge.
a
Se "d x E (a, bJ existirem um número N e outro c >
integral imprópria tj(x)dx diverge.
a
tais que j(x) ~ N , então a
(x-aY
Para a parte a basta observar que J:_8j(x)d,:S MJ:_8 (x ~:)C
~((b - a)I-C - 81-c), logo lim fb JCx)dx existe pois1 - c 8-+0 a-õ
limMfb-a du = ~(b_a)I-C.
0-+0 o UC 1 - c
-
Para a parte b observamos que
Nfb dx - Nfb-a du - ~ (_1_ - 1 ). Esta última expressão tem
a-o (x - aY - o UC - c-I 8c-1 (b - ay-I
limite infmito quando 8 -+ O, logo a integral r j(x)dx diverge .•
a
Vale também