Representações Paramétricas de Curvas

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REPRESENTAÇÕES PARAMÉTRICAS DE CURVAS
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REPRESENTAÇÕES PARAMÉTRICAS
Até agora consideramos curvas no plano que representam gráficos de funções. A equação
Y = JCx) determina uma curva no plano com a propriedade que qualquer reta vertical corta à
curva em no máximo um ponto. Similarmente, uma equação do tipo x = g(y) determina uma
curva no plano tal que toda reta horizontal corta à curva em no máximo um ponto. É mais
conveniente então tentar outros métodos de representação quando queremos trabalhar com
curvas contínuas mais gerais que não têm essas características geométricas (por exemplo curvas
fechadas).
A representação mais geral e mais útil de uma curva é a representação paramétrica. Essa
representação também é utilizada para curvas espaciais como veremos no próximo capítulo, mas
lá adotaremos uma representação vetorial (completamente equivalente à paramétrica) que
permite estudar curvas espaciais mais complexas de visualizar geométricamente que no caso de
curvas planas.
Em lugar de considerar uma das coordenadas de cada ponto da curva como uma função da outra
coordenada, como nas equações y = JCx) ou x = g(y), consideramos cada uma das
coordenadas como função de uma terceira variável que é chamada de "parâmetro ", na forma
x = x(t) e y = y(t): quando o parâmetro t percorre um intervalo de valores I ç ~ o par
(x(t),y(t» descreve uma curva no plano. Vejamos alguns exemplos:
EXEMPLO (9.1)
Se a e b não são ambos iguais a 0, as equações paramétricas
x = Xo + at
y = yo + bt
t E ~, representam uma reta no plano; se a e b forem não nulos, podemos eliminar o
parârnetro t nas duas equações obtendo t = x ~ Xo e t = Y ~YO ~ y = ~ (x - xo) + yo que
é uma reta de inclinação ~ que passa pelo ponto (XO,yo). Se alguma dessas constantes for
nula, digamos a = 0, então a curva é formada por todos os pares de pontos da forma (XO,y)
onde y = yo + bt assume qualquer valor real, e isso significa que as equações paramétricas
representam a reta vertical que passa pelo ponto (XO,yo). Para o caso b = 0, podemos deduzir
similarmente que os pontos da curva têm a forma (x,yo) onde x = xo + at assume qualquer
valor real, ou seja, a curva é a reta horizontal que passa por (xo,yo).
EXEMPLO (9.2)
Dados dois pontos no plano P(XI ,YI) e Q(X2,Y2) as equações paramétricas
x = XI + t(X2 - XI)
y = YI + t(Y2 - Yl )
para t E [O, 1], representam o segmento no plano que liga os pontos P (inicial) ao ponto Q
(final) quando t aumenta desde o valor ° até o valor 1. Essas duas equações podem ser reescritas
também na forma
x = tX2 + (I - t)XI
y = tY2 + (I - t)Yl
para ° S t S 1.
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EXEMPLO (9.3)
As equações paramétricas
x = rcos(t)
y = r sen(t)
onde r > ° e t E [O,2n:], representam um círculo de raio r com centro na origem do sistema
de coordenadas, pois quando t percorre o intervalo [O,2n:] no sentido crescente dos valores de
t, x e y assumem todos os valores do intervalo [-r, r] e vale a relação x2 + y2 = r2 => o
ponto P(x,y) percorre o círculo completo no sentido antihorário a partir do ponto inicial
A(r, O). Neste caso o parâmetro t representa o ângulo central cujo lado "inicial" é a semirreta
---+ ---+
OA e cujo lado "terminal" é a semirreta OP
EXEMPLO (9.4)
As equações paramétricas
x = acos(t)
y = b sen(t)
onde a e b são constantes positivas e t E [O,2n:], representam uma elipse com centro na
origem se a *- b, com semieixo horizontal a e semieixo vertical b. Como no exemplo anterior
vemos que quando t percorre o intervalo [O,2n:] no sentido crescente dos valores de t, x e y
assumem todos os valores dos intervalos [-a, a] e [-b,b] respectivamente e vale a relação
( ~ ) 2 + ( t ) 2 = 1. Neste exemplo t não tem a mesma interpretação geométrica do exemplo
anterior. Na figura abaixo, se a e b representam os raios dos círculos maior e menor
respectivamente e denotamos por A, B e e os pontos (acos(t),a sen(t») (bcos(t),b sen(t»),
e (a, O) respectivamente, o ponto P marcado na figura tem coordenadas (acos(t), b sen(t») e
portanto é um ponto genérico da elipse; neste caso o parâmetro t representa o ângulo central
---+ ---+
entre as semirretas oe e OA, chamado o "angulo excêntrico" do ponto P da elipse .
............. .
......
............ . .
o
...... ....
.................
...... .....
.................... .
EXEMPLO (9.5)
As curvas denominadas ciclóides são as curvas que aparecem quando um círculo roda sobre uma
reta ou sobre um outro círculo sem escorregar. Tomemos o caso de um círculo de raio r que
roda sobre uma reta; queremos descrever as equações paramétricas de um ponto P(x,y)
marcado sobre um círculo de raio r quando o círculo roda sobre uma reta. Se e representa o
centro do círculo rolante, tomamos o parâmetro t como o ângulo central do círculo, determinado
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~
pela semirreta vertical que passa por C e a semirreta CP como indica a figura abaixo
y
o x A
A abscissa de P é x = OA - BP = rt - r sen(t) pois o segmento OA tem o mesmo
comprimento que o arco de A até P e a ordenada de P é Y = AC - BC = r - rcos(t); as
equações paramétricas da ciclóide são
x = r(t - senfr)
y = r(l-cos(t»
t ~ O. Podemos também eliminar o parâmetro t lara obter a equação cartesiana da ciclóide: da
2a equação obtemos cos(t) = 1 - r ~ t = cos " ( 1 - ~); sendo que
sen(t) = ± Jcos2(t) = ± J 1 - (r ~:)2 , obtemos
x = r cos"' ( r ~ y ) =+= J(2r - y)y
A equação cartesiana assim obtida, é complicada se comparada com as equações paramétricas.
Quando uma curva C é dada como o gráfico de uma equação do tipo y = f{x), onde f é uma
função definida em um intervalo I,' podemos obter uma representação paramétrica de C
escrevendo x = qJ(t) definida em um intervalo J talque I = {qJ(t) / t E J} onde tp é
qualquer função contínua, crescente ou decrescente em J, e definindo y = f{qJ(t». Como cp
pode ser escolhida de modo arbitrário, essa liberdade de escolha pode ser utilizada com o
propósito de simplificar as equações resultantes.
Observar que sempre podemos fazer a escolha trivial x = t e y = f{t) que não altera em nada a
representação pela equação original.
EXEMPLO (9.6)
.l.
A curva representada pela equação y = x 3 pode ser representada paramétricamente pelas
equações mais simples
x = t3
y = [2
t E 1Rl., no sentido que não aparecem expoentes fracionários. A curva é a "parábola semicúbica"
233
4
3
x
Por outro lado, se a curva C for representada paramétricamente pelas equações
x = cp(t)
y = 4J(t)
t E I, e se quisermos obter uma representação cartesiana por meio de uma equação y = j(x)
onde f é uma certa função, deveremos eliminar o parâmetro t das equações para encontrar uma
relação funcional direta entre as variáveis x e y.
Isso pode ser feito de um modo geral, a partir da equação x = cp(t) tentando escrever t em
termos de x por meio da inversa de tp : t = cp-l (x) e substituindo essa expressão na outra
equação para obter
y = 4J(cp-l (x)) = j(x)
Neste caso devemos restringir o conjunto de valores de t a certos intervalos onde existe cp-l, e
isso significa geométricamente considerar partes da curva onde retas verticais cortam essas partes
em no máximo um ponto.
Também pode ocorrer que a equação obtida y = j(x) represente mais do que a representação
paramétrica como mostra o seguinte exemplo:
EXEMPLO (9.7)
A eliminação do parâmetro t nas equações paramétricas
x(t) = acos(t)
y(t) = bcos(t)
t E [O,n], com a e b *- 0, leva à equação ~ = ~, mas a equação y = ~ x representa uma
reta infinita enquanto que a curva representada paramétricamente pelas duas equações anteriores,
é apenas a parte da reta que liga o ponto (a,b) para t = 0, ao ponto (-a,-b) para t = tt .
Isso significa que a eliminação do parâmetro deve levar em consideração também as imagens
{x(t) / t E I} e {yet) / t E I}.
AS DERIVADAS PARA UMA CURVA REPRESENTADA PARAMÉTRICAMENTE
Para estudar o comportamente local de uma curva representada por uma equaçãodo tipo
y = j(x), usamos a ferramenta fundamental que é a derivada. Ela permite analisar a inclinação da
curva assim como outras características geométricas dela. Suponhamos que C é uma curva de
equação y = j(x) com f diferenciável, que também é representada paramétricamente pelas
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equações
x = x(t)
y = y(t)
com x(t) e y(t) diferenciáveis. Então y(t) = J(x(t)) e pela regra da cadéia
dy dy dx
di = dx di ==>
dy
dy ...JiL= y' (t)
dx dx x'(t)
dt
Destacamos que a importância desse cálculo está na possibilidade de calcular a inclinação da
curva C em um ponto sem eliminar o parâmetro . Para o cálculo da derivada 2a, que está
relacionada com a concavidade da curva, procedemos do mesmo modo e obtemos:
cf2y d (y'(t) )
dx2 = dx x' (t)
-IL (Y'(t) )
dt x' (t)
dx
dt
y" (t)x' (t) - y' (t)x" (I)
x' (t)2
x' (I)
deduzimos então que
cf2y y" (/)x' (t) - y' (t)x" (I)
dx' x' (t)3
Derivadas de ordem superior podem ser calculadas similarmente aplicando o mesmo processo
sem eliminar o parâmetro.
A equação da reta tangente a um ponto da curva (x(to),y(to)) é dada na forma cartesiana usual
y - y(to) = y: ((to))(x - x(to))
x to
ou equivalentemente
I{x - x' (to)}y' (to) - {y - y(to) }x' (to) = 01
Uma consequência da última fórmula é que nos pontos da curva onde y' (to) = Ornas
x' (to) *' 0, a curva tem uma tangente horizontal, enquanto que nos pontos onde x' (to) = Ornas
y' (to) *' 0, a curva tem uma tangente vertical. Os pontos onde ambas derivadas são nulas
y'(to) = x'(to) = O são pontos singulares da curva nos quais não podemos deduzir
imediatamente a existência ou não de reta tangente.
No exemplo seguinte mostramos o que pode ocorrer em geral:
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EXEMPLO (9.8)
t. As equações
x = t
Y = t2
t E ~, representam paramétricamente a parábola y = x2 que tem reta tangente em todos
seus pontos e «t) = 2It = 2t; em particular, existe reta tangente horizontal nax (t)
origem. Para exibir o gráfico no MAPLE, digite os seguintes comandos
x: =t->x; y: =t->t"2; (definição de x(t) e y(t))
plot([x(t) ,y(t) ,t=-4 .. 41,color=blue,thickness=2) ; (comando para
exibir o gráfico da curva parametrizada na cor azul e espessura 2)
2. As equações
, (t) 5
representam a mesma parábola anterior mas desta vez -y- = ~ = 2t3• vemos que
x' (t) 3t2 '
ambas derivadas y'(O) = x'(O) = O e nesta representação da parábola a origem é um
ponto singular, porém sabemos que aí a tangente é horizontal como foi determinado na
parte 1. Exiba o gráfico no MAPLE procedendo como na parte anterior e variando t no
intervalo t=- 2 .. 2.
3. As equações
y = tltl
representam a curva
4
2
o
-2
-4
e na origem x' (O) = y' (O) = O. Esse ponto é singular para a representação dada e nele a
curva não tem reta tangente. Exiba o gráfico no MAPLE variando t no intervalo
t=-4 .. 4. A função x é definida por x: =t->t"2; e a função y é definida por
y:=t->t*abs(t) ;
Os exemplos anteriores 2 e 3 indicam que em um ponto onde ambas derivadas existem e são
nulas, a curva pode ter ou pode não ter reta tangente, mas quando ambas derivadas existem e não
são nulas simultâneamente, podemos garantir a existência de reta tangente. Por outro lado os
exemplos 1 e 2 mostram que a mesma curva pode ter duas representações paramétricas distintas
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de tal modo que a existência de tangente em um ponto fica evidente para uma das representações.
Embora somos livres de escolher várias representações paramétricas para uma mesma curva,
devemos perceber que a propriedade de ter tangente em um ponto, que é uma propriedade
intrínseca da curva, pode não aparecer claramente em uma dada representação paramétrica.
O problema de saber se uma curva tem ou não tem tangente depende de encontrar uma
representação paramétrica da curva por meio de funções diferenciáveis x(t) e y(t) com
derivadas não nulas simultâneamente.
Vamos ver posteriormente que a determinação de certos parâmetros especiais das curvas
chamados "parâmetros comprimento de arco" permite analisar esta questão.
INTERSEÇÕES DE CURVAS
De particular interesse em certos problemas é a determinação de todos os pontos onde uma curva
se intersecta a si própria. Se x = x(t) e y = y(t) são equações paramétricas de C, basta
determinar todas as soluções das equações do sistema
x(t) = x(s)
y(t) = y(s)
onde s e t são variáveis distintas em geral. Isto é devido a que a curva pode ser interpretada
dinâmicamente pensando a t como o tempo e o ponto (x(t),y(t» como a posição de uma
partícula no instante t; neste caso a curva C representa a trajetória da partícula e as soluções s
e t das equações anteriores caracterizam os instantes distintos nos quais a partícula se encontra
na mesma posição.
Do mesmo modo, para determinar as interseções de duas curvas CI e C2 que são representadas
pelos pares de equações XI = XI (t) e YI = YI (t), e X2 = X2(t) e Y2 = Y2(t), as soluções t do
sistema
XI (t) = X2(t)
YI (t) = Y2Ct)
representam os instantes t quando as partículas colidem pois nesses instantes t elas estão na
mesma posição ao mesmo tempo; a essas soluções devemos acrescentar aquelas do sistema
XI (t) = X2(S)
YI (t) = Y2(S)
que correspondem a interseção das trajetórias, pois então as partículas se encontrarão na mesma
posição em instantes distintos t e s.
Com auxílio do computador podemos exibir os gráficos e verificar as interseções
correspondentes
COMPRIMENTOS DE CURVAS REPRESENTADAS PARAMÉTRICAMENTE
Seja C uma curva representada paramétricamente pelas equações X = x(t) e y = y(t) onde
x(t) e y(t) são funções contínuamente diferenciáveis; subdividimos o intervalo [a,,B] pelos
pontos a = to < tI < ... < tn =,B e calculamos o comprimento da poligonal formada pelos
pontos (x(to),y(to», (X(tl ),y(tl», ... (xCtn),y(tn» pela fórmula da distância somando todos
os termos
nL:J[x(t;) - X(t;_I)]2 + [y(l;) - y(t;_I)]2
;=1 .
Essa soma pode ser reescrita usando o TVM aplicado a cada expressão nos colchetes, como
237
"
nL:jX'(ti)2 + y(l;*)2 /1ti
i=1
onde ti e ti* E [ti-I,!i] e Mi = ti - t;-I. Se os intervalos da partição forem pequenos e as
derivadas forem contínuas, a soma anterior é aproximadamente
n n
~ Jx'Cti)2 + y(t;*)2 M; ~ ~ Jx'(ti)2 + y(t;)2 M;
;=1 ;=1
e essa última soma é uma Soma de Riemann da função Jx'(t)2 + y'(t)2 no intervalo [a,[3].
Então pelo TFC o limite dessas somas quando máx(/1t;) --+ ° é uma integral definida a qual
tomamos como a definição do comprimento de C
s = f: JX'(t)2 + y'(t)2 dt
A última integral tem uma vantagem considerável sobre a 1a no sentido que ela se pode aplicar a
curvas bem gerais, não necessáriamente gráficos de funções da forma y = j{x), supondo que as
derivadas x' (t) e y' (t) sejam contínuas como vamos ver agora.
A fórmula anterior atribui um valor positivo ao comprimento de arco quando o parâmetro t
aumenta desde o valor a ao valor [3; dizemos que a curva é percorrida pelo ponto (x(t),y(t»
no sentido positivo. Quando a > [3, a integral é negativa e corresponde a percorrer a curva no
sentido negativo, ou seja, quando o parâmetro t diminui de a para [3. Então o sinal do
comprimento de arco s depende da escolha do parâmetro pois quando a > [3, podemos fazer a
substituição r = -t e o novo parâmetro r aumenta desde o valor -a ao valor -[3. Em geral,
se introduzimos um outro parâmetro dado por uma função diferenciável r = \fI(t)
(::::}t = \fi-I (r», para o qual a curva C é percorrida no mesmo sentido, ou seja quando
~~ > 0, a integral anterior dá o mesmo valor do comprimento pois pela regra de mudança de
variáveis para integrais definidas vem que
(jx'(t)2 + y'(t)2 dt = f: x'(r)2( 1ft)2+ y'(r)2( ~~)2 dt
fT-'(f3)= jx'(r)2 + y'(r)2 dtT-1 (a)
EXEMPLO (9.9)
Calculemos o comprimento de um arco completo da ciclóide
x = r(t - sentr)
y = r(1 - cos(t)
t E [O, 2n]. Derivando obtemos
X'(t)2 + y'(t)2 = 2r2(1 - cosfr) = 4r2sen2( ~ )
e o comprimento é
238
s = r 2rlsen(~ )Idt
=4r J: sen(u)du
= 4r[ -cos(u) J~
= 4r( 1- (-1))
= 8r
ou seja, o comprimento de um arco completo da cicJóide é 4 vezes o diâmetro do círculo que
gera a curva.
EXEMPLO (9.10)
2 2
O comprimento da elipse com semieixos a > b. A equação é ~2 + ~2 = 1 e daí temos
y = ± ~.J a2 - x2 ~ o comprimento é dado por
s = 2 Ia
-a
pela substituição
= 2 I 1 11 - u2 + b2u2 adu
-I ~. 1 - u2
2 b2
U = ~. pondo agora c2 = a - obtemos
Q' a2
s = 2a I 1 Ir-I---c-2u-2-du
-I V 1 - u2
e fazendo a substituição u = sen(cp),
s = 2a L;Jr JI - c2 sen\cp) dtp
2
Essa última integral chamada de "integral elíptica de 2a espécie", não pode ser calculada em
termos de funções conhecidas.
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