Vetores, Retas e Planos no Espaço

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VETaRES, RETAS E PLANOS NO ESPAÇO
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VETaRES NO PLANO E NO ESPAÇO
Os vetores no plano e no espaço são usados extensamente na Física para representar grandezas
que possuem dois atributos: uma direção e uma intensidade. A velocidade de um objeto, o
impulso, a aceleração, uma força aplicada em um certo ponto, etc., têm essas características.
Outras grandezas que não tem esses atributos e podem ser representadas apenas por números (ou
escalares), são a temperatura, pressão, densidade, volume, etc.
Para estudar funções de uma variável e curvas no plano, foi definido um sistema de coordenadas
retangulares no plano. Similarmente para podermos estudar curvas e superfícies no espaço
definiremos um sistema de coordenadas retangulares no espaço.
Fazemos isso da seguinte forma:
Um sistema de coordenadas no espaço é determinado por três retas ou eixos, mutuamente
perpendiculares chamadas de eixos do sistema de coordenadas e que se cortam em um ponto O,
a origem do sistema, e que são orientados de acordo com a regra da mão direita: se imaginarmos
nossa mão direita localizada na origem O com os dedos apontando na direção positiva de um
dos eixos, e quando fechamos parcialmente a mão eles apontam na direção positiva do 2° eixo,
então o polegar apontará na direção positiva do 3° eixo. Se escolhermos no 3° eixo a direção
contrária àquela indicada por nosso polegar, estaremos fazendo a outra possível orientação.
Vamos trabalhar com a primeira orientação descrita acima.
Uma unidade u é escolhida em cada eixo e pelo processo de identificação de pontos com os
números reais, a cada ponto de cada eixo associamos uma única coordenada real. Se denotarmos
os eixos com as letras x, y e z, cada par de eixos determina um único plano coordenado;
falaremos dos planos coordenados nxy, nxz e nyz.
Dado um ponto P do espaço determinamos três números reais da seguinte forma:
• a 13 coordenada Xo de P será a distância dirigida do plano ny~ ao ponto P (xo = O se
P E n yz e Xo > O se encontramos o ponto P ao deslocarmos no sentido positivo desde
n yz até P, Xo < O se encontramos o ponto P ao deslocarmos no sentido negativo
desde nyz até P)
• a 23 coordenada yo de P será a distância dirigida do plano nxz ao ponto P
• a 3a coordenada Zo de P será a distância dirigida do plano nxy ao ponto P
Dizemos que os números da terna ordenada (XO,yO,zo) são as coordenadas retangulares
de P.
A correspondência entre pontos do espaço e ternas de números reais é biunivoca no sentido que a
cada ponto associamos uma única terna de números reais e recíprocamente a cada terna de
números associamos um único ponto do espaço. Essa correspondência determina um sistema de
coordenadas retangulares no espaço.
GRÁFICOS DE EQUAÇÕES EM TRÊS VARIÁVEIS
Dada ur~a equação qualquer envolvendo as três variáveis x, y e z, o gráfico da equação é a
coleção de todos os pontos do espaço cujas coordenadas verificam a equação. Em geral, os
gráficos são superfícies no espaço de três dimensões.
EXEMPLO (10.1)
O gráfico da equação x = ° é o plano nyz = {(O,y,z)/y,z E iR<.}.
241
o gráfico da equação y = ° é o plano 'lrxz = {(x,O,z)/x,z E ~} .
. O gráfico da equação z = ° é o plano 'lrxy = {(x,y,O)/x,y E ~}.
O eixo coordenado x é a interseção dos planos 'lrxz n 'lrxy, ou seja a coleção dos pontos
{(x,O,O)/x E ~}.
O eixo coordenado y é a interseção dos planos 'Ir xy n 'Iryz, ou seja a coleção dos pontos
{(O,y,O)/y E ~}.
O eixo coordenado z é a interseção dos planos 'lrxz n 'lryz, ou seja a coleção dos pontos
{(O,O,z)/Z E ~}.
Aplicando o Teorema de Pitágoras pode ser verificado fácilmente que a distância d entre dois
pontos P(Xl,Yl,ZI) e Q(X2,Y2,Z2) é dada por
EXEMPLO (10.2)
Uma esfera S com centro no ponto C(XO,YO, zo) e raio r, é a coleção de todos os pontos cuja
distância a C é r, ou seja
S= {(X,y,Z)IJ(X-XO)2 + (y_YO)2 + (z-zO)2 =r}
Equivalentemente, a esfera S é o gráfico da equação (x - xO)2 + (y - YO)2 + (z - zO)2 = r2.
EXEMPLO (10.3)
Queremos determinar a equação da esfera com centro em um ponto de coordenadas (xo,yo, zo),
tangente ao plano coordenado tiyz. A distância do ponto ao plano é Jxo J ::=} a equação é
VETORES
Definição (10.4)
Um vetor no plano é representado por uma flecha (ou segmento dirigido) cujo
ponto inicial é a origem O do sistema de coordenadas e cujo ponto final é um
--+
ponto P de coordenadas (Ul,U2). Se u denota o veto r, escrevemos u = OP e
também u = (Ul,U2). Os números Ul e U2 são as componentes do vetor.
Um vetor no espaço é representado por uma flecha (ou segmento dirigido) cujo
ponto inicial é a origem O do sistema de coordenadas e cujo ponto final é um
--+
ponto P de coordenadas (Ul,U2,U3). Seu denotaovetor,escrevemos u =op
e também u = (Ul, U2, U3). OS números Ul, U2 e U3 são as componentes do
veto r.
242
~ -----t
Consideraremos que qualquer outra seta AB paralela a DP e do mesmo comprimento,
-----t
representa o mesmo vetar que DP. No espaço, se as coordenadas dos pontos forem
~ -----t
A(al, ai, a3), B(b I,b i, bs) e P(UI, U2, U3), então a igualdade da seta AB com DP é indicada
pelas igualdades
Equivalentemente, se um vetar
u = (bl - a ç.b ; - a2,b3 - a3).
u é representado pela flecha
~
AB, então
~ --+
No caso do plano, se A(al,a2), B(bl,b2) e P(UI,U2), a igualdade da seta AB com DP é
indicada pelas igualdades
~
Equivalentemente, se um vetar u é representado pela flecha AB, então u = (b I - a I,b : - aÚ.
Em geral dizemos. que todo vetar no plano u = (u I,UÚ, é representado por qualquer segmento
~ --+
orientado AB paralelo a DP e do mesmo comprimento, e escrevemos
u ={AÊ/A = (a,b) e B = (a + uçb + U2), V a,b E ~}
e todo vetar no espaço u = (u I,U2, U3), é representado por qualquer segmento orientado
--+
paralelo a DP e do mesmo comprimento, e escrevemos
u ={AÊ/A = (a,b,e) e B = (a+ uçb + U2,e + U3), V a,b,e E ~}
Quando A coincide com a origem D = (0,0,0) e P = (UI,U2,U3) respectivamente, dizemos
que u = (UI, U2,U3) é o vetar posição do ponto P.
~
AB
Definição (10.5)
A norma de um vetar u indicada por 11u 11, representa o comprimento da flecha.
Para vetares no plano, se u = (u I,UÚ
e para vetares no espaço, se u = (UI,U2,U3)
IIu II = J'U-=-T-+-L--:l~:-+-U-:-~
OPERAÇÕES COM VETORES
A soma e diferença entre vetares do plano e produto por escalares e E 1R1., são definidas da
seguinte forma:
se ~ u = (UI,U2) e v = (VI, V2), u + v = (UI + VI,U2"+ V2), u - v = (UI - VI,U2 - V2) e
eu = (CUI,eu2).
Para vetares no espaço, as definições são similares:
se U=(UI,U2,U3) e V=(VI,V2,V3),
u-V=(U\-V\,U2-V2,U3-V3) e cu= (eU\,eU2,cu3).
243
Ambas definições podem ser interpretadas geométricamente em termos das flechas
----+ -..
correspondentes. Se u = OP e v = OQ, para determinar a flecha que representa a soma u + v ,-..
transladamos paralelamente a flecha OQ de tal modo que seu ponto inicial coincida com P e
~ ----+
então se o ponto final é R ~ PR representará v; a flecha OR representa a soma u + v dos
vetores. Essa é a "regra do triângulo".
----+
Para a diferença u - v, a flecha QP representa um vetor w que, pela regra do triângulo,
--+
verifica u = v + w, logo QP representa a diferença dos vetores.
----+
Quando e é um escalar positivo o vetor eu é representado por uma flecha OS, onde S é um
----+
ponto que pertence à reta que contém a flecha OP, que aponta na mesma direção e sentido do
vetor u, e cuja norma verifica Ilcull= lei lIull. Quando o escalar e é negativo, o vetor eu
possui as mesmas propriedades anteriores mas aponta no sentido contrário ao sentido de u.
Também é definido um produto entre vetores, o "produto escalar" ou "produto interno":
para vetores no plano, se u = (UI, U2) e v = (VI, V2), definimos u . v = UI VI + U2V2
e para vetores no espaço, se u = (u I,U2, U3) e v = (v I,V2, vJ), definimos
u • v = UIVI + U2V2 + U3V3.
Observação (l0.6)
o produto escalar está definido entrevetores que têm o mesmo número de
componentes.
Observação (10.7)
Usando a lei do cosseno para triângulos, é fácil mostrar que se e denota o
----+ -..
menor ângulo O :S e :S tt entre as flechas u = OP e v = OQ, então
u • v = lIullllvll cos(e)
Observação e como consequência deduzimos a seguinte
Afirmação (10.8)
Os vetores u e v são perpendiculares (ou ortogonais) ~ u • v = O. Nesse
caso escrevemos u .1 v.
Deixamos para o leitor a verificação das seguintes propriedades para as operações definidas entre
vetores do plano, e vetores do espaço:
Teorema (10.9) Propriedades das Operações entre Vetores
Sejam u, v e w vetores e e, d escalares, então
1. U + v = v + u (propriedade comutativa da soma)
2. u +(v + w) = (u + v) + w (propriedade associativa da soma)
3. se O = (O, O), então u + O = 0+ u (existência do vetor "nulo")
4. dado u o vetor -u, cujas componentes são os opostos de cada componente de
244
u, verifica u + ( - u) = (-u) + u = O (existência do oposto de cada vetar)
5. eu =uc
6. (c + d)u = eu +du
7. c(du) =(cd)u
8. lu = u
9. u • v = vou
10. uo(v+w)=uov+uow
11. c(u ov) = (eu) ov = u o(cv)
12. uou=lIull2
A expressão ~~II = lIullcos(8) é chamada de projeção escalar de u sobre v : se os dois
vetares têm o mesmo ponto inicial 0, quando projetamos perpendicularmente a flecha que
representa u sobre a reta que contém v, a medida do segmento projetado OR é exatamente
~~II se O:::; 8:::; ~; se ~ < 8 :::;n, ~~II é o oposto da medida do segmento projetado
RO, como indicam as figuras abaixo
O<8<JL- - 2
p
Q
o
Q
245
Definição (10.10)
a O conjunto de todos os vetores de duas componentes, munido das operações de
soma, diferença, produto por escalares, e o produto escalar entre vetores que
verificam as propriedades do teorema anterior, é denotado por ~ 2 e chamado de
Espaço Euclideano Bidimensional.
b O conjunto de todos os vetores de três componentes, munido das operações de
soma, diferença, produto por escalares, e o produto escalar entre vetores que
verificam as propriedades do teorema anterior, é denotada por ~ 3 e chamado de
Espaço Euclideano Tridimensional.
PROJEÇÃO ORTOGONAL DE VETORES
Dados dois vetores u e v não nulos nem perpendiculares entre si, é necessário em certos casos
decompor u como a soma de um vetor paralelo a v e outro perpendicular a v. Vamos
descrever como fazer isso: a idéia é de projetar o vetor u sobre v calculando a projeção escalar
mencionada acima (que é um número real positivo ou negativo) e multiplicar esse valor por um
vetor de norma = 1, que tenha a mesma direção e sentido que v.
O vetor II~II é um múltiplo positivo de v e então tem o mesmo sentido de v e além disso
11 11~ 11 11 = ::: :: = l. O vetor projeção de u sobre v (também chamado de "projeção ortogonal
de u sobre v"), é denotado por prohu e está definido por
projvu =NH=Wv
O vetor w = u - projvu é ortogonal (ou perpendicular) a v pois
w v v== u·v-~v·v
IIvll2
=u.v-~lIvIl2
IIvll2
=0
Então a decomposição procurada é dada por
u = proju +(u - proj.u )
NORMALIZAÇÃO DE VETORES NÃO NULOS
Dado um veto r não nulo u, normalizar u significa determinar um vetar unitário (norma = 1) com
a mesma direção e sentido de u ; esse vetor é obtido fazendo o produto ~u, ou o quociente
_u_
Ilull
246
BASES DOS ESPAÇOS []{{2 E []{{3
No espaço IJII,.2 os vetares unitários na direção de cada eixo coordenado são utilizados para
expressar qualquer outro vetor de uma forma padronizada: se u = (u], U2) podemos escrever
u = (U],Uú = (u],O) + (0,U2) = u](l,O) + U2(0, 1)
então se i = (1,0) e j = (0,1), o vetor u pode ser escrito na forma
u = u] i+U2j
onde u] e U2 são as componentes de u.
Similarmente no espaço 1JII,.3, se u = (U],U2,U3),
u = (U],U2,U3) = (U],0,0)+(0,U2,0)+(0,0,U3)
= u](l,O,O) + U2(0, 1,0) + (0,0, 1)
e então se i = (1, O,O), j = (0,1, O) e k = (O,O,1), podemos escrever
u = u] i+ U2 j + U3 k
onde U], U2 e U3 são as componentes de u.
Os vetores {i=(l,O),j=(O,I)} formam uma base de
{i = (1, O, O), j = (O, 1, O), k = (0,0,1)} formam uma base de IJII,.3.
IJII,. 2 , e os vetores
COSSENOS DIRETORES DE UM VETaR NÃO NULO
Um vetor não nulo u E IJII,. 2 determina dois ângulos a e f3 com cada vetor unitário i e j da base
de IJII,. 2 respectivamente, e então costu) = ~~ If e cosCf3) = ~~11. Observando que se u =
(u], U2) então u - i é a primeira componente de u e similarmente u - j é a segunda
componente de U; temos
u= (u-i)i+(u-j)j
= Iluli[ ( ~~If } +( ~~11> ]
= [u] [cos(a) i +cos(f3) jJ
O vetor dentro do colchete é unitário pois coincide com 11~ 11 e suas componentes são chamadas
de cossenos diretores de u e os ângulos a e f3 são os ângulos de direção de u.
Da mesma forma, um vetor não nulo u E 1JII,.3 determina três ângulos a, f3 e y com cada vetor
unitário i, j e k da base de IJII,.3 respectivamente; os números u - i, u - j eu- k são as
d () u - i (f3) u - j () u - k E -componentes e u e cos a = M' cos = M ecos y = M' ntao
u= (u-i)i+(u-j)j+(u-k)k
= 11u 11[ ( ~ ~ If } + ( ~~ 11 ) j + ( li~Ir ) k ]
= 11u 11[cos(a) i +cos(f3) j +cos(y) kJ
O vetor no colchete coincide com 11~ 11 e resulta unitário. Suas componentes são os cossenos
diretores de u e os ângulos a, f3 e y são os ângulos de direção de u.
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EQUAÇÕES DE RETAS E PLANOS NO ESPAÇO
Uma reta no espaço está completamente determinada quando conhecemos sua direção e um
ponto dela. Suponhamos que a reta L é paralela ao vetor não nulo v = (a, b, c) e passa pelo ponto
-+
Pixc.y«; zo). Então se P(x,y, z) for um ponto qualquer da reta, o vetar PoP é paralelo a v
==> 3 um número real t tal que
-+
PoP = tv
-+
Recíprocamente, 'ri t E IR se o vetor PoP = tv => P E L, logo a reta é a coleção de todos os
-+
pontos P tais que PoP = tv com (E IR.
Das igualdades
(x - xo,y - yo,z - zo) = (a, b, c)
obtemos equivalentemente,
x = Xo + at
y = yo + bt
z = Zo + ct
Essas são as equações paramétricas de L e t é o parâmetro. Se r é o vetor posição do ponto P
-+
e ro é o vetor posição de Po temos PoP = r - ro, então P E L <=>
I r = ro + tv I
Essa última é a equação vetorial de L.
Quando todas as componentes do veto r v = (a, b, c) são não nulas, a partir das equações
paramétricas acima, isolando t nas três equações e igualando, obtemos as igualdades
x - Xo Y - yo z - Zo
a b =-c-
Essas são as equações simétricas da reta.
Um plano no espaço está totalmente determinado quando conhecemos as coordenadas de um
ponto Po(XO,YO, zo) do plano e as componentes de qualquer vetor perpendicular (ou normal) ao
-+
plano n = (a, b, c), então se P(x,y,z) é qualquer ponto do plano, o vetor PoP =
(x - XO,y - yo, Z - zo) é normal a n ==> usando a mesma notação anterior,
n .L r - ro <=> n . (r - ro) = O
logo,
a(x - xo) + b(y - YO) + c(z - zo) = O
que também se escreve na forma ax + by + cz + d = O.
Usando vetores de IR 2 e IR 3 podemos determinar fácilmente a distância de um ponto a uma reta
e a um plano:
EXEMPLO (10.11)
• Determinar a distância ds um ponto (xo,yo) a uma reta L no plano de êquação
Ax + By + C = O; as constantes A e B não são nulas simultâneamente.
Primeiro observamos que as constantes A e B têm a seguinte interpretação geométrica:
se um ponto P(XI ,YI) pertence a L e R(x,y) é um ponto qualquer de L e r I e r são
---+
os vetares posição desses pontos P e R respectivamente, r - r I = PR é um vetor
paralelo a L, e das equações Ax + By + C = O e Ax! + Byi + C = O obtemos
subtraindo ambos os membros,
248
A(x-xl) +B(y-YI) = o
Essa última equação pode ser considerada em termos de vetores, como um produto
escalar:
(A, B) • (r - r I) = O
então o vetor (A,B) é normal à reta.
Agora consideremos um ponto qualquer Q(XO,Yo) do plano, não pertencente a L;
usando o ponto P anterior observamos que a distância dentre Q e L coincide com a
norma do vetor w perpendicular a L cujo ponto inicial está em L e quetem o ponto~
final em Q. Esse vetor nada mais é do que a projeção ortogonal de PQ sobre
~
(A,B) => w = proj(A,B)PQ = ~I~A·,~'I~) (A,B) e então
IIwll = I(xo -XI,YO - YI)· (A,B)I =>
JA2 + B2
d = IAxo + Byo + CJ
JA2 + B2
pOIS -AxI - BYI = C
• Determinar a distância d de um ponto Q(XO,YO,zo) a um plano de equação
Ax + By + Cz + D = O. As constantes A, B e C não são nulas simultâneamente e o
vetor que tem essas componentes é normal ao plano. Neste caso usamos a mesma idéia:
consideramos o ponto do plano P(XI,YI,ZI), e então se w denota o vetor com ponto
inicial no plano e que vai até o ponto Q e tal que w é 1.. ao plano, teremos que
d= IIwll e
~
w = proJ'(A,B,C)PQ = PQ. (A,B, C) (A B C)
II(A,B,C)f " .
A norma de'w é dada por
Ilwll = I(xo- xl,yo - YI,zo - ZI) • (A,B, C)I =>
JA2 + B2 + C2
d = IAxo + Byo + Czo + DI
JA2 + B2 + C2
pois -Axl - BYI - CZ1 = D.
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• Se uma reta L for paralela a um plano, para determinar a distância de L a esse plano,
basta calcular a distância de um ponto qualquer da reta ao plano, usando a fórmula obtida
na 23 parte.
PRODUTO VETORIAL
Em vários problemas de geometria espacial é necessário determinar um vetor que seja normal a
outros dois vetores dados, não paralelos entre si. Isso pode ser feito usando o produto escalar:
sejam (a, b, c) e (c, d, e) dois vetores dados não nulos e não paralelos no espaço, então o vetor
(x,y,z) será ortogonal a ambos ~
(a,b,c) • (x,y,z) = O
(d,e,/) • (x,y,z) = O
ou equivalentemente ~
ax+ by+ cz = O
dx+ey+ fz = O
Esse é um sistema linear de 2 equações com 3 incógnitas x,y e z, que sempre possui infinitas
soluções.
o produto veto ria I de vetores de lRl. 3 fornece um cálculo mais direto para determinar um vetor
normal a u e v :
Definição (10.12)
Dados dois vetores no espaço, u = (UI, U2, U3) e v = (VI, V2, V3), o produto
vetorial w = u x v é definido por
u x v = (U2V3 - U3V2,U3VI - UIV3,UIV2 - U2VI)
Essa definição pode ser lembrada mais fácilmente usando formalmente a regra de Laplace para o
cálculo de determinantes de 3x3 aplicada quando a 1a linha é formada pelos vetores unitários i,
j e k, a 2a linha é formada pelas componentes de u e a 3a linha é formada pelas componentes
de v,
j k
UI U2 U3 = (U2V3 - U3V2) i- (UI V3 - U3VI) j +(UI V2 - U2VI) k
Da definição seguem as seguintes propriedades do produto vetorial
Teorema (10.13)
1.
2.
3.
4.
5.
u x v = -v x u
u xCv + w) = u x v + u x w
u xCv x w) = (u • w)v -eu • v)w
u x O = O
e(u x v) = (eu) x v = u x (ev) , e escalar
250
6. u • (u x v) = (u x v) • u = O e V· (u x v) = (u x v) • v = O
Da parte 6 deduzimos que u x v é ortogonal a u e v.
Teorema (10.14)
Se e é o ângulo entre os vetores não nulos u e v,
1\ u x v 11=11u 11\1v 11sen(e)
Prova
Sejam u = (Ul, U2, U3) e v = (VI, V2, V3) ~
u x V 112 = (U2V3 - U3V2)2 + (UIV3 - U3Vl)2 + (UIV2 - U2Vl)2
(ut + U~ + uO(VT + V~ + v~) - (UIVl + U2V2 + U3V3)2
11u 11211V 112- (u • v) 2
lIull211vll2 -lluI12I1vI12cos2(e)
lIuIl2I1vIl2(I-cos2(e))
IIull211vll2 sen2(e)
Para finalizar, basta calcular a raiz quadrada nos dois membros e observar que
Jsen2(e) = sen(8), pois sen(8) ~ O para e E [O,n]..
EXEMPLO (10.15)
Complementando as fórmulas determinadas no Exemplo (11.11), calculamos a distância de um
ponto Q a uma reta L no espaço:
suponhamos que a reta passa por dois pontos quaisquer P e R, então com a mesma idéia
-----) -----7
daquele exemplo, se d denota a distância entre Q e L e e é o ângulo entre os vetores PQ e PR,
----+
d = IIPQI\ sen(O)
----+ -----7
IIPQIIIIPRII sen(e)
-----7
IIPRII
----+ -----7
IIPQ x PRII
-----7
IIPRII
EXEMPLO (10.16)
Neste exemplo mostramos que dadas duas retas reversas, ou seja duas retas que não são paralelas
entre si nem se intersectarn, existem planos paralelos distintos contendo cada reta.
Sejam LI e L2 duas retas de equação vetorial
LI (x,y,z) = (Xl,Yl,Zl) + lvI, VI *- O
L2 : (x,y,z) = (X2,Y2,Z2) + Lv2, V2 *- O
O produto vetorial w = VI x V2 é um veto r normal às duas retas ~ w tem a direção normal
aos dois planos que procuramos, e então as equações vetoriais dos planos são
251
(X-XI,Y-YI,Z-ZI) ow=O
(x - X2,y - Y2, Z - ZÚ o W = o
Este exemplo permite calcular a distância entre duas retas reversas: 10 determinamos uma das
equações dos planos anteriores que contém uma das retas e depois tomamos um ponto da outra
reta e calculamos a distância entre esse ponto e o plano cuja equação foi determinada
anteriormente.
EXEMPLO (10.17)
A distância entre dois planos paralelos é calculada da seguinte forma: sendo os planos paralelos
os vetares normais são paralelos e então se as equações dos planos são
ax + by + cz + d = O
Ax + By + Cz + D = O
os vetares normais (A, B, C) e (a, b, c) verificam a condição
(A,B,C) = k(a,b,c)
para alguma constante k E ~, logo dividindo por k a 23 equação podemos escrever as equações
na forma
ax + by + cz + d = O
ax + by + cz + d' = O
onde d' = f. Seja (xl,YI,zl) um ponto do 10 plano e 8 a distância entre os planos
~ aXI + bYI + CZI + d = O e
8 = lax I + by I + cz I + d' I
ja2 + b2 + c2
Id-d'l
252