Lista de exercícios - Cálculo I
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Lista de exercícios - Cálculo I

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EXERCíCIOS
PROBLEMAS SOBRE NÚMEROS REAIS
Calcule uma aproximação de /5 usando o argumento dos "babilônios" no Exemplo (1.1 ),e
determine quantos termos é necessário calcular para obter uma aproximação de /5 com 8 e
com 12 casas decimais exatas (com 15 casas decimais exatas /5 ;::::;2,236.067.977.499.789)
Mostrar que se o e b são racionais, 0+ b, 0- b, ab, b (b "* O) e ~ (0"* O) são racionais
[Sugestão: escreva o e b corno quociente de inteiros e mostre que 0+ b, 0- b, ab, b (b "* O)
e ~ (o "* O), também são quocientes de inteiros).
Mostrar que se o é racional e b é irracional, então 0+ b, 0- b, ab, b e ~ (com
denominadores não nulos) são irracionais [Sugestão: raciocinar por contradição supondo que
cada número é racional (ou seja quociente de inteiros) e mostrar em cada caso que b resulta
racional).
Em geral, a soma, diferença, produto e quociente de números irracionais pode ser um racional
ou um irracional: se o = /5, e b = I - J5, ambos irracionais, o + b = I (racional) e se
o = J2 - 1 e b = J2 + I, ambos irracionais, 0+ b = 2J2 é irracional. Dar outros exemplos
similares para mostrar que o - b, ab e b' podem ser racionais ou irracionais.
4. Mostrar que entre dois números reais :3 infmitos números racionais e também :3 infrnitos
números irracionais .[Sugestão: usar o argumento utilizado no Exemplo (1.3) na 23 solução
para provar a primeira parte. Para a segunda, repita um argumento similar com o número I!
em lugar de À].
5. Problema para pensar: se x + y = 1, e x2 +y2 = 4, qual é o valor de x3 + y3 e de x4 + y4 ?
1.
2.
3.
PROBLEMAS SOBRE RETAS
1. Se o intercepto-x de uma reta for O, o que se pode afirmar sobre o outro intercepto?
2 O que se pode afirmar sobre qualquer reta cujos interceptas são iguais? Esboce uma figura.
3 O que se pode afirmar sobre qualquer reta cujos interceptas são não nulos e iguais em valor
absoluto mas de sinais contrários? Esboce uma figura.
4 Suponha que duas retas têm o mesmo intercepto-y, mas suas inclinações são distintas. Podem
ocorrer que seus interceptos-x sejam iguais? Qual é a única forma em que isso ocorre?
5 Determine a equação da reta que tem a propriedade dada. Escreva a resposta na forma geral
ou na forma ponto-inclinação.
a inclinação = 3 ; passa pelo ponto (-2,3)
b intercepto-x = 2; intercepto-y = -1
c paralela à reta y = 2x - I ; passa pelo ponto (-I, I)
d perpendicular à reta x - 2y + I = O; passa por (O,O)
e perpendicular à reta x = -2 ; passa pelo ponto (2,-I)
f perpendicular à reta y = -I ;passa pelo ponto (I, O)
6. Mostrar que se f é uma função linear do tipo j{x) = mx + n, com m"* O, então
j{a) - j{b) = a - b se c"* d. Use esse fato para determinar um número c tal que
j{c)-j{d) c-d
j{3)-j{-2) =j{c)-j{l). ~I
7. A equação px +y + 4 = O, onde p é uma constante real qualquer, determina uma família de
retas (uma para cada valor de p). Esboce o gráfico das retas dessa família para p = -2, p = 1
e p = 4. O que essas três retas têm em comun ? O que todas as retas dessa família têm em
comun ? [Sugestão: reescreva a equação da família na forma ponto-inclinação ].
8. Repita o mesmo problema para a família de retas x +py + 4 = O
9. As retas x + 2y = 1, e 3x -y = O se cortam ? Em caso afirmativo determinar o ponto de
interseção.
10. Estudamos em Física que um objeto se desloca com movimento retilíneo uniforme quando o
movimento de desenvolve ao longo de uma reta, e as distâncias percorridas em intervalos de
tempo iguais são iguais. Para esse tipo de movimento vale a equação s = vt + so, onde s é a
distância percorrida no intervalo de tempo [O,t], v é uma constante (chamada velocidade do
objeto), e So denota a posição inicial do objeto quando 1 = O.
Suponha que você está caminhando paralelamente a uma linha férrea a uma velocidade de 47: . Um trem se aproxima na mesma direção a uma velocidade constante de 30 7: e
necessita 5 s (segundos) para ultrapassá-Io (são 5 s a partir do instante em que o início da
locomotiva se encontra alinhado com você, até que o final do último vagão também está
alinhado com você). Qual é o comprimento total do trem?
11. Em uma corrida de 100 m com velocidade constante, João cruza a linha de chegada 5 m a
frente de Pedro. Pedro sugere repetir a corrida mas desta vez pede para o João começar 5 m
antes da linha de partida.
a Supondo que eles correm à mesma velocidade da Ia corrida, pode ocorrer que cheguem
juntos no final ?
b . Caso contrário, quem ganha?
c Com quantos metros de vantagem chegará o vencedor?
d .' Quantos metros antes da linha de partida deverá começar João para garantir que os dois
chegam juntos no final ?
e Se agora Pedro inicia a corrida 5 m à frente de João responda as mesmas perguntas
(modifique apropriadamente a pergunta d).
[Sugestão: para a, sejam v, e V2 as velocidades de João e Pedro respectivamente, e 10 o
tempo que João demora em chegar na linha de chegada na Ia corrida; se t, denota o
tempo que demora João em completar a 23 corrida, qual distância percorreu Pedro nesse
tempo ? Para d, se João começa a corrida s metros antes da linha de partida e os dois
chegam juntos no final, então valem as equações (100 + s) = v, t: e 100 = V2t2. Tente
agora determinar s].
Algumas respostas: 5(b) : y = ~ - I ; 5(c) : y = 2x + 3 ; 8 : todas as retas do plano que passam
pelo ponto (-4,0), exceto a horizontal. ; 9 : (t,~)é o ponto de interseção; 10 : 36,11 m, 11(a) :
não, 11(c): 0,25 m ; 11(d):;:::: 5,26 m.
2
.,
PROBLEMAS SOBRE CIRCUNFERÊNCIAS E PARÁBOLAS
1. Dada uma reta de equação 4x + 2y + 1 = O e o ponto P(3,4) , não pertencente à reta,
determinar a equação da circunferência com centro em P , tangente à reta. Faça um esboço da
reta e marque o ponto P .
2. Dada a equação x2 - 4x +y2 - 6y + 9 = O, mostrar que seu gráfico é uma circunferência
determinando o centro e o raio [Sugestão: completar quadrados].
3. Determinar as equações das circunferências que verificam a condição especificada :
a. centro no ponto (2, 1) e .tangente ao eixo x
b. centro no ponto (5,3) e tangente à reta x = 2
c. centro na reta x +y = 1e passa por (-2, I ) e (-4,3)
4. Esboce o gráfico das parábolas. de equação y = x2 + cx + 1, para c = 1, c = 2 e c = 3
completando quadrados em cada uma das equações que aparecem e aplicando translações
horizontais e verticais a partir do gráfico de y = x2\u2022 Qual padrão observa nesses gráficos ?
Como serão os gráficos se c continua aumentando? [Sugestão: para dar uma resposta geral,
complete quadrados na equação da família]
5. Esboce o gráfico da família de parábolas de equação y = cx2 + X + 1, para c = 1, c = 2 e
c = 3, e repita o problema anterior.
2
6. Dada a parábola de equação y = ~p e um número real m, determinar a equação da reta de
inclinação m que é tangente à parábola. Para o caso da parábola y = 4x2, determine a reta
tangente de inclinação 4 e esboce os dois gráficos [Sugestão:' se a reta tem equação
2
y = mx + n, então ~p = mx + n tem uma única solução x correspondente a um único ponto
de tangência; a partir daí obter o valor de n].
7. Determine a equação da parábola que tem diretriz y = 3 e foco F(0,-5). Faça um esboço.
B. Mesmo problema com diretriz x = -4 e foco F(2,3)
x- I \ \ - ., I ,( , I
r-
"- -'-'\ -
-,
PROBLEMAS SOBRE FUNÇÕES
1. Determinar as funçõesJ + g ,J - g ,Jg e ~ e seus domínios:
a j(x) = JT+X ;g(x) = ~
b j(x) = J9 -x2 ,g(x) = Jx2-1
C j(x) = x II ,g(x) = x ~ I
Determinar as funçõesJ o g, g oJ,Jo J, e g o g e seus domínios:
a j(x) = l 'g(x) = x3 + 2x
b j(x) = _1_ ,g(x) = x--I
x-I x+I
2.
3. Expressar as funções na forma de uma composição de duas ou mais funções (neste problema
podem haver várias respostas corretas):
F(x) = ;2 ,G(x) = JI + IX , H(x) = J x I
x +4 x+
Mostrar que o gráfico da função racional F(x) = 3x2 + 3~ - 6, é a reta de equação
x+
y = 3(x - I) com um ponto excluido. [Sugestão: