Lista de Exercícios - Cálculo

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b.
a; = {ã, a> O.
a; = g, a > O e k E N fixo.
an = lii+T - JYi [multiplicar e dividir por Jn+f + rnJ
6n4 + 3n2 + 2n + 1an =
n4 +n+24
aknk + ak_lnk-1 + ... + aln + aoa; = ak e bk não nulos
bknk + bk_1nk-1 + + b çn + bo '
a" = ~(12 +22 +32 + +n2)
n~
Determinar um número natural N tal que se L denota o
IJn+f - rn - L I < 160 V n ? N.
"S'\o /
~ ')':.
dr/-V' 7~?
r \~,.?"Qe-ll
OR\GlNAl DA pÁ~lÂ
. } 50 tavor devo\"'"bOlo uSO.
PROBLEMAS SOBRE SEQUÊNCIAS
1. .Calcular os limites das expressões seguintes
a.
c.
d.
e.
f.
2. limite. ~de 1 c,
3. Determinar um número natural N tal que .se L denota o limite de 1 d,
1
6n4 + 3n2 + 2n + 1 _ L I < _1_ V n > N.
n4 + n + 24 1000-
4. Mostrar que lim( (.rn+T - rn) Jn + 1 ) = 1·Porque não pode aplicar a lei do produto
de limites?
5. Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [a,b J e sejam x, = a + .P ;; a i,
i = 0,1, ... .n, Os pontos {Xi}:O formam uma subdivisão do intervalo [a, b] cuja norma é
~. Se ~x = ~ considere as duas sequências
an =j(xo)Ax+j(xl)Ax+ "0 +j(xn-I)Ax (e
Deduza que
lima" = lim õ , = r.ttx)dx
a
[Aplicar o TFC].
6. Aplicar as conclusões do problema anterior para verificar os resultados seguintes:
. (12 22 n2 ) Ia. 11m -;;J + -;;J + ... + -;;J = 3'
b. lim(_I- + _1- + ... + _1_) = ln(2) [multiplicar e dividir por n e reescrevern+ 1 n+2 n-v n
_n_ = 1 ]
n+k 1+.K.
n
c. lim ( 2 n 2 + ? n 2 + ... + 2 n 2) = .lI..
n + 1 n- + 2 n + n 4 .
33
7. A partir do limite lirn ( 1+ }, ) n = e, mostrar que
a. lim ( 1+ }, ) 2n = e2.
b. lim(l + ~2r = e.
c. lim( 1+ ~2 ) n = 1. [observar que lim( 1 + ~2 ) n
2
= e => se
valem as desigualdades e-I < a; < e + 1
~e-l < ~ < ~e+ 1]
d. lim( 1+ 4~ ) n = re.
e. lim ( 1 _ ~ ) n = e-3•
f. limei + ~}n = e", \j a E~.
Mostrar que se O < a < b, lim(ir-a"""n-+---:-b""'"n)= b. [veja o exemplo (9.13) fdas notas].
Mostrarque lim( 1 + 1 + ... + 1 ) = 1.
Jn2 + 1 Jn2 + 2 Jn2 + n
Mostrar que lim(_l- + 1 + ... + 1 ) = O.
n2 (n + 1)2 (n + n)2
Calcular limzr, se existir ou justificar porque não existe em cada caso
a. an = sen(~)
b. an = n sen( {n )
c. an = n(_l)n
ln(n)d. a; = --5-' (j > O qualquer.
n
e. a; = e:, k E N qualquer.
n
I
f. a; =n n+1 [usar que limm = 1 e aplicar o teorema (9.12)]
g. a; = 2 + ( ~ ) n
8.
9.
10.
11.
12.
h. a.; = (-1r 2 n 1
n +
i. a; = tg :' (3n)
j. a; = tg-I( 4n4~ I )
Mostrar que se {a2n} tiver o mesmo limite que {a2n+I}, então
lim a, = lima2n = lima2n+1 [esta afirmação vale inclusive quando os limites são infinitos]
Mostrar que as sequências são monótonas. O que se pode afirmar sobre o limite de cada uma?
[provar a desigualdade an:S an+l, ou a«> an+1 é equivalente a provar a;-I ::: 1 ou
a n
~: I :s 1 respectivamente]
1·3·S···(2n- 1)a. an = ------''----......:....
2·4·6···(2n)
b. a; = -\- 2·4·6···(2n)
n 1·3·S···(2n-l)
13.
34
~,,"-,,'.,-- ---"~--'-""""-~-~--'~----~':"'- ~_ ----~-----_ .._. ------------. ----_._--~-
\
\
\.
1 ( 2'4'6"'(2n) ) 2
a; = n 1'3'5"'(2n-1)
aI = ti, az = J2tI, a3 = J2J2tI ,..., an+l = J2an V n ~ 1. [usar o
principio de indução completa].
14. Se a> 0, aI = ra, az = Jra-+-ra-a-, an+1 = Ja + an V n > 1. [use o TPF com
j(x) = Ja + x (qual é o ponto fixo daf?) e observe que no intervalo [1,00), ° </(x) < 1].
15. Se aI = 1 e an+1= j (a; +4~, mostrar que {an} é crescente e a.; < 2. Deduzir que
{an} é convergente e calcular o limite [defma uma função f associada à sequência .{an}
como no problema anterior, esboce o gráfico dafe deduza as propriedades enunciadas].
16. Seja aI = b, a2 = j(b), a3 = j(j{b», an+1 = j(an), onde f é uma função contínua.
Mostrar que se lima; = I então j(1) = I. Aplicar ao caso j(x) = cos(x), b = 1. Use uma
calculadora científica para determinar o valor de I com 4 casas decimais de precisão
calculando as aproximações a; até o menor valor de n para o qual an+1 tem as primeiras 5
casas decimais coincidentes com as de ano
17. Mostrar que o método de Newton para calcular o recíproco de um número a fornece a fórmula
Xn+1 = 2xn -ax~ [usar a função j(x) = l-a; veja (9.17) e (9.18)]. A vantagem dessa
fórmula de recorrência é que permite aproximações de -} por meio de somas e produtos, duas
operações simples de implementar em calculadoras e computadores sem usar o algoritmo de
divisão. .
1a. Use os gráficos das funções y = 3 - 1 e y = x exibidos abaixo para mostrar que a
sequência defmida recursivamente por
aI = 0,5 e an+1 = 3 - cL V n ~ I,
converge e calcule seu limite. [use o gráfico para mostrar que {an} é monótona e limitada]
c. \\,
d.
3
1.5 2 2.5 3
x
2.5
2
y 1.5
0.5
o
35
PROBLEMAS SOBRE SÉRIES
1.
2.
3.
4.
~ 7J
jAs séries seguintes convergem? Justificar
a I + I ~_1_+_1_~\ ...
. 2000 2200 2400 2600 <;
b. ~:o ( (1,0601 )n + (1,0001 r)
"00 1 'Í\ -, r -, c,' Dc. L..In=1In(2n) 'J -
1 rI =:: \1~:IIn(2n2) lJ'orJJ 01 .;
e. ~:..ocos(n~ )rv ""t.
f. ~:'Iln( 1 + À )v [1 + À = n ~ 1 ; 'dJerminar as somas parciais Sn]
Aplicar os testes do quociente e da raiz às series-p com p = 1 (série divergente) e
p = 2 (série convergente), para mostrar que quando L = 1, nada se pode concluir em
geral sobre a convergência ou divergência de uma série.
Determinar se as séries convergem
1::1( n : 1 ) n "~i
~:'1n3 +n~OOO -.
"00 4n1OOOe- 3n2718,4+ n + 1
L..In-1 lOOOe2
3n2OOO + 5n2719,4 + 2n 2,7171,,00 n "
L..In-2 n2 - 1 "-"j
l::'1 1010~+ 10 T!L l-- Ã1
~:I l:~, 8 > O qualquer [usar o problema lld sobre sequências, para
mostrar que para qualqu~r r > O, ln(n) < nT a partir de um índice N em diante]
g. l:~ (ln(ln(!»)ln(n) ~ [usar..d mesmo artificio do Exemplo (8.33)d]
h. ~:'l sene À) {mostrar que sen(x) ~ ix se x E[O, ~ J]
Toda expansão decimal infinita do tipo m,ala2 ... an ••• , onde m é um número inteiro e
os an assumem qualquer valor inteiro O ~ an ~ 9, é associada a um único número real
d' da sé . aI a2 a3 _ "00 an M' .r on e r e a soma a sene m + 10 + 100 + 1000 + ... - m + L..In-1 IOn' ostrar
que qualquer série desse tipo converge. Nesse caso identificamos a expansão decimal
com a soma da série convergente
r:
~. II
d.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
co
m,ala2··· an··· = m + ~ ~ôn = r
n-I
e dizemos que m,ala2 ... a; ... é a expansão decimal de r.
5. Quando f é uma função contínua, positiva e decrescente, se Un = f(n), observamos no
teorema sobre o teste da integral que
UI + U2 + ... + Un ~ J~lf(x)dx
Use essa desigualdade para Un = À e f(x) = 1, para mostrar que se Sn denota a
soma parcial n-ésima da série harmônica (lembre que {Sn} não tem cota superior),
então Sn ~ 20 se n ~ 485.165.196. Quantos termos seria necessário somar para que a
soma Sn > 100, ou > 1000 ? Por causa disso, dizemos que a série harmônica diverge
31
lentamente.
g.
a.
6.
b.
c.
d.
e.
7.
b.
c.
d. I I i
/ ce.
f.
h. /
\
"--
i.
j.
k.
8. Determine se a afirmação for verdadeira ou falsa; se for falsa explique porque ou dê um
exemplo que prove sua falsidade. Se for verdadeira explique porque.
a. Toda série condicionalmente convergente é convergente.
b. Toda série absolutamente convergente é convergente. -.(
c. Toda série alternada convergente é condicionalmente convergente. ~
d. Toda série convergente é absolutamente convergente. AJ
e. Se as séries 2::-1 Un e 2::-1 Vn divergem então 2::-1 {Un + vn} diverge.
f. Se 2::-1Iun I diverge então 2::'1 Un converge condicionalmente.
g. Suponha que Un > O 'V n ~ N, e que 2::-1 Un converge. Então a série converge
condicionalmente.
h. Toda série alternada converge.
I. Se 0:5 Un :5 Vn para todo n a partir de um índice e se 2::-1 Vn diverge, então2::-1 Un diverge.
j. Se L::-1Iun I diverge então L::-1 Un diverge. J
k. Se b« > O e 2::1 b; converge então 2::1(-l)nbn converge
I. Se Un > O e lim U';:1 < 1 então Iímu, = O. 0
32
PROBLEMAS SOBRE SÉRIES DE POTÊNCIAS
C9 Determinar os intervalosde convergência das séries seguintes da forma L:c.x" onde
a C - .L• n - n
b. Cn = n
c. Cn = (m - l)n
d. Cn = 11n(n + 1)
e. Cn = _1_m
f. Cn = m
g. c-In - 1n(1n(n»
h. c = _1_n m
i. Cn = b", b constante real.
j. Cn = bJii, b constante real.
k. Cn = bln(n) , b constante real.
I. Cn = _1_1-
nl+"jj"
Se as séries de potências de x, L::.o c-x" e L:::.odnxn, têm raios não nulos PI e P2
respectivamente, o que se pode afirmar sobre o raio de convergência da soma das séries
L::O(cn + dn)xn ?
Determinar o raio de convergência P das séries
L:oo n +m xna. n-2 n2 _ n
b. L::1(ln + (_~)n )xn
4. Expandir em séries de potências de x as funções seguintes usando expansões
conhecidas, substituições apropriadas e identidades:
1+ cos(2x)
a. cos2(x) [cos2(x) = 2 ]
2.
b. sen4(x)
x+ln(l-x)c.
5.
x2
d. sen" (x3)
e. Ir, b constantepositiva, b * 1
Aproximar os valores das seguintes integrais com 3 casas decimais de precisao,
expandindo os integrandos em séries de potências de x e integrando (observar que as
primitivas não podem ser escritas em termos de funções elementares):
fi sen(x) dxa. o x
f+ 1n(1 +x2) dxb. o x
f ~ dxc. o Jl +x5
6. Multiplicando séries de potências de x, obter as expansões das funções seguintes, até o
termo x4 de grau 4:
a. eXsen(x)
33
7.
8.
9.
10.
11.
b.
-Isen (x).n::x
In2(l +x)
sen2(x)
c.
d.
Se a série de potências ~:ocn (x - xo) n converge somente V x tal que -11 ~ x < 7,
qual é o raio de convergência e o valor de Xo? -: <'
Suponha que a série de potências I::-o c.x" converge somente se -3 ~ x < 3.
a. explicar porque a série ~:=Ocn(x - Z)" tem raio de convergência 3.
b. mostrar que o intervalo de convergência de ~:ocn(x + l )" é [-4,2).
c. qual é o intervalo de convergência de ~:-o cn(x - l)"?
Mostrar que e é irracional justificando as seguintes afirmações e usando a expansão
e" =~:ox~ válida V x E ~ : .
n.
Justificar porque e = ~~-o + + ( é1), com O < c < 1. Suponhamos que e:J J. n+ .
.seja racional ~ e = ~ com p e q inteiros positivos; se n > q mostrar que
,P ln.7j E .
~ . n' n' é dEntao n!e = 2n! + ~i + ... +n + n + 1; sen o O < c < I, ~ e" < e < 3.
Mostrar que O < n~ I < I
eC
n+1
a.
b.
c. deve ser um número natural. Isso contradiz a conclusãoMostrar então que
da parte b.
Mostre que cos( I) é irracional supondo que cos( 1) =~ e usando que
2 4"~ < :-1'2q+2cos(x) = 1 - .L. + .L. - ...+ _x_•••_ + R2q+l onde IR I ~- V x E ~.
2! 4! (2q)! ' _ 2q+l - (2q + 2)!
[como no problema anterior, trabalhar com a expressão (2q + I)! cos(1)].
Para determinar a série de potências de (x-xo) para a função cos(x), basta escrever
cos(x) = cos«x - xo) + xo) = cos(x - xo) cos(xo) - sen(x - xo) sen(xo) e usar que
( ) _ ~oo (_I)n 2n ( ) _ ~oo (_l)n 2n+l ílid '-' dcos Z - LJ"..o (2n)! z e sen z - LJ"..o (2n + I)! z va 1 os v Z on e
Z = X-Xo. Então
( ) _ ~ (-I)ncos(xo) ( )2n ~ (-l)
nsen(xo) ( )2n+1
cos X -.;:; (2n)! X-Xo - ~ (2n+ I)! x-xo
onde ambas as séries têm raio 00 e portanto a soma das séries também tem raio 00.
Para outras funções, idéias similares e propriedades dessas funções permitem determinar
as correspondentes séries de potências. Aplicar para as funções seguintes nos pontos Xo
indicados e determinar os raios de convergência:
a. cos(x) , xo = :
b. cos(x), Xo = - ;
c. sen(x), Xo= 1r
d. sen(x), Xo= 21r
e. ln(x) , xc = 2 [ln(x) = ln(2+(x-2» = ln{2(1 + x22)} =
In(2) + ln( I + x 22 ); pondo u = x 2 2, usar a série de potências de u de
ln( 1 + u) com raio p = I, substituindo u por x - 2 .]
2
f. 1n(x), Xo * O qualquer [escrever x = xo + (x - xo) = xo( 1 + x ~:O) e usar a
34
PROBLEMAS SOBRE SÉRIES
1. As séries seguintes convergem? Justificar
1 1 1 1
a. 2000 + 2200 + 2400 + 2600 + ...
b ~C() (1 (1 0001)n)
• ~n={) (1, 0001)n + ,
c. 2::1 lnAn)
d. ~:=Iln(~n2)
e. ~~cos(n~)
f. ~~ ln( 1 + À) [1 + À = n ~ 1 ; usar uma propriedade do logaritmo]
2. Usar a parte f do problema anterior e os gráficos de y = x e y = ln(1 + x), para mostrar que
a série harmônica ~:I À diverge.
3. Aplicar os testes do quociente e da raiz às series-p com p = 1 (série divergente) e p = 2
(série convergente), para mostrar que quando L = 1, nada se pode concluir em geral sobre a
convergência ou divergência de uma série.
4. Determinar se as séries convergem
a. ~:I(n ~ 1 ) n
~C() n3
b. n=1 n3 + 1000
c. A série-p converge quando p > 1; o que ocorre com a série ~:I 1 1 onde os
nl+n
expoentes 1+ À são maiores do que 1 porém decrescem para 1 quando n ~ 00 ?
[comparar com a série harmônica].
~C() 4n1OOOe- 3n2718,4 + n + 1
d. "'-.J n=1 l000e2
3n2000 + 5n2719,4 + 2n 2,7171
e. ~:ln2~ 1
f. ~:\ 10IO~+10
g. ~:\ ~~:J,õ > O qualquer [usar o problema 11 d sobre sequências, para mostrar
que para qualquer r > O, ln(n) < nY a partir de um índice N em diante]
h. ~C() 2 1 ( () [usar o mesmo artifício do exemplo (9.34)d]
n= (ln(ln(n»))nn
i. ~:\ sen( À) [mostrar que sen(x) ~ ~ x se x E [O, ~ J]
5. Provar que se l::1 u~ e L::, v~ são convergentes, a série L::, u;v; converge
absolutamente. [observar que 'i par de números x e y vale a desigualdade
x2 +y2
O:S (X_y)2 = x2 +y2 -2xy ~ lxYl:S 2 ]
6.. Toda expansão decimal infinita do tipo m.aça-. ... a; ... , onde m é um número inteiro e os
a; assumem qualquer valor inteiro O :s an ::::9, é associada a um único número real r onde
, da sé . a( az a3 ~C() a; M Ir e a soma a sene m + 10 + 100 + 1000 + ... = m + ~n=l l O"" ostrar que qua quer
36
série desse tipo converge. Nesse caso identificamos a expansão decimal com a soma da série
convergente .
C()
~ 071m,olo2···0n·.·= m +~ 1071
n='
e dizemos que m, o 102 ... 071'.' é a expansão decimal de r.
7. Quando f é uma função contínua, positiva e decrescente, se Un= j(n), observamos no
teorema sobre o teste da integral que
J
n+1
UI + U2 + ... + u; 2: 1 j(x)dx
Use essa desigualdade para u; = ~ e j(x) = i, para mostrar que se S; denota a soma
parcial n-ésima da série harmônica (lembre que {Sn} não tem cota superior), então S» 2: 20
se n 2: 485.165.196. Quantos termos seria necessário somar para que a soma S; > 100, ou
> 1000? Por causa disso, dizemos que a série harmônica diverge lentamente.
Mostrar que o teste do quociente não pode ser usado para testar a convergência da série~:I2n+~-I)n • Use o teste da raiz para provar que a série converge.
M tr ,. ~ C() nn Q I' 1· nn?os ar que a sene "'-.Jn=1 (2n)! converge. ua e o n~ (2n)! ..
Estimar os restos n-ésimos de cada série aplicando as estimativas obtidas em (9.36):
C() (_1)71+1
~n=1 n2
~oo 1
"'-.J n= 1 nr·
~C() 1
"'-.J n= 1 nn·
~C() 1
"'-.J n= 1 -,;r-.
~oo n
"'-.J 71= 1 271
Determinar quais séries convergem absolutamente, condicionalmente ou divergem
~:2(-1)n ln~n)
~C() 2(-1)71 ln(~) , c > O
n= n
L:2(-l)n lnCn)
~C() (1)71 n
"'-.Jn=1 n + 1
~C() (-1)71 n
n=1 n2 + 1
~C() (_1)71 n
"'-.J n= 1 n jii + 2
~C() cos(n)
n=l n3
~C() (-1)71 cos3(n)
n=1 n3
E:,(-l)nln( ~)
~C() (_1)71_1_
n=1 2*
r::,(_1)71 ln(m)
8.
9.
10.
a.
b.
c.
d.
e.
11.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
37
12. Determine se a afirmação for verdadeira ou falsa; se for falsa explique porque ou dê um
exemplo que prove sua falsidade. Se for verdadeira explique porque. .
a. Toda série condicionalmente convergente é convergente.
b. Toda série absolutamente convergente é convergente.
c. Toda série alternada convergente é condicionalmente convergente.
d. Toda série convergente é absolutamente convergente.
e. Se as séries r::! u; e r::! Vn divergem então r::! {un + vn} diverge.
f. Se ~:, IUn I diverge então 1::,Un converge condicionalmente.
g. Suponha que u; > O V n 2:N, e que r::j u.; converge. Então a série converge
condicionalmente.
h. Toda série alternada converge.
i. Se 0:'5 u; :'5Vn para todo n a partir de um índice e se ~:, Vn diverge, entãor::1u; diverge.
j. Se I::llunI diverge então 1::1Un diverge.k. Se b; > O e r::1b; converge então r::1(-l)nbn converge
I. Se Un > O e lim U;:;'l < 1 então limu, = o.
38
.,,
ser escritas em termos de funções elementares):
JI sen(x) dxa. o x
J I ln(1 + x
2) dx
b. o x
f+ dxc. o JI +x5
d. tO dx [sugestão: fazer a substituição u = i].
5 Jl +x4
9.
Multiplicando séries de potências de x, obter as expansões das funções seguintes, até o termo
x4 de grau 4:
a. e+seníx)
-[sen (x)
Jl-x
c. ln2(1 +x)
d. sen+(x)
Se a série de potências I::Ocn(x-xor converge somente v x tal que -11::=:x < 7, qual é
o raio de convergência e o valor de Xo ?
Suponha que a série de potências I::oc.x" converge somente se -3 :s x < 3.
a. explicar porque a série I::O cn(x - 2r tem raio de convergência 3.
b. mostrar que o intervalo de convergência de I:~cn(x + 1r é [-4,2)
c. qual é o intervalo de convergência de I::O cn(x - l )" ?
Mostrar que e é irracional justificando as seguintes afirmações e usando a expansão
e' = I::O ~~ válida V x E IRÇ.:
a. Justificar porque e =I:'j=O~_* + ( eC 1) , com O < c ~ 1. Suponhamos que e sejaJ. n+.
racional ~ e = ~ com p e q inteiros positivos; se n > q mostrar que n!~ E 71..
Então n!e = 2n! + ~i+ ... + 'iz! + n ~ 1 ; sendo O < c.« 1, ~eC < e < 3. Mostrar
que O < ~1 < I .
. n+
b.
6.
7.
8.
b.
c. Mostrar então que n: 1 deve ser um número natural. Isso contradiz a conclusão da
parte b.
10. Mostre que cos(l)é irracional supondo que cos(1) = ~ e usando que
. _. x2 . x4 x2q ~12q+2
cos(x)-l:-2f+4T- ... + (2q)! +R2q+), onde IR2q+ll:S (2q+2)! VXEIRÇ.. [como
no problema anterior, trabalhar com a expressão (2q + l)!cos(1)].
11. Para determinar a série. de potências de (x - Xo ) para a. função cos(x), basta escrever
cos(x) = cos((x-xo)+xo) cos(x-xo)cos(xo)- sen(x-xo) sen(xo) e usar que
( )_,",00 (_I)n 2n ( ) _ ,",00 (-ly 2n+1 ilid \-I d .cos Z - ~n=O (2n)! Z e sen z - k..Jn=O (2n+ l)!Z vau os v Z on e Z = x-xo.
Então
( ) _ ~ (-I)"cos(xo) (_ )2n ~ (-I)nsen(xo) ( )2n+lcos X - ~ (2n)! x Xo -.t;::; (2n+ I)!. x-xo
ri'
40
ser escritas em termos de funções elementares):
JI sen(x) dxa. o x
J I ln(1 + x
2) dx
b. o x
f+ dxc. o JI +x5
d. tO dx [sugestão: fazer a substituição u = i].
5 Jl +x4
9.
Multiplicando séries de potências de x, obter as expansões das funções seguintes, até o termo
x4 de grau 4:
a. e+seníx)
-[sen (x)
Jl-x
c. ln2(1 +x)
d. sen+(x)
Se a série de potências I::Ocn(x-xor converge somente v x tal que -11::=:x < 7, qual é
o raio de convergência e o valor de Xo ?
Suponha que a série de potências I::oc.x" converge somente se -3 :s x < 3.
a. explicar porque a série I::O cn(x - 2r tem raio de convergência 3.
b. mostrar que o intervalo de convergência de I:~cn(x + l )" é [-4,2)
c. qual é o intervalo de convergência de I::O cn(x - l )" ?
Mostrar que e é irracional justificando as seguintes afirmações e usando a expansão
eX = I:oo xn, válida V x E IR<.:
n=O n.
Justificar porque e = I:'j=O~_* + ( eC 1) , com O < c ~ 1. Suponhamos que e sejaJ. n+.
racional ~ e = ~ com p e q inteiros positivos; se n > q mostrar que n!~ E 71..
Então n!e = 2n! + ~i+ ... + 'iz! + n ~ 1 ; sendo O < c.« 1, ~eC < e < 3. Mostrar
que O < ~1 < I .
. n+
b.
6.
7.
8.
a.
b.
c. Mostrar então que n: I deve ser um número natural. Isso contradiz a conclusão da
parte b.
10. Mostre que cos(l)é irracional supondo que cos(1) = ~ e usando que
. __ x2 - x4 x2q ~12q+2
cos(x)-l:-2f+4T- ... + (2q)! +R2q+), onde IR2q+ll:S (2q+2)! VXEIR<.. [como
no problema anterior, trabalhar com a expressão (2q + l)!cos(l)].
11. Para determinar a série _de potências de (x - Xo ) para a. função cos(x), basta escrever
cos(x) = cos«x-xo)+xo) cos(x-xo)cos(xo)- sen(x-xo) sen(xo) e usar que
( )_,",00 (_I)n 2n ( ) _ ,",00 (-ly 2n+1 ilid \-I d -cos Z - ~n=O (2n)! Z e sen z - k..Jn=O (2n+ l)!Z vau os v Z on e Z = x-xo.
Então
( ) _ ~ (-I)"cos(xo) ( )2n ~ (-IYsen(xo) ( )2n+lcos X - ~ (2n)! x-xo -.t;::; (2n+ I)! _ x-xo
ri -
---------. - - - ~- ----- --------- 40
onde ambas as séries têm raio 00 e portanto a soma das séries também tem raio 00.
Para outras funções, idéias similares e propriedades dessas funções permitem determinar as
correspondentes séries de potências. Aplicar para as funções seguintes nos pontos Xo indicados
e determinar os raios de convergência:
a. cos(x), Xo = :
b. cos(x), Xo = -~
c. sen(x), Xo = 'Ir
d. sen(x), Xo = 2'1r
e. ln(x) , Xo = 2 [ln(x) = 1n(2+(x-2)) = ln{2(1 + x2:2)} =
ln(2) +1n(1 + x 2: 2 ); pondo u = x2::2, usar a série de potências de u de
ln(1 + u) com raio p = 1, substituindo u por x 2: 2 .]
ln(x) , Xo * O qualquer [escrever x = Xo + (x - xo) = Xo ( I + x ~OXo) e usar a série
X-Xode ln(1 + z) com z = - Xo J
1 x 1 [1 _ 1x' o = - x - -I + (x + 1)
f.
g. usar a expansão
h. u= x-3.
3 '
i. e", Xo qualquer [escrever e" = eXo+(x-xo) = eXOeX-XO= eXl)eU com u = x - Xo; use a
série de e" em potências de uJ
? 1 ,Xo = O [decompor em frações parciais: 2 I = ~2 + ~3 e
x-+x-6 x +x-6 x- x+
observar que ~2 = - -2 I - = - -21I 1 x lembrando que :--11 = Eoo=o t"x- -x -"2 -t J"n
com raio p = I; para a outra fração escrever x l3 j I 1L' e ~ar que
3
j.
12.
_1_ =EOO (_l)ntn com raio p = 1]l+t n=O
Suponha que a série de potências E:O c.x" converge se x = -3 e diverge se x = 7.
Determinar justificando, quas das afirmações seguintes são verdadeiras, ~uais podem ser
verdadeiras e quais não podem ser verdadeiras: /' jí í - í _~
a. a série converge se x = -10 ~_~~~ I~ ~ I
b. a série diverge se x = 3 O_J.
( / c. a série converge se x = 6
f d. a série diverge se x = 2
v e. a série diverge se x = -7
f v f. a série converge se x = -4
v g. a série converge se x = I
13. Suponha que a série de potências E:O cn(x + 4r converge se x = -9 e diverge se x = 5.
Determinar justificando quas das afmnações seguintes são verdadeiras, quais podem ser
verdadeiras e quais não podem ser verdadeiras:
a. a série converge se x = -10
b. a série converge se x = -1
41
c. a série 'converge se x =. 1
d. a série diverge se x = -13
e. a série diverge se x = -12
f. a série diverge se x = 3
g. a série diverge se x = -7
14. Considere uma série de potências da forma I::'-o cn(x - 1t. Determine quais das afirmações
seguintes são verdadeiras, quais podem ser verdadeiras e quais não podem ser verdadeiras:
a. a série converge se Ix - 11 > 2
b. a série converge se Ixl < 4
c. a série converge V x E ~
d. se o raio de convergência for p = 3, a série converge se -2 < x < 4
e. o intervalo de convergência é [-6,6]
f. se o intervalo de convergência for (-7,9), o raio de convergência é p = 7
g. se o raio de convergência p > 1, então a série r::o c; converge absolutamente.
[atenção: nas partes a e b não se afirma que a série converge apenas no conjunto
especificado] .
15. Considere uma série de potências da forma r::o c.x" com a propriedade que a sérier::o c.r" converge condicionalmente onde r é um número real r'* O.Mostre que o raio de
convergência da série de potências deve ser necessáriamente Irl [veja o Teorema (9.51)]. Use
esse resultado para provar "por inspeção" (ou seja sem fazer nenhum cálculo) que a série
~oo x" . 1L.J m=O n tem raio p = .
16. Considere uma série de potências da forma r::o c.x" com a propriedade que a sérier::o c.r" diverge para um número real r '* O, mas seus termos são limitados, Icnrnl :s K '\j
n. Mostre que o raio de convergência da série de potências deve ser necessáriamente Irl [veja
o teorema (9.51»). Use esse resultado para provar "por inspeção" (sem fazer nenhum cálculo)
n
que a série L:O ~n tem raio p = 4.
17. Suponha que a sequência {c,,} converge e que lim c; = c > O. Mostrar que a sérier::! c.x" tem raio p :s 1.
18. Suponha que a sequência {cn} diverge. Mostrar que a série L::! c.x" tem raio p :s 1.
42
\
PROBLEMAS SOBRE CURVAS PARAMETRIZADAS NO PLANO
1. Identificar a curva eliminando o parâmetro t nas equações paramétricasseguintes; fazer
um esboço da curva indicando a orientação positiva, ou seja o sentido de percurso
correspondente ao crescimento do parâmetro no intervalo de definição. Determinar
também os pontos de interseção com os eixos coordenados.
a. x = t2 + 3t , y = t - 1 , t E IR
b. x=cos(~), y=sen(~) ,tE[O,rr]
c. x = cos(t) , Y = cos3(t) , t e: [0,2rr]
d. x = 1 + t , Y = 2 - t , t E IR
e. x= l+t , y= fi , t e [0,(0)
f. x = sen(t) , y = cos(t) , t E [O,2rr]
g. x = cos2(t) , y =sen2(t) , t e [0,2rr]
h. x = fi , y = ln(t) , t e [1,(0)
i. x = cos(t) , y = cos(2t) , t E [O, x]
j. x = senh(t) , y = cosh(t) , t E IR [calcular x2 _ y2]
k. x = tg(t) , y = cotg(t) , t E (0, ~ )
Esboçar os gráficos de cada função no plano xt e no plano yt respectivamente, onde
x = 3(t2 - 3) e y = t(t2 - 3), indicando os intervalos de crescimento e decrescimento de
cada função. Usar esses gráficos para fazer um esboço aproximado da curva paramétrica
definida pelas equações x = x(t) e y = y(t).
Determinar equações paramétricas do círculo (x - 2)2 + (y - 1)2 = 9 de tal modo que o
círculo seja percorrido da seguinte forma:
a. uma vez no sentido antihorário a partir do ponto (5,1)
b. uma vez no sentido horário a partir do ponto (2, -2)
c. três vezes no sentido antihorário a partir do ponto (-1, 1)
Sejam Xl (t) = 3 sen(t) e YI (t) = 2 cos(t) as coordenadas da posição PI de uma
partícula no instante t e X2(t) = -3 + cos(t) e Y2(t) = 1 + sen(t) as coordenadas da
posição P2 de outra partícula no instante t, t E [O,2rr].
a. esboçar as trajetórias das partículas
b. determinar quantas interseções têm as trajetórias
c. as partículas colidem?
d. resolver as partes a, b e C se a posição de P2 é dada por X2(t) = 3 + cos(t) e
y = 1+ sen(t).
Considere a ciclóide obtida quando um círculo de raio r roda sobre uma reta Calcule
derivadas sem eliminar o parâmetro para determinar quando a curva tem tangentes
horizontais e verticais se houver, e a concavidade da curva
Mostrar que a curva paramétrica x = t2 e y = t(t2 - 4) tem duas tangentes no ponto
(4, O); determinar todos os pontos onde a curva tem tangentes horizontais ou verticais e os
intervalos de valores de t onde a curva é côncava para cima e para baixo. Esboçar a curva
Determinar a a área entre um arco da ciclóide x = ret - sen(t»), y = reI - cos(t») e o
eixo horizontal. Neste problema observamos que um arco da curva é descrito quando
t e [0,2rr], e é percorrida uma vez no sentido positivo quando t aumenta de ° a 2rr,
então sendo que a área é dada pela integral rydx, substituímos y por y(t) e a
diferencial dx por x' (t)dt ~ área =ry(t)x' (t)dt.
Determinar a equação da reta tangente no valor indicado do parâmetro:
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
43
a. x = eJi, Y = t -In(t), t = 1
b. x = zcosú), y = I sen(t), I = ~
9. dy cf2yPara as curvas definidas abaixo, calcular dx e dx2•
a. x = 2 + 13, Y = IIn(/)
b. x = In(t), y = te"
Determinar o ponto que está situado mais a esquerda da curva x = t4 - t2, Y = t + In(t)
Determinar as equações de todas as retas tangentes à curva paramétrica definida por
x = 3t2 + 1, y = 2t3 + 1, que passam pelo ponto (4,3) [determinar a equação da
tangente que passa por um ponto genérico (xo,Yo); essa tangente deve passar também por
(4,3)]
Esboçar o gráfico da curva paramétrica x = écos(t) , y = e' sen(t), t E [O,2n], e
calcular seu comprimento.
Se uma partícula se desloca ao longo da trajetória definida por x = sen2(t), y = cos2(t),
t E [O,2n], determinar a distância percorrida pela partícula e comparar com o
comprimento da curva
10.
11.
12.
13.
44
PROBLEMAS SOBRE COORDENADAS POLARES
1. Marcar os pontos no plano de coordenadas polares
(4,~), (-2,~), (3,n), (o, ~)
2. Determinar as coordenadas retangulares dos pontos cujas coordenadas polares são:
(3,~), (-1,~n), (5,0), (2,-~)
3. Determinar três pares de coordenadas polares (r,8) de cada um dos pontos cujas
coordenadas retangulares são dadas abaixo, de tal modo que satisfaçam
a. r > ° e 8 E [-n,n)
b. r >: ° e 8 E [0,2n)
c. r < ° e 8 E [0,2n)
(-2,0), (2/3,2), (2/3,-2), (-3,3/3)
4. Reescrever a equação dada em coordenadas polares (r,8), em termos de coordenadas
retangulares (x,y) :
a. r = 2 cos(8)
r= ....:.4 _b.
5.
cos(8) + 2 sen(8)
c. r = 3 cos(8) + 3 sen(8)
Reescrever a equação dada em coordenadas retangulares (x,y), em termos de coordenadas
polares (r,8) :
a. y = -2
b. x2 +y2 - 2x = °
C. x2 (x2 +y2) = y2
d. xy = 3
Esboçar os gráficos de cada equação abaixo em coordenadas retangulares (r,8), e utilize
esses gráficos para esboçar os gráficos das mesmas equações em coordenadas polares
(r,8) :
6.
a. r = 3 sen(8)
b. r = -2 - 2 cos(8)
c. r2 = sen(ZO)
d. r = cos(28)
e. r = 2 sen(28)
f. r = 4 + 3 cos(8)
g. r = 3 + 4cos(8)
h. r = 28
7. Mostrar que o gráfico em coordenadas polares de qualquer equação da forma
r = acos(8) + bsen(8), onde a e b são constantes não nulas simultâneamente, é um
círculo. Qual é o raio e o centro?
Mostrar que a curva polar de equação r = tg(8) tem a assíntota vertical x = 1,
calculando os limites lirnx e lirn x. Usar a mesma idéia para mostrar que a curva tem a,-....<r) ........-.00
assíntota vertical x = -1. Esboçar a curva quando 8 E (- ~ , ~ ) U ( ~ , ~ n )
indicando o sentido de percurso quando 8 aumenta
Determinar as assíntotas verticais da curva polar r = 4 sen(8) tg(8) e assíntotas
horizontais de r = cos(8) cotg(8) e esboçar as curvas quando 8 E [O,2n] ndomínio.
Determinar as inclinações da cardióide r = 3 + 3 sen(8) nos pontos onde a curva corta
aos eIXOSx e y.
8.
9.
10.
45
11. Mesmo problema para a limaçon r = 1 - 2cos(0)
12. Calcular o comprimento total das curvas polares
a. r = 4 cos(O)
b. r = 2(1 - sen(O»)
c. r = 3(1 + cos(O»
d. r = sen2( ~), O E [O,1l"]
13. A curva polar r = «" é uma espiral logaritmica Esboçar a curva e calcular o
comprimento quando O E [0,(0)
14. Esboçar as curvas r2 = cos(20) e r = 4 cos(O) no primeiro quadrante e calcular a área
entre as mesmas.
15. Esboçar a limaçon r = ~ +sen(O) e calcular a área entre os laços.
"16. Esboçar a rosa r = sen(20) e calcular a área de uma pétala
17. Calcular a área externa à cardióide r = 3 - 3 cos(O) e interna ao círculo r = 6. Esboçar a
região
18. Calcular a área interna ao círculo r = 5 sen(O) e externa à limaçon r = 2 + sen(O).
Esboçar a região
19. Esboçar os círculos r = 2 cos(O) e r = 2 sen(O) e calcular a área comum.
46
PROBLEMAS SOBRE VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO
1. Determinar se a seguinte afirmação é verdadeira para vetores do plano ou vetores do
espaço:
sejam u , v e w vetores e u '* O, então se u- v = u •w ~ v =w
2. Sejam u = (2, 1,-1) e v = (1,-1,2). Determinar um vetor não nulo w em 1It3 tal que u
·w=v -w.
3. Sejam u = (2,-1,2) e v = (1,2,-2). Determinar dois vetores WI e W2 tais que u =
WI +W2, V· W2 = O e WI paralelo a v.
4. Sejam A(2,-1,1) e B(3,-4,-4) pontos no espaço. Determinar as coordenadas de um
ponto C tal que A, B e C são os vértices de um triângulo retângulo.
5. Dados os vetores u = (2,-1,1), v = (1,2,-1) e W = (1,1,-2), determinar todos os
vetores z = cv + dw com c e d escalares tais que z é unitário e Z..L 11..Mesmo
problema para u = (3,-1,1). Interpretar geométricamente os resultados obtidos nos dois
casos.
6. Mostrar a identidade lIu+vll2 -lIu-v02 = 4 u s v para todo par de vetores. Baseado
nessa igualdade, indicar uma condição necessária e suficiente para que dois vetores não
nulos sejam perpendiculares.
7. Mostrar a identidade Ilu+vll2 + lIu-v02 = 211ull2+211v1l2 para todo par de vetores.
Baseado nessa igualdade, qual afirmação pode ser deduzi da sobre os lados e diagonais de
um paralelogramo ?
8. Analisar se as duas afirmações seguintes são verdadeiras ou falsas:
se u e v são vetores ortogonais, então [u + tvll~ [u] 'V número real t.
ii se lIu + tvll2: lIull 'it número realt, então u e v são vetores ortogonais.
Seja 81 o ângulo entre os vetores u}= (1,2, 1) e U2= (2, 1,-1), e 82 o ângulo entre VI =
(1,4,1) e V2= (2,5,5). Mostrar que um deles é o dobro do outro.
Sejam u, v e w vetores no espaço tais que lIull = IIwll= 5, IIvll= 1 e lIu - v + wll =
11u + v + W 11.Se o ângulo entre u e v for ~ , determinar o ângulo entre v e w.
Se u e v são vetores no espaço tais que u x v = O eu· v = O,mostrar que pelo menos
um dos vetores é nulo. Interpretar geométricamente.
Seja u '* o. Se u x v = u x w eu· v = u •w mostrar que v =w.
Se u e v são vetores não nulos no espaço, mostrar que que o vetor w = lIul!v+llvllu
bisecta o ângulo entre u e v.
Se u e v são vetores no espaço, as equações w x u = v e W· u = 11u 11determinam um
único vetor w?
9.
10.
11.
12.
13.
14.
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47
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PROBLEMAS SOBRE VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO
1. Determinar se as seguintes afirmações são verdadeiras para vetores do plano ou vetores do
espaço:
a Sejam u, v e w vetores e u e O, então se u • v = u •W => v = W
b Sejam u, v e w vetores, então se U· v = u •w 'íI vetor u => v = w
2. Mostrarquedadosdoisvetores'u e v quaisquer, lu • vi ~ lIullllvll
3. Mostrar que dados dois vetores u e v quaisquer, lIu + vII ~ lIull+llvll e lIu - vII ~
Illull - "vIII -
[sugestão para a 13 desigualdade: usar o produto escalar de vetores para provar a mesma
desigualdade com quadrados]
4. Mostrarquese [u-i-v].« lIull+llvll e lIu-vll= IlIull - 11vII I, então u e v são paralelos.
Valem as recíprocas de cada afirmação?
5. Sejam u = (2, 1, -1) e v = (I, -1,2). Determinar um vetor não nulo w em ~ 3 tal que U· w
=v -w.
6. Sejam u = (2,-1,2) e v = (1,2,-2). Determinar dois vetores WI e W2 tais que u = WI +
W2, V • W2 = O e WI paralelo a v.
I 7. Sejam A(2,-I,1) e R(3,-4,-4) pontos no espaço. Determinar todos os pontos C tal que A,
R e C são os vértices de um triângulo retângulo. [sugestão: o ângulo reto pode estar no
vértice A ou R ou C]
8. Dados os vetores u = (2,-1, 1), v = (1,2,-1) e W = (I, 1,-2), determinar todos os vetores z
= cv + dw com c e d escalares tais que z é unitário e z L u. Mesmo problema para u =
(3,-I, 1). Interpretar geométricamente os resultados obtidos nos dois casos.
9. Mostrar a identidade 11u + V 112 - 11u - V 112 = 4 u • v para todo par de vetores. Baseado nessa
igualdade, indicar uma condição necessária e suficiente para que dois vetores não nulos sejam
perpendiculares.
10. Mostrar a identidade [u + vll2 + lIu - vll2 = 211ull2 + 211vll2 para todo par de vetores.
Baseado nessa igualdade, qual afirmação pode ser deduzida sobre os lados e diagonais de um
paralelogramo ?
11. Analisar se as duas afirmações seguintes são verdadeiras ou falsas:
se u e v são vetores ortogonais, então 11u + tv 112:11u 11 'íI número real t.
jj se lIu + tv 112:[u] \:j número real t, então u e v são vetores ortogonais.
Seja ()I o ângulo entre os vetores UI = (1,2, 1) e U2 = (2,1,-1), e ()2 o ângulo entre VI =
(1,4,1) e V2 =(2,5,5). Mostrar que um deles é o dobro do outro.
Sejam u, v e W vetores no espaço tais que [u] = IIwlI = 5, IIvll = 1 e lIu-v+wll =
11u + v + W 11.Se o ângulo entre u e v for ~ , determinar o ângu 10 entre v e w.
Determinar o ângulo agudo entre dois diagonais de um cubo
Se u e v são vetores no espaço tais que u x v = O eu· v = 0, mostrar que pelo menos um
dos vetores é nulo. Interpretar geométricamente.
12.
{ ->)\, .
13.
14.
15.
; c : /G \-1,
/ - (
< //
J I f I
F ~ /
47
I, r
v: ~ I
/
)
/
I
.'
16. Determinar se as seguintes afmnações são verdadeiras para vetores do plano ou vetores do
espaço:
a' Sejam u , v e w vetores eu*- O, então se u x v = u x w => v = w
b Sejam u , v e w vetores, então se u x v = u x w V vetor u => v = w
" ,...,
17. Seja u *- O. Se u x v = u x w eu· v = u •w mostrar que" v =w.
18. Usar o produto escalar dos vetores (cos(a),sen(a» e (cos(f3),sen(f3» para deduzir a
identidade
cos(a - f3) = cos(a)cos(f3) - sen(a) sen(f3)
19. Dar uma interpretação geométrica das seguintes desigualdades onde u é um vetor qualquer
de três componentes :
máx{lu • il,lu • jl,lu • kj} ;? /lull ~ lu, i] + lu, Jl + lu, k]
20. Se u e v são vetores não nulos no espaço, mostrar que o vetor w = /lu/lv +/lv/lu bisecta o
ângulo entre u e v.
21. Se u e v são vetores no espaço, as equações w x u = v e w· u = /I u /I determinam um
único vetor w ?
22. Se U· v = /I u /I 11v", o que se pode afmnar sobre u e/ou v ? Vale a recíproca dessa
afmnação?
23. Se lu, vi = [u] IIv/l, o que se pode afirmar sobre u e/ou v ? Vale a recíproca dessa
afmnação?
24. Usar o produto vetorial para provar a Lei dos Senos. [sugestão: considere um triângulo cujos
lados são os vetores u, v e w onde u + v + w = O; multiplique vetorialmente essa igualdade
por cada vetor e considere os módulos desses produtos]
'A
/,--1 / / ' .A .Y v}
/A- / ( / vi r,
fiA- I 1\'-
V - /'/ ')
I -
"
48
I
PROBLEMAS SOBRE RETAS E PLANOS
1. Determinar a equação do plano que passa pelo ponto (2, -1,3) e é perpendicular à reta
r(t) = (1,-2,2) + 1(3,-2,4).
2. Determinar a equação da reta que passa pelo ponto (J, -2, -3) e é perpendicular ao plano
3x - y - 2z + 4 = O.
3. Determinar a equação do plano que contém as retas paralelas rI (I) = (0,1,-2) + 1(2,3,-1) e
r2(1) = (2,-1,0)+/(-2,-3,1).
4. Determinar a equação do plano que contém a reta r(/) = (-I + 31) i+ (1 + 21) j + (2 + 4/) k
e é perpendicular ao plano 2x +Y - 3z + 4 = o.
5. Determinar a equação vetorial do plano que passa por (3, -1,2) e é perpendicular à reta
x = 1+ I, Y = -2 + 7, z = -I + t.
6. Mostrar que as retas se intersectam, determinar o ponto de interseção e a equação do plano
que contém as retas ; ~ ~ 'i _ !
L I : x = 1+ I, Y = 1 - I, z = 21 L2 : x = 2 - I, Y = ,I, z = 2
7. Determinar a equação do plano formado por todos os pontos que eqüidistam dos pontos
(1,0,-1) e (-2,1,3).
8. Determinar a equação do plano que passa pelo ponto (2, 1, 1) e contém a reta de interseção
dos planos x +y - z - 2 = ° e 2x - Y + 3z - 1 = O.
9. Determinar a equação do plano que contém os pontos (1, O,-1), (2,2, 1) e (-1,2,3).
10. Determinar a equação do plano que passa pelo ponto (0,1,-2) e é paralelo ao plano
x-2y+z = 1
11. Determinar a equação do plano que passa pelo ponto (1, 1,2) e é perpendicular à reta de
interseção dos planos x - z = 1 e y + 2z = 3.
12. Determinar os pontos de interseção da reta L : r(/) = (1,0,1) + 1(-1, 1,1) com cada plano
coordenado.
13. Determinar os pontos de interseção do plano x + 2y - z = i com os eixos coordenados.
14. Mostrar que as retas LI: x = 1 + 2/, y = -1 - t, z = 2 - 3/, e L2: x = 3 + 4/,
Y = -2 - 2/, z = -1 - 6/, são idênticas.
15. Mostrar que as retas L I : x = 1 + I, y = 1+ 6(, z = 21, e L2 : x = 1 + 2t, y = 5 + 15t,
z = -2 + 61, são reversas e calcular a distância entre elas.
16. Determinar se a reta x = 2 - 7, y = 1+ 3t, z = 4/, intersecta o plano 2x - Y + z = 2 e o
plano 7x +y + z = I. Em caso afirmativo calcular as coordenadas dos pontos de interseção.
17. Sejam a, b e c os interceptos x, y e z respectivamente, de um plano. Determinar a equação
do plano. .
18. Determinar a equação de um plano que contém a interseção dos planos x - z = 1 e :
y + 2z = 3 e é perpendicular ao plano x +y - 2z = I.
19. Determinar as equações dos planos paralelos ao plano x + 2y - 2z - 1 = O, que estão a
distância 1 do plano dado. .
20. Calcular a área do triângulo com vértices nos pontos (1,2,3), (1,0,-1) e (2,-2,-3)
49
PROBLEMAS SOBRE FUNÇÕES VETORIAIS E CURVATURA
»-
itJ.'_.~--
1. Determinar a equação da reta tangente a cada curva no ponto correspondente ao valor indicado
de I : ,
a r(/) = sen(3/) i+ cos(3/) j + 21 2 k, I = I
b r(t) = cos2 (I) i+ (31 - 13) j + I k, I = O
2. Suponha que a curva definida pela função vetorial dada é a trajetóriade uma partícula. Se ela
se afasta ao longo da tangente no instante 10 dado, determinar a posição no instante li
a r(/) = (/2,13 - 4t,O), to = O e li = 1.
b r'(r) = (et,e-t,cos(t», to = 1 e ti = 2.
C r(t) = (sente"), 1,4 - 13), 10 = 1 e I, = 2.
3. Uma partícula se desloca no espaço de tal modo que sua aceleração é constantemente -k. Se
a posição no instante I = O é r(O) = k e a velocidade nesse instante é ri (O) = i+ j,
determinar em qual instante passa através do plano z = O.
4. Se a aceleração de uma partícula tem sempre direção perpendicular à velocidade, mostrar que
a velocidade escalar (norma da velocidade vetorial), é constante.
5. Mostrar que se uma função vetorial r(t) é diferenciável 'd I em seu domínio, então se "r(/) 11
tiver um máximo ou mínimo local em 10, ri (to) é ortogonal a r(to).
6. Mostrar que a curva definida por r(/) = (sen(t),2cOS(/), j3 sen(t», é um círculo provando
que ela está em um plano e uma esfera. Calcular o raio e determinar o centro do círculo
7. Determinar o comprimento da curva no intervalo indicado :
a r(t) = (sen(3/),cos(3t),2/T), O:S t :S 1.
b r(t) = (t, t sen(t), tcos(t», O:S t :S 1L
C r(t) = (cos3(t),sen3(t», O:S t :S 1L
d r'(r) = (t2, cos(t) + t sen(t), sen(t) - tCOS(/», O:S t :S 27r.
8. Determinar o parâmetro comprimento de arco das curvas seguintes a partir do valor de I
indicado:
a r'(r) = (cosh(t), senh(t), t), to = O.
b r'(r) = (cos(t),sen(t),/), to = O.
9. Reparametrizar a curva dada em termos do parâmetro comprimento de arco medido a partir do
ponto correspondente ao valor t = O, na direção dos valores crescentes de t :
r(t) = (et sentr);e' costr)
ii r(t) = (1 + 2/) i+ (3 + t) j -5t k
iii r(t) = (3 sen(t),4t,3 cosfr)
iv a ciclóide r(t) = trt - r sen(t),r - rcos(t», t E [0,27rJ.
Reparametrizar a curva r(t) =(+-I, -J.L- ) em relação ao parâmetro comprimento
t: + 1 1- + I10.
50
de arco medido a partir do ponto (I, O), na direção dos valores crescentes de t. Simplificar ao
máximo as expressões resultantes e determine a curva.
11. Uma partícula se desloca sobre o círculo unitário no plano xy de acordo com a equação de
movimento r(t) = (cos(t2), sen(t2), O), t ~ O.
Determinar o vetor velocidade e a velocidade escalar
ii em qual ponto do círculo unitário a partícula deveria ser solta para fazer impacto no
ponto (2, O,O) ?
12.
iii qual é o menor valor de t para que ocorra (ii)?
iv qual é a velocidade e a velocidade escalar no instante em que a partícula é solta ?
v em qual instante é alcançado o ponto de impacto ?
A posição de uma partícula em todo instante t, é dada por r(/) = (3 + t,2 + ln(t),7 - ~).
t: + 1
Em qual instante a partícula deve se deslocar sobre a tangente para fazer. impacto no ponto
(6,4,9) ?
Mostrar que a curva deftnida por r(t) = (/COS(/),I sen(/),2/) está contida no cone circular
x2 +y2 = 4z2. Faça um esboço aproximado da curva.
Determinar uma equação vetorial da curva de interseção do cone z = JX2 +y2 com o plano
z = 1 +y. Faça um esboço da curva.
Mesmo problema para o parabolóide elíptico z = 4x2 +y2 e o cilindro y = x2. Faça um
esboço da curva.
Mesmo problema para o cilindro x2 +y2 = 1 e o parabolóide hiperbólico z = y2 - x2 .
As trajetórias de duas partículas definidas por rI (I) = (/,1 - 1,3 + 12) e
r2(/) = (3 - I,t- 2,t2) tem algum ponto de interseção?, algum ponto de colisão?
Encontrar as retas tangentes à curva definida por r'(r) = (1,/4 - 1+3), que passam pela
origem.
Determinar as funções curvatura para as curvas planas definidas por y2 = X, Y = x3 e y =
sen(x), e os pontos, se houver onde a curvatura tem um extremo local.
Determinar as funções curvatura para as curvas y = ln(x), x > O; uma cíclóide, uma
cardióide de equação r = 1+ cos(O), uma parábola semicúbica de equação r'(r) = (/2,/3), a
espiral de Arquimedes de equação polar r = cO, c constante.
Determinar a evoluta de uma elipse com semieixos a e b (a e b positivos).
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
'y (-
"I _
51
1
Identificar a curva eliminando o parâmetro t nas equações paramétricas seguintes; fazer
um esboço da curva indicando a orientação positiva, ou seja o sentido de percurso
correspondente ao crescimento do parâmetro no intervalo de definição. Determinar
também os pontos de interseção com os eixos coordenados. Verifique suas respostas
exibindo gráficos no MAPLE.
a. x = t2 + 3t , Y = t - 1 , t E ~
b. x = cos(~) , y =sen(~) , t e [O,n]
C. x = cos(t) , y = cos3(t) , t E [O, 2n]
d. x = 1 + t , Y = 2 - t , t E ~
e. x=l+t, y=/i t e [0,(0)
f. x = sen(t) , y = cos(t) t E [O, 2n]
g. x = cos2(t) , Y = sen2(t) t E [O, 2n]
h. x=/i, y=ln(t) t e [1,(0)
i. x = cos(t) , y = cos(2t) , t E [O, n]
j. x = senh(t) , y = cosh(t) , t E ~ [calcular x2 _ y2]
k. x = tg(t) y = cotg(t) t E (O, ~ )
Determinar equações paramétricas do círculo (x - 2)2 + (y - 1)2 = 9 de tal modo que o
círculo seja percorrido da seguinte forma:
a. uma vez no sentido antihorário a partir do ponto (5,1)
b. uma vez no sentido horário a partir do ponto (2, -2)
Sejam XI (t) = 3 sen(t) e YI (t) = 2 cos(t) as coordenadas da posição PI de uma
partícula no instante t e X2 (t) = -3 + cos(t) e Y2 (t) = 1+ sen(t) as coordenadas da
posição P2 de outra partícula no instante t, t E [O, 2n].
a. esboçar as trajetórias das partículas
b. determinar quantas interseções têm as trajetórias
C. as partículas colidem?
PROBLEMAS SOBRE CURVAS PARAMETRIZADAS NO PLANO
f~.
2.
,3.
(-::t.
{'
d. resolver as partes a, b e c se a posição de P2 é dada por X2(t) = 3 + cos(t) e
y = 1 + sen(t). .
Verifique suas respostas exibindo gráficos no MAPLE.
4. Considere a ciclóide obtida quando um círculo de raio r roda sobre uma reta. Calcule
derivadas sem eliminar o parâmetro para determinar quando a curva tem tangentes
horizontais e verticais se houver, e a concavidade da curva.
5. Mostrar que a curva paramétrica x = t2 e y = t(t2 - 4) tem duas tangentes no ponto
(4, O); determinar todos os pontos onde a curva tem tangentes horizontais ou verticais e
os intervalos de valores de t onde a curva é côncava para cima e para baixo. Esboçar a
curva e verificar com o MAPLE.
6. Determinar a a área entre um arco da ciclóide x = r(t- sen(t»), y = r(l- cos(t») e
o eixo horizontal. Neste problema observamos que um arco da curva é descrito quando
t E [O, 2n], e é percorrida uma vez no sentido positivo quando t aumenta de O a Ztt ,
então sendo que a área é dada pela integral f~lI"r ydx, substituimos y por y(t) e a
diferencial dx por x' (t)dt => área = f~1I"y(t)X' (t)dt.
7. Determinar a equação da reta tangente no valor indicado do parâmetro:
a. x = eJi, y = t -ln(t), t = 1
b. x = tcos(t), y = t sen(t), t = ~
/'
33
8. Para as curvas definidas abaixo, calcular dy e cf2ydx dx' .
9.
a. x = 2+t3, y = tln(t)
b. x = In(t), y = te"
Determinar o ponto que está situado mais a esquerda da curva x = t4 - t2, Y = t + In(t).
Exiba um gráfico com o MAPLE [Sugestão: o ponto situado mais a esquerda é o ponto
que tem o menor valor de x(t). Verifique suas respostas exibindo gráficos no MAPLE.
Determinar as equações de todas as retas tangentes à curva paramétrica definida por
x = 3t2 + I, y = 2t3 + I, que passam pelo ponto (4,3) [Sugestão: determinar a
equação da tangente que passa por um ponto genérico (XO,yo); essa tangente deve passar
também por (4,3)]. Verifique suas respostas exibindo gráficos no MAPLE.
Esboçar o gráfico da curva paramétrica x = e' cos(t), y = é sen(t), t E [O,2n], e
calcular seu comprimento. Verifique suas respostas exibindo gráficos no MAPLE.
Se uma partícula se desloca ao longo da trajetória definida por x = sen+(r), y = cos+(r),
t E [O,2n], determinar a distância percorrida pela partícula e comparar com o
comprimento da curva. Exiba um gráfico no MAPLE.
10.
11.
12.
34
PROBLEMAS SOBRE VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO
1. Determinar se as seguintes afirmações são verdadeiraspara vetores do plano ou vetores
do espaço:
a Sejam u, v e w vetores e u * 0, então se U· v = u • w => v = w
b Sejam v e w vetores, então se U· v = u • w V vetor u => v = w
2. Mostrar que dados dois vetores u e v quaisquer, 1 u . v 1 ~ 11u 1111v 11·
3. Mostrar que dados dois vetores u e v quaisquer, [u + vII ~ lIull+llvll e Ilu - vII ~
Illull - IIvlll
[Sugestão para a 1a desigualdade: usar o produto escalar de vetores para provar a mesma
desigualdade com quadrados]
4. Mostrar que se Ilu+vll = Ilull+llvll e [u - vii = IlIull - IIvlll, então u e v são
paralelos. Valem as recíprocas de cada afirmação?
5. Mostrar a identidade 11u + V 112- 11u - V 112= 4 u • v para todo par de vetores. Baseado
nessa igualdade, indicar uma condição necessária e suficiente para que dois vetores não
nulos sejam perpendiculares.
6. Mostrar a identidade [u + vll2 + [u - vll2 = 211ull2 + 211vll2 para todo par de vetores.
Baseado nessa igualdade, qual afirmação pode ser deduzida sobre os lados e diagonais de
um paralelogramo ? [Sugestão: considerar que dois lados do paralelogramo são os
vetores u e v com o ponto inicial comum]
7.· Seja 81 o ângulo entre os vetores U1 = (1,2, 1) e U2 = (2, 1,-1), e 82 o ângulo entre
VI = (1,4, I) e V2 = (2,5,5). Mostrar que um deles é o dobro do outro.
8. Quantas diagonais tem um cubo no espaço? Determinar o ângulo agudo entre todos os
pares de diagonais do cubo.
9. Se U e v são vetores no espaço tais que u x v = ° eu· v = 0, mostrar que pelo menos
um dos vetores é nulo. Interpretar geométricamente.
10. Determinar se as seguintes afirmações são verdadeiras para vetores do espaço:
a Sejam u, v e w vetores e u * 0, então se u x v = u x W => v = w
b Sejam$. v e w vetores, então se u x v = u x W V vetor u * ° => v = w
11. Seja u*O. Se u x v==u x w e u v v r= u v w mostrar que v=w.
12. Se U· v = 11u 1111vII, o que se pode afirmar sobre u e/ou v ? Vale a recíproca dessa
afirmação?
13. Se lu, vi = lIullllvll, o que se pode afirmar sobre u e/ou v ? Vale a recíproca dessa
afirmação?
35
PROBLEMAS SOBRE RETAS E PLANOS
Os comandos seguintes permitem exibir o gráfico de uma função linear em duas variáveis,
digamos o plano de equação z = 3x - 2y:
wi th (plots) :
f:=(x,y)->3*x - 2*y;
plot3d(f(x,y) ,x=-2 .. 3,y=2 .. 5,grid=[20,20] ,axes=normal,
orientation=[75,56]) ;
Para exibir uma reta no espaço 3d com equações paramétricas x = -1 + 2/, y = 1 + I, Z = 3 - I,
digitamos:
wi th (plots) :
spacecurve([-1+2*t,1+t,3-t] ,color=blue,thickness=2,axes=normal,
orientation=[25,40]) ;
Para exibir o plano junto com a reta ao mesmo tempo, tem que atribuir um nome a cada gráfico
(por exemplo, uma letra) e depois usar o comando display para colar os dois gráficos, mas aqui é
importante indicar a orientação e o tipo de eixos apenas no comando "display3d":
a :=plot3d (f (x, y) ,x=-2 .. 3, y=2 .. 5, grid=[20, 20] ) :
b:=spacecurve([-1+2*t,1+t,3-t] , color=blue,thickness=2) :
display3d(a,b,orientation=[30,60] ,axes=normal);
1. Determinar a equação do plano que passa pelo ponto (2, -1,3) e é perpendicular à reta
r(/) = (1,-2,2) + 1(3,-2,4).
2. Determinar a equação da reta que passa pelo ponto (1, -2, -3) e é perpendicular ao
plano 3x - y - 2z + 4 = O.
3. Determinar a equação do plano que contém as retas paralelas
rl(t) = (0,1,-2)+t(2,3,-1) e r2(t) = (2,-1,0)+ t(-2,-3, 1).
4. Determinar a equação do plano que contém a reta r(/) = (-1 + 3t) i + (1 + 2t) j +
(2 + 4t) k e é perpendicular ao plano 2x + y - 3z + 4 = O.
Determinar a equação vetorial da reta que passa por (3, -1,2)
perpendicularmente a reta x = I + t, Y = -2 + t, z = -I + t.
6. Mostrar que as retas se intersectam, determinar o ponto de interseção e a equação do
plano que contém as retas
LI : x = I + t, y = 1 - t, Z = 2t L2 : x = 2 - t, Y = t, Z = 2.
5. e corta
7. Determinar a equação do plano formado por todos os pontos que eqüidistam dos pontos
(1,0,-1) e (-2,1,3).
8. Determinar a equação do plano que passa pelo ponto (2,1,1) e contém a reta de
interseção dos planos x + y - Z - 2 = ° e 2x - y + 3z - I = O.
9. Determinar a equação do plano que contém os pontos (1, O, -1), (2,2, 1) e (-1,2,3).
10. Determinar a equação do plano que passa pelo ponto (O, 1, -2) e é paralelo ao plano
x - 2y+ Z = 1
11. Determinar a equação do plano que passa pelo ponto (1, 1,2) e é perpendicular à reta de
interseção dos planos x - z = 1 e y + 2z = 3.
12. Determinar os pontos de interseção da reta L: r(t) = (1,0, I) + t(-I, 1, I) com cada
plano coordenado.-
13. Determinar os pontos de interseção do plano x + 2y - z = 1 com os eixos coordenados.
14. Mostrar que as retas LI: x = 1 + 2t, y = -I - t, Z = 2 - 3t, e L2: x = 3 + 4t,
y = -2 - 2/, z = -1 - 6t, são idênticas.
15. Mostrar que as retas LI: x = 1 + t, y = 1 + 6t, z = 2t, e L2: x = 1 + 2t,
y = 5 + 15t, z = -2 + 6t, são reversas e calcular a distância entre elas.
16. Determinar se a reta x = 2 - t, Y = 1 + 3t, z = 4t, intersecta o plano 2x - y + z = 2 e
36
o plano 7x + y + z = 1. Em caso afirmativo calcular as coordenadas dos pontos de
interseção.
17. Determinar a equação de um plano que contém a interseção dos planos x - z = 1 e
y + 2z = 3 e é perpendicular ao plano x + y - 2z = 1.
18. Determinar as equações dos planos paralelos ao plano x + 2y - 2z - 1 = 0, que estão a
distância 1 do plano dado.
19. Calcular a área do triângulo com vértices nos pontos (1,2,3), (1,0,-1) e (2,-2,-3)
37
PROBLEMAS SOBRE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS
1 Determinar os domínios no plano das seguintes funções de 2 variáveis e fazer um esboço
da correspondente região, Usar curvas pontilhadas para indicar partes do bordo que não
pertencem ao domínio e curvas cheias para indicar partes do bordo que pertencem ao
domínio:
a j{x,y) = Jl - x2 - y2
b j{x,y) = J 1
2
2
l-x -y
c j{x,y) = ln(y - x2)
d j{x,y) = I
sen( Jx2 + y2 )
e j{x,y) = Jx2 + y2 - I
f j{x,y) = In(I - xy)
2 Usar os Teoremas sobre limites para calcular os seguintes limites:
a I' e" + er1m
(x,yHO,O) sen(x) + cos(y)
, x4 _ (y _ 2)4
hm(x,y)-(O,2) x2 + (y _ 2)2
lim tg" (1:.)(x,yH3,3) x
b
c
d lim (ex-y)
(x,yHln(2),ln(3»
3 Mostrar que os seguintes limites não existem, determinando limites ao longo de curvas
apropriadas que se aproximan de (O, O) :
a
, x2 _ y2
hm(x,y)-(O,O)x2 + y2
, 2hm ----::-~x----,:_
(x,y)-(O,O)x2 + y2
, x2y2
hm(x,yHO,O) x4 + y4
9
lim x y
(x,y)-(O,O) (x6 + y2)2
b
c
d
4 Mostrar que os seguintes limites existem provando que o módulo de cada expressão é
inferior a k( Jx2 + y2 ) c para constantes c e k > ° :
a lim x2 + 2xy
(x,yHO,O) JX2 + y2
, x3 +y311m
(x,yHO,O) x2 + y2b
38
5 Determinar se os seguintes limites existem :
a lim x
2 + y
(x,y)~(O,O) x2 + y2
b lim x
2y
(x,yHO,O) x2 + y2
Determinar em quais pontos (x,y) a função é contínua:
y2
a f(x,y) = x-I
{ x3 + y3 se (x,y) =/:- (O, O)b f(x,y) = x2 + y2° se (x,y) = (0, O)
{ x+y se (x,y) =/:- (O, O)c f(x,y) = x2 + y2° se (x,y) = (O, O)
j{x,y) ~ {
x2y2
se (x,y) =/:- (O, O)
d Ixl3 + lYI3
° se (x,y) = (O, O)
e f(x,y) = In(xy2)
f f(x,y) = cose ~ )
6
7 Calcular as derivadas parciais de ordem 1 e 2 em relação a cada variável
a z(x,y) = (x2 - 3x + y3 + 2y + 1)5
b
u
z(u,v)=ev
z(x,y) = ex2y ln(x2 _ y2)
z(s t) = cos(~) sen(~), s+I s-(
c
d
8 Suponha que a quantidade de carne (em quilos) Q, comprado por uma comunidade
durante um mês, depende do preço da carne de boi x, e da carne de frango y. As
derivadas Dx(Q) e Dy(Q) serão positivas ou negativas?
9 Vamos supor que o custo de produzir uma unidade de un certo produto é dado por
z(x,y) = a + bx + cy
onde x é a quantidade de trabalho (em operários por hora) e y é a quantidade de
matéria prima usada (por peso). O que significa afirmar que DxCz) = b? Como deve ser •
interpretado na prática o valor b?
10 Todas as pessoas que vão trabalhar numa cidadepodem escolher entre ir de trem ou de
ônibus. O número de pessoas que escolhem um determinado meio de transporte depende
em parte do preço de cada um. Seja N(PI,P2) o número de pessoas que tomam ônibus
quando p 1 é o preço da passagem de ônibus e P2 é o preço da pasagem de trem. O que
se pode afirmar sobre os sinais de D1N e D2N ?
39
. ;.-
PROBLEMAS SOBRE FUNÇÕES LINEARES
1 As tabelas seguintes correspondem a duas funções lineares. Completar essas tabelas e
determinar a fórmula de cada função:
x\y 0,0 1,°
0,0 1,°
2,0 3,0 5,0
x\y -1,0 0,0 1,°
2,0 4,0
3,0 3,0 4,0
2 Suponha que z é uma função linear de x e y com inclinações 2 na direção de x e 3
na direção de y.
a Uma variação de 0,5 em x e de -0,2 em y, produz qual variação em z?
b Se z = 2 quando x = 5 e y = 7, qual é o valor de z quando x = 4,9 e
y = 7,2 ?
3 Determinar a equação linear z = mx + ny +p cujo gráfico contém os pontos (0,0,0),
(0,2,-1) e (-3,0,-4)
[Sugestão : determinar as inclinações nas direções x e y considerando dois pares de
pontos]."
4 Determinar a função linear cujo gráfico é o plano que passa pelos pontos (4,0,O) ,
(0,3,0) e (0,0,2).
[mesma sugestão do problema anterior]
5 Determinar a equação da função linear cujo gráfico corta o plano xz ao longo da reta
z = 3x + 4 e corta o plano xy ao longo da reta z = y + 4.
[tente aplicar a mesma idéia do problema anterior]
6 Determinar as funções lineares correspondentes às tabelas seguintes:
x\y -1 °
° 1,5 1 0,53,5 3 2,5 2 200 5 8 11
2 5,5 5 4,5 4 300 4 7 10
3 7,5 7 6,5 6 400 ° 3 6 9
•
40
PROBLEMAS SOBRE DERIVADAS PARCIAIS
1 Seja P o valor das parcelas mensais do pagamento de um empréstimo de uma quantia Q
em milhares de reais a uma taxa de juros j durante um número de anos N. Denotando
P = j(Q,j,N)
a Qual é o significado da igualdade j(80, 10, 10) =1200,00 ?
b O que significa g~(80,10,10) = 26,80 ?
c Qual sinal devem ter as derivadas a: e gt para qualquer valor positivo das
variáveis?
2 A produção de um certo cereal em um ano, P, em um determinado ano, depende da
temperatura média T e da quantidade de chuva L. Tem sido estimado que a temperatura
média anual está aumentando a uma taxa de 0,15 ;iio e a quantidade de chuva está
decrescendo a uma taxa de 1 g::a. Foi estimado que no corrente nível de produçaõ,
8W = -2 e 8W = 6
8T 8L
a Qual é o significado dos sinais dessas derivadas parciáis ?
b O que essas derivadas representam ?
3 Suponha que x é o preço médio de um carro novo e y é o preço médio de um litro de
gasolina. Se QI denota o número de carros novos comprados em um ano depende de x
e de y => QI = j(x,y). Se Q2 é a quantidade de gasolina comprada em um ano =>
Q2 = g(x,y).
a Quais sinais devem ter as derivadas 8QI e 8Q2 ?8x 8y
b Quais sinais devem ter as derivadas 8QI e 8Q2 ?8y 8x
4 Mostrar que se uma função é diferenciávle em um ponto (XO,yo), então aos coeficientes
m e n da função linear no segundo membro da equação
6.j(XO,yo) = m ó.x + n 6.y + E
são m = D1j(xo,yo) e n = D2.I(xo,yo), escrevendo o incremento 6.j(XO,yo) com
6.y = ° e depois com ó.x = ° e usando a propriedade de E quando
J(6.x)2 + (6.y)2 -> O.
2x+ yDeterminar a equação do plano tangente à superfície j(x,y) = 2 no ponto (3,1,7).x- y
Determinar a equação do plano tangente à superfície definida pela equação
z3 + xyz = 33 no ponto (1,2,3).
[Sugestão: derivar z implícitamente em relação a x e y].
7 Calcular as derivadas indicadas
5
6
41
.•..•..
a z = In(x2y2 + eXY), DIz e D2Z.
b j(u, v) = In(u2 + v2), ai aiau e õv '
2
C F(r v) = mv F, e r.., r'
d y = sen(ct-x) , YI e Y2.
e gt ((s + t)eas+bt), ~ ((s + t)eas+bt).
f Dx( cos(x) ). D (COS(X) )
cos(y) y cos(y)
9 U(x,y) = sen(x3y3), o, e o,
8 Seja j(x,y) = 2x - 3y
a Desenhar as curvas de nível da função para os valores de k = -5, -4, .... ,4,5
(11 curvas de nível)
b Usar essas curvas de nível para calcular fx(O, O) e h(O, O) , e não as fórmulas de
derivação.
C As fórmulas para as derivadas Ix e h mostram que elas são constantes. Como
a coleção, ou o mapa de curvas de nível reflete esse fato?
d As fórmulas das derivadas indicam que Ix(x,y) = 2 e h(x,y) = -3. Como é
que o mapa de curvas de nível reflete o fato que a derivada fx(x,y) é positiva e
que /y(x,y) é negativa?
9 Seja j(x,y) = xy.
a Determinar a aproximação linear local L da I no ponto (2,1).
b Em um sistema de coordenadas xy, desenhar as curvas de nível L(x,y) = k, para
k = 1,2,3,4 e 5.
Em outro sistema de coordenadas xy, desenhar as curvas de nível j(x,y) = k,
para k = 1,2,3,4 e 5.
(em cada caso, desenhar as curvas
[0,3] x [0,3] = {(x,y) / O :s x :s 3 e O:S y:S 3}).
no retângulo
C Como os mapas de curvas de nível da parte b refletem o fato que L é a
aproximação linear da I no ponto (2, 1) ? Comentar brevemente em palavras.
d (dever para casa) Usar o MAPLE para representar gráficamente mapas de
contorno da I e L na janela 1,8:S x s 2,2 e 0,8:S y s 1,2. Descreva e
justifique em palavras o que você vê nessas figuras.
10 Calcular as derivadas indicadas usando a regra da cadéia ..
b s = In(n), t = e-n,
di
dt .
dg
dn '
a
c A(u, v) = cos(uv) sen( ~), u = In(t2 - t), dAdt .
42
d V(x,y) = ~, x = se', y = 2 + te=, av e avat as
e G(x,y) = x2 + xy + y2, X = U + v, Y = UV, aG e aGau av
11 Seja z = j(x,y) e x = rcos(t), y = r sen(t).
Calcular ~~ e ~~ e mostrar que ( az ) 2 + _1 (az) 2ar r2 dt
[ambos os membros são funções de r e t]
12 Seja z = j(x,y) , x = eS cos(t) e y = e' sen(t).
Calcular ~~ e ~~ e mostrar que
13
[ambos os membros são funções de s e t].
Seja f uma função diferenciável de uma variável e
az +k = Oõx ay .
z = j(x - y). Mostrar que
14 Determinar as derivadas direcionais indicadas :
a j(x,y) = ~, ponto (-3,5), direção < -2,2 >.
b j(x,y) = cos(xy), ponto (~ , ~), direção < 1,-1 >.
c j(x,y) = sen(x - y), ponto (n, ~), direção < 2,2 >.
d j(x,y) = In(x2 + y2), ponto (e, e), direção i + j.
15 Uma função diferenciável j(x,y) tem a propriedade que !x( 4, 1) = 2 e /y( 4, 1) = -1.
Determinar a equação da reta tangente à curva de nível de f que passa pelo ponto (4, 1).
16 Seja j(x,y) = x + Y2 . Calcular a derivada direcional no ponto (1,-2) na direção de
l+x
cada um das vetares seguintes:
a) u = < 3,-2 > b) u=-i+4j
Qual é a direção de máximo crescimento da função nesse ponto?
17 Considere uma função diferenciável f(x,y). A partir do ponto (4,5) em direção ao
ponto (5,6), a derivada direcional é 2; partindo do ponto (4,5) em direção ao ponto
(6,6), a derivada direcional é 3. Determinar \lf( 4,5).
18 Na página seguinte encontra-se um mapa de curvas de nível de uma função f. Desenhar
para cada um dos três pontos marcados, os vetores gradientes supondo que essas curvas
correspondem (de esquerda para direita) ao valor k = 10 para a primeira, e aumentando
em incrementos de 20 unidades para as seguintes, ou seja, k = 30,50, .. etc. Justificar as
escolhas de direções e comprimentos dos vetores correspondentes. [Associe ao ponto que
está no canto esquerdo abaixo, um comprimento de 2 unidades].
43
19 Os gráficos abaixo representam respectivamente a posição (vetor maior, fixo) do vetor
gradiente de uma função em um certo ponto junto com um vetor unitário u que gira em
todas as direções formando diversos ângulos O com o gradiente (O varia de O a n) e
4 pontos fixados no círculo. Ao lado aparece um gráfico dos valores das derivadas
direcionais nas diversas direções u como função do ângulo O, e 5 pontos marcados no
eixo horizontal correspondentes a certos valores de O.
a Determinar quais pontos marcados no 2° gráfico correspondem aos pontos
marcados no círculo.
44
'.
b Quais pontos no 2° gráfico correspondem a taxas máximas de crescimento da f
? a taxas mínimas de crescimento da f?
C Qual é o valor máximo que atinge a função no segundo gráfico? o valor mínimo
?
d Qual é afórmula da função do 2° gráfico?
•
45
PROBLEMAS SOBRE EXTREMOS
1. Exibir com o MAPLE um gráfico apropriado de curvas de nível, outro do gradiente (na
mesma janela) e calcular os pontos estacionários da função f para classificar esses
pontos como máx. ou mínimos ou pontos de sela, ou nenhum deles:
a fCx,y) = x3 + y3 - 3xy+ 6
b fCx,y) = y4 - x3 - 2y2 + 3x
c fCx,y) = x3y + 12x2 - 8y
d fCx,y) = -x2 - y2 + 2xy+ I
e fCx,y) = 3x2y + y3 - 3x2 - 3y2 + 4
2. Determinar os valores extremos absolutos da função no domínio D especificado e
confirmar o resultado com o gráfico da função
a fCx,y) = 4y - 3x + I, D = região triangular fechada com vértices nos pontos
(0,0), (4,0) e (4,5)
b fCx,y)=x2+y2+X2y+3, D={Cx,y)/lxl:S 1, lYl:S I}
c fCx,y) = xy - x - y + 2, D = região limitada pela parábola y = x2 e a reta y = 4
d fCx,y)=2x2+y2+x-2, D={(X,y)/x2+y2:S4}
3. Resolver os seguintes problemas
a Determinar o máximo absoluto do produto dos senos dos três ângulos interiores de
um triângulo (cada ângulo está no intervalo [O,1!])
b Determinar a menor distância entre o ponto (2, -2,3) e o plano 6x + 4y - 3z = 2
c Determinar os pontos da superfície z2 = 1+ xy que estão mais próximos da
origem
d Determinar as dimensões da caixa retangular de volume máximo tal que a soma de
todos os comprimentos das arestas seja de 16 unidades
4. Determinar os extremos de cada função com os vínculos correspondentes:
a fCx,y) = x2 + y, x2 - y2 = I
b fCx,y) = x2 - xy + y2, x2 _ y2 = 1
c fCx,y) = x2 + 2y2, x2 + y2 :s I
d fCx,y) = x2 _ y2, Y :s x2
e fCx,y) = x3 + y, x+y2: 1
f fCx,y) = x3 _ y2, x2 +y2 :s 1
5. Determinar extremos locais e pontos de sela se houver e se algum deles é extremo
absoluto
a fCx,y) = x2 + y3 - 3xy
b j(x,y)=xy+ln(x)+y2-10, x c- D
46
PROBLEMAS SOBRE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
1. Indicar a ordem de cada equação diferencial e verificar se a função dada é uma solução
b xy' + Y = sen(x)
y = ce-3x.
c - cos(x)
y = x .
y = e-2x(A cos(x) +B sen(x)).
a
c y" + 4y' + 5y = O
2. Verificar se a função dada é solução da equação diferencial; usar o MAPLE para
mostrar gráficos das funções correspondentes para vários valores de c
a y' + 2xy = O 2Y = ce= .
x2 + y2 = c.b , xy =--y
3. Determinar a função y = IJtx)dx, e o valor de c para que a função satisfaça a condição
dada
b
Jtx) = xe='
Jtx) = COS(X2)
y(2) = -5.a
y = ; quando x = ;.
4. Verificar se a função dada é solução da equação diferencial e determinar o valor de c
para que a função satisfaça a condição dada
b
y' +Y = I
y' = -2xy
y = 1+ ce" y = 3 quando x = O.a
2Y = ce:" y(O) = -1.
5. Determinar para cada descrição seguinte, a equação diferencial que modela essa situação
(mais de uma descrição pode estar associada à mesma equação diferencial):
Descrição:
1 A taxa de variação da população de um certo país, que depende no número de
imigrantes que chegam a uma taxa constante no país.
2 A taxa de variação da população de um certo país, onde há uma emigração líquida
de habitantes do país a uma taxa constante.
3 A população de peixes de um lago que se reproduzem proporcionalmente à
população, sujeita ao limite devido à capacidade total permitida pelas condições
ambientais do lago, e da pesca que ocorre a uma taxa constante.
4 A temperatura de um prédio, quando a temperatura externa varia periódicamente
(diminui durante a noite e aumenta durante o dia), sem aparelhos de calefação ou
ar condicionado funcionando.
5 ,Il. temperatura de um prédio, quando a temperatura externa varia periódicamente
(diminui durante a noite e aumenta durante o dia), e o prédio é aquecido a uma
taxa constante.
6 A temperatura de um prédio, quando a temperatura externa é constante, e não tem
aparelhos de calefação ou ar condicionado funcionando.
7 A temperatura de um prédio, quando a temperatura externa é constante, e o prédio
esta sendo aquecido a uma taxa constante.
8 O saldo de uma conta de poupança, quando os juros são compostos contínuamente,
47
e mais dinheiro está sendo acrescentado a uma taxa constante (o investidor está
depositando uma porcentagem fixa de seu contra-cheque mensalmente).
9 A taxa de variação do volume de uma gota de chuva, que evapora a uma taxa
proporcional a sua área superficial.
10 A taxa de variação do volume de uma gota de chuva, que evapora a uma taxa
proporcional a seu diâmetro.
11 A massa de uma substância radioativa que decai a uma taxa proporcional à
quantidade de material radioativo presente.
12 A quantidade de cloro em uma piscina quando a quantidade de água clorada é
acrescentada a uma taxa fixa, a água e o cloro estão misturados de modo uniforme
e a água' está sendo removida da piscina de tal modo que o volume total é
constante.
Equações Diferenciais (todas as constantes são positivas):
1 y' = -ky
)
2 y' = -ky"3
3 y' = ky(K - y)
4 y' = ky(K - y) - c
5 y' = -k(y - sen(t))
6 y' = -k(y - K) + c
7 y' = -k(y - K)
8 y' = ky+ c
9 y' = -ky+ c
2
10 y' = -ky"3
11 y' = ky(K - y) + c
12 y' = -k(y - sen(t)) + c
13 y' = -k(y - K) + c
14 y' = ky
15 y'=ky-c
6. Desenhar para cada equação diferencial um campo de direções (a mão, depois pode
verificar com o MAPLE), auxiliando-se com as isóclinas
a y' = x2.
b y' = y.
48
7. Desenhar para cada equação diferencial um campo de direções e incluir o gráfico de
algumas curvas solução
a y = xy.
b
,
=-~y Y'
c y' = x2 + y2
d y' = sen(y)
8. Resolver as seguintes equações separáveis
y' = xy.
y'y+x = O.
, Y
Y = xln(x)'
9. Resolver os seguintes PVI' s com equações separáveis
a y' = 3: y(l) = 2.
a
b
c
b y' = -2xy
2yy' = sen2(3x)
y(O) = Yo.
y(O) = O.c
10. Fazer as substituições sugeridas para transformar as equações em separáveis e determinar
as soluções
a xy r = e-XY - y u = xy.
b Y = (y_X)2 U = y-x.
C y =
y-x u = y-x.
y-x-l
11. Determinar a equação da curva que passa por (fi, fi) e cuja inclinação em todo ponto
de coordenadas (x,y) é ~ + ~ [sugestão: escrever a equação diferencial e substituir
~ por u onde u é função de x].
12. Fazer um esboço aproximado (mas bom) de várias curvas de nível da função u(x,y)
a u(x,y) = 2x2 + 3y2.
b u(x,y) = e>-Y.
13. Mostrar que as equações diferenciais são exatas e determinar as soluções
a cos(x)dx + ydy = O.
b - ~ dx + 1dy = O.
x
c 2xln(y)dx+x2y-1dy = O.
14. Resolver os seguintes PVI' s
a [eX cosy + 2(x - y)]dx = [ex sen(y) + 2(x - y) Jdy
b
y(O) = 77:.
y(l) = 2.
49
...... ",,-
15. Determinar as soluções gerais das equações diferenciais lineares seguintes
a y' + 3y = e2x + 6.
b y' + 2y = cos(x).
c xy' + 2y = ex2•
d y' +xy = 2x.
16. Resolver os seguintes PVI' s
a y' -x3y = -4x3 y(O) = 6.
y(l) = e-Lb y' - (1 + 3x-I )y = X + 2
17. Mostrar que a função dada é um fator integrante da equação diferencial correspondente:
a 2cos(71y)dx-71sen(71y)dy=0 e2x.
b (a+l)ydx+(b+l)xdy=O xayb.
18. Determinar um fator integrante para as equações lineares e resolver
a y' - y = e2x.
b xy' + Y = 2x.
c y' +xy = 2x.
d y' = ~ + x2ex
18 Neste problema consideramos as equações diferenciais seguintes:
(a) y' = x2 - y2, (b) y' = y2, (c) y' = x2 + y3, (d) y' = (x - y)y,
,x3 3(e) y = 1 2' (f) y' = x y.
+y
Os gráficos abaixo representam os campos de direções das equações
diferenciais dadas. Determinar para cada campo a equação diferencial correspondente:
\"" ..... --/// I
\\,'''' -//1/\\,,-.. -,.-'/1'/ I
\\\,,,~ ....,./llf
\\\", /'I/r
\\\\'''' ....///i
\\"" ////
\\\"- --r / I i
~~\~'" ,.-~/(J
< . !\~,...'-f' '::~~~\\, -// I\ \ 'v-, ////
\ \V',< ///1/
\ \'\v ... -//11
\ \ ", /1///
\\'''' ....//11
\\,'''' -//1/\,,-, ~.:!.. ""//~I
Ir~~->r r ) !"/1l\\' /11
11 \~~~=
/'/{f..../1
//1
////1\\, ...... ..../// /~\ '\ ,,, ///11"•.. -//:1".... ...~JI"....1,.,·· ,,"
f!lll' ""'I/""''-\\11/.0' ...•.,,\\I !/11"'-'--" \\!/// ''-'I1// ,\\/1/ '-\\I /1/-:'2:'1--'\ \
50