Matemática Financeira

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3a edição
1a reimpressão
Rio de Janeiro
2015
MATEMÁTICA FINANCEIRA
É proibida a duplicação ou reprodução deste volume, ou de partes dele,
sob quaisquer formas ou meios, sem permissão expressa da Escola.
REALIZAÇÃO
 Escola Nacional de Seguros
SUPERVISÃO E COORDENAÇÃO METODOLÓGICA
 Diretoria de Ensino Técnico
ASSESSORIA TÉCNICA
 Hugo César Said Amazonas – 2015/2014/2013
CAPA
 Coordenadoria de Comunicação Social
DIAGRAMAÇÃO
 Info Action Editoração Eletrônica
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca da FUNENSEG
E73m Escola Nacional de Seguros. Diretoria de Ensino Técnico.
 Matemática financeira/Coordenação metodológica da Diretoria de Ensino Técnico; 
assessoria técnica de Hugo César Said Amazonas. – 3. ed., 1. reimpr. – Rio de Janeiro: 
Funenseg, 2015.
 210 p.; 28 cm 
 Foram unificados dois manuais, matemática financeira básica e complementar, no presente 
material. 
 
 1. Matemática financeira. I. Amazonas, Hugo César Said. II. Título.
0014-1434 CDU 511(072)
A Escola Nacional de Seguros promove, desde 1971, diversas iniciativas no âmbito educacional, que contribuem para um mercado de seguros, previdência complementar, capitalização 
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e a competitividade é cada vez maior. 
Seja bem-vindo à Escola Nacional de Seguros.
MATEMÁTICA FINANCEIRA4
SUMÁRIO 5
Sumário
4
2
3
1 REVISÃO DE MATEMÁTICA 7
O Uso de Frações e a Divisão 9
Frações Próprias 9
Frações Impróprias 10
Fatorar, Exponenciar e Radiciar 11
Fatorar 11
Exponenciar 11
Radiciar 11
Exponenciando e Radiciando com Calculadoras 12
Porcentagens 16
O Significado das Porcentagens 16
O Denominador 100 16
Somar, Subtrair, Dividir e Multiplicar Porcentagens 17
Maneiras de se Expressar as Porcentagens 17
Equações do 1o Grau 18
Fixando Conceitos 1 21
CONCEITOS BÁSICOS 25
A Matemática Financeira 27
Valor do Dinheiro no Tempo 27
Fluxo de Caixa 27
Esquema – Representação Gráfica do Diagrama do Fluxo de Caixa – DFC 27
Juro(s) 28
Taxa de Juro(s) 28
Esquema 28
Formulação Matemática 29
Regimes de Juros de Capitalização 29
Conceitos Financeiros Diversos 29 
Fixando Conceitos 2 33
JUROS SIMPLES 35
Juros Simples 37
Taxas Proporcionais 39
Juros Simples Comercial e Juros Simples Exatos 41
Valor Futuro (a Juros Simples) 42
Fixando Conceitos 3 49
DESCONTO SIMPLES 55
Taxas de Desconto 57
Desconto Comercial Simples 58
Cálculo do Desconto Comercial Simples 58
Fixando Conceitos 4 63
MATEMÁTICA FINANCEIRA6
7
6
5 JUROS COMPOSTOS 69
Juros Compostos 71
Convenções ou Notações Utilizadas em Juros Compostos 71
Taxas Equivalentes 75
Fixando Conceitos 5 87
DESCONTO COMPOSTO 93
Desconto Racional Composto 95
Encontrando o Valor Atual 95
Fixando Conceitos 6 105
SÉRIES DE PAGAMENTO 111
Séries de Pagamentos 113
Classificação das Séries 113
Valor Atual de uma Anuidade ou Série de Pagamento 114
Anuidade Temporária por “n” Anos 114
Anuidade Perpétua 119
Valor do Montante ou Valor Futuro de uma Anuidade 122
Montante das Anuidades por Prazo Certo de “n” Anos 122
Fixando Conceitos 7 125
TESTANDO CONHECIMENTOS 129
ESTUDOS DE CASO 133
ANEXOS 135
Anexo 1 – Convenções/Notações 137
Anexo 2 – Relação entre as fórmulas de versões anteriores com a versão 2013 139
Anexo 3 – Utilizando a Calculadora HP-12C 141
GABARITO 143
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 209
UNIDADE 1 7
REVISÃO DE 
MATEMÁTICA11
Após ler esta unidade, você deve ser capaz de:
• Reconhecer uma fração e identificar seus termos.
• Diferenciar frações próprias de impróprias.
• Fatorar um número, ou seja, representar esse número sob a forma de produto de outros números.
• Elevar um número a uma potência, isto é, multiplicar esse número por ele mesmo tantas vezes quanto 
indicar o expoente.
• Achar a raiz de um número, dividindo-o sucessivamente por outro, uma quantidade de vezes definida, e 
produzir sempre resto zero.
• Radiciar e exponenciar em calculadoras científicas e na HP 12C®.
• Entender o significado de porcentagem.
• Realizar as operações de soma, subtração, divisão e multiplicação com porcentagem.
• Resolver equações do 1o grau, usando suas propriedades básicas.
MATEMÁTICA FINANCEIRA8
UNIDADE 1 9
 O USO DE FRAÇÕES E A DIVISÃO
A s frações expressam sempre uma divisão de um número por outro. 
Os termos de uma fração são o numerador e o denominador. O numerador 
corresponde ao dividendo, enquanto o denominador corresponde ao divisor. 
O resultado de uma fração equivale ao quociente da divisão. 
Suponha que eu tenha sete cartões de visita em meu bolso e que cinco desses 
cartões sejam escuros e os demais sejam claros. Qual a porcentagem de cartões 
escuros em relação ao total?
Vamos, primeiramente, representar graficamente o número de cartões escuros 
e claros, e a relação deles com o total de cartões.
Na parte superior da figura que se segue, está representado o número total 
de cartões (sete).
Na parte inferior, estão representados os números de cartões escuros (cinco) 
e claros (dois).
Além da representação gráfica, a relação entre 5 (cartões escuros) e 7 (total 
de cartões) pode ser expressa sob a forma de fração ou armando-se uma 
conta de divisão.
5 = 0,714286
7
 Frações Próprias
É quando o denominador é maior que o numerador, significando que o 
resultado é inferior à unidade. No exemplo anterior, o denominador “7” é 
maior do que o numerador “5”. O quociente “0,714286” (o resultado) é menor 
do que a unidade.
Exemplos de frações próprias:
• 270 dias é fração do ano comercial (360 dias), pois é menor do que o 
tempo de um ano e representa 3/4 ou 0,75 do ano.
• um semestre (180 dias) é fração do ano comercial, pois é menor do que o 
tempo de um ano (um semestre é 1/2 – metade – do ano ou 0,5 do ano).
• um trimestre (90 dias) é fração do ano comercial, pois é menor do que o 
tempo de um ano (um trimestre é 1/4 do ano ou 0,25 do ano). 
Curiosidade
No Egito antigo, no tempo dos faraós, 
os terrenos eram medidos, utilizando-se 
uma corda de tamanho padrão para a 
época. Esticavam essa corda e verifi cavam 
quantas vezes aquela unidade de medida 
estava contida nos lados do terreno. 
Como os lados dos terrenos raramente 
resultavam em um número inteiro de 
cordas, os egípcios eram obrigados a 
dividir a corda em partes iguais para 
representar aquela porção do terreno, 
introduzindo, assim a fração.
MATEMÁTICA FINANCEIRA10
• um mês (30 dias) é fração do ano, pois é menor do que o tempo de um 
ano (um mês é 1/12 do ano ou, aproximadamente, 0,0833 do ano).
• um dia é fração do mês, pois ele é menor do que o tempo de um mês 
(um dia é 1/30 do mês ou, aproximadamente, 0,0333 do mês).
• uma hora é fração do dia, pois ela é menor do que o tempo de um dia 
(uma hora é 1/24 do dia ou, aproximadamente, 0,041667 do dia).
• um minuto é fração de uma hora, pois ele é menor do que o tempo de uma 
hora (um minuto é 1/60 da hora ou, aproximadamente, 0,016667 da hora).
Vamos agora representar o trimestre como fração do ano.
Quando agrupamos os doze meses do ano em grupos de três, obtemos quatro 
períodos ou quatro trimestres. Cada trimestre representa a quarta parte de 
um ano ou 1/4 ou 0,25 ou 25% do ano.
1o trimestre janeiro fevereiro março
2o trimestre abril maio junho
3o trimestre julho agosto setembro
4o trimestre outubro
novembro dezembro
4 trimestres = 1 ano 
trimestre 1 trimestre 2 trimestre 3 trimestre 4
um ano
 Frações Impróprias
É quando o numerador é maior que o denominador, significando que o 
resultado é maior do que a unidade (maior do que um). 
Contudo, já que costumamos representar as relações entre as quantidades 
sob a forma de fração, colocando uma quantidade no numerador e outra no 
denominador, também chamamos de fração essa forma de dividir (no caso, 
impropriamente, daí o nome fração imprópria).
Exemplos de frações impróprias:
• um ano e um semestre é uma vez e meia o tempo de um ano ( 3 ou
1,5 ano). 2
• um ano é duas vezes o tempo de um semestre. 
• um dia é 24 vezes o tempo de uma hora.
• uma hora é 60 vezes o tempo de um minuto.
Isto é básico
Os resultados das frações 
próprias são menores do que a 
unidade (menores do que um).
Isto é básico
Os resultados das frações 
impróprias são maiores do que 
a unidade (maiores do que um).
UNIDADE 1 11
 FATORAR, EXPONENCIAR 
E RADICIAR
 Fatorar
É apresentar um número sob a forma de um produto de outros números, 
chamados fatores. Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto 
num produto de dois ou mais fatores. 
Decomposição do número 125 num produto de fatores:
125 = 5 × 5 × 5
Decomposição do número 40:
40 = 2 × 2 × 2 × 5
 Exponenciar
É elevar um número a uma potência. 
Aproveitando os resultados da fatoração, temos que:
625 = 5 × 5 × 5 × 5 = 54
No caso acima, o “5” é chamado de “base”, e o número de vezes que 
ele é multiplicado (“4”) é o “expoente”.
Como se pode ver, nós fixamos a base (o “5”) e somamos o número de vezes 
que ele foi multiplicado (o “4” é o expoente).
Vejamos outro exemplo de exponenciação:
8 = 2 × 2 × 2 = 23
No caso acima, o “2” é chamado de “base”, e o número de vezes que 
ele é multiplicado (“3”) é o “expoente”.
 Radiciar
Radiciar é achar a raiz de um número, ou seja, dividir sucessivamente um 
número por outro, uma quantidade de vezes definida, e produzir sempre 
resto zero. A quantidade de vezes que efetuamos as divisões é chamada de 
índice. 
Isto é básico
a0 = 1
a1 = a
MATEMÁTICA FINANCEIRA12
Exemplo:
O valor da raiz quadrada é o resultado que se encontra ao dividirmos um 
número por outro, duas vezes, sendo o resto igual a zero. 
Qual o número que ao dividir 64 duas vezes sucessivamente produz 
resto zero? 
Esse número é 8, pois 82 = 64 (8 × 8 = 64).
Na radiciação, o símbolo √ é o radical, “2” é o índice, “64” é o radicando 
e “8” é a raiz.
 2√ 641 = 8
A radiciação pode ser representada sob a forma de exponenciação:
 2
 √64 = 641/2 = 8, onde 1 é o expoente do radicando e 2 é o índice da raiz.
Qual o número que ao dividir 64 três vezes sucessivamente produz resto zero? 
Esse número é 4, pois 43 = 64 (4 × 4 × 4 = 64).
Quando o índice é “2” ou quando não há um índice especificado no radical, 
chamamos de raiz quadrada.
No cálculo abaixo, “3” é o índice, “64” é o radicando, e “4” é a raiz, pois 43 
= 4 × 4 × 4 = 64.
 
3√ 641 = 4 ou 641/3 = 4
Quando o índice é “3”, chamamos de raiz cúbica. No exemplo anterior, “4” 
é a raiz cúbica de 64.
 Exponenciando e Radiciando com 
Calculadoras
Como vimos, a radiciação pode ser calculada como uma exponenciação; 
portanto, os cálculos de exponenciação e de radiciação são semelhantes. 
Eles envolvem a digitação da base (o número que se quer exponenciar) e do 
expoente (o valor que representa o número de vezes que se quer exponenciar). 
Isto é básico
 m√an = an/m
UNIDADE 1 13
Em vez de memorizar fórmulas e regras e quebrar a cabeça fazendo contas, 
devemos aproveitar o progresso técnico e usar uma calculadora financeira, 
uma calculadora científica ou planilhas do tipo Excel. As calculadoras que 
executam esse tipo de operação possuem uma tecla de exponenciação, onde 
“y” (a base) é o número que se deseja exponenciar e “x” é o expoente.
yx é a tecla de expoente
Assim, para acharmos a raiz índice 32 ou raiz 32a (trigésima segunda) do 
número 40, elevamos 40 ao expoente fracionário (1/32). Aqui o numerador 
“1” é o expoente de 40 e o denominador 32 é o índice. Veja o exemplo:
 
32
401/32 é o mesmo que √ 401 = 1,122185
• Como usar a calculadora científica para achar a raiz índice 32 do 
número 40:
1. primeiro ache o valor da fração 1/32 (ou 1 dividido por 32), que será 
o nosso expoente = 0,03125, conforme calculado anteriormente
2. digite 40 e aperte a tecla yx
3. digite o nosso expoente 0,03125 e aperte a tecla =
4. o resultado é 1,122185 (observe que o resultado não é um número 
inteiro)
• Como usar a calculadora HP 12C® para achar a raiz índice 32 do 
número 40:
1. digite 40 e aperte a tecla ENTER
2. digite 32 
3. aperte a tecla 1/x e depois aperte a tecla yx
4. o resultado é 1,122185
 Elevando-se o número 1,122185 ao expoente 32 resulta no número 40. 
Confira esse resultado, utilizando a função yx da sua calculadora científica, 
conforme feito a seguir:
1. digite 1,122185 
2. aperte a tecla yx
3. digite 32 e aperte a tecla =
4. o resultado é 40
• Como usar a calculadora HP 12C® para realizar esse mesmo cálculo:
1. digite 1,122185 e aperte a tecla ENTER
2. digite 32
3. digite yx 
4. o resultado é 40
Ou seja, exponenciação e radiciação são operações inversas (uma “vai” e a 
outra “vem”, e vice-versa, como a soma com a subtração, e a multiplicação 
com a divisão).
MATEMÁTICA FINANCEIRA14
Aplicação prática 1
Achar a raiz índice 32 ou raiz 32a (trigésima segunda) de 4.567,88, 
usando sua calculadora financeira ou científica.
32√ 4.567,881 = 1,301266 ou 4.567,881/32 = 1,301266 
Resposta: 1,301266 (observe que a raiz não é um número inteiro)
• Usando a calculadora científica:
1. primeiro ache o valor da fração 1/32 (ou 1 dividido por 32), que será 
o nosso expoente = 0,03125, conforme calculado anteriormente
2. digite 4567,88 e aperte a tecla yx
3. digite o nosso expoente 0,03125 e aperte a tecla =
4. o resultado é 1,301266
• Usando a calculadora financeira HP 12C®:
1. digite 4567,88 e aperte a tecla ENTER
2. digite 32 e aperte a tecla 1/x
3. aperte a tecla yx
4. o resultado é 1,301266
Isto significa que o número 1,301266 elevado ao expoente 32 resulta 
no número 4.567,88.
1,30126632 = 4.567,88
UNIDADE 1 15
Aplicação prática 2
Qual o número que ao dividir 8.888 duas vezes sucessivamente produz 
resto zero? Esse número é 94,27619 (use sua calculadora financeira ou 
científica, elevando 8.888 à potência 1/2 ou 0,5).
 
2√ 8.8881 = 94,27619
• Usando a calculadora científica:
1. digite 8888 e aperte a tecla yx
2. digite o expoente 0,5 e aperte a tecla =
3. o resultado é 94,27619
• Usando a calculadora financeira HP 12C®:
1. digite 8888 e aperte a tecla ENTER
2. digite 2 e aperte a tecla 1/x
3. aperte a tecla yx
4. o resultado é 94,27619
Qual é o número que ao dividir 8.888 três vezes sucessivamente produz 
resto zero? Esse número é 20,71419 (use sua calculadora financeira 
ou científica, elevando 8.888 à potência 1/3 ou, aproximadamente, 
0,333333). Use o exemplo anterior como guia.
 
3√ 8.8881 = 20,71419
Qual é o número que ao dividir 8.888 nove vezes sucessivamente produz 
resto zero? Esse número é 2,746351 (use sua calculadora financeira 
ou científica, elevando 8.888 à potência 1/9, ou, aproximadamente, 
0,111111). 
 9√ 8.8881 = 2,746351
MATEMÁTICA FINANCEIRA16
 PORCENTAGENS
 O Significado das Porcentagens
Imagine que você encomendou 100 cartões de visita e que 5 cartões vieram 
com defeito. 
Isto significa que, “em 100 cartões de visita.” – ou em cada cento – 5 
cartões apresentam defeito. Daí as expressões “por cento”, “percentagem”, 
“porcentagem”.
Se eu comprei 100 cartões e o percentual de cartões defeituosos é igual a 3%, 
conclui-se que 3 cartões estavam com defeito.
Se eu comprei 200 cartões e o 
percentual de defeituosos é igual a 3%, conclui-se que 6 (seis) cartões estavam 
com defeito, pois (200 × 0,03 = 6).
Imagine agora que você atrasou o condomínio no valor de R$ 150,00 e deve 
pagar multa de 2%.
Para calcular o valor da multa, multiplique 150,00 por 2% (0,02). 
150,00 × 0,02 = 3,00 (valor da multa é R$ 3,00).
O valor total a ser pago, em reais, é igual a 150,00 + 3,00 = 153,00, ou seja, 
R$ 153,00.
 O Denominador 100
Toda vez que tivermos uma fração e o denominador for 100, estaremos diante 
de uma porcentagem.
• 1/100 (1% ou 0,01) – lê-se “um por cento”, “um centésimo”;
• 5/100 (5% ou 0,05) – lê-se “cinco por cento”, “cinco centésimos”;
• 10/100 (10% ou 0,1) – lê-se “dez por cento”, “um décimo”;
• 50/100 (50% ou 0,5) – lê-se “cinquenta por cento”, “um meio”, 
“metade”;
• 100/100 (100% ou 1) – lê-se “cem por cento”, “um inteiro”;
• 150/100 (150% ou 1,5) – lê-se “cento e cinquenta por cento”, “um e meio”; e
• 200/100 (200% ou 2) – lê-se “duzentos por cento”, “dois”.
Estamos bastante acostumados a efetuar as quatro operações fundamentais 
(somar, subtrair, multiplicar e dividir).
Façamos, porém, uma pequena revisão de conceitos que aprendemos nos 
ensinos fundamental e médio. Vamos efetuar algumas operações utilizando 
números escritos sob a forma de porcentagens ou nas suas formas decimais 
equivalentes.
Isto é básico
Nas operações (soma, diminuição, 
multiplicação e divisão) com 
porcentagem, trabalhamos com 
o valor no formato decimal, 
ou seja, divido por 100.
Exemplo: 3% = 3 ÷ 100 = 0,03
UNIDADE 1 17
 Somar, Subtrair, Dividir e Multiplicar 
Porcentagens
Exemplos: 
• Somar: 5% + 10% = 0,05 + 0,1 = 0,15 ou 15%.
• Subtrair: 10% – 4% = 0,1 – 0,04 = 0,06 ou 6%.
• Multiplicar: 10% × 5% = 0,1 × 0,05 = 0,005 ou 0,5% (lê-se cinco milésimos 
ou meio por cento). Como você vê, 10% × 5% não é igual a 50%!
Quando desejamos multiplicar porcentagens com o objetivo de acumular 
os resultados, devemos efetuar os cálculos utilizando fatores, isto é, 
somando-se “um” ao valor das porcentagens, multiplicando os fatores e, após, 
deduzindo-se “um” do resultado.
Multiplicar Acumulando: 10% × 5%, acumulando o resultado. 
(1 + 0,10) × (1 + 0,05) – 1 = (1,1 × 1,05) – 1 = 1,155 – 1 = 0,155 ou 15,5%
Quando queremos multiplicar acumulando um percentual a um valor, basta 
transformar essa porcentagem em fator e multiplicar ao valor.
Utilizando o exemplo da multa do condomínio, visto anteriormente. Primeiro 
calculamos a multa de 2% e depois somamos ao valor principal. Essa operação 
poderia ser feita em uma só operação:
150,00 × 1,02 = 153,00
Dividir: 10% ÷ 5% = 0,1 ÷ 0,05 = 0,02 ou 2%
Quando desejamos dividir porcentagens com o objetivo de desacumular 
os resultados, devemos efetuar os cálculos utilizando fatores, isto é, 
somando-se “um” ao valor das porcentagens, dividindo-se os fatores 
e, após, deduzindo-se “um” do resultado.
Dividir (Des) Acumulando: 10% ÷ 5%, (des) acumulando-se os resultados.
(1 + 0,10) ÷ (1 + 0,05) – 1 = 1,04761905 – 1 = 0,04761905 ou 4,76%
 Maneiras de se Expressar as Porcentagens
Há várias maneiras de se expressar porcentagens:
• 5% ou “5:100” (cinco dividido por cem) ou 5 ÷ 100 ou 0,05 (cinco 
centésimos);
• 10% ou “10:100” (dez dividido por cem) ou 10 ÷ 100 ou 0,10 (um décimo); e
• 3,33% ou “3,33:100” (três vírgula trinta e três dividido por cem) ou 3,33 
÷ 100 ou 0,0333 (trezentos e trinta e três décimos de milésimos).
MATEMÁTICA FINANCEIRA18
Quando efetuamos o cálculo com máquina de calcular, podemos fazê-lo 
usando a tecla de porcentagem. É importante, entretanto, que você saiba 
o significado dos resultados, como no caso da multiplicação anteriormente 
observado. 
 EQUAÇÕES DO 1o GRAU
Chamamos de equação do 1o grau toda equação que pode ser representada 
sob a forma ax + b = 0, em que a e b são constantes reais e a é diferente 
de 0. A letra x recebe o nome de incógnita e é o valor que queremos encontrar 
para satisfazer a igualdade.
 
Exemplo 1
Uma aplicação financeira rendeu de juros de R$ 100,00. Esses juros 
somados ao valor aplicado totalizaram R$ 400,00. 
Podemos representar essa aplicação em forma de equação:
x + 100 = 400, onde x é o valor aplicado, 100 são os juros ganhos e 
400 é o saldo final da aplicação.
Para resolvermos essa equação utilizamos as seguintes regras: 
1. tudo que tem a incógnita, neste caso x, fica de um lado do sinal de 
igual e tudo que não tem a incógnita fica do outro lado do sinal 
de igual. 
2. quando um termo muda de lado, ele troca de sinal. Se ele está 
somando, passa para o outro lado subtraindo e vice-versa; se 
está multiplicando, passa para o outro lado dividindo e vice-versa.
Então,
x = 400 – 100, o valor 100, que estava somando do lado esquerdo do 
sinal de igual, passou para o lado direito subtraindo.
Fazendo a operação 400 – 100, temos que:
x = 300
Substituindo x na equação inicial, teremos que: 300 + 100 = 400, ou 
seja, 400 = 400 a igualdade foi satisfeita.
UNIDADE 1 19
Exemplo 2
Os juros de uma aplicação financeira equivalem a 1/3 do valor aplicado. 
Quanto devo aplicar para meu saldo final ser de R$ 400,00?
Escrevendo em forma de equação, teremos (chamaremos o valor 
aplicado, que é a nossa incógnita, de P) que:
P + P/3 = 400; o valor aplicado P mais os juros ganhos, que equivale 
a 1/3 do valor aplicado, é igual a 400.
Podemos escrever assim:
P + 1/3 × P = 400
Calculando 1/3, temos que: 
P + 0,333333 × P = 400
1,333333 × P = 400
Passando o 1,333333 para o outro lado do sinal de igual:
P = 400 ÷ 1,333333 (o valor 1,333333, que estava multiplicando, passa 
para o outro lado dividindo)
P = 300,00
As equações funcionam como se fossem uma balança, e o sinal de 
igual é o ponto de equilíbrio, portanto:
a) adicionando um mesmo número a ambos os lados de uma equação, 
ou subtraindo um mesmo número de ambos os lados, a igualdade 
se mantém.
 x + 100 = 400, se subtrairmos 100 de ambos os lados:
 x + 100 – 100 = 400 – 100
 x = 300
b) dividindo ou multiplicando ambos os lados de uma equação por 
um mesmo número, não nulo, a igualdade se mantém.
 P + P ÷ 3 = 400, se multiplicarmos por 3 ambos os lados:
 (P + P ÷ 3) × 3 = 400 × 3
 3 × P + 3 ÷ 3 × P = 1.200
 3 × P + P = 1.200
 4 × P = 1.200, dividindo por 4 ambos os lados:
 4 × P ÷ 4 = 1.200 ÷ 4
 P = 300
MATEMÁTICA FINANCEIRA20
FIXANDO CONCEITOS 1 21
Anotações:
Fixando Conceitos 1
[1] MARQUE A ALTERNATIVA CORRETA:
Sabendo que João pediu uma pizza em casa e que esta foi fatiada em oito 
pedaços, tendo João comido cinco deles, podemos afirmar que a representação 
em forma de fração do que sobrou da pizza é:
(a) 1/8 (b) 3/8 (c) 4/8 (d) 5/8 (e) 7/8
[2] CORRELACIONE AS COLUNAS ABAIXO E DEPOIS MARQUE A ALTERNATIVA 
CORRETA:
P) Fração própria.
I) Fração impropria.
( ) 2/3
( ) 5/2
( ) 8/5
( ) 12/15
( ) 25/6
Agora assinale a alternativa correta:
(a) P-I-P-I-P
(b) P-P-I-I-P
(c) P-I-I-P-I
(d) I-P-P-I-I
(e) I-P-P-I-P
MARQUE A ALTERNATIVA CORRETA
[3] A decomposição do número 30 em fatores é: 
(a) 2 × 2 × 2
(b) 2 × 2 × 3
(c) 2 × 3 × 3
(d) 2 × 3 × 5
(e) 2 × 5 × 5
[4] A decomposição do número 54 é: 
(a) 2 × 32
(b) 2 × 33
(c) 2 × 34
(d) 22 × 32
(e) 5 × 10
MATEMÁTICA FINANCEIRA22
Anotações:
Fixando Conceitos 1
[5] O número que tem como decomposição 2 × 32 × 5 é:
(a) 30 (b) 40 (c) 60 (d) 80 (e) 90
[6] O número que ao dividir 125 três vezes sucessivamente produz resto zero é:
(a) 3 (b) 5 (c) 7 (d) 9 (e) 15
[7] A raiz quadrada do número 49 é:
(a) 7 (b) 9 (c) 20 (d) 24 (e) 30
[8] O número 256 como potência de base 2 é:
(a) 25 (b) 26 (c) 27 (d) 28 (e) 29
[9] A raiz cúbica de 216 é:
(a) 4 (b) 5 (c) 6 (d) 7 (e) 8
[10] O número
que tem como forma fatorada 23 × 3 × 52 é: 
(a) 200 (b) 300 (c) 400 (d) 500 (e) 600
[11] O valor da expressão 32 + 52 + 13 é:
(a) 9 (b) 19 (c) 30 (d) 35 (e) 65
[12] O número decimal que representa 7% é
(a) 0,0007 (b) 0,007 (c) 0,07 (d) 0,7 (e) 7
[13] Em relação a um jogador de futebol que, ao longo de um campeonato, 
cobrou 75 faltas, transformando em gol 8% dessas faltas. Os gols que esse 
jogador marcou foram:
(a) 3 (b) 4 (c) 5 (d) 6 (e) 7
FIXANDO CONCEITOS 1 23
Anotações:
Fixando Conceitos 1
[14] Sabendo que um trabalhador gasta 25% do seu salário com o pagamento 
de contas da casa, 18% em alimentação e 12% na mensalidade escolar dos 
filhos, a porcentagem do salário que ainda resta depois desses gastos é:
(a) 30% (b) 40% (c) 45% (d) 50% (e) 55%
[15] O resultado da expressão 20% × 15% é: 
(a) 0,03% (b) 0,3% (c) 3% (d) 30% (e) 300%
[16] Em uma loja de roupas em liquidação que baixou o preço de seus produtos 
em 10%, um vestido que custava R$ 150,00 passou a custar:
(a) R$ 50,00 (b) R$ 75,00 (c) R$ 100,00
(d) R$ 115,00 (e) R$ 135,00
[17] Em uma sala de aula que possui 100 alunos, sendo 40% meninas, a 
quantidade de meninas e de meninos, respectivamente, é:
(a) 10 e 90 (b) 40 e 60 (c) 50 e 50
(d) 60 e 30 (e) 70 e 30
[18] Se desejo lucrar 25% sobre o preço de compra de um relógio que comprei 
por R$ 150,00, devo vender o relógio por:
(a) R$ 187,50 (b) R$ 197,50 (c) R$ 207,50
(d) R$ 217,50 (e) R$ 227,50
[19] Sabendo que uma televisão de 29 polegadas custou R$ 1.600,00 e foi 
vendida com um prejuízo de 20% sobre o preço de custo, podemos afirmar 
que o preço de venda foi: 
(a) R$ 1.180,00 (b) R$ 1.280,00 (c) R$ 1.340,00
(d) R$ 1.580,00 (e) R$ 1.620,00
[20] Sabendo que, no mesmo mês em que o funcionário de uma empresa 
de seguros recebe uma promoção salarial de 5%, ocorre – devido a acordo 
coletivo – um reajuste de 3% nos salários, esse funcionário recebeu, em 
percentual, de aumento:
(a) 3,00% (b) 5,00% (c) 8,00% (d) 8,15% (e) 15,00%
MATEMÁTICA FINANCEIRA24
Anotações:
Fixando Conceitos 1
[21] O valor de y na equação 18y – 43 = 65 é:
(a) 5 (b) 6 (c) 7 (d) 8 (e) 9
[22] O valor de y na equação –2y = –4 + 3y é:
(a) -4 (b) -4/5 (c) 1 (d) 4/5 (e) 4
[23] O valor de y na equação 2y – 8 = 3y – 10 é:
(a) -2 (b) -2/5 (c) 2 (d) 3 (e) 4
[24] O valor de y que atende à igualdade 23y – 16 = 14 – 7y é:
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 (e) 5
[25] O valor de y na equação 2(2y + 7) + 3(3y – 5) = 3(4y + 5) –1 é:
(a) 10 (b) 12 (c) 15 (d) 17 (e) 20
[26] O valor de y na equação 3 – 7(1 – 2y) = 11 – (y – 45) é:
(a) 4 (b) 8 (c) 14 (d) 20 (e) 30
[27] O número que multiplicado por 5 e somado a 31, apresenta o resultado 
81 é:
(a) 10 (b) 15 (c) 20 (d) 21 (e) 45
[28] O valor de m na equação 16 + 3 × 5 + 2m = 5(m – 1) é: 
(a) 10 (b) 12 (c) 15 (d) 20 (e) 23
[29] Sabendo que a população de uma cidade X é o triplo da população da 
cidade Y e que a soma da população das duas cidades é 100.000, o número 
de habitantes da cidade Y é:
(a) 15.000 (b) 18.000 (c) 20.000 (d) 25.000 (e) 30.000
UNIDADE 2 25
CONCEITOS
BÁSICOS22
Após ler esta unidade, você deve ser capaz de:
• Entender a variação do dinheiro no tempo.
• Representar um fluxo de caixa através de um Diagrama de Fluxo de Caixa – DFC.
• Entender o que é juros e taxa de juros.
• Identificar os regimes de juros de capitalização.
• Identificar as variáveis que envolvem uma aplicação financeira.
MATEMÁTICA FINANCEIRA26
UNIDADE 2 27
 A MATEMÁTICA FINANCEIRA
A matemática financeira estuda e avalia as alterações ocorridas nos 
fluxos de caixa ao longo do tempo, isto é, entradas e saídas de dinheiro. 
Trata, essencialmente, do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo, 
fornecendo técnicas para se compararem as quantias movimentadas em 
datas distintas, efetuando análises e comparações através de relações 
formais.
 
Dominar os fundamentos básicos da matemática financeira, bem como 
conhecer e utilizar as ferramentas adequadas, capacita os usuários a tomarem 
decisões quanto a investimentos e a empréstimos, otimizando os seus recursos 
e avaliando as melhores alternativas disponíveis.
 VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO
Um dos fundamentos da atividade financeira é a variação do valor do 
dinheiro ao longo do tempo. Por exemplo: é melhor ter hoje R$ 100,00 
do que dispor desse valor numa data futura qualquer. Independentemente 
da existência de inflação, alguém que disponha de R$ 100,00, hoje, pode 
aplicá-los a uma certa taxa de juros, por menor que seja e, numa data futura, ter 
os mesmos R$ 100,00, mais algum valor complementar. Como consequência 
disso, o dinheiro tem valor diferenciado ao longo do tempo, o que significa 
que somente podem ser comparados valores quando em uma mesma data. 
Esta data é conhecida como data focal.
 FLUXO DE CAIXA
Denomina-se fluxo de caixa o conjunto de recebimentos e pagamentos, ocorridos 
ou a ocorrer, durante um certo intervalo de tempo. Para a representação 
gráfica, os recebimentos – denominados entradas, são informados com uma 
seta voltada para cima; e os pagamentos – denominados desembolsos, são 
representados com uma seta voltada para baixo e distribuídos ao longo de 
uma linha horizontal (que representa o tempo).
 Esquema – Representação Gráfica do 
Diagrama do Fluxo de Caixa – DFC
Os números 0, 1, 2, 3, 4 e 5 representam os períodos de tempo em que 
ocorrem as movimentações: entradas (1, 3, 4 e 5) e saídas (0 e 2).
0
1
2
3 4 5
MATEMÁTICA FINANCEIRA28
 JURO(S)
O cálculo de juros faz parte de toda a atividade econômica. Quando se diz 
que uma geladeira custa R$ 600,00 à vista e é vendida em 3 parcelas 
de R$ 220,00, isso significa que a diferença entre o valor de R$ 660,00 do 
pagamento a prazo e R$ 600,00 do pagamento à vista refere-se ao valor dos 
juros que o comprador está pagando (R$ 60,00).
Mas por que se pagam juros? Porque alguém que tinha disponibilidade 
de dinheiro (capital) adiantou esse dinheiro para que a geladeira estivesse 
à disposição do comprador. Por esse empréstimo, essa pessoa cobra um 
determinado valor que se denomina juros. 
Se alguém recebe um determinado valor a título de juros, isso implica que 
outra pessoa pague o mesmo valor por esses juros. 
 TAXA DE JURO(S)
A taxa de juros é a razão entre os juros pagos no final do período e o valor 
originalmente aplicado. Matematicamente, é representada por i. Usa-se i para 
identificar a taxa de juros, que pode ser expressa em fração decimal, ou na 
forma percentual (i = 5% → i = 5 ÷ 100 → i = 0,05).
Exemplo
O investidor aplica R$ 1.000,00, no 1o dia do mês, no Banco K. 
No 1o dia do mês subsequente, o Banco K devolve ao investidor 
R$ 1.050,00. 
Juros = R$ 1.050,00 – R$ 1.000,00 = R$ 50,00
Taxa de Juros no Período = (50,00 ÷ 1.000,00) = 0,05 ou 5%
 Esquema
R$ 1.000,00 – aplicação
(Saída de Caixa)
R$ 1.050,00 – resgate
(Entrada de Caixa)
Período
UNIDADE 2 29
 Formulação Matemática
 i = Juros ou i (%) = Juros × 100
 Capital Capital 
• Transforma-se uma taxa decimal em percentual multiplicando-se o valor 
da taxa por 100.
• Transforma-se uma taxa percentual em decimal dividindo-se o valor da 
taxa por 100.
Exemplos de formas idênticas de expressão das taxas de juros
Taxas Percentual Forma Decimal Fração
2% ao mês 2% a.m. 0,02 a.m. 2/100 a.m.
15% ao ano 15% a.a. 0,15 a.a. 15/100 a.a.
Embora os modos de expressão acima apresentados sejam semelhantes, a 
forma mais comum de expressar uma taxa de juros é a forma percentual com 
o período abreviado.
Exemplo: 2% a.m., 15% a.a. etc.
 Regimes de Juros de Capitalização
A maneira como o cálculo dos juros é efetuado define o regime dos juros. 
Podem ser dois
os regimes de capitalização: juros simples e juros compostos. 
 CONCEITOS FINANCEIROS 
DIVERSOS 
Existem outros conceitos básicos em matemática financeira, os quais devem 
ficar claros, bem como a nomenclatura utilizada:
• Valor Presente ou Principal (P) – Valor Atual ou Capital Inicial. Corresponde 
ao valor do dinheiro na Data Zero do Fluxo de Caixa, ou no instante 
presente. Em algumas literaturas e máquinas financeiras, adota-se a 
nomenclatura PV ou, ainda, VP;
• Valor Futuro ou Montante (F) – valor do dinheiro em uma data futura. 
Este Valor Futuro é o Valor Principal acrescido dos Juros (j) incorridos 
no período. Em algumas literaturas e máquinas financeiras, adota-se a 
nomenclatura FV ou ainda VF;
• Juros (j) – remuneração do capital empregado:
– para o investidor: remuneração do investimento;
– para o tomador: custo do capital obtido no empréstimo;
Juros Simples
Os juros de cada período são calculados 
sempre sobre o mesmo principal.
Juros Compostos
Os juros gerados em cada período são 
incorporados ao principal para o cálculo 
dos juros do período seguinte.
MATEMÁTICA FINANCEIRA30
• Tempo de Investimento (n) – como se denomina o número de períodos 
da aplicação (tempo);
• Período de Capitalização – conceito associado à periodicidade de 
remuneração associada à captação de juros no regime de juros compostos.
 Exemplo: mensal, bimestral, trimestral, anual.
 Devemos lembrar que, em regime de juros compostos, o incremento (juros) 
passa a fazer parte do capital somente depois de vencido o período de 
capitalização.
 Exemplo: você coloca na caderneta de poupança um valor qualquer: 
se retirá-lo antes de vencer o período de capitalização (mensal), nada 
receberá do banco;
• Taxa de Juros (i) – índice que determina a remuneração do capital num 
determinado tempo (dia, mês, ano...), também conhecido por taxa efetiva 
do investimento;
• Prestações Uniformes (PMT) – valor de cada prestação, associado a séries 
uniformes;
• Desconto (D) – refere-se ao valor financeiro que deve ser subtraído do 
valor nominal quando antecipamos o pagamento de um documento (título, 
nota promissória, cheque...);
• Taxa de Desconto (id) – índice de decréscimo do valor nominal de um 
documento quando antecipamos seu pagamento;
• Ano Civil – período de 365 dias ou 366 (para os anos bissextos), com 
meses de 28(29), 30 ou 31 dias, também chamado de ano-calendário;
• Ano Comercial – ano de 360 dias, considerando-se todos os meses com 
30 dias. É muito utilizado em operações financeiras.
Comentário
No Brasil, adota-se, normalmente, o ano 
civil para a contagem dos dias e o ano 
comercial (com 360 dias) para o cálculo 
das taxas de juros. Estes juros são também 
conhecidos como juros bancários. Quanto 
aos meses, consideram-se todos os meses 
como tendo 30 dias. É, por exemplo, o 
caso da caderneta de poupança, que 
paga juros mensais, independentemente 
da quantidade de dias do mês, que pode 
variar de 28 a 31 dias.
UNIDADE 2 31
Convenções/Notações
Descrição Nomenclatura Adotada
Outras 
Nomenclaturas
Valor Presente, Principal ou Capital Inicial P PV, VP, A
Valor Futuro ou Montante F FV, VF, M
Juros Simples ou Compostos J –
Tempo n t
Prazo de Carência m c
Taxa de Juros i r, k
Taxa de Juros Anual a.a. ao ano
Taxa de Juros Semestral a.s. ao semestre
Taxa de Juros Trimestral a.t. ao trimestre
Taxa de Juros Mensal a.m. ao mês
Desconto D –
Taxa de Desconto id
forma decimal 
da taxa
Prestações Uniformes PMT A, R ou G
Recebimento R Rec, PMT
Pagamento G pg, P, PMT
Valor Atual de uma Série P A, PV
Montante de uma Anuidade F S, FV
• Critérios adotados nos cálculos
 Neste material, todas as vezes que surgirem operações envolvendo 
frações, serão consideradas quatro casas decimais para o cálculo da 
resposta, exceto nas situações que envolvam potências (exponenciações 
– aplicáveis a juros compostos), quando serão utilizadas seis casas 
decimais.
• Critério de arredondamento
 Adotaremos o critério internacional de arredondamento de valores:
Último Dígito Resultado Exemplo
0, 1, 2, 3, 4 Eliminar 125,852 → 125,85
5 Somar 1 ao que fica, após eliminar o número 5 125,85 → 125,9
6, 7, 8, 9 Somar 1 ao que fica, após eliminar o último dígito 125,9 → 126,00
Observação
Na utilização de calculadoras fi nanceiras 
ou c ient í f i c as para operações em 
sequência, normalmente não se “zeram” 
as memórias, o que pode redundar 
em cálculos que ofereçam respostas com 
ligeiras diferenças (de aproximação), 
em relação aos resultados aqui expressos.
MATEMÁTICA FINANCEIRA32
FIXANDO CONCEITOS 2 33
Fixando Conceitos 2
Anotações:
[1] ANALISE AS PROPOSIÇÕES A SEGUIR E DEPOIS MARQUE A ALTERNATIVA 
CORRETA:
I) Juros são uma quantia em dinheiro que deve ser paga por um devedor, 
pela utilização de dinheiro de um credor.
II) A taxa de juros é o índice que determina a remuneração do capital num 
determinado tempo.
III) A matemática financeira estuda e avalia as alterações ocorridas nos fluxos 
de caixas ao longo do tempo.
IV) Os regimes de juros de capitalização são: juros simples e juros 
compostos.
Agora assinale a alternativa correta:
(a) Somente I e III são proposições verdadeiras.
(b) Somente II e IV são proposições verdadeiras.
(c) Somente I, II e III são proposições verdadeiras.
(d) Somente I, II e IV são proposições verdadeiras.
(e) I, II III e IV são proposições verdadeiras.
MARQUE A ALTERNATIVA CORRETA
[2] Sabendo que, no primeiro dia do mês, João aplicou R$ 3.000,00 e que, 
no final do mês, o valor da aplicação dele era de R$ 3.050,00, a taxa de juros 
utilizada foi:
(a) 1,67% (b) 2,52% (c) 3,33% (d) 4,12% (e) 5,89%
[3] Sabendo que, no final de uma aplicação, Maria recebeu a quantia de 
R$ 2.229,95 e que a taxa de juros foi de 3%, ela recebeu de juros:
(a) R$ 45,32 (b) R$ 51,45 (c) R$ 56,97 (d) R$ 62,01 (e) R$ 64,95
[4] Se aplicar R$ 1.500,00 no início do mês, a uma taxa de juros de 4%, 
receberei no final da aplicação:
(a) R$ 1.300,00 (b) R$ 1.560,00 (c) R$ 1.580,00
(d) R$ 1.600,00 (e) R$ 1.650,00
MATEMÁTICA FINANCEIRA34
UNIDADE 3 35
JUROS
SIMPLES33
Após ler esta unidade, você deve ser capaz de:
• Calcular valor dos juros no regime de juros de capitalização simples.
• Calcular montante ou valor futuro no regime de juros de capitalização simples.
• Calcular o principal no regime de juros de capitalização simples.
• Diferenciar juros simples exatos dos juros simples comercial.
• Calcular taxa proporcional no regime de juros de capitalização simples.
MATEMÁTICA FINANCEIRA36
UNIDADE 3 37
 JUROS SIMPLES
N o regime de capitalização a juros simples, os juros de cada período são 
calculados tendo sempre como base o valor do capital inicial. 
0 1 2 3 4 5 ...
J (Juros)}
Valor PresenteP
t
R$
Exemplo: Suponha uma pessoa que quer investir R$ 1.000,00 e entrega, em 
1o de janeiro, esse valor ao Banco A, que lhe promete juros simples de 10% 
ao ano. Qual será o seu saldo credor ao final de 3 anos?
O quadro a seguir resume o rendimento do investimento:
Data Base Cálculo (Capital) Juros de Cada Ano Saldo Final
Ano 1 1.000,00 10% de 1.000,00 = 100,00 1.100,00
Ano 2 1.000,00 10% de 1.000,00 = 100,00 1.200,00
Ano 3 1.000,00 10% de 1.000,00 = 100,00 1.300,00
Aplicação prática
O Banco A aplicou o dinheiro do cliente à taxa de 10% ao ano, sobre 
o capital inicial (R$ 1.000,00), mas não permitiu que o cliente retirasse 
os juros nem o remunerou por esses juros, que ficaram à disposição 
do banco durante todo o tempo da aplicação. Como foi apurado o 
valor R$ 1.300,00?
O capital (R$ 1.000,00) é multiplicado pela taxa (10%). Apura-se 
R$ 100,00. Em seguida, esse valor é multiplicado por 3, que é o número 
de anos em que o dinheiro ficou aplicado, e encontramos os juros.
Juros = Capital × Taxa × Tempo de Aplicação
 
Isto é básico
No regime de capitalização por 
juros simples, o crescimento 
dos juros é linear.
MATEMÁTICA FINANCEIRA38
Cálculo adotando a simbologia:
P – principal ou capital inicial (no exemplo R$ 1.000,00)
j – juros simples
n – tempo de aplicação (no exemplo, 3 anos)
i – taxa de juros no período (no exemplo 10%)
j = P × i × n, é a fórmula do cálculo dos juros simples.
Aplicação prática
1. Uma pessoa tomou emprestada a importância de R$ 2.000,00, 
pelo prazo de 2 anos, à taxa de 40% ao ano. Qual o valor dos juros 
simples a ser pago?
Dados:
P = 2.000
n = 2 anos
i = 40% a.a. = 40 ÷ 100 = 0,4 a.a.
Cálculo:
j = P × i × n
j = 2.000 × 0,40 × 2 = 1.600
Resposta: O valor dos juros simples a ser pago é de R$ 1.600,00.
2. Qual o valor dos juros simples a receber por uma aplicação de 
R$ 2.000,00, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 1,5% ao mês. 
Dados:
P = 2.000
n = 3 meses
i = 1,5% a.m. = 1,5 ÷ 100 = 0,015 a.m.
Cálculo:
j = P × i × n
j = 2.000 × 0,015 × 3 = 90,00
Resposta: O valor dos juros simples a receber é de R$ 90,00.
Isto é básico
Os cálculos só podem ser 
executados se o tempo de 
aplicação n for expresso na 
mesma unidade de tempo 
a que se refere a taxa i, 
considerado o prazo em ano, 
taxa ao ano, prazo em mês, 
taxa ao mês etc.
UNIDADE 3 39
 TAXAS PROPORCIONAIS
Denominam-se taxas proporcionais aquelas que, aplicadas a um mesmo valor 
presente (principal), geram um mesmo valor futuro (montante), para um 
mesmo intervalo de tempo. 
Exemplo
Calcular a taxa mensal proporcional a 30% ao ano. 
O primeiro passo é reduzir o tempo a uma mesma unidade. Lembrando 
que 1 ano = 12 meses, temos: 30% está para 12 meses, assim como 
x está para 1 mês (Regra de Três).
Ou seja:
30% ÷ 12 = x ÷ 1
x = 30% ÷ 12 = 2,5%
Logo: 2,5% é a taxa mensal proporcional a 30% ao ano.
• Duas taxas são proporcionais quando os seus valores guardam uma 
proporção com o tempo a que elas se referem. Para fazer o cálculo, é 
preciso reduzir o tempo a uma mesma unidade. 
• Problemas envolvendo taxas proporcionais podem ser resolvidos por meio 
de “Regra de Três”.
• Tratando-se de juros simples, tanto se pode compatibilizar o período (n) 
ou a taxa (i), alterando uma ou outra variável, uma vez que as relações 
são proporcionais.
• Estes conceitos são válidos apenas e tão somente para Taxas de Juros 
Simples.
2,5% 2,5%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Mês
Ano
2,5%
MATEMÁTICA FINANCEIRA40
Aplicação prática
1. Calcule a taxa mensal proporcional a 300% ao ano.
Como 1 ano = 12 meses, temos: 300% ÷ 12 = x ÷ 1 = x = 25% 
Resposta: 25% ao mês é proporcional a 300% ao ano.
2. Apurar a taxa anual proporcional a 6% ao trimestre.
Como: 1 ano = 4 trimestres, temos: 6% × 4 = 24%
Resposta: 6% ao trimestre é proporcional a 24% ao ano.
3. Qual a taxa semestral proporcional a 4% ao bimestre?
Como: 1 semestre = 3 bimestres, podemos escrever: 4% × 3 = 12%
Resposta: 12% ao semestre é proporcional a 4% ao bimestre.
4. Qual é a relação de proporcionalidade entre as taxas de juros 
anuais (i.a.), semestrais (i.s.), trimestrais (i.t.), mensais (i.m.) e diárias 
(i.d.).
Resposta: i.a. = 2 × i.s.; i.a. = 4 × i.t.; i.a. = 12 × i.m.; i.a. = 360 
× i.d.;
5. Quais são as taxas de juros: anual, semestral, trimestral e mensal 
proporcionais à taxa diária de 0,10%?
Taxa ao dia = 0,10% = 0,10 ÷ 100 = 0,0010
Taxa ao ano = 0,0010 × 360 = 0,36 → 0,36 × 100 = 36,0% a.a.
Taxa ao semestre = 0,0010 × 180 = 0,18 → 0,18 × 100 = 18,0% a.s.
Taxa ao trimestre = 0,0010 × 90 = 0,09 → 0,09 × 100 = 9,0% a.t.
Taxa ao mês = 0,0010 × 30 = 0,030 → 0,03 × 100 = 3,0% a.m.
Resposta: 36,0% a.a.; 18,0% a.s.; 9,0% a.t.; 3,0% a.m.
Atenção
Para o cálculo de Juros Simples Comercial:
UM ANO TEM
2 semestres
3 quadrimestres
4 trimestres
6 bimestres
12 meses
360 dias
UNIDADE 3 41
 JUROS SIMPLES COMERCIAL 
E JUROS SIMPLES EXATOS
• Juros Simples Comercial – são os juros cujo cálculo considera o ano 
comercial (com 360 dias) e o mês comercial (com 30 dias).
• Juros Simples Exatos – neste caso, considera-se o número exato de dias 
do ano (365 ou 366, caso o ano seja bissexto).
Aplicação prática
1. Um empréstimo de R$ 6.000,00, realizado em 20/07/2013 foi pago 
em 25/11/2013 do mesmo ano. Sendo a taxa de 18,25% ao ano, 
qual o valor total dos juros simples exatos a ser pago?
Inicialmente, determina-se o número de dias:
De 20/07 a 31/07 – 11 dias*
 01/08 a 31/08 – 31 dias
 01/09 a 30/09 – 30 dias
 01/10 a 31/10 – 31 dias
 01/11 a 25/11 – 25 dias
Total: 128 dias
* No cálculo de períodos financeiros, para se apurar o valor dos juros 
ou do montante futuro, não se considera a data inicial. No exemplo, 
é o dia 20/07.
Dados: 
P = 6.000,00
n = 128 dias; n = 128 ÷ 365 = 0,3507 anos
i = 18,25% a.a. = 0,1825 a.a.
Cálculo:
j = 6.000 × 0,1825 × 0,3507 = 384,02
Resposta: O valor dos juros simples exato a ser pago é de R$ 384,02.
MATEMÁTICA FINANCEIRA42
2. A que taxa mensal deve estar aplicada a quantia de R$ 66.000,00 
para que, em 3 meses e 10 dias, obtenham-se juros simples de 
R$ 11.000,00? 
Dados:
P = 66.000,00
j = 11.000
i = mensal
n = 3 meses e 10 dias = 100 dias = (100 ÷ 30) meses (atenção: divide-se 
por 30 dias, isto é, 1 mês, porque se deseja saber a taxa mensal).
j = P × i × n
Sendo os juros de R$ 11.000,00, pode-se escrever:
11.000 = 66.000 × i × 100 ÷ 30
i = 11.000 ÷ (66.000 × (100 ÷ 30))
i = 0,05 a.m. = 5% a.m.
Resposta: A taxa é de 5% ao mês.
Tratando-se de juros simples, tanto se pode compatibilizar o período (n) 
ou a taxa (i), alterando uma ou outra variável, uma vez que as relações 
são proporcionais.
 VALOR FUTURO (A JUROS SIMPLES)
No caso do cliente que aplicou R$ 1.000,00 no banco e obteve R$ 300,00 
de juros, quando terminar o período de aplicação ele terá R$ 1.300,00. 
Esse valor é chamado de Valor Futuro (ou montante) e engloba o valor presente 
do capital (P), acrescido dos juros auferidos no período.
O Valor Futuro – F é, portanto, a soma do capital investido ou aplicado 
mais os juros obtidos na aplicação durante um determinado período de 
tempo.
Sendo:
F = P + j
Lembrando que j = P × i × n, então o valor futuro (F) é: 
F = P + P × i × n 
Colocando P em evidência, temos que:
F = P (1 + i × n)
UNIDADE 3 43
Aplicação prática
1. Qual o valor futuro que receberá um aplicador que tenha investido 
R$ 28.000,00 durante 15 meses, à taxa de 3% ao mês, em regime 
de juros simples?
Dados:
P = 28.000
n = 15 meses
i = 3% a.m. = 0,03 a.m.
Como:
F = P (1 + i × n)
Então:
F = 28.000 (1 + 0,03 × 15)
F = 28.000 (1 + 0,45)
F = 28.000 × 1,45
F = 40.600
Este problema poderia ser resolvido de outro modo: 
j = 28.000 × 0,03 × 15 = 12.600
Como: F = P + j
F = 28.000 + 12.600 = 40.600
Resposta: F = R$ 40.600,00
2. Qual o capital inicial necessário para se ter um montante de 
R$ 14.800,00 daqui a 18 meses, a uma taxa de 48% ao ano, em 
regime de juros simples?
Dados:
F = 14.800
n = 18 meses ÷ 12 = 1,5 anos
i = 48% a.a. = 0,48 a.a.
F = P (1 + i × n)
14.800 = P (1 + 0,48 × 1,5)
14.800 = P (1 + 0,72)
14.800 = P (1,72)
P = 14.800 ÷ 1,72
P = 8.604,65
Resposta: O capital inicial necessário é de R$ 8.604,65.
MATEMÁTICA FINANCEIRA44
3. Quanto rende, a juros simples, um capital de R$ 100.000,00, 
investido a 9% ao mês durante 8 meses?
Dados: 
P = 100.000 
i = 9% a.m. = 0,09 a.m. 
n = 8 meses
Como: j = P × i × n
j = 100.000 × 0,09 × 8
j = 72.000
Resposta: Rende R$ 72.000,00 de juros.
4. Quais os juros simples de uma aplicação de R$ 200.000,00, a 4,8% 
ao mês, pelo prazo de 2 anos, 3 meses e 12 dias:
Dados:
P = 200.000
i = 4,8 ÷ 100 = 0,048 ao mês
n = 2 anos, 3 meses e 12 dias
Ou seja: 720 dias + 90 dias + 12 dias = 822 dias = 822 ÷ 30 = 27,4 
meses
O número
de dias (822) é dividido por 30, para se apurar a quantidade 
de meses. Como a taxa é mensal, o tempo também terá de ser expresso 
em meses. Desse modo, apuram-se os juros simples da aplicação.
j = 200.000 × 0,048 × 27,4
j = 263.040
Resposta: Os juros são de R$ 263.040,00.
5. Um capital foi aplicado a juros simples, a uma taxa de 3% 
ao mês. No final de 1 ano, 4 meses e 6 dias rendeu de juros 
R$ 97.200,00. De quanto era esse capital?
Dados:
j = 97.200
i = 3 ÷ 100 a.m. = 0,03 a.m.
n = 1 ano, 4 meses e 6 dias = 360 + 120 + 6 = 486 dias ÷ 30 = 
16,2 meses
Cálculo
P = ?
j = P × i × n
97.200 = P × 0,03 × 16,2
P = 200.000
Resposta: O capital era de R$ 200.000,00.
UNIDADE 3 45
6. Um investidor empregou, durante 2 anos, 3 meses e 20 dias a quantia 
de R$ 70.000,00. Sabendo que essa aplicação rendeu juros simples 
de R$ 75.530,00, qual foi a taxa simples mensal da aplicação?
Dados:
P = 70.000
j = 75.530
n = 2 anos, 3 meses e 20 dias (720 + 90 + 20), ou seja, 830 dias
n = 830 ÷ 30 = 27,6667 meses
i = ? (mensal)
Como j = P × i × n
75.530 = 70.000 × i × 27,6667
i = 75.530 ÷ (70.000 × 27,6667)
i = 0,039 = 3,9% a.m. 
Resposta: A taxa mensal foi de 3,9%.
7. A quantia de R$ 25.000,00 acumulou, em 1 ano, 4 meses e 18 dias, 
um montante de R$ 47.410,00. Qual foi a taxa simples mensal da 
aplicação?
Dados:
P = 25.000
F = 47.410
n = 1 ano, 4 meses e 18 dias = 360 + 120 + 18 = 498 dias
n = (498 ÷ 30) meses
Cálculo:
i = ? (mensal)
F = P (1 + i × n)
Então: 47.410 = 25.000 (1 + i × 498 ÷ 30)
47.410 = 25.000 × 1 + i × 25.000 × 498 ÷ 30
47.410 = 25.000 + i × 415.000
47.410 – 25.000 = i × 415.000
22.410 = i × 415.000 
i = 22.410 ÷ 415.000
i = 0,054 = 5,4% a.m.
Resposta: A taxa simples mensal foi de 5,4%.
Para o cálculo da taxa de juros, pode-se também utilizar a fórmula: 
i = F – 1 × 1
 P n
Logo: 
i = (47.410 ÷ 25.000 –1) × (1 ÷ 498 ÷ 30)
i = 0,054 = 5,4% a.m.
 
[ ] 
MATEMÁTICA FINANCEIRA46
8. Quanto rende de juros simples um capital de R$ 12.000,00, aplicado 
a 84% a.a., durante 3 meses?
Dados: 
P = 12.000 
i = 84% a.a. = 0,84 a.a. 
n = 3 meses = 3 ÷ 12 anos 
Como: J = P × i × n
Então: J = 12.000 × 0,84 × 3 ÷ 12
J = R$ 2.520,00
Resposta: O valor dos juros é R$ 2.520,00.
9. Um valor aplicado a certa taxa de juros simples rende, em 1 ano, 
2 meses e 20 dias, um valor igual a 1/3 do principal. Qual a taxa 
anual dessa aplicação?
Dados:
j = (1 ÷ 3) × P = P ÷ 3
n = 1 ano, 2 meses e 20 dias = 360 + 60 + 20 = 440 dias
n = (440 ÷ 360) anos
Variável desejada: i = ? (ao ano) 
Sendo: j = P × i × n
Então, P ÷ 3 = P × i × (440 ÷ 360)
Multiplicando por 360 os dois lados da equação:
360 × P ÷ 3 = P × i × (440 ÷ 360) × 360 
120 × P = 440 × P × i
120 × P = 440 × P × i (simplifica-se cortando o P)
120 = 440 × i
i = 120 ÷ 440
i = 0,2727 = 27,27% a.a.
Resposta: A taxa anual é de 27,27%.
10. Quantos meses um capital de R$ 500,00, aplicado à taxa de 30% 
ao bimestre, leva para produzir R$ 1.050,00 de juros simples?
Dados:
P = 500
J = 1.050
i = 30 ÷ 100 a.b. = 0,30 a.b.
n = ?
j = P × i × n
Logo: 1.050 = 500 × 0,3 × n
n = 7 bimestres ou 7 × 2 meses = 14 meses
Resposta: São necessários 14 meses para se obter esse valor 
de juros.
UNIDADE 3 47
11. Qual o Valor Futuro de uma aplicação de R$ 10.000,00, à taxa de 
2,5% ao mês, durante 3 anos?
Dados:
P = 10.000
n = 3 anos = 3 × 12 = 36 meses
i = 2,5% a.m. = 2,5 ÷ 100 a.m. = 0,025 a.m.
Cálculo de F:
Como F = P (1 + i × n), então: 
F = 10.000 (1 + 0,025 × 36)
F = 19.000
Resposta: O Valor Futuro será de R$ 19.000,00.
12. O capital de R$ 10.000,00 foi aplicado a uma taxa (juros simples) 
de 0,5% ao dia. O investimento foi feito por um prazo de 116 dias. 
Qual o total de juros?
Dados:
P = 10.000
i = 0,5% a.d. = 0,005 a.d.
n = 116 dias
j = P × i × n, logo:
j = 10.000 × 0,005 × 116
j = 5.800
Resposta: O total de juros é de R$ 5.800,00.
13. Em quantos anos um capital, aplicado a juros simples de 10% a.a., 
triplica?
Dados:
P = P (capital qualquer)
F = 3 P (triplo do capital inicial)
F = P + J
J = F – P
 J = 3P – P
J = 2P
i = 10 ÷ 100 a.a. = 0,1 a.a.
n = ?
Como: j = P × i × n 
Logo: 2 P = P × 0,1 × n → n = 20
Resposta: O capital triplicará em 20 anos.
O cálculo do tempo de investimento pode também seguir a fórmula: 
n = F – 1 × 1
 P i 
Logo: n = (3 ÷ 1 – 1) × (1 ÷ 0,1) 
n = 20 anos
MATEMÁTICA FINANCEIRA48
14. Nos problemas em que não aparece o capital, você poderá usar o valor 
R$ 100,00 para facilitar sua resolução. Basta resolver a questão 
anterior usando este artifício:
Dados:
P = 100,00
F = 3 × P = 3 × 100 = 300,00
F = P + J
J = F – P
J = 300 – 100
J = 200
i = 10 ÷ 100 a.a. = 0,1 a.a.
n = ?
Como J = P × i × n
Logo, 200 = 100 × 0,1 × n
n = 20.
Resposta: O capital triplicará em 20 anos.
FIXANDO CONCEITOS 3 49
Anotações:
Fixando Conceitos 3
MARQUE A ALTERNATIVA CORRETA
[1] Dada a taxa anual de 42%, a taxa mensal proporcional é de:
(a) 3,5% (b) 6% (c) 7% (d) 10,5% (e) 12%
[2] A taxa mensal proporcional a 30% ao ano é de:
(a) 1,5% (b) 2,5% (c) 3% (d) 3,5% (e) 6%
[3] A taxa anual proporcional a 8% ao trimestre é de:
(a) 16% (b) 24% (c) 32% (d) 36% (e) 38%
[4] Os juros simples de um investimento de R$ 2.500,00, à taxa de 3% ao 
mês, pelo prazo de 1 ano, 4 meses e 10 dias são de:
(a) R$ 1.125,00 (b) R$ 1.150,00 (c) R$ 1.175,00
(d) R$ 1.225,00 (e) R$ 1.250,00
[5] Quando aplicamos R$ 2.800,00 por 1 ano, 5 meses e 3 dias, e obtemos 
juros simples de R$ 2.872,80, a taxa mensal simples dessa aplicação é:
(a) 2% (b) 3% (c) 4% (d) 5% (e) 6%
[6] A quantia que, aplicada durante 2 anos, 3 meses e 15 dias, à taxa simples 
de 2,75% ao mês, produz um montante de R$ 307.343,75 é:
(a) R$ 150.000,00 (b) R$ 175.000,00 (c) R$ 200.000,00
(d) R$ 225.000,00 (e) R$ 250.000,00
[7] Sabendo que um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado, à taxa simples de 
3,5% ao mês, durante 6 meses, ao final desse tempo o capital acumulado 
(F) é de:
(a) R$ 8.800,00 (b) R$ 9.300,00 (c) R$ 10.420,00
(d) R$ 11.380,00 (e) R$ 12.100,00
MATEMÁTICA FINANCEIRA50
Anotações:
Fixando Conceitos 3
[8] Sabendo que a quantia de R$ 50.000,00, aplicada durante 5 meses, rendeu
R$ 7.500,00 de juros simples, a taxa mensal foi de:
(a) 3% (b) 4% (c) 5% (d) 6% (e) 7%
[9] Aplicando R$ 30.000,00 durante um certo tempo, a 40% ao ano e obtendo 
R$ 24.000,00 de juros simples, o tempo de aplicação foi de:
(a) 1 ano (b) 2 anos (c) 3 anos (d) 4 anos (e) 5 anos
[10] Sabendo que, para obter R$ 6.000,00 de juros simples, aplicou-se a quantia de
R$ 10.000,00 por 4 anos, a taxa anual dessa aplicação foi de:
(a) 5% (b) 10% (c) 15% (d) 20% (e) 25%
 
[11] A taxa mensal que faz com que um capital, investido a juros simples 
durante 16 meses, tenha seu valor triplicado é:
(a) 10% (b) 12,5% (c) 14,5% (d) 15% (e) 16,5%
[12] Sabendo que um capital, aplicado a uma taxa de 12% a.m., rende juros 
simples que são iguais a 1/10 do seu valor inicial, o total de dias que esse 
capital foi aplicado é:
(a) 5 dias (b) 10 dias (c) 15 dias (d) 20 dias (e) 25 dias
[13] Os juros simples do investimento que uma pessoa fez com um capital 
de R$ 60.000,00, durante 146 dias, à taxa de juros simples de 9% a.m., foram de:
(a) R$ 22.530,00 (b) R$ 23.880,00 (c) R$ 26.280,00
(d) R$ 27.480,00 (e) R$ 28.260,00
[14] O capital que produziu um montante de R$ 86.400,00, investido a 
juros simples durante 8 meses, a 138% a.a., é de:
(a) R$ 30.000,00 (b) R$ 35.000,00 (c) R$ 40.000,00
(d) R$ 45.000,00 (e) R$ 50.000,00
FIXANDO CONCEITOS 3 51
Anotações:
Fixando Conceitos 3
[15] Sabendo que um capital, aplicado a uma taxa de 90% a.a., renderá juros 
simples iguais a 1/20 do seu valor, o total de
dias de aplicação desse capital 
será de:
(a) 10 dias (b) 20 dias (c) 30 dias (d) 40 dias (e) 50 dias
[16] Sabendo que o capital de R$ 740.000,00, aplicado a 3,6% a.m., gerou 
um montante de R$ 953.120,00, o total de meses em que esse capital foi 
aplicado a juros simples foi de:
(a) 6 meses (b) 7 meses (c) 8 meses (d) 9 meses (e) 10 meses
[17] A taxa mensal de um capital de R$ 480.000,00 que, aplicado em 3 
meses e 20 dias, produziu R$ 4.400,00 de juros simples foi de:
 (a) 0,25% (b) 2,5% (c) 25% (d) 27,5% (e) 31,25%
[18] Sabendo que dois capitais, de R$ 11.000,00 e R$ 5.000,00, estiveram 
aplicados durante 3 anos a juros simples, e que o primeiro capital esteve 
aplicado à taxa de 7% a.a. e rendeu R$ 1.110,00 a mais do que o segundo, a 
taxa a que esteve aplicado o segundo capital foi de:
(a) 4% a.a. (b) 5% a.a. (c) 6% a.a. (d) 7% a.a. (e) 8% a.a.
[19] Sabendo que a soma de um capital com seus juros é igual a R$ 2.553,47, o 
valor dos juros simples da aplicação, que durou 110 dias, à taxa de 7% a.a. é:
(a) R$ 53,47 (b) R$ 54,38 (c) R$ 55,29 (d) R$ 56,12 (e) R$ 58,50
[20] O prazo necessário para se duplicar um capital aplicado à taxa de juros 
simples de 4% a.m. é:
(a) 20 meses (b) 22 meses (c) 24 meses
(d) 25 meses (e) 30 meses
MATEMÁTICA FINANCEIRA52
Anotações:
Fixando Conceitos 3
[21] O capital que, acrescido de juros simples a 6,5% a.a., em 1 ano e 4 meses, 
gera um montante de R$ 7.824,00 é:
(a) R$ 7.200,00 (b) R$ 7.400,00 (c) R$ 7.600,00
(d) R$ 7.800,00 (e) R$ 7.900,00
[22] A taxa mensal de um capital de R$ 8.000,00, que, em 6 meses, gerou 
juros simples de R$ 2.640,00 foi de:
(a) 3,5% (b) 4,5% (c) 5,5% (d) 6,5% (e) 7,5%
[23] O total de meses da aplicação de um capital de R$ 32.000,00 que, aplicado 
à taxa de juros simples de 12% a.a., rende R$ 4.800,00 é:
(a) 11 meses (b) 12 meses (c) 13 meses
(d) 14 meses (e) 15 meses
[24] Um capital de R$ 100.000,00, aplicado a uma taxa de 20% a.t., ao 
longo de 15 meses, rendeu de juros simples:
(a) R$ 20.000,00 (b) R$ 30.000,00 (c) R$ 50.000,00 (d) R$ 75.000,00 
(e) R$ 100.000,00
[25] Os juros simples de uma aplicação de R$ 50.000,00, à taxa de 
6% a.a., pelo prazo de 18 dias, são de:
(a) R$ 100,00 (b) R$ 120,00 (c) R$ 150,00
(d) R$ 180,00 (e) R$ 200,00
[26] O montante de uma aplicação de R$ 80.000,00, a juros simples de 
3,5% a.m., pelo prazo de 9 meses, é de:
(a) R$ 100.000,00 (b) R$ 102.500,00 (c) R$ 105.200,00
(d) R$ 106.800,00 (e) R$ 108.000,00
FIXANDO CONCEITOS 3 53
Anotações:
Fixando Conceitos 3
[27] Os juros simples de uma aplicação de R$ 12.000,00, a 36% a.a., por um 
trimestre, são de:
(a) R$ 1.080,00 (b) R$ 1.180,00 (c) R$ 1.280,00 
(d) R$ 1.380,00 (e) R$ 1.480,00
[28] Os juros simples de uma aplicação de R$ 350.000,00, à taxa de 4% a.m., 
aplicados por 72 dias, são de:
(a) R$ 30.000,00 (b) R$ 31.200,00 (c) R$ 32.400,00 
(d) R$ 33.600,00 (e) R$ 36.000,00
[29] Sabendo que um capital, acrescido de seus juros de 21 meses, soma 
R$ 156.400,00 e, diminuído de seus juros de 9 meses, é reduzido a 
R$ 88.400,00, o capital e a taxa de juros simples desse investimento é:
(a) 100.125,32 e 1.95% a.m.
(b) 103.795,74 e 1,98% a.m.
(c) 105.540,26 e 2,01% a.m.
(d) 108.800,05 e 2,08% a.m.
(e) 109.645,47 e 2,12% a.m.
[30] Deve ser aplicado hoje, em uma instituição financeira, que paga juros simples 
de 6% a.m., para se obter R$ 200.000,00 no fim de 39 dias, o valor de:
(a) R$ 150.688,40 (b) R$ 168.800,36 (c) R$ 185.528,76
(d) R$ 190.000,00 (e) R$ 198.222,22
[31] O juro comercial simples de R$ 10.000,00, aplicado há 198 dias, à taxa 
de 6% ao ano, é de:
(a) R$ 166,67 (b) R$ 303,03 (c) R$ 313,33 
(d) R$ 330,00 (e) R$ 600,00
MATEMÁTICA FINANCEIRA54
UNIDADE 4 55
DESCONTO
SIMPLES44
Após ler esta unidade, você deve ser capaz de:
• Calcular o valor descontado de um título, nota promissória, letras de câmbio etc no regime de capitalização 
a juros simples.
• Calcular o valor do desconto no resgate de um título, nota promissória, letras de câmbio etc no regime de 
capitalização a juros simples.
MATEMÁTICA FINANCEIRA56
UNIDADE 4 57
 TAXAS DE DESCONTO
B ancos e outras instituições financeiras realizam operações de desconto de 
títulos diversos. Nesse caso, o credor do título recebe hoje o valor do título 
que tem vencimento futuro, mediante o pagamento de deságio e cessão dos 
direitos creditórios. Nessas operações, são negociados títulos como notas 
promissórias (NP), duplicatas e outros.
Deságio
Valor de desconto que se 
deduz de uma obrigação 
a ocorrer no futuro, para 
que essa possa ser quitada 
antecipadamente.
Cessão dos 
direitos creditórios
Cessão do valor a receber 
numa data, por pessoa física 
ou jurídica, que pode ser 
negociado com terceiros.
Quando alguém tem algo a pagar e outro tem algo a receber, podem ocorrer 
situações como:
• o devedor tem disponibilidade de recursos e opta por pagar antes da 
data predeterminada. Neste caso, o prazo de empréstimo é reduzido. 
Logo, é razoável que o devedor pague menos pelo empréstimo. 
Assim, ele se beneficia com um abatimento correspondente aos juros que 
seriam gerados por esse dinheiro, durante o intervalo de tempo que falta 
para o vencimento; e
• pode ocorrer, também, que o credor (quem emprestou o dinheiro) necessite 
do dinheiro antes da data marcada. Como, quase sempre, o devedor 
não pode antecipar o pagamento, pois já se programou para pagar na 
data predeterminada, o credor vende seu título de crédito a um terceiro. 
Ora, esse agente também vai querer ser remunerado com os juros do 
capital que adiantar, considerando-se o intervalo de tempo que falta para 
o devedor liquidar o pagamento.
Em ambos os casos, há um benefício, definido pela diferença entre as 
duas quantidades – a que seria paga e a que efetivamente foi paga. 
Esse benefício, obtido de comum acordo, recebe o nome de desconto.
As operações citadas são denominadas operações de desconto.
Na operação de desconto, usamos alguns termos específicos:
• data de vencimento – dia fixado, no título, para pagamento da 
aplicação;
• valor nominal ou valor futuro ou valor de face ou valor de resgate (F) – 
valor indicado no título (importância a ser paga no dia do vencimento);
n (período de 
antecipação)
F (Valor Nominal)
D (Desconto)
P
tempo
•
•
P (V
alo
r A
tua
l)
R$
MATEMÁTICA FINANCEIRA58
• valor atual ou valor presente ou valor descontado (P) – líquido pago 
(antes do vencimento);
• prazo (n) – o tempo em períodos (dias, meses ou anos), compreendido 
entre o dia em que se negocia o título e o seu vencimento. O prazo inclui 
o último dia (ou mês ou ano) e exclui o primeiro; e
• desconto (D) – pode ser entendido como sendo a diferença entre o valor 
nominal e o valor atual. O desconto pode ser feito, considerando-se, 
como capital, o valor nominal ou o valor atual. No primeiro caso, temos 
um desconto comercial simples e, no segundo, um desconto racional.
 DESCONTO COMERCIAL SIMPLES
É a modalidade de desconto mais utilizada. É denominada desconto comercial 
simples, bancário ou por fora o equivalente aos juros simples, produzidos, 
pelo valor nominal do título, no período de tempo correspondente à taxa 
fixada.
 Cálculo do Desconto Comercial Simples
Pela definição acima, têm-se:
P = F – D
D = F × id × n
onde:
D = valor do desconto comercial simples (em moeda R$) 
F = valor nominal do título ou valor de face ou valor futuro
P = valor presente, correspondente ao valor futuro, descontado o valor do 
desconto “D”
id = taxa de desconto (na forma decimal)
n = prazo de antecipação (tempo) 
Atenção
Não abordaremos aqui o assunto 
desconto racional.
Nota
Também neste caso, n e id devem estar na
mesma unidade de tempo. 
UNIDADE 4 59
Outra fórmula para o cálculo:
P = F – D, como D = F × id × n, o cálculo do valor presente pode ser 
simplificado para a fórmula:
P = F × (1 – id × n)
Aplicação prática
1. Um título de R$ 3.000,00 é descontado por fora, 6 meses antes do 
seu vencimento, a uma taxa de 2% ao mês. Considerando regime 
de capitalização de juros simples, qual o valor do desconto?
Dados:
F = 3.000
id = 2% a.m. = 0,02 ao mês
n = 6 meses
Cálculo:
D = F × id × n
D = 3.000 × 0,02 × 6
D = 360
Resposta: O desconto é de R$ 360,00.
2. Um título de R$ 5.000,00 foi descontado por R$ 3.750,00. Sabendo que 
o tempo de antecipação foi de 4 meses, qual a taxa mensal de 
desconto simples?
Dados:
F = 5.000
P = 3.750
D = 5.000 – 3.750 = 1.250
id = ?
n = 4 meses
Cálculo:
D = F × id × n
1.250 = 5.000 × id × 4
1.250 = 20.000 × id
id = 6,25% a.m.
Resposta: A taxa de desconto foi de 6,25% ao mês.
Conclusão
O desconto comercial simples só deve ser 
empregado para períodos curtos, pois, para 
prazos longos, o valor do desconto pode 
ultrapassar o valor nominal do título.
MATEMÁTICA FINANCEIRA60
3. Qual o valor atual de um título de R$ 1.200,00, resgatado 8 meses 
antes do seu vencimento, a uma taxa de 42% ao ano, considerando-se 
os juros simples?
Dados:
F = 1.200
P = ?
id = 42 ÷ 100 = 0,42 ao ano
n = 8 meses = 8 ÷ 12 anos (porque a taxa id é anual)
Cálculo:
P = F × (1 – id × n)
P = 1.200 × (1 – 0,42 × 8 ÷ 12)
P = 864
Resposta: O valor atual do título é R$ 864,00.
Outro modo de calcular:
D = F × id × n
D = 1.200 × 0,42 × (8 ÷ 12)
D = 336
P = F – D
P = 1.200 – 336 = 864
4. Calcule o valor do desconto simples de um título de R$ 1.720,00, 
descontado 3 meses e 20 dias antes do vencimento, a uma taxa 
de 38,7% ao ano.
Dados:
F = 1.720
D = ?
id = 38,7 ÷ 100 = 0,387 ao ano
n = 3 meses e 20 dias = 90 + 20 = 110 dias
ou seja: n = (110 ÷ 360) anos (porque a taxa id é anual)
Cálculo:
D = F × id × n
D = 1.720 × 0,387 × (110 ÷ 360)
D = 203,39
Resposta: O valor do desconto é de R$ 203,39.
UNIDADE 4 61
5. Uma promissória de R$ 1.480,00 foi resgatada, 4 meses antes do 
seu vencimento, por R$ 1.220,00. Qual a taxa anual da operação, 
considerando o regime de capitalização a juros simples?
Dados:
F = 1.480
P = 1.220
D = 1.480 – 1.220 = 260
id = ? (ao ano)
n = 4 meses = 4 ÷ 12 anos (porque a taxa id desejada é anual)
Cálculo:
D = F × id × n
260 = 1.480 × id × 4 ÷ 12
id = 0,5270 = 52,70% a.a.
Resposta: A taxa anual é de 52,70%.
6. Calcule o valor de um título que foi resgatado por R$ 796,24, 
6 meses antes do seu vencimento, a uma taxa de 7% ao mês em 
juros simples.
Dados:
F = ?
P = 796,24
id = 7 ÷ 100 = 0,07 ao mês
n = 6 meses
Cálculo:
P = F (1 – id × n)
796,24 = F (1 – 0,07 × 6)
Resposta: O valor do título é R$ 1.372,83.
7. Qual o valor do desconto simples de um título de R$ 900,00, 
descontado 5 meses antes do seu vencimento, a uma taxa de 3% 
ao mês?
Dados:
F = 900
D = ?
id = 3 ÷ 100 = 0,03 ao mês
n = 5 meses
D = F × id × n
Cálculo:
D = 900 × 0,03 × 5
D = 135
Resposta: O desconto é de R$ 135,00.
MATEMÁTICA FINANCEIRA62
FIXANDO CONCEITOS 4 63
Anotações:
Fixando Conceitos 4
MARQUE A ALTERNATIVA CORRETA 
[1] Sabendo que uma nota promissória de R$ 186.000,00, vencendo em 
72 dias, sofreu R$ 3.199,20 de desconto comercial simples, a taxa anual usada 
nessa operação foi de:
(a) 6% (b) 7,6% (c) 8,6% (d) 9,2% (e) 10,4%
[2] O valor atual de um título de R$ 20.000,00, descontado a 5% a.a., em 6 
meses, considerando juros simples, é de:
(a) R$ 19.500,00 (b) R$ 20.000,00 (c) R$ 21.500,00 
(d) R$ 22.000,00 (e) R$ 23.500,00
[3] O valor atual de um título que, descontado a 6% a.a., 4 meses antes do 
vencimento, produziu o desconto comercial simples de R$ 600,00 é de:
(a) R$ 28.200,00 (b) R$ 28.600,00 (c) R$ 29.200,00
(d) R$ 29.400,00 (e) R$ 30.000,00
[4] Sabendo que devo a um amigo R$ 110.000,00 e desejo liquidar a dívida, 
endossando-lhe um título que possuo de R$ 90.000,00, vencendo em 1 mês e 
25 dias, a quantia em dinheiro que devo dar, se o desconto comercial simples 
for feito a 8% a.a., é de:
(a) R$ 21.100,00 (b) R$ 24.800,00 (c) R$ 25.300,00 
(d) R$ 28.900,00 (e) R$ 88.900,00
[5] O valor nominal de uma duplicata que, à taxa de 6% a.m., sofreu um 
desconto bancário ou comercial, ou por fora, de R$ 60,00, ao ser resgatada 
2 meses antes de seu vencimento, é de:
(a) R$ 300,00 (b) R$ 400,00 (c) R$ 500,00 
(d) R$ 600,00 (e) R$ 700,00
[6] Se para descontar uma nota promissória, a uma taxa de desconto 
comercial simples de 15% ao mês, 60 dias antes do vencimento, uma pessoa 
recebe o valor líquido de R$ 280,00, o valor nominal é de:
(a) R$ 100,00 (b) R$ 200,00 (c) R$ 300,00 
(d) R$ 400,00 (e) R$ 500,00
MATEMÁTICA FINANCEIRA64
Anotações:
Fixando Conceitos 4
[7] Se um título de R$ 350,00 é descontado por R$ 245,00, 6 meses antes do 
vencimento, a taxa mensal de desconto comercial simples é de:
(a) 1% (b) 2% (c) 3% (d) 4% (e) 5%
[8] O valor do desconto comercial simples de um título de R$ 800,00, 3 meses 
e 18 dias antes do vencimento, a uma taxa de 4% ao mês, é de:
(a) R$ 115,20 (b) R$ 122,30 (c) R$ 124,50 
(d) R$ 132,80 (e) R$ 135,40
[9] Se uma letra de câmbio foi descontada por R$ 320,00, 8 meses antes do 
seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial simples de 1,5% ao mês, 
o valor nominal era de:
(a) R$ 341,41 (b) R$ 356,56 (c) R$ 363,64 
(d) R$ 392,92 (e) R$ 402,02
 
[10] Se uma duplicata de R$ 6.900,00 foi resgatada antes do seu vencimento 
por R$ 6.072,00, sabendo que a taxa de desconto comercial simples foi de 
4% ao mês, o tempo de antecipação foi de:
(a) 3 meses (b) 4 meses (c) 5 meses (d) 6 meses (e) 7 meses
[11] Se uma letra de câmbio de valor nominal de R$ 4.700,00 foi resgatada 
1 mês e 6 dias antes do seu vencimento, à taxa de 2,2% ao mês, o valor do 
desconto comercial simples foi de:
(a) R$ 112,20 (b) R$ 118,06 (c) R$ 121,09 
(d) R$ 124,08 (e) R$ 125,09
[12] Se uma nota promissória de R$ 18.600,00, vencendo em 272 dias, 
sofreu um desconto bancário de R$ 930,00, a taxa mensal de desconto 
comercial simples foi de:
 (a) 0,25% (b) 0,35% (c) 0,45% (d) 0,55% (e) 0,65%
FIXANDO CONCEITOS 4 65
Anotações:
Fixando Conceitos 4
[13] Sabendo que uma letra, descontada por fora à taxa de 2,5% ao dia, 
produziu o desconto comercial simples equivalente a 1/4 de si mesma, o 
prazo de antecipação foi de:
 (a) 6 dias (b) 8 dias (c) 10 dias (d) 12 dias (e) 15 dias
[14] Sabendo que um título de valor nominal de R$ 6.000,00 é resgatado 4 
meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial simples 
de 36% ao ano, o valor atual pago é de:
(a) R$ 5.080,00 (b) R$ 5.180,00 (c) R$ 5.280,00 
(d) R$ 5.380,00 (e) R$ 5.480,00
[15] Sabendo que um título de R$ 1.800,00 foi resgatado 9 meses antes do 
seu vencimento, sendo a taxa de desconto simples de 2,75% ao mês, o valor 
do desconto comercial simples foi de:
(a) R$ 445,50 (b) R$ 450,80 (c) R$ 475,50 
(d) R$ 490,30 (e) R$ 498,20
[16] Sabendo que uma pessoa resgatou uma duplicata pela metade do preço 
8 meses antes do seu vencimento, a taxa mensal de desconto comercial 
simples foi de:
(a) 5% (b) 5,75% (c) 6% (d) 6,25% (e) 7,25%
[17] Se uma nota promissória de R$ 16.000,00 foi resgatada por R$ 14.880,00 
a 21 dias do seu vencimento, a taxa mensal de desconto comercial simples 
foi de:
(a) 6% (b) 7% (c) 8% (d) 9% (e) 10%
[18] Se um título de valor nominal de R$ 4.000,00 é resgatado por 
R$ 3.600,00, 5 meses antes de seu vencimento, a taxa mensal de desconto 
comercial simples utilizada nessa transação é de:
(a) 1,2% (b) 1,5% (c) 2% (d) 2,5% (e) 3%
MATEMÁTICA FINANCEIRA66
Anotações:
Fixando Conceitos 4
[19] Se um título de R$ 13.000,00 foi descontado por fora por R$ 9.100,00 
e sabendo que foi resgatado 5 meses antes de seu vencimento, a taxa 
mensal de desconto foi de:
(a) 4% (b) 5% (c) 6% (d) 7% (e) 8%
[20] Se uma nota promissória de R$ 1.530,00 foi descontada a uma taxa 
de desconto comercial simples de 8% ao ano, produzindo um desconto de 
R$ 71,40, o prazo da antecipação em meses foi de:
(a) 3 (b) 4 (c) 5 (d) 6 (e) 7
[21] Se uma nota promissória foi paga 7 meses e meio antes do seu vencimento, 
sofrendo um desconto comercial simples à taxa de 8% ao mês, e sabendo 
que o devedor pagou R$ 4.800,00, podemos afirmar que o valor nominal da 
promissória foi de:
(a) R$ 8.000,00 (b) R$ 9.000,00 (c) R$ 10.000,00 
(d) R$ 11.000,00 (e) R$ 12.000,00
[22] Se um título de R$ 640,00 foi resgatado 11 meses antes do vencimento, 
a uma taxa de desconto comercial simples de 1,85% ao mês, o valor deste 
desconto foi de:
(a) R$ 130,24 (b) R$ 132,38 (c) R$ 141,12 
(d) R$ 143,15 (e) R$ 144,20
[23] Se um título de valor nominal de R$ 2.000,00 foi resgatado por um valor 
atual de R$ 1.820,00 e sabendo que a taxa mensal de desconto comercial 
simples é de 3% ao mês, então o prazo de antecipação foi de:
(a) 2 meses (b) 3 meses (c) 4 meses (d) 5 meses (e) 6 meses
[24] Sabendo que, em uma operação financeira, o valor nominal do título é 
igual a 10 vezes o desconto comercial simples concedido, sendo a taxa de 
desconto simples de 2% ao dia, o prazo de antecipação foi de:
 (a) 3 dias (b) 4 dias (c) 5 dias (d) 6 dias (e) 7 dias
FIXANDO CONCEITOS 4 67
Anotações:
Fixando Conceitos 4
[25] O valor do desconto de um título de R$ 20.000,00, a 6% ao mês, em 
1 ano, é de:
(a) R$ 12.000,00 (b) R$ 12.600,00 (c) R$ 14.000,00 
(d) R$ 14.400,00 (e) R$ 15.000,00
[26] Sabendo que um título de R$ 4.200,00 foi resgatado por R$ 3.800,00, 
8 meses antes do vencimento, a taxa mensal de desconto comercial simples 
foi de:
(a) 0,92% (b) 1% (c) 1,19% (d) 1,35% (e) 2%
[27] Sabendo que se deseja resgatar um título cujo valor nominal é de 
R$ 2.000,00, 4 meses antes de seu vencimento, e que a taxa de desconto 
comercial simples é de 30% ao ano, o desconto obtido na hora do resgate 
será de:
(a) R$ 120,00 (b) R$ 150,00 (c) R$ 180,00 
(d) R$ 200,00 (e) R$ 220,00
 
[28] O valor do desconto comercial simples de um título de R$ 2.400,00, 
descontado 2 meses e 18 dias antes do vencimento, a uma taxa de 36% ao 
ano, é de:
(a) R$ 158,80 (b) R$ 161,30 (c) R$ 172,40 
(d) R$ 187,20 (e) R$ 191,80
[29] O valor atual de um título de R$ 4.500,00, resgatado 6 meses e 12 dias 
antes do seu vencimento, a uma taxa de 45% ao ano, é de:
(a) R$ 3.180,00 (b) R$ 3.340,00 (c) R$ 3.380,00 
(d) R$ 3.400,00 (e) R$ 3.420,00
[30] O valor de um título que foi resgatado por fora por R$ 1.080,00, 4 meses 
antes do seu vencimento, a uma taxa de 0,5% ao dia, era de:
(a) R$ 2.400,00 (b) R$ 2.500,00 (c) R$ 2.600,00 
(d) R$ 2.700,00 (e) R$ 2.800,00
MATEMÁTICA FINANCEIRA68
Anotações:
Fixando Conceitos 4
[31] Se o valor nominal de um título, resgatado 16 meses antes do vencimento, 
é de R$ 6.000,00, e a taxa de desconto comercial simples é de 1,5% ao mês, 
o valor do desconto obtido foi de:
(a) R$ 1.145,00 (b) R$ 1.240,00 (c) R$ 1.350,00 
(d) R$ 1.440,00 (e) R$ 2.832,00
[32] Se um título de R$ 35.000,00 será resgatado 24 meses antes do seu 
vencimento, e sabendo que a taxa de desconto comercial simples é de 8,75% 
ao ano, o desconto obtido na hora do resgate será de:
(a) R$ 5.836,23 (b) R$ 6.125,00 (c) R$ 7.437,00 
(d) R$ 8.950,00 (e) R$ 9.128,30
UNIDADE 5 69
JUROS
COMPOSTOS55
Após ler esta unidade, você deve ser capaz de:
• Entender o regime de juros de capitalização composta.
• Calcular o valor futuro no regime de juros de capitalização composta.
• Calcular o principal no regime de juros de capitalização composta.
• Calcular taxa equivalente no regime de juros de capitalização composta.
MATEMÁTICA FINANCEIRA70
UNIDADE 5 71
 JUROS COMPOSTOS
No regime de juros compostos, os juros a cada período são calculados sobre 
o montante existente no período anterior. Dessa forma, os juros do período 
anterior são incorporados ao capital. Pode-se dizer, então, que, no regime de 
juros compostos, “os juros rendem juros”. Este é o regime mais utilizado.
Exemplo
Um capital de R$ 100,00, aplicado a 2% ao mês, tem a seguinte 
evolução no regime de juros composto:
No regime de juros compostos, os juros produzidos no fim de cada 
período são somados ao capital que os produziu, passando os dois, 
capital e juros, a render juros no período seguinte.
Mês Juros Compostos Montante (F)
1 100,00 × 0,02 × 1 = 2,00 102,00
2 102,00 × 0,02 × 1 = 2,04 104,04
3 104,04 × 0,02 × 1 = 2,08 106,12
Juros compostos são aqueles que, a partir do segundo período, são 
calculados sobre o montante relativo ao período anterior.
 CONVENÇÕES OU NOTAÇÕES 
UTILIZADAS EM JUROS COMPOSTOS
J – juros compostos
P – capital inicial → valor presente – valor atual
F – Valor Futuro ou Montante → valor do capital inicial acrescido de juros 
compostos 
i – taxa de juros compostos
Período de capitalização – ciclo de tempo necessário para gerar juros 
compostos 
Exemplo: na caderneta de poupança, este ciclo é de 30 dias.
n – tempo de aplicação – quantidade de períodos de capitalização do 
investimento
Comentário
Nos enunciados de exercícios e/ou aplicações práticas, quando não estiver 
definido o período de capitalização, este será entendido como sendo 
aquele apresentado no tempo de aplicação do investimento.
Isto é básico
No regime de capitalização por 
juros compostos, o crescimento 
dos juros é exponencial.
Veja outras nomenclaturas
na Tabela (Anexo 1)
MATEMÁTICA FINANCEIRA72
Entendendo como calcular o montante (Valor Futuro) de um investimento.
Supondo um investimento cujo capital inicial seja P, aplicado a uma taxa 
de juros compostos igual a “i” durante “n” períodos de capitalização, 
temos: 
Período Juros Montante
1o J1 = P × i F1 = P + J1 = P + P × i = P (1 + i) → F1 = P (1 + i)
2o J2 = F1 × i
F2 = F1 + J2 = F1+ F1× i = F1 (1 + i) → 
F2 = P (1 + i) × (1 + i) → F2 = P (1 + i)2
3o J3 = F2 × i
F3 = F2 + J3 = F2+ F2× i = F2 (1 + i) → 
F3 = P (1 + i)
2 × (1 + i) → F3 = P (1 + i)3
Analisando a sequência anterior, podemos deduzir que, para “n” períodos, 
teremos:
Fn = P (1 + i)
n
onde:
F = montante ou Valor Futuro
P = capital inicial
i = taxa de juros compostos
n = tempo de aplicação
Calcular os Juros Compostos de um Investimento (J)
Sabendo que, em qualquer investimento, o montante é sempre igual ao capital 
inicial adicionado aos juros, então, podemos escrever:
Jn = Fn – P
Substituindo a fórmula do montante temos que:
Jn = P (1 + i)
n – P
Colocando o capital inicial em evidência:
Jn = P [(1 + i)
n – 1]
onde: 
Jn = juros compostos
P = capital inicial
i = taxa de juros compostos
n = tempo de aplicação
O fator (1 + i)n é chamado de fator de capitalização.
Importante
Essas fórmulas serão válidas exclusivamente 
se a taxa e o período estiverem na mesma 
unidade de tempo (ano, mês, dia...)
UNIDADE 5 73
Aplicação prática
1. Qual o montante e os juros compostos de uma aplicação de 
R$ 4.000,00, a uma taxa de 2,5% a.m., pelo prazo de 14 meses, 
considerando o período de capitalização mensal?
Resolução:
P = 4.000,00
i = 2,5% a.m. = 2,5 ÷ 100 = 0,025 a.m.
n = 14 m
Sabemos que Fn = P(1 + i)n 
F = 4.000 × (1 + 0,025)14
F = 4.000 × (1,025)14 = 4.000 × 1,412974
F = 5.651,90
Logo:
J = F – P
J = 5.651,90 – 4.000,00 = 1.651,90
Outra forma de calcular os juros: 
J = P [(1 + i)n – 1]
J = 4.000 [(1 + 0,025)14 – 1]
J = 4.000 [0,412974]
J = 1.651,90