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Calculo II Uninove

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13/12/2017 AVA UNINOVE
https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 1/14
Revisão de Derivada
APRESENTAR OS CONCEITOS DE DERIVADAS E SUAS PROPRIEDADES
AUTOR(A): PROF. CLAUDINEIA HELENA RECCO
DERIVADA
 
O conceito de derivada pode ser interpretado como taxa de variação. Dada uma função , quando a
variável independente (ou argumento) varia de  a     ocorre uma variação correspondente de   a  
 sendo . O quociente é   que representa a taxa de
variação de  em ralação a  é chamado de razão incremental ou razão dos acréscimos.
                      A taxa de variação de   em relação a , é a definição formal de derivada. (FLEMMING, 2007;
GUIDORIZZI, 2000; MUROLO, 2016; STEWART, 2009; VILCHES, 2010)
DEFINIÇÃO DE DERIVADA
Dizemos que a função  é derivável no ponto , se o limite da razão incremental  quando ,
existir e for único assim tem-se  . (FLEMMING, 2007; GUIDORIZZI, 2000;
MUROLO, 2016; STEWART, 2009; VILCHES, 2010)
 
Notações:
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
 
Revisão de Derivada 01 / 13
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13/12/2017 AVA UNINOVE
https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 2/14
Os exercícios foram extraídos de FLEMMING, (2007); GUIDORIZI, (2000); MUROLO, (2016), STEWART,
(2009), VILCHES, (2010)
 
1. Usando a definição de derivada, calcule:
a. 
Resolução:
Calculando o limite pela definição encontra-se um limite indeterminado. Para resolver o problema da
indeterminação usa-se a técnica matemática onde se multiplica o numerador e denominador pelo
conjugado do numerador, no exemplo em questão.
 
2.  
Resolução:
Calculando o limite pela definição é preciso calcular o valor numérico de       para     e
subtrair de  . E fazer as operações básicas para poder chegar a uma função equivalente fácil de calcular o
limite. Assim:
 
Revisão de Derivada 02 / 13
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https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 3/14
DEFINIÇÃO DE DERIVADA EM UM PONTO  
           
Seja    uma função derivável no intervalo aberto   . Para cada   , pertencente ao intervalo , 
 se o limite existir.
 
NOTAÇÃO:  
 
Teorema:  Seja a função   e  . Se     é derivável em   , então  é contínua em 
 
Exemplo
Seja a função     calcular     para  
Resolução
Para calcular o limite de  é preciso calcular o valor numérico de    para   e subtrair do
valor numérico de . E fazer as operações básicas para poder chegar a uma função equivalente fácil de
calcular o limite.  Assim:
Logo 
Revisão de Derivada 03 / 13
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https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 4/14
Assim  
 
PROPRIEDADES DE DERIVAÇÃO
Quando se estuda derivadas observamos que há um grande emprego da mesma em várias áreas tais como
engenharia, ciências, economia, medicina e ciências da computação. A derivada é utilizada como fermenta
para auxiliar por exemplo, no cálculo da velocidade e a aceleração, para estimar a diminuição do nível da
água quando ela é bombeada para fora de um. Obter as derivadas através do cálculo de limites ser demorado
e difícil. Por esse motivo desenvolveu-se algumas propriedades para facilitar o cálculo das derivadas com
base no cálculo de limites. (FLEMMING, 2007; GUIDORIZZI, 2000; MUROLO, 2016; STEWART, 2009;
VILCHES, 2010)
Segue as propriedades de derivação extraídas de FLEMMING, (2007); GUIDORIZI, (2000); MUROLO, (2016),
STEWART, (2009), VILCHES, (2010).
P1 Função Identidade: A derivada da função identidade é igual a um, ou seja, dada a função   ,   
, temos: 
 
P2 Função Constante: A derivada da constante é igual a zero, ou seja, dada a função    
temos: 
 
P3 Derivada da Soma: Sejam   e  , duas funções deriváveis em   Temos que a função
  , também é derivável em   e sua derivada é dada por:
 
P4 Derivada da Diferença: Sejam   e  , duas funções deriváveis em . Temos que a
função   , também é derivável em  e sua derivada é dada por:
 
P5 Derivada da Potência: Dada a função ,   , temos
Revisão de Derivada 04 / 13
13/12/2017 AVA UNINOVE
https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 5/14
 
P6 Derivada do Produto: Sejam     e   , funções deriváveis em   Temos que a função  
, também é derivável em   e sua derivada é dada por:
 
P7 Derivada do Quociente: Sejam     e   , duas funções deriváveis em     e   .
Temos que a função   , é derivável em   e sua derivada é dada por:
 
P8 Derivada da Raiz: Seja    função derivável em    sua derivada é dada por:
 
Derivada das funções trigonométricas
 
P9 Derivada da função seno: Dada a função , temos:   .
P10 Derivada da função cosseno: Dada a função   , temos: 
P11 Derivada da função tangente: Dada a função , temos: 
P12 Derivada da função cotangente: Dada a função , temos: 
P13 Derivada da função secante: Dada a função , temos: 
P14 Derivada da função cossecante: Dada a função   temos:  
P15 Derivada da função exponencial: Dada a função   , com      e    , temos 
Revisão de Derivada 05 / 13
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P16 Derivada da função logarítmica: Dada a função   , temos:  
P17 Derivada de uma função composta ou (Regra da Cadeia): Sejam       a função  
  e    a função   . Existe a função composta   dada por  
Supondo que     seja derivável no ponto   e   seja derivável no ponto   tal que   , é
derivável em   , e sua derivada é:
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
Os exercícios foram extraídos de FLEMMING, (2007); GUIDORIZI, (2000); MUROLO, (2016), STEWART,
(2009), VILCHES, (2010).
 
1. 
Solução:
 
2. 
Solução:
 
3. 
Solução:
 
Revisão de Derivada 06 / 13
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https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 7/14
4.  
Solução:
 
5.  
Solução:
Para derivar a função deve-se usar a regra do produto. No exemplo em questão derivamos a função 
 separada para facilitar o entendimento. Chamamos de função   e   Assim:
Logo
  
 
6.  
Solução:
Revisão de Derivada 07 / 13
13/12/2017 AVA UNINOVE
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Para derivar a função   deve-se usar a regra do quociente. No exemplo em questão derivamos as funções
  e   separada para facilitar o entendimento. Assim 
Logo
 
7.  
Solução:
Para derivar a função  deve-se usar a regra do quociente. Assim 
 
Revisão de Derivada 08 / 13
13/12/2017 AVA UNINOVE
https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 9/14
8.  
Solução:
Para derivar a função  deve-se usar a regra do quociente. No exemplo em questão derivamos as funções 
  e    separada para facilitar o entendimento. Assim 
Logo
 
9. 
Solução:
Para derivar    usa-se a regra do prodtuto,   e para   facilitar o entendimento  derivamos as funções 
  e    separadas. Assim
Logo
 
10.  
Revisão de Derivada 09 / 13
13/12/2017 AVA UNINOVE
https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 10/14
Solução:
Para derivar   usa-se a regra do prodtuto.
 
11.  
Solução:
Para derivar    usa-se a regra do prodtuto,   e para   facilitar o entendimento  derivamos as funções 
  e    separadas. Assim
Logo
 
12.   
Solução:
Para derivar  deve-se usar a regra do quociente e do produto para derivar o numerador e para  facilitar
o entendimento derivamos as funções    e    separadas. Assim
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Logo
13.  
Solução:
Para derivar deve-se usar a regra do quociente e a regra da cadeia para derivar o numerador. No exemplo
em questão derivamos as funções u(x) \ \mbox{ e} v(x)  separado para facilitar o entendimento. Assim 
Logo
 
Revisão de Derivada 11 / 13
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14) Uma empresa estima o custo total em reais para fabricar   unidades de um determinado produto pela
função   . Se a produção atual é de 40 unidades/dia, estime a variação do custo total
para produção de 40,5 unidades /dia.
Solução:
Temos que a produção atual é de 40 unidades e a variação indicada é de  unidades/dia.
Usando o conceito de deriva essa variação é dada por 
Logo devemos a derivada da função custo  calcular o valor numérico para 
Assim temos            
Logo o custo total para se produzir 40,5 unidades/dias é de:
por unidade/dia produzidas.
ATIVIDADE FINAL
A fábrica YZ, tem a produção diária descrita por é P(x)=4.000x
unidades, onde x é o capital que a fábrica disponibiliza. Estime o
aumento percentual da produção gerado em consequência de um
pequeno aumento de 1% no capital disponibilizado pela fábrica.
A. O aumento percentual estimado é de 0,20% 
B. O aumento percentual estimado é de 0,30%
C. O aumento percentual estimado é de 25% 
D. O aumento percentual estimado é de 0,5% 
Um estudante em seu projeto necessita medir a aresta de um cubo, e na
medição encontra o valor de 12 cm a partir essa informação conclui que
o volume do cubo é de 123 = 1.728 cm . Se a precisão usada na medida
foi de 2%, com que precisão foi calculado o volume?
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A. O erro máximo no cálculo do volume foi de aproximadamente + ou – 104,00
B. O erro máximo no cálculo do volume foi de aproximadamente + ou – 103,68  
C. O erro máximo no cálculo do volume foi de aproximadamente + ou – 100,00
D. O erro máximo no cálculo do volume foi de aproximadamente + ou – 105,00
Uma fábrica modela sua produção diária por unidade produzida pela
função P(t)=900t onde   representa a mão de obra gasta medida em
homens-horas trabalhadas. Atualmente a fábrica utiliza 1.000 homens-
horas trabalhadas. Estime o número de homens-horas trabalhada
adicionais necessários para aumentar em 15 unidades a produção
diária.
A. As homens-horas trabalhada adicionais necessários para aumentar em 15 unidades a produção diária
é de 15 homens-horas
B. As homens-horas trabalhada adicionais necessários para aumentar em 15 unidades a produção diária
é de 1 homens-horas
C. As homens-horas trabalhada adicionais necessários para aumentar em 15 unidades a produção diária
é de 5 homens-horas 
D. As homens-horas trabalhada adicionais necessários para aumentar em 15 unidades a produção diária
é de 10 homens-horas
REFERÊNCIA
FLEMMING, D. M. Cálculo A. 6ª ed. São Paulo: Pearson, 2007.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo.Vol.1. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
MUROLO, A. C e Bonetto, G. Matemática Aplicada a administração, economia e contabilidade. São Paulo:
Cengage Learning, 2016.
STEWART, J. Cálculo. 6ª ed. Vol.1. São Paulo: Cengage Learning, 2009.
VILCHES, M. A. e CORRÊA M. L.. CÁLCULO: V I. Departamento de Análise - IME UERJ: Rio de Janeiro. 2010 
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Derivada Implícita
APRESENTAR OS CONCEITOS DE DERIVADAS NA FORMA IMPLÍCITA
AUTOR(A): PROF. CLAUDINEIA HELENA RECCO
FUNÇÃO NA FORMA IMPLÍCITA
 
Considere uma função nas variáveis   e     . Dizemos que a função   é definida
implicitamente por uma equação se para todo  no domínio de , o ponto   for solução da equação.
Conforme FLEMMING, (2007); GUIDORIZI, (2000); MUROLO, (2016), STEWART, (2009), VILCHES, (2010).
 
EXEMPLO
1. A equação define implicitamente as funções  
2. A equação  define implicitamente a função 
 
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA IMPLÍCITA
 
Suponha que   define implicitamente uma função derivável   é possível encontrar a
derivada da função   sem conhece-la, para tal usa-se a técnica da derivada implícita. Conforme
FLEMMING, (2007); GUIDORIZI, (2000); MUROLO, (2016), STEWART, (2009), VILCHES, (2010).
 
EXEMPLOS
 
1. Dada a equação define   de forma implicitamente.
Derivada Implícita 01 / 07
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Solução
Isolando   tem-se:
2.  Dada a equação  define   de forma implicitamente.
Solução
Isolando   tem-se:
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
 
Os exercícios foram extraídos de FLEMMING, (2007); GUIDORIZI, (2000); MUROLO, (2016), STEWART,
(2009), VILCHES, (2010).
Expresse     em termos de   e   , onde ,é uma função derivável, dada implicitamente pela equação.
 
Derivada Implícita 02 / 07
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https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 3/8
1.   
Solução:
É preciso usar a regra da cadeia tanto o exponencial quanto o logaritmo.
2. 
Solução:
Para encontrar a derivada deve-se usar a regra do produto e derivada simples.
3. 
Solução:
Para encontrar a derivada deve-se usar a regra da cadeia para derivar a função seno demais derivadas são
simples.
Derivada Implícita 03 / 07
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4.  
Solução:
Para encontrar a derivada deve-se usar a regra da cadeia para derivar a função cosseno, derivada simples e a
regra do produto.
5.  
Solução:
Para encontrar a derivada deve-se usar a regra da cadeia e derivada simples.
Derivada Implícita 04 / 07
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https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 5/8
6. Um tangue de água tem a forma de um cone circular invertido com base de raio de 2 m e altura igual a 4
m. Se a água está sendo bombeada dentro do tangue a uma taxa de 2 m /min, encontre a taxa na qual o
nível estará elevado quando estiver a 3 m de profundidade.
Solução:
Por hipótese do problema temos que  corresponde ao tempo,  a altura,  ao raio da superfície e  o volume
do cone. Temos ainda que   e   são funções em função do tempo .
Dado que a agua é bombeada a uma taxa de   temos que   . Queremos encontrar ,
quando . Lembrando da geometria que o volume do cone é:
Para encontrar  em função de , usamos semelhança de triangulo, notamos na figura que:
 
3
Derivada Implícita 05 / 07
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https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 6/8
Substituindo na equação do volume, temos:
Derivando a função do volume  em relação ao tempo  temos:
Substituindo   e   obtemos
ATIVIDADE FINAL
Um importador de cana de açúcar brasileiro estima que consumidores
locais comprarão   libras de cana de açúcar por semana
quando o preço for p dólares por libra. Calcula-se também que daqui a t
semanas, o preço da cana de açúcar brasileira será 
 dólares por libra. Qual será a taxa de variação da demanda semanal de
cana de açúcar com o tempo daqui a 15 semanas? A demanda estará
aumentando ou diminuindo nesta ocasião?
A. Daqui a 15 semanas a demanda estará aumentada a uma taxa de 0.18 libras por semana. 
B. Daqui a 15 semanas a demanda estará diminuída a uma taxa de 9 libras por semana. 
C. Daqui a 15 semanas a demanda estará diminuída a uma taxa de 0.00017 libras por semana. 
D. Daqui a 15 semanas a demanda estará aumentada a uma taxa de 2 libras por semana.
Derivada Implícita 06 / 07
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https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 7/8
Um balão esférico está se expandindo. Se o raio está aumentando a uma
taxa de 5 centímetros por minuto,em que taxa o volume estará
aumentando quando o raio for de 12 centímetros.
A. O volume estará aumentando a uma taxa de 2880 cm /min     
B. O volume estará aumentando a uma taxa de 3880  cm /min
C. O volume estará aumentando a uma taxa de 2980  cm /min 
D. O volume estará aumentando a uma taxa de 2890 ? cm /min 
Em uma pesquisa médica estudas a introdução de um pequeno balão
esférico em uma artéria obstruída e inflado à razão de 0,002
 mm³/min. Qual é a taxa de aumento do raio do balão quando o raio é R
= 0,005 mm?
A. A taxa de aumento do raio do balão quando o raio é R = 0,005 mm é de 18mm/min 
B. A taxa de aumento do raio do balão quando o raio é R = 0,005 mm é de 10mm/min 
C. A taxa de aumento do raio do balão quando o raio é R = 0,005 mm é de 20mm/min  
D. A taxa de aumento do raio do balão quando o raio é R = 0,005 mm é de 30mm/min 
REFERÊNCIA
FLEMMING, D. M. Cálculo A. 6ª ed. São Paulo: Pearson, 2007.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo.Vol.1. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
MUROLO, A. C e Bonetto, G. Matemática Aplicada a administração, economia e contabilidade. São Paulo:
Cengage Learning, 2016.
STEWART, J. Cálculo. 6ª ed. Vol.1. São Paulo: Cengage Learning, 2009.
VILCHES, M. A. e CORRÊA M. L.. CÁLCULO: V I. Departamento de Análise - IME UERJ: Rio de Janeiro. 2010. 
3 
3 
3 
3 
Derivada Implícita 07 / 07
13/12/2017 AVA UNINOVE
https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 8/8
13/12/2017 AVA UNINOVE
https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 1/17
Derivada de uma função na Forma
Paramétrica
APRESENTAR OS CONCEITOS DE DERIVADAS DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA
AUTOR(A): PROF. CLAUDINEIA HELENA RECCO
FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA
 
Sejam     duas funções na mesma variável real   onde   Para cada valor de 
 existem dois valores correspondentes    e  
Considerando estes valores como coordenadas de um ponto , pode-se dizer que a cada valor de 
 corresponde um ponto no plano  (ver gráfico).
Se as funções   e    são contínuas, quando  varia de  até   , o ponto  descreve uma
curva no plano (ver gráfico). Conforme FLEMMING, (2007); GUIDORIZI, (2000); MUROLO, (2016), STEWART,
(2009), VILCHES, (2010).
 
Derivada de uma função na Forma Paramétrica 01 / 16
13/12/2017 AVA UNINOVE
https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 2/17
Se   admite inversa esta é   . Nesse caso substituindo o valor de     na função     temos  
Logo  denomina-se equação paramétrica da curva e  é chamado de parâmetro da equação.
 
EXEMPLO
1.  As equações   define uma função    na forma paramétrica.
Solução:
A função   é inversível e sua inversa é dada por , isto é, Como a função   é inversível
podemos isolar   e encontrar a função , como segue:
Substituindo a função  na função  obtém-se:
Logo temos que a função    é  descreve uma reta
 
2. As equações  define uma função  na forma paramétrica.
Solução:
O conjunto de equação descreve a equação da circunferência nas coordenadas polares. A circunferência tem
centro na origem  e raio .
Para encontrar a equação descrita pelo conjunto de equações nas coordenadas cartesianas, deve-se eliminar
o parâmetro . Para eliminar o parâmetro  devemos lembrar que a trigonometria fornece uma identidade
que diz:
Derivada de uma função na Forma Paramétrica 02 / 16
13/12/2017 AVA UNINOVE
https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 3/17
Nesse caso, se levarmos o quadrado ambos os membros do conjunto de equações temos:
Distribuído a potência, usando as propriedades de potenciação temos: 
Somando membro a membro o conjunto de equações temos 
Assim
Observações:
1. Equação da circunferência centro na origem  e raio  (coordenadas cartesianas)
2. Como a função �  não é inversível não se tem a função  na forma paramétrica, isto
é:
3. Se o domínio for restringido pode-se ter uma ou mais funções  na forma paramétrica, isto é:
a.  As equações    descreve  a meia circunferência positiva
b.  As equações   descreve  a meia circunferência negativa    
Derivada de uma função na Forma Paramétrica 03 / 16
13/12/2017 AVA UNINOVE
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DERIVADA DE FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA
 
 
Conforme FLEMMING, (2007); GUIDORIZI, (2000); MUROLO, (2016), STEWART, (2009), VILCHES, (2010),
seja  uma função com parâmetro  definida pelas equações   na variável real   com    .
Para cada valor de t  existem dois valores correspondentes    e  
Suponha que as funções       e    são deriváveis.
Se a função   for uma função paramétrica esta pode ser reescrita como uma função composta, tal
como:
Para derivá-la aplica-se a regra da cadeia, assim:
Como  e sua inversa   são deriváveis pelo teorema da derivada da função tem-se:
Substituindo a equação 2 na equação 1 tem-se: 
Assim para encontrar a derivada da função na forma paramétrica basta fazer:
 
EXEMPLO
 
Derivada de uma função na Forma Paramétrica 04 / 16
13/12/2017 AVA UNINOVE
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Calcule a derivada  da função  definida na forma paramétrica:
1. 
Solução:
O conjunto de equação descreve a equação descreve uma função na forma paramétrica. Assim para
encontrar a derivada basta usar o conceito 
Logo basta encontrar a derivada da função, basta seguir os passos:
Passo 1: encontrar a derivada das funções   e     Segue
Dada a função sua derivada em função de  é  
Dada a função  sua derivada em função de  é  
Passo 2: Aplicar a formula     Logo 
Observação: A derivada a função nesse caso é uma constante.
 
2. 
Solução:
O conjunto de equação descreve a equação descreve uma função na forma paramétrica. Assim para
encontrar a derivada basta usar o conceito 
Logo basta encontrar a derivada da função, basta seguir os passos:
Passo 1: Encontrar a derivada das funções   e   . Segue
Dada a função  sua derivada em função de    é  
Dada a função     sua derivada em função de   é  
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Passo 2: Aplicar a formula  Logo
Observação: Colocando o número 3 em evidencia e simplificado com o denominador obtemos a derivada da
função em função de . Para obtermos a derivada da função em função a   como solicitado devemos
encontrar a função inversa da função   e substituir na derivada encontrada.
Como a função   , possui inversa, encontramos a mesma e substituimos na derivada. Assim
A função inversa da função  é   
Observação: Para calcular a função inversa basta isolar t na função 
Substituindo  em      obtemos
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
 
Os exercícios foram extraídos de FLEMMING, (2007); GUIDORIZI, (2000); MUROLO, (2016), STEWART,
(2009), VILCHES, (2010)
1. As equações    define uma função  na forma paramétrica.
Solução:
O conjunto de equação descreve a equação da elipse nas coordenadas polares. A elipse tem centro na
origem  e eixos    , sendo   eixo maior  e    eixo menor.
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Para encontrar a equação descrita pelo conjunto de equações nas coordenadas cartesianas, deve-se eliminar
o parâmetro . Lembrando que para eliminar o parâmetro   devemos lembrar que a trigonometria fornece
uma identidade que diz:
Nesse caso, devemos fazer alguns processos matemáticos, mas lembrando de não alterar as equações.
Passo 1: a) multiplica-se a primeira equação por .
b) multiplica-se a segunda equação por .
Obtendo: 
Passo 2: Deve-se elevar ao quadrado ambos os membros do conjunto de equações temos:
Distribuído apotência, usando as propriedades de potenciação temos: 
Somando membro a membro o conjunto de equações temos 
Assim
Equação da elipse de centro na origem  e eixos   e    (coordenadas cartesianas)
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 Equação equivalente da elipse
Observações:
1) Como a função  não é inversível não se tem a função   na forma paramétrica, isto é:
2) Se o domínio for restringido pode-se ter uma ou mais funções  na forma paramétrica, isto é:
a.   As equações    descreve  a meia circunferência positiva 
b.   As equações       descreve  a meia circunferência negativa  
 
2. As equações     define uma função   na forma paramétrica.
Solução:
O conjunto de equação descreve a equação da astróide ou hipociclóide de 4 cúspides nas coordenadas
polares.
Para encontrar a equação descrita pelo conjunto de equações nas coordenadas cartesianas, deve-se eliminar
o parâmetro . Para encontrar a equação descrita pelo conjunto de equações nas coordenadas cartesianas,
deve-se eliminar o parâmetro . Lembrando que para eliminar o parâmetro     devemos lembrar que a
trigonometria fornece uma identidade que diz:
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Nesse caso, deve-se elevar a potência   ambos os membros do conjunto de equações obtendo:
Distribuído a potência, usando as propriedades de potenciação temos: 
Resolvendo a potência, usando as propriedades de potenciação temos: 
Somando membro a membro o conjunto de equações temos 
Assim
Equação da astróide ou hipociclóide de 4 cúspides (coordenadas cartesianas)
Ou
 
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3.  Calcule a derivada    da função  definida na forma paramétrica:
a.  
Solução:
O conjunto de equação descreve a equação descreve uma função na forma paramétrica. Assim para
encontrar a derivada basta usar o conceito 
Logo basta encontrar a derivada da função, basta seguir os passos:
Passo 1: encontrar a derivada das funções      e    . Segue
Dada a função   sua derivada em função de   é  
Dada a função   sua derivada em função de  é  
Passo 2: Aplicar a formula   Logo
Observação: Simplificando    por   resulta em   . Para obtermos a derivada da função  em função a 
 como solicitado devemos encontrar a função inversa da função  e substituir na derivada encontrada.
Como a função , possui inversa, encontramos a mesma e substituimos na derivada. Assim
A função inversa da função  é  
Para calcular a função inversa basta isolar  na função  
Substituindo     em    obtemos
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b.  
Solução:
O conjunto de equação descreve a equação descreve uma função na forma paramétrica. Assim para
encontrar a derivada basta usar o conceito 
Logo basta encontrar a derivada da função, basta seguir os passos:
Passo 1: encontrar a derivada das funções      e    . Segue
Dada a função sua derivada em função de  é  
Dada a função  sua derivada em função de   é  
Passo 2: Aplicar a formula   Logo
Observação: Simplificando -2 por 2 resulta em -1. O resultado encontrado só é válido para os pontos onde 
 ou seja para 
 
c. 
Solução:
O conjunto de equação descreve a equação descreve uma função na forma paramétrica. Assim para
encontrar a derivada basta usar o conceito 
Logo basta encontrar a derivada da função, basta seguir os passos:
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Passo 1: encontrar a derivada das funções      e    . Segue
Dada a função   sua derivada em função de   é  
.
Dada a função     sua derivada em função de     é  
Passo 2: Aplicar a formula  Logo
É necessário fazer as simplificações necessárias para chegar no resultado final
O resultado encontrado só é válido para os pontos onde  ou seja para   e    
 
4.     Determine a equação da reta tangente à circunferência , no ponto 
 Solução:
Para encontrar a equação da reta tangente a circunferência vamos usar a equação da circunferência definida
na forma paramétrica pelo conjunto de equações:
Para calcular a inclinação da reta tangente no ponto , é necessário encontrar a derivada da
equação  em relação a variável   . Logo para encontrar a derivada basta usar o conceito 
Assim basta encontrar a derivada da função, basta seguir os passos:
Passo 1: encontrar a derivada das funções      e    . Segue
Dada a função  sua derivada em função de  é  
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Dada a função  sua derivada em função de  é  
Passo 2: Aplicar a formula   Logo
Para determinar o valor de   para o ponto   substituimos as coordenadas do ponto no conjunto
de equações
Assim temos:
Logo 
A equação da reta tangente à curva no ponto   é dado por 
Assim  
Ou 
 
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ATIVIDADE FINAL
Um engenheiro em seus estudos descobriu que a função que descreve a
localização de ponto de maior tensão que uma máquina suporta
coincide com a equação da reta tangente a equação 
  no ponto    Pede-se determinar a
equação da reta tangente a curva dada ao ponto P.
A. A equação da reta tangente procurada é: 
B. A equação da reta tangente procurada é: 
C. A equação da reta tangente procurada é: 
D. A equação da reta tangente procurada é: 
Uma equipe médica necessitando de um novo aparelho para medir uma
substancia sanguínea solicitou a uma equipe de engenheiros que
fizessem o projeto de tal máquina. Na elaboração do projeto a equipe
constatou que a calibração desejada para a leitura com margem mínima
de erro é dada pela derivada da função:   quando . Pede-
se qual o valor de calibração da máquina.
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A. O valo de calibração da máquina é 
B. O valo de calibração da máquina é 
C. O valo de calibração da máquina é 
D. O valo de calibração da máquina é 
Uma equipe de engenheiros fazendo manutenções em uma frota de
aviões constatou um erro de calibração nas turbinas de alguns aviões,
onde para calibrar de forma aos aviões não sofrerem dando ao decolar é
necessário descobrir a derivada da função    e testar
qual a melhor calibração. Pede-se a derivada da função  em relação
a .
A. A derivada da função que fornece a calibração das turbinas dos aviões é  
B. A derivada da função que fornece a calibração das turbinas dos aviões é  
C. A derivada da função que fornece a calibração das turbinas dos aviões é   
D. A derivada da função que fornece a calibração das turbinas dos aviões é  
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REFERÊNCIA
FLEMMING, D. M. Cálculo A. 6ª ed. São Paulo: Pearson, 2007.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo.Vol.1. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
MUROLO, A. C e Bonetto, G. Matemática Aplicada a administração, economia e contabilidade. São Paulo:
Cengage Learning, 2016.
STEWART, J. Cálculo. 6ª ed. Vol.1. São Paulo: Cengage Learning, 2009.
VILCHES, M. A. eCORRÊA M. L.. CÁLCULO: V I. Departamento de Análise - IME UERJ: Rio de Janeiro. 2010 
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Funções de Várias Variáveis
APRESENTAR CONCEITOS DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS E SEU DOMÍNIO
AUTOR(A): PROF. CLAUDINEIA HELENA RECCO
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
 
Conforme FLEMMING, (2007); GUIDORIZI, (2000); MUROLO, (2016), STEWART, (2009), VILCHES, (2010) é
necessário um estudo das funções com duas ou mais variáveis, pois a maioria das reações encontradas na
física, na economia, na engenharia, em outras palavras na natureza é modelada por funções de duas ou
mais variáveis reais. 
Segundo GUIDORIZI, (2000) uma função de duas variáveis a valores reais é uma função  onde A é
um subconjunto de  
O conjunto   é denominado domínio de  que é representado por  e a cada par ,  associa um
único número  conforme pode ser visto no gráfico 1 e 2.
O conjunto    é denominado imagem de .
 
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EXEMPLOS
1. O volume  de um cilindro é dado por , onde : raio e : altura.
Observação: Podemos representar a função  como uma função de duas variáveis 
2. A equação de estado de um gás é dada por , onde temos:
: Pressão
: Volume
: Massa gasosa em moles
: Constante molar do gás
: Temperatura
Observação: Podemos representar a função  como uma função de três variáveis  onde 
 é constante.
 
Notação:
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Sendo  variável dependente e     e    são variáveis independentes.
 
Domínio das funções de duas variáveis
 
Conforme FLEMMING, (2007); GUIDORIZI, (2000); MUROLO, (2016), STEWART, (2009), VILCHES, (2010) o
domínio dessas funções segue as mesmas regras do domínio de funções de uma variável, ou seja, o domínio
é a região , tal que os valores calculados da função, para todo  resultem em valores finitos
e reais para .
 
Exemplos
 
1) Achar o domínio da função
Solução:
A condição de existência da função é   (real), pois a raiz quadrada não assume valores negativos,
portanto o seu domínio é .
 
2) Ache o domínio da função 
Solução:
A função é finita quando  pois, para denominador igual a zero a função é indeterminada.
Assim, domínio  é o conjunto de pontos, tais que, 
Graficamente temos:
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3.  Ache o domínio da função  
Solução:
A função é finita quando    ,    pois a raiz quadrada não assume valores negativos. O domínio é o
conjunto de pontos, tais que 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
 
Os exercícios foram extraídos de FLEMMING, (2007); GUIDORIZI, (2000); MUROLO, (2016), STEWART,
(2009), VILCHES, (2010)
 
1. Seja a função .  De o domínio de .
Solução
O domínio de    é o conjunto de todos os pares   de números reais com   , isto é:
   
Observação: Lembrando que o denominador de uma fração nunca pode ser igual a zero.
 
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2. Lembrando que    transforma o par  no número real . Calcule:
a.  
b. 
Solução
a. Para calcular   , basta fazer a troca de  por 2 e y por 3 na função .
Assim temos
 
 b. Para calcular   , basta fazer a troca de  por    e      por     na função 
Assim temos
 
3) Represente graficamente o domínio da funçã 
Solução
 O domínio de   é o conjunto de todos os pares   de números reais com      e    , isto é:
         e     
Graficamente temos
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4.  Represente graficamente o domínio da função   .
Solução
O domínio de f é o conjunto de todos os pares   de números reais com  , isto é:
       
Graficamente temos:   é um número real positivo quando:
(A)      e   
(B)     e   
Logo
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ATIVIDADE FINAL
O domínio da função     no campo tridimensional é
descrito graficamente no campo bidimensional por:
 
A. O domínio da função é    que graficamente representa um plano 
 
 
B. O domínio da função é     , que graficamente representa uma reta  
 
C. O domínio da função é     , que graficamente representa o interior e o
contorno de uma parábola 
 
 
D. O domínio da função é , que graficamente representa o campo dos reais todo.  
 
O domínio da função   no campo tridimensional é
descrito graficamente no campo bidimensional por:
 
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A. O domínio da função é , que graficamente representa um plano
 
B. O domínio da função é, que graficamente rep     resenta uma reta  
 
C. O domínio da função é , que graficamente representa um
paraboloide
 
D. O domínio da função é , que graficamente representa o campo dos reais todo.  
 
O domínio da função   no campo tridimensional
é descrito graficamente no campo bidimensional por:
 
A. O domínio da função é     , que graficamente representa um plano  
 
B. O domínio da função é     , que graficamente representa o interior
de uma circunferência de centro na origem e raio 1
 
C. O domínio da função é    que graficamente representa o interior
de um paraboloide
 
 
 
D. O domínio da função é , que graficamente representa o campo dos reais todo.  
 
REFERÊNCIA
FLEMMING, D. M. Cálculo A E B. 6ª ed. São Paulo: Pearson, 2007.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo.Vols.1 e 2. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
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MUROLO, A. C e Bonetto, G. Matemática Aplicada a administração, economia e contabilidade. São Paulo:
Cengage Learning, 2016.
STEWART, J. Cálculo. 6ª ed. Vols.1 e 2. São Paulo: Cengage Learning, 2009.
VILCHES, M. A. e CORRÊA M. L.. CÁLCULO: V 1 e 2. Departamento de Análise - IME UERJ: Rio de Janeiro.
2010
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Gráfico de Funções de Várias
Variáveis
APRESENTAR OS CONCEITOS E TÉCNICAS DE CONSTRUÇÃO DE GRÁFICO TRIDIMENSIONAL
AUTOR(A): PROF. CLAUDINEIA HELENA RECCO
GRÁFICO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
 
Uma   é representada por planos ou superfícies no espaço. Para localizar um ponto no eixo
tridimensional, primeiro localiza-se o ponto no plano , e em seguida localiza a altura no eixo , unindo os
pontos obtém-se o ponto no eixo tridimensional como pode ser visto no gráfico 1. (FLEMMING, 2007;
GUIDORIZZI, 2000; MUROLO, 2016; STEWART, 2009; VILCHES, 2010)
 
Para as funções de uma variável, o gráfico é no plano         e   
Para funções de 2 variáveis o gráfico é em        e    . Uma função de 2 variáveis sempre gera uma
superfície no espaço    como pode ser visto no gráfico 2.
Gráfico de Funções de Várias Variáveis 01 / 20
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Exemplos
 
1. Seja a função , esboce o gráfico.
Solução:
A função   é uma função constante, sendo assim temos uma superfície representada por um
plano infinito, paralelo a     e passando por   . Assim o gráfico é
 
2.  Seja a função é  esboce o gráfico.
Solução:
A função é , pode ser reescrita na forma   que é a equação de um
plano.
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Para achar os pontos onde este plano intercepta os eixos, é só atribuir valores para as incógnitas duas a
duas iguais a zero, como segue:
a)  Para    e       logo 
b)  Para      e     logo 
c) Para      e     logo 
 
Após encontrar os pontos devemos localizar os mesmo nos eixos e liga-los formando um esboço do plano
como segue
 
3. A função é  representa um paraboloide como pode ser visto.
 4. A função é  representa uma semi-esfera. 
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Devido à dificuldade em se construir e estudar o comportamento gráfico das funções de duas variáveis, usa-
se o artifício da construção do gráfico bidimensional o qual é denominado curvas de nível. (FLEMMING,
2007; GUIDORIZZI, 2000; MUROLO, 2016; STEWART, 2009; VILCHES, 2010)
CURVA DE NÍVEL
 
Quando precisamos de uma visão geral acerca dos valores que um gráfico pode nos fornece, podemos fazer
uma espécie de compressão de valores em uma estrutura bidimensional, ou seja, imagine que temos que
verificar em que circunstâncias de valores das variáveis independentes que a função assume em um
determinado valor, para estes casos podemos marcar sobre um plano os valores dos pares que fornecem o
valor que procuramos.
Este procedimento é facilmente observado se tomarmos um cone com a base para baixo, se fizermos com
que uma certa quantidade de água preencha um recipiente onde o mesmo está inserido, veremos uma
circunferência ao observarmos o cone por cima, delimitado pela superfície da água que contorna o cone.
Uma vez que para cada nível de água teremos uma altura, podemos dizer que ao traçarmos os valores para
várias circunferências concêntricas estaremos desenhando curvas correspondentes aos níveis de água. Além
do cone podemos encontrar curvas de nível em diversas situações como apresentam as figuras 1 e 2.
(FLEMMING, 2007; GUIDORIZZI, 2000; MUROLO, 2016; STEWART, 2009; VILCHES, 2010)
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DEFINIÇÃO CURVA DE NIVEL
 
O conjunto de todos os pontos       tais que   denomina-se curvas de níveis de  
 correspondente ao nível  .
            O gráfico a segui mostra o seu esboço através das curas de nível.
 
 
Exemplo
Seja a função dada por 
As curvas de nível para            e  são:
  ponto da origem
   (circunferência centro C(0,0) e raio 1) 
   (circunferência centro C(0,0) e raio ) 
    (circunferência centro C(0,0) e raio 2)  
Construindo os gráficos para cada nível no mesmo plano cartesiano temos, podemos notar que as curvas de
nível são paralelas e por isso nunca se interceptam.
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Construindo infinitas curvas de nível temos:
Traçando as curvas de níveis no plano cartesiano tridimensional e traçando os níveis no eixo     temos que
a função        representa um paraboloide Elíptico.
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Definição de Gráficos
 
Seja   chama-se gráfico de f ao subconjunto do     definido por
       
 
Observação: Como o gráfico é um subconjunto do  e no plano podemos representar no máximo para 
  então podemos traçar o gráfico de funções de no máximo duas variáveis, isto é, n=2. Lembrando que ao
traçar o gráfico os eixos cartesianos devem estar 2 a 2 ortogonais.
 
Exemplo
 
1. Seja a função     dada por    . Esboce o gráfico.
Solução:
Por definição de função sabe-se que  é uma função constate, logo se tem que
Como   temos que o gráfico de  descreve um plano na altura 
Logo
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Geometricamente
 
2. Seja a função   dada por . Esboce o gráfico.
Solução:
Por definição de função sabe-se que   é uma função linear, logo se tem retas do tipo
   (Curvas de nível)
Como  temos que o gráfico de  descreve um plano.
Logo
     
Geometricamente
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
 
Os exercícios foram extraídos de FLEMMING, (2007); GUIDORIZI, (2000); MUROLO, (2016), STEWART,
(2009), VILCHES, (2010)
 
1. Seja a função   dada por . Onde       . Esboce o
gráfico.
Solução:
Por definição de função sabe-se que     É uma função quadrática, logo se tem
circunferências do tipo centro   e raio 
  (Curvas de níveis)
Lembrando que as curvas de nível são gráfico bidimensional, variando o valor de . Segue o gráfico das
curvas de nível.
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Como  temos que o gráfico de      descreve um paraboloide, considerando que o conjunto 
 limita o paraboloide no primeiro quadrante temos que
     
 
Geometricamente
2. Seja a função   dada por    . Esboce o gráfico.
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Solução:
Por definição de função sabe-se que       é uma função não linear, logo se tem
circunferências do tipo centro  e raio 
  (Curvas de níveis)
Lembrando que as curvas de nível são gráfico bidimensional, variando o valor de     . Segue o gráfico das
curvas de nível.
Como     temos que o gráfico de     descreve um cone.
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Geometricamente
 
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Em uma outra visão
3. Seja a função  dada por   . Esboce o gráfico.
Solução:
Por definição de função sabe-se que  É uma função não linear, logo se tem parábolas do tipo
 (Curvas de níveis)
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Lembrando que as curvas de nível são gráfico bidimensional, variando o valor de . Segue o gráfico das
curvas de nível.
Como     temos que o gráfico de       descreve uma parábola.
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4. Seja a função  dada por   . Esboce o gráfico.
Solução:
Por definição de função sabe-se que   . É uma função não linear, logo se tem hipérboles do
tipo
. (Curvas de níveis)
Lembrando que as curvas de nível são gráfico bidimensional, variando o valor de . Segue o gráfico das
curvas de nível, fazendo   temos:
Como  temos que o gráfico de  descreve um paraboloide hiperbólico.
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Em uma outra visão
Observação: esta função é conhecida com a função que descreve a sela de caval
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ATIVIDADE FINAL
Uma chapa de aço retangular é posicionada num sistema cartesiano
como na figura. A temperatura nos pontos da chapa é dada por 
. O gráfico da função temperatura representa qual função?
E sua isotermas representa as curvas em que a temperatura é constante,
geometricamente que curva é essa?
 
A. As isotermas da curva em que a temperatura é constante são reta constantes e o gráfico da função é
parábola, porém correndo ao eixo x     
B. As isotermas da curva em que a temperatura é constante são parábolas e o gráfico da função é
parábola, porém correndo ao eixo x     
C. As isotermas da curva em que a temperatura é constante são reta constantes e o gráfico da função é
parábola, porém correndo ao eixo y
D. As isotermas da curva em que a temperatura é constante são reta constantes e o gráfico da função é
um plano, cortando o eixo x         
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Uma equipe de engenheiros em um projeto tem que construir um
objeto cuja função que o descreve é   se conhece o
gráfico de   conforme a figura, porém necessita-se saber seu
gráfico bidimensional.
 
A. O gráfico bidimensional são as curvas de nível onde ao traçar tem-se várias hipérboles. 
B. O gráfico bidimensional são as curvas de nível onde ao traçar tem-se várias parábolas. 
C. O gráfico bidimensional são as curvas de nível onde ao traçar tem-se várias retas.
D. O gráfico bidimensional são as curvas de nível onde ao traçar tem-se várias circunferências. 
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Uma equipe de engenheiros em um projeto tem que construir um
objeto cuja função que o descreve é   , se conhece o
gráfico de         conforme a figura, porém necessita-se saber seu
gráfico bidimensional.
 
A. O gráfico bidimensional são as curvas de nível onde ao traçar tem-se várias hipérboles. 
B. O gráfico bidimensional são as curvas de nível onde ao traçar tem-se várias parábolas. 
C. O gráfico bidimensional são as curvas de nível onde ao traçar tem-se várias senoidais. 
D. O gráfico bidimensional são as curvas de nível onde ao traçar tem-se várias circunferências. 
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Uma equipe de engenheiros em um projeto tem que construir um
objeto cuja função que o descreve é   , se conhece o gráfico
de   conforme a figura, porém necessita-se saber seu gráfico
bidimensional.
 
A. O gráfico bidimensional são as curvas de nível onde ao traçar tem-se várias hipérboles. 
B. O gráfico bidimensional são as curvas de nível onde ao traçar tem-se várias funções cubicas. 
C. O gráfico bidimensional são as curvas de nível onde ao traçar tem-se várias retas. 
D. O gráfico bidimensional são as curvas de nível onde ao traçar tem-se várias circunferências. 
REFERÊNCIA
FLEMMING, D. M. Cálculo A E B. 6ª ed. São Paulo: Pearson, 2007.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo.Vols.1 e 2. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
HOFFMANN, L. D. e BRADLEY, G. L. CÁLCULO: UM CURO MDERNO E SUAS APLICAÇÕES. 7ª ed. Rio de
Janeiro: LTC., 2002.
MUROLO, A. C e Bonetto, G. Matemática Aplicada a administração, economia e contabilidade. São Paulo:
Cengage Learning, 2016.
STEWART, J. Cálculo. 6ª ed. Vols.1 e 2. São Paulo: Cengage Learning, 2009.
VILCHES, M. A. e CORRÊA M. L.. CÁLCULO: V 1 e 2. Departamento de Análise - IME UERJ: Rio de Janeiro.
2010.
Gráfico de Funções de Várias Variáveis 20 / 20
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Derivadas Parciais
APRESENTAR OS CONCEITOS DE DERIVADAS PARCIAIS E SUAS PROPRIEDADES
AUTOR(A): PROF. CLAUDINEIA HELENA RECCO
DERIRADAS PARCIAIS – DEFINIÇÃO
 
A definição de derivada parcial de uma função de 2 variáveis é a mesma que a de funções de uma variável. A
única diferença aqui é que, como se tem duas variáveis, uma delas deve ser mantida fixa enquanto se dá
acréscimos para a outra. (FLEMMING, 2007; GUIDORIZZI, 2000; MUROLO, 2016; STEWART, 2009; VILCHES,
2010)
Assim, seja a função  sua derivada em relação a  é: 
Incremento da função: 
taxa de variação da faunção:  
Assim a derivada parcial em relação a  é:
Ou 
O procedimento é semelhante em relação a   . Assim a derivada parcial em relação a  é:
Ou
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Nomenclatura
Seja   , então a derivada parcial de  em relação a  escreve-se:
Seja   , então a derivada parcial de  em relação a  escreve-se:
 
Interpretação Geométrica da Derivada Parcial
 
Nas funções de uma variável, a derivada mede a inclinação da reta tangente à curva no ponto dado. Nas
funções do tipo  de duas variáveis, a derivada em relação a , mede a inclinação da reta a superfície,
no ponto dado  e numa seção paralela ao eixo , com  constante e numa seção paralela ao eixo ,
com  constante. (FLEMMING, 2007; GUIDORIZZI, 2000; MUROLO, 2016; STEWART, 2009; VILCHES, 2010)
Geometricamente temos (figura 1):
Derivadas Parciais 02 / 13
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Em outras palavras podemos dizer que:
Derivada parcial em , significa a inclinação da reta que toca a superfície   , em ponto desta
superfície e de um plano vertical paralelo aos eixos   e   , de abscissa . A reta pertence a este plano.
Derivada parcial em , significa a inclinação da reta que toca a superfície   , em ponto desta
superfície e de um plano vertical paralelo aos eixos  e   , de ordenada   . A reta pertence a este plano.
Geometricamente temos (figura 2):
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Interpretação individual das inclinações das retas tangentes.
Interpretação da inclinação no plano  ( figura 3).
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Interpretação da inclinação no plano  ( figura 4).
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Interpretação geométrica conjunta da inclinação no plano  e da inclinação no plano   ( figura
5).
Derivadas Parciais 06 / 13
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A Técnica de Derivadas Parciais
A derivada parcial em relação a variável , considera a variável   como constante, enquanto que a
derivada parcial em relação a variável  considera a variável  constante.
Assim
Exemplos
Derivadas Parciais 07 / 13
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Observação: Para derivar a função em relação a   usa-se a regra da potência 
 considerando   constante. E para derivar a função em relação a  usa-se a regra da potência considerando 
 constante.
Observação:  Para derivar a função em relação a    usa-se a regra da potência 
 considerando    constante. E para derivar a função em relação ausa-se a regra da potência considerando 
 constante.
Diferencial Total de uma função de 2 ou mais variáveis
 
A condição para que uma função seja diferenciável é que suas derivadas parciais existam. Assim, cada a
função , sua diferencial total é:
 
A função de várias variáveis é diferenciável se suas derivadas parciais forem contínuas. A diferencial de uma
função  de n variáveis é:
A definição da diferencial total pode ser encontrada na literatura aqui nos baseamos em vários autores.
(FLEMMING, 2007; GUIDORIZZI, 2000; MUROLO, 2016; STEWART, 2009; VILCHES, 2010)
Exemplo
 
1. Diferenciar a função  
Solução
Derivadas Parciais 08 / 13
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Observação: Para diferenciar a função Z, é necessário encontra as derivadas parciais em relação a x e em
relação a y. Aplicando as propriedades de derivação.
Assim, a diferencial da função é:
Observação: Devemos lembrar que a diferencial total é a soma das derivadas parciais em relação as
variáveis da função. 
 
2. Calcule a diferencial da função 
Solução
Observação:
1. Para diferenciar a função , é necessário encontra as derivadas parciais em relação a x, em relação
a y e em relação a z. Aplicando as propriedades de derivação.
2. Devemos lembrar que a diferencial total é a soma das derivadas parciais em relação as variáveis da
função.
Observação: As propriedades de derivada de função de uma variável, vale com igual teor para funções de
duas ou mais variáveis.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
 
Os exercícios foram extraídos de FLEMMING, (2007); GUIDORIZI, (2000); MUROLO, (2016), STEWART,
(2009), VILCHES, (2010)
Encontre as derivadas das seguintes funções.
 
Derivadas Parciais 09 / 13
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Observação: Para derivar a função em relação a    e    usa-se a regra da potência .
Derivando em relação a , considera  e   constante. Derivando em relação a , considera  e    constante.
Derivando em relação a , considera  e  constante.
 
Observação: Para derivar a função em relação a x, y, z e t usa-se a regra do logaritmo composta 
. Derivando em relação a x, considera y, z e t constante. Derivando em
relação a y, considera x, z e t constante. Derivando em relação a z, considera x, y e t constante. Derivando
em relação a t considera x, y e z constante.
 
3. Derive a função 
Solução
Observação: Para derivar a função em relação a x e y usa-se a regra do quociente  
. Derivando em relação a x, considera y constante. Derivando em relação a
y, considera x.
 
Derivadas Parciais 10 / 13
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4.   Calcular a inclinação da reta tangente à interseção da superfície , com o plano y=2 no
ponto P(3, 2, 48).
Solução
Para derivar em relação a x, mantém y constante.
Mas no ponto  x=3 e y=2 tem-se
Observação: Para calcular a reta que intercepta a superfície em y=2, deve calcular a derivada em relação a
x.
Como foi dado o ponto de interesse deve-se calcular valor numérico da derivada no ponto dado, para que se
possa calcular o ângulo desejado. 
ATIVIDADE FINAL
Para calibrar um equipamento com relação a temperatura é necessário
saber as derivadas parciais da função 
 
A. As derivadas parciais da função são      e    
 
B. As derivadas parciais da função são 
   e      
C. As derivadas parciais da função são    e      
D. As derivadas parciais da função são    e     
 
Derivadas Parciais 11 / 13
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Calcular a inclinação da tangente à interseção da superfície 
, com plano  no ponto .
 
A. O ângulo que representa a inclinação da reta tangente é aproximadamente 78,69º 
B. O ângulo que representa a inclinação da reta tangente é aproximadamente 68,69º
C. O ângulo que representa a inclinação da reta tangente é aproximadamente 88,69º
D. O ângulo que representa a inclinação da reta tangente é aproximadamente 100º
Para calibrar um equipamento com relação a contagem de glóbulos
sanguíneos é necessário saber as derivadas parciais da função 
, com relação as variáveis  e .
 
A. As derivadas parciais da função são 
 e 
 
B. As derivadas parciais da função são   e 
 
C. As derivadas parciais da função são   e  
 
D. As derivadas parciais da função são   e 
 
REFERÊNCIA
FLEMMING, D. M. Cálculo A E B. 6ª ed. São Paulo: Pearson, 2007.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo.Vols.1 e 2. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
Derivadas Parciais 12 / 13
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MUROLO, A. C e Bonetto, G. Matemática Aplicada a administração, economia e contabilidade. São Paulo:
Cengage Learning, 2016.
STEWART, J. Cálculo. 6ª ed. Vols.1 e 2. São Paulo: Cengage Learning, 2009.
VILCHES, M. A. e CORRÊA M. L.. CÁLCULO: V 1 e 2. Departamento de Análise - IME UERJ: Rio de Janeiro.
2010
Derivadas Parciais 13 / 13
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Derivadas Parciais de Ordem Superior
APRESENTAR OS CONCEITOS DE DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR
AUTOR(A): PROF. CLAUDINEIA HELENA RECCO
DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR
 
Derivadas parciais de ordem superior são obtidas da mesma forma que as derivadas parciais de primeira
ordem. No entanto, deve-se observar que para uma função de duas variáveis existirão duas derivadas de
segunda ordem para cada derivada parcial, ou seja, as derivadas de segunda ordem de   são dadas por:
(FLEMMING, 2007; GUIDORIZZI, 2000; MUROLO, 2016; STEWART, 2009; VILCHES, 2010)
Derivadas Puras
Derivando duas vezes em relação a :
  ou  
Derivando duas fezes em relação a :
  ou  
Derivadas Mistas
Derivando primeiro em relação a  e depois em relação a : 
  ou  
Derivando primeiro em relação a  e depois em relação a : 
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   ou   
 
TEOREMA DE CLAIRAUT – SCHWARTZ (FLEMMING, 2007; GUIDORIZZI, 2000; MUROLO, 2016; STEWART,
2009; VILCHES, 2010)
Teorema das Derivadas Mistas: Se   e suas derivadas parciais         e      forem contínuas em 
, então:
 
Exemplos 
 
1. Calcule as derivadas parciais de segunda ordem da função .
Solução:
Para calcularmos as derivadas de segunda ordem de uma função temos que calcular as derivadas de parciais
de primeira ordem. Após encontrar as derivadas de primeira ordem podemos calcular as derivadas de
segunda ordem. Assim temos:
Passo 1: Calcular as derivadas parciais de primeira ordem.
Passo 2: Calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
Assim, a segunda derivada, em relação a    é:
E a segunda derivada, em relação a    é:
Ainda se tem que calcular as derivadas mistas, isto é:
Derivadas Parciais de Ordem Superior 02 / 09
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a. Calcular a segunda derivada da derivada parcial em relação a , calculando a derivada em relação a :
b. Calcular a segunda derivada da derivada parcial em relação a , calculando a derivada em relação a :
 
2. Calcular as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem da função 
Solução:
Para calcularmos as derivadas de segunda ordem de uma função temos que calcular as derivadas de parciais
de primeira ordem. Após encontrar as derivadas de primeira ordem podemos calcularas derivadas de
segunda ordem. Assim temos:
Passo 1: Calcular as derivadas parciais de primeira ordem.  
Passo 2: Calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
Assim, a segunda derivada, em relação a  é:
E a segunda derivada, em relação a  é:
Ainda se tem que calcular as derivadas mistas, isto é:
Derivadas Parciais de Ordem Superior 03 / 09
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a. Calcular a segunda derivada da derivada parcial em relação a , calculando a derivada em relação a :
b. Calcular a segunda derivada da derivada parcial em relação a , calculando a derivada em relação a :
Observação: Quando calculamos as derivadas de ordem superior temos que considerar as combinações das
derivadas sempre de uma ordem abaixo, segue um esquema 1 para derivadas de terceira ordem. O mesmo
deve ser feito para qualquer ordem.
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
 
Os exercícios foram extraídos de FLEMMING, (2007); GUIDORIZI, (2000); MUROLO, (2016), STEWART,
(2009), VILCHES, (2010)
 
1.Calcular as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem da função 
Solução:
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Para calcularmos as derivadas de segunda ordem de uma função temos que calcular as derivadas de parciais
de primeira ordem. Após encontrar as derivadas de primeira ordem podemos calcular as derivadas de
segunda ordem. Assim temos:
Passo 1: Calcular as derivadas parciais de primeira ordem.
Passo 2: Calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
Assim, a segunda derivada, em relação a  é:
E a segunda derivada, em relação a  é:
Ainda se tem que calcular as derivadas mistas, isto é:
Calcular a segunda derivada da derivada parcial em relação a , calculando a derivada em relação a :
Calcular a segunda derivada da derivada parcial em relação a , calculando a derivada em relação a :
 
2. Calcular as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem da função 
Solução:
Para calcularmos as derivadas de segunda ordem de uma função temos que calcular as derivadas de parciais
de primeira ordem. Após encontrar as derivadas de primeira ordem podemos calcular as derivadas de
segunda ordem. Assim temos:
Passo 1: Calcular as derivadas parciais de primeira ordem.
Derivadas Parciais de Ordem Superior 05 / 09
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Passo 2: Calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
Assim, a segunda derivada, em relação a x é:
E a segunda derivada, em relação a y é:
Ainda se tem que calcular as derivadas mistas, isto é:
Calcular a segunda derivada da derivada parcial em relação a y, calculando a derivada em relação a x:
Calcular a segunda derivada da derivada parcial em relação a x, calculando a derivada em relação a y:
 
3.  Calcular as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem da função  
Solução:
Para calcularmos as derivadas de segunda ordem de uma função temos que calcular as derivadas de parciais
de primeira ordem. Após encontrar as derivadas de primeira ordem podemos calcular as derivadas de
segunda ordem. Assim temos:
Passo 1: Calcular as derivadas parciais de primeira ordem.
Derivadas Parciais de Ordem Superior 06 / 09
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Passo 2: Calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
Assim, a segunda derivada, em relação a  é:
E a segunda derivada, em relação a  é:
Ainda se tem que calcular as derivadas mistas, isto é:
Calcular a segunda derivada da derivada parcial em relação a , calculando a derivada em relação a :
Calcular a segunda derivada da derivada parcial em relação a , calculando a derivada em relação a :
 
4.  Calcular as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem da função 
Solução:
Para calcularmos as derivadas de segunda ordem de uma função temos que calcular as derivadas de parciais
de primeira ordem. Após encontrar as derivadas de primeira ordem podemos calcular as derivadas de
segunda ordem. Assim temos:
Passo 1: Calcular as derivadas parciais de primeira ordem.
Derivadas Parciais de Ordem Superior 07 / 09
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Passo 2: Calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
ATIVIDADE FINAL
Para se calcular a pressão de uma turbina de uma usina é dada pela
segunda derivada em função de  da função 
A. A pressão de uma turbina de uma usina é dada pela função 
B. A pressão de uma turbina de uma usina é dada pela função 
 
C. A pressão de uma turbina de uma usina é dada pela função  
 
D. A pressão de uma turbina de uma usina é dada pela função  
 
Para se calcular a pressão sanguina é dada pela segunda derivada em
função de  da função 
Derivadas Parciais de Ordem Superior 08 / 09
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A. A pressão sanguina é dada pela função   
B. A pressão sanguina é dada pela função   
C. A pressão sanguina é dada pela função    
D. A pressão sanguina é dada pela função    
Para se calcular a tensão suportada pelas portas do metro é necessário
encontrar o valor numérico da segunda derivada em função de   da
função  no ponto   .
 
A. A tensão suportada pelas portas do metro é 30e
B. A tensão suportada pelas portas do metro é 12e
C. A tensão suportada pelas portas do metro é 18e
D. A tensão suportada pelas portas do metro é 14634e
REFERÊNCIA
FLEMMING, D. M. Cálculo A E B. 6ª ed. São Paulo: Pearson, 2007.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo.Vols.1 e 2. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
MUROLO, A. C e Bonetto, G. Matemática Aplicada a administração, economia e contabilidade. São Paulo:
Cengage Learning, 2016.
STEWART, J. Cálculo. 6ª ed. Vols.1 e 2. São Paulo: Cengage Learning, 2009.
VILCHES, M. A. e CORRÊA M. L.. CÁLCULO: V 1 e 2. Departamento de Análise - IME UERJ: Rio de Janeiro.
2010
Derivadas Parciais de Ordem Superior 09 / 09
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Vetor Gradiente e Derivada
Direcional
APRESENTAR O CONCEITO DE VETOR GRADIENTE E DERIVADA DIRECIONAL
AUTOR(A): PROF. CLAUDINEIA HELENA RECCO
VETOR GRADIENTE
 
Seja   uma função de duas variáveis e    as suas derivadas parciais. Seja , um
ponto do plano   a projeção de   no plano dada por curvas de nível e    as derivadas
calculadas no ponto     denomina-se Vetor Gradiente ao vetor: (FLEMMING, 2007; GUIDORIZZI,
2000; MUROLO, 2016; STEWART, 2009; VILCHES, 2010)
 
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
 
 
Vetor Gradiente e Derivada Direcional 01 / 14
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O Vetor Gradiente é ortogonal à reta tangente a uma curva de nível pelo ponto . (FLEMMING,
2007; GUIDORIZZI, 2000; MUROLO, 2016; STEWART, 2009; VILCHES, 2010)
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Observações:
 
1. O Vetor Gradiente aponta para onde  tem maior velocidade.
2. Em Geometria Analítica, o Vetor Gradiente recebe o nome de Vetor Normal.
 
Definição: O vetor gradiente de  no ponto  é o vetor: 
Obtido por meio do cálculo das derivadas parciais de  em .
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De forma análoga, quando temos , o VetorGradiente será ortogonal ao plano tangente à uma
superfície de nível em um ponto   do espaço   e dado por: (FLEMMING, 2007; GUIDORIZZI,
2000; MUROLO, 2016; STEWART, 2009; VILCHES, 2010)
Exemplos
Dado as funções encontre o vetor gradiente par aos pontos dados.
Observação:
1. Foram calculados o vetor gradiente para diversos pontos.
2. Norma euclidiana do vetor gradiente       
Á medida que o ponto se afasta da origem o comprimento do vetor gradiente cresce e se torna igual a duas
vezes a distância do ponto à origem, com podemos observar no gráfico.
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Observação:
1. Foram calculados o vetor gradiente para diversos pontos.
2. Norma euclidiana do vetor gradiente       
Á medida que o ponto se afasta da origem o comprimento do vetor gradiente cresce e se torna igual a duas
vezes a distância do ponto à origem, com podemos observar no gráfico.
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Norma euclidiana do vetor gradiente       
Graficamente:
DERIVADA DIRECIONAL
 
Se  é uma função diferenciável em a, então  tem derivada direcional para qualquer vetor unitário
  que é dada por: (FLEMMING, 2007; GUIDORIZZI, 2000; MUROLO, 2016; STEWART, 2009;
VILCHES, 2010)
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Observação: Um vetor  é unitário se . Seja  a norma de  é dada por .
Seja    o vetor gradiente de  então a derivada direcional é a direção associada ao vetor gradiente
associado ao vetor unitário . Assim, para calcular a derivada direcional basta calcular o produto escalar
dos vetores   .
Logo 
Exemplos
1. Suponha que   é a temperatura no ponto   numa área com ar-condicionado, mas com a porta aberta.
Movendo-se em direção a porta, a temperatura irá aumentar. Porém, se mover-se na direção do ar-
condicionado, a temperatura irá diminuir.
A taxa de variação de     em         na direção de       é a derivada direcional. Note que a derivada
direcional depende tanto do ponto     quanto da direção     na qual se afasta de    .
 
2.  Calcule as derivadas direcionais de na direção do vetor .
Solução
Consideremos o vetor unitário 
Logo a derivada direcional é:
 
3.  Calcule as derivadas direcionais de  na direção do vetor   
Solução
Como o vetor     não é unitário, devemos normalizar para encontrar o vetor unitário, logo
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Assim a derivada direcional é
 
4.  Ache a derivada direcional de       no ponto       na direção 
Solução
Deve-se verificar se o vetor     é unitário, caso não seja deve-se normaliza-lo. Logo deve-se calcular a norma
euclidiana par verificar se . Assim
Portanto o vetor unitário associado ao vetor   é:
O vetor gradiente de ) é dada por:
A derivada direcional é dada por:
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
 
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Os exercícios foram extraídos de FLEMMING, (2007); GUIDORIZI, (2000); MUROLO, (2016), STEWART,
(2009), VILCHES, (2010)
 
1.  Determine o vetor gradiente da função       no ponto 
Solução:
Para encontrar o vetor de      é preciso encontrar as derivadas parciais em relação a    e a     . Em seguida
devemos calcular o valor numérico para o ponto .
Derivada da função 
  e   
Valor numérico da derivada com relação ao ponto  
  e    
 
Logo o vetor gradiente é:
 
2.  Determine o vetor gradiente da função    no ponto 
Solução:
Para encontrar o vetor de   é preciso encontrar as derivadas parciais em relação a   e   .   Em seguida
devemos calcular o valor numérico para o ponto .
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Logo o vetor gradiente é:
 
3.   Ache a derivada direcional de      no ponto       na direção    .
Solução:
Deve-se verificar se o vetor  é unitário, caso não seja deve-se normaliza-lo. Logo deve-se calcular a norma
euclidiana par verificar se . Assim
O vetor gradiente de     é dada por:
A derivada direcional é dada por:
ATIVIDADE FINAL
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Suponha que a temperatura no ponto      do espaço seja dada por 
  em e que   é medida em graus Celsius e  e    em
metros. Com relação ao ponto  qual é temperatura máxima e
a temperatura mínima?
 
 
A. A temperatura máxima é de   e a temperatura mínima é de
 
 
B. A temperatura máxima é de   e a temperatura mínima é de  
 
C. A temperatura máxima é de  e a temperatura mínima é de 
 
D. A temperatura máxima é de  e a temperatura mínima é de  
 
Suponha que a temperatura no ponto   do espaço seja dada por   
  em e que   é medida em graus Celsius e  e    em
metros. Em que direção no ponto   a temperatura aumenta
mais rapidamente? Qual é taxa máxima de aumento?
 
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A. A temperatura aumenta mais rapidamente na direção d=(11,-21) a uma taxa de aumento de 23,7 C/m
B. A temperatura aumenta mais rapidamente na direção d=(11,-21) a uma taxa de aumento de -23,7
C/m
C. A temperatura aumenta mais rapidamente na direção d=(-11,-11) a uma taxa de aumento de 23,7
C/m
D. A temperatura aumenta mais rapidamente na direção d=(-21,-11) a uma taxa de aumento de 23,7C/m
Suponha que a temperatura no ponto   do espaço seja dada por 
  em e que   é medida em graus Celsius e  e    em
metros. Em que direção no ponto   a temperatura aumenta
mais rapidamente e qual direção a temperatura diminui mais
rapidamente? 
A. A temperatura aumenta mais rapidamente na direção d=(-5/8,-5/4, 15/8) e diminui mais rapidamente
na direção  
 
B. A temperatura aumenta mais rapidamente na direção d=(-5,-5, 15) e diminui mais rapidamente na
direção d=(5,  5, -15)    
C. A temperatura aumenta mais rapidamente na direção d=(-1,-2, 6) e diminui mais rapidamente na
direção d=(1,  2, -6)    
D. A temperatura aumenta mais rapidamente na direção d=(-5/8,-5/4, 15/4) e diminui mais rapidamente
na direção d=(5/8,  5/4, -15/4)  
REFERÊNCIA
FLEMMING, D. M. Cálculo A E B. 6ª ed. São Paulo: Pearson, 2007.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo.Vols.1 e 2. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
MUROLO, A. C e Bonetto, G. Matemática Aplicada a administração, economia e contabilidade. São Paulo:
Cengage Learning, 2016.
STEWART, J. Cálculo. 6ª ed. Vols.1 e 2. São Paulo: Cengage Learning, 2009.
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VILCHES, M. A. e CORRÊA M. L.. CÁLCULO: V 1 e 2. Departamento de Análise - IME UERJ: Rio de Janeiro.
2010.
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Plano tangente e Reta Normal
APRESENTAR O CONCEITO DE PLANO TANGENTE E RETA NORMAL

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