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13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 1/14 Revisão de Derivada APRESENTAR OS CONCEITOS DE DERIVADAS E SUAS PROPRIEDADES AUTOR(A): PROF. CLAUDINEIA HELENA RECCO DERIVADA O conceito de derivada pode ser interpretado como taxa de variação. Dada uma função , quando a variável independente (ou argumento) varia de a ocorre uma variação correspondente de a sendo . O quociente é que representa a taxa de variação de em ralação a é chamado de razão incremental ou razão dos acréscimos. A taxa de variação de em relação a , é a definição formal de derivada. (FLEMMING, 2007; GUIDORIZZI, 2000; MUROLO, 2016; STEWART, 2009; VILCHES, 2010) DEFINIÇÃO DE DERIVADA Dizemos que a função é derivável no ponto , se o limite da razão incremental quando , existir e for único assim tem-se . (FLEMMING, 2007; GUIDORIZZI, 2000; MUROLO, 2016; STEWART, 2009; VILCHES, 2010) Notações: EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Revisão de Derivada 01 / 13 Conteúdo carregado! 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 2/14 Os exercícios foram extraídos de FLEMMING, (2007); GUIDORIZI, (2000); MUROLO, (2016), STEWART, (2009), VILCHES, (2010) 1. Usando a definição de derivada, calcule: a. Resolução: Calculando o limite pela definição encontra-se um limite indeterminado. Para resolver o problema da indeterminação usa-se a técnica matemática onde se multiplica o numerador e denominador pelo conjugado do numerador, no exemplo em questão. 2. Resolução: Calculando o limite pela definição é preciso calcular o valor numérico de para e subtrair de . E fazer as operações básicas para poder chegar a uma função equivalente fácil de calcular o limite. Assim: Revisão de Derivada 02 / 13 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 3/14 DEFINIÇÃO DE DERIVADA EM UM PONTO Seja uma função derivável no intervalo aberto . Para cada , pertencente ao intervalo , se o limite existir. NOTAÇÃO: Teorema: Seja a função e . Se é derivável em , então é contínua em Exemplo Seja a função calcular para Resolução Para calcular o limite de é preciso calcular o valor numérico de para e subtrair do valor numérico de . E fazer as operações básicas para poder chegar a uma função equivalente fácil de calcular o limite. Assim: Logo Revisão de Derivada 03 / 13 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 4/14 Assim PROPRIEDADES DE DERIVAÇÃO Quando se estuda derivadas observamos que há um grande emprego da mesma em várias áreas tais como engenharia, ciências, economia, medicina e ciências da computação. A derivada é utilizada como fermenta para auxiliar por exemplo, no cálculo da velocidade e a aceleração, para estimar a diminuição do nível da água quando ela é bombeada para fora de um. Obter as derivadas através do cálculo de limites ser demorado e difícil. Por esse motivo desenvolveu-se algumas propriedades para facilitar o cálculo das derivadas com base no cálculo de limites. (FLEMMING, 2007; GUIDORIZZI, 2000; MUROLO, 2016; STEWART, 2009; VILCHES, 2010) Segue as propriedades de derivação extraídas de FLEMMING, (2007); GUIDORIZI, (2000); MUROLO, (2016), STEWART, (2009), VILCHES, (2010). P1 Função Identidade: A derivada da função identidade é igual a um, ou seja, dada a função , , temos: P2 Função Constante: A derivada da constante é igual a zero, ou seja, dada a função temos: P3 Derivada da Soma: Sejam e , duas funções deriváveis em Temos que a função , também é derivável em e sua derivada é dada por: P4 Derivada da Diferença: Sejam e , duas funções deriváveis em . Temos que a função , também é derivável em e sua derivada é dada por: P5 Derivada da Potência: Dada a função , , temos Revisão de Derivada 04 / 13 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 5/14 P6 Derivada do Produto: Sejam e , funções deriváveis em Temos que a função , também é derivável em e sua derivada é dada por: P7 Derivada do Quociente: Sejam e , duas funções deriváveis em e . Temos que a função , é derivável em e sua derivada é dada por: P8 Derivada da Raiz: Seja função derivável em sua derivada é dada por: Derivada das funções trigonométricas P9 Derivada da função seno: Dada a função , temos: . P10 Derivada da função cosseno: Dada a função , temos: P11 Derivada da função tangente: Dada a função , temos: P12 Derivada da função cotangente: Dada a função , temos: P13 Derivada da função secante: Dada a função , temos: P14 Derivada da função cossecante: Dada a função temos: P15 Derivada da função exponencial: Dada a função , com e , temos Revisão de Derivada 05 / 13 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 6/14 P16 Derivada da função logarítmica: Dada a função , temos: P17 Derivada de uma função composta ou (Regra da Cadeia): Sejam a função e a função . Existe a função composta dada por Supondo que seja derivável no ponto e seja derivável no ponto tal que , é derivável em , e sua derivada é: EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Os exercícios foram extraídos de FLEMMING, (2007); GUIDORIZI, (2000); MUROLO, (2016), STEWART, (2009), VILCHES, (2010). 1. Solução: 2. Solução: 3. Solução: Revisão de Derivada 06 / 13 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 7/14 4. Solução: 5. Solução: Para derivar a função deve-se usar a regra do produto. No exemplo em questão derivamos a função separada para facilitar o entendimento. Chamamos de função e Assim: Logo 6. Solução: Revisão de Derivada 07 / 13 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 8/14 Para derivar a função deve-se usar a regra do quociente. No exemplo em questão derivamos as funções e separada para facilitar o entendimento. Assim Logo 7. Solução: Para derivar a função deve-se usar a regra do quociente. Assim Revisão de Derivada 08 / 13 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 9/14 8. Solução: Para derivar a função deve-se usar a regra do quociente. No exemplo em questão derivamos as funções e separada para facilitar o entendimento. Assim Logo 9. Solução: Para derivar usa-se a regra do prodtuto, e para facilitar o entendimento derivamos as funções e separadas. Assim Logo 10. Revisão de Derivada 09 / 13 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 10/14 Solução: Para derivar usa-se a regra do prodtuto. 11. Solução: Para derivar usa-se a regra do prodtuto, e para facilitar o entendimento derivamos as funções e separadas. Assim Logo 12. Solução: Para derivar deve-se usar a regra do quociente e do produto para derivar o numerador e para facilitar o entendimento derivamos as funções e separadas. Assim Revisão de Derivada 10 / 13 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 11/14 Logo 13. Solução: Para derivar deve-se usar a regra do quociente e a regra da cadeia para derivar o numerador. No exemplo em questão derivamos as funções u(x) \ \mbox{ e} v(x) separado para facilitar o entendimento. Assim Logo Revisão de Derivada 11 / 13 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 12/14 14) Uma empresa estima o custo total em reais para fabricar unidades de um determinado produto pela função . Se a produção atual é de 40 unidades/dia, estime a variação do custo total para produção de 40,5 unidades /dia. Solução: Temos que a produção atual é de 40 unidades e a variação indicada é de unidades/dia. Usando o conceito de deriva essa variação é dada por Logo devemos a derivada da função custo calcular o valor numérico para Assim temos Logo o custo total para se produzir 40,5 unidades/dias é de: por unidade/dia produzidas. ATIVIDADE FINAL A fábrica YZ, tem a produção diária descrita por é P(x)=4.000x unidades, onde x é o capital que a fábrica disponibiliza. Estime o aumento percentual da produção gerado em consequência de um pequeno aumento de 1% no capital disponibilizado pela fábrica. A. O aumento percentual estimado é de 0,20% B. O aumento percentual estimado é de 0,30% C. O aumento percentual estimado é de 25% D. O aumento percentual estimado é de 0,5% Um estudante em seu projeto necessita medir a aresta de um cubo, e na medição encontra o valor de 12 cm a partir essa informação conclui que o volume do cubo é de 123 = 1.728 cm . Se a precisão usada na medida foi de 2%, com que precisão foi calculado o volume? 1/2 3 Revisão de Derivada 12 / 13 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 13/14 A. O erro máximo no cálculo do volume foi de aproximadamente + ou – 104,00 B. O erro máximo no cálculo do volume foi de aproximadamente + ou – 103,68 C. O erro máximo no cálculo do volume foi de aproximadamente + ou – 100,00 D. O erro máximo no cálculo do volume foi de aproximadamente + ou – 105,00 Uma fábrica modela sua produção diária por unidade produzida pela função P(t)=900t onde representa a mão de obra gasta medida em homens-horas trabalhadas. Atualmente a fábrica utiliza 1.000 homens- horas trabalhadas. Estime o número de homens-horas trabalhada adicionais necessários para aumentar em 15 unidades a produção diária. A. As homens-horas trabalhada adicionais necessários para aumentar em 15 unidades a produção diária é de 15 homens-horas B. As homens-horas trabalhada adicionais necessários para aumentar em 15 unidades a produção diária é de 1 homens-horas C. As homens-horas trabalhada adicionais necessários para aumentar em 15 unidades a produção diária é de 5 homens-horas D. As homens-horas trabalhada adicionais necessários para aumentar em 15 unidades a produção diária é de 10 homens-horas REFERÊNCIA FLEMMING, D. M. Cálculo A. 6ª ed. São Paulo: Pearson, 2007. GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo.Vol.1. Rio de Janeiro: LTC, 2000. MUROLO, A. C e Bonetto, G. Matemática Aplicada a administração, economia e contabilidade. São Paulo: Cengage Learning, 2016. STEWART, J. Cálculo. 6ª ed. Vol.1. São Paulo: Cengage Learning, 2009. VILCHES, M. A. e CORRÊA M. L.. CÁLCULO: V I. Departamento de Análise - IME UERJ: Rio de Janeiro. 2010 1/3 Revisão de Derivada 13 / 13 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 14/14 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 1/8 Derivada Implícita APRESENTAR OS CONCEITOS DE DERIVADAS NA FORMA IMPLÍCITA AUTOR(A): PROF. CLAUDINEIA HELENA RECCO FUNÇÃO NA FORMA IMPLÍCITA Considere uma função nas variáveis e . Dizemos que a função é definida implicitamente por uma equação se para todo no domínio de , o ponto for solução da equação. Conforme FLEMMING, (2007); GUIDORIZI, (2000); MUROLO, (2016), STEWART, (2009), VILCHES, (2010). EXEMPLO 1. A equação define implicitamente as funções 2. A equação define implicitamente a função DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA IMPLÍCITA Suponha que define implicitamente uma função derivável é possível encontrar a derivada da função sem conhece-la, para tal usa-se a técnica da derivada implícita. Conforme FLEMMING, (2007); GUIDORIZI, (2000); MUROLO, (2016), STEWART, (2009), VILCHES, (2010). EXEMPLOS 1. Dada a equação define de forma implicitamente. Derivada Implícita 01 / 07 Conteúdo carregado! 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 2/8 Solução Isolando tem-se: 2. Dada a equação define de forma implicitamente. Solução Isolando tem-se: EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Os exercícios foram extraídos de FLEMMING, (2007); GUIDORIZI, (2000); MUROLO, (2016), STEWART, (2009), VILCHES, (2010). Expresse em termos de e , onde ,é uma função derivável, dada implicitamente pela equação. Derivada Implícita 02 / 07 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 3/8 1. Solução: É preciso usar a regra da cadeia tanto o exponencial quanto o logaritmo. 2. Solução: Para encontrar a derivada deve-se usar a regra do produto e derivada simples. 3. Solução: Para encontrar a derivada deve-se usar a regra da cadeia para derivar a função seno demais derivadas são simples. Derivada Implícita 03 / 07 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 4/8 4. Solução: Para encontrar a derivada deve-se usar a regra da cadeia para derivar a função cosseno, derivada simples e a regra do produto. 5. Solução: Para encontrar a derivada deve-se usar a regra da cadeia e derivada simples. Derivada Implícita 04 / 07 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 5/8 6. Um tangue de água tem a forma de um cone circular invertido com base de raio de 2 m e altura igual a 4 m. Se a água está sendo bombeada dentro do tangue a uma taxa de 2 m /min, encontre a taxa na qual o nível estará elevado quando estiver a 3 m de profundidade. Solução: Por hipótese do problema temos que corresponde ao tempo, a altura, ao raio da superfície e o volume do cone. Temos ainda que e são funções em função do tempo . Dado que a agua é bombeada a uma taxa de temos que . Queremos encontrar , quando . Lembrando da geometria que o volume do cone é: Para encontrar em função de , usamos semelhança de triangulo, notamos na figura que: 3 Derivada Implícita 05 / 07 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 6/8 Substituindo na equação do volume, temos: Derivando a função do volume em relação ao tempo temos: Substituindo e obtemos ATIVIDADE FINAL Um importador de cana de açúcar brasileiro estima que consumidores locais comprarão libras de cana de açúcar por semana quando o preço for p dólares por libra. Calcula-se também que daqui a t semanas, o preço da cana de açúcar brasileira será dólares por libra. Qual será a taxa de variação da demanda semanal de cana de açúcar com o tempo daqui a 15 semanas? A demanda estará aumentando ou diminuindo nesta ocasião? A. Daqui a 15 semanas a demanda estará aumentada a uma taxa de 0.18 libras por semana. B. Daqui a 15 semanas a demanda estará diminuída a uma taxa de 9 libras por semana. C. Daqui a 15 semanas a demanda estará diminuída a uma taxa de 0.00017 libras por semana. D. Daqui a 15 semanas a demanda estará aumentada a uma taxa de 2 libras por semana. Derivada Implícita 06 / 07 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 7/8 Um balão esférico está se expandindo. Se o raio está aumentando a uma taxa de 5 centímetros por minuto,em que taxa o volume estará aumentando quando o raio for de 12 centímetros. A. O volume estará aumentando a uma taxa de 2880 cm /min B. O volume estará aumentando a uma taxa de 3880 cm /min C. O volume estará aumentando a uma taxa de 2980 cm /min D. O volume estará aumentando a uma taxa de 2890 ? cm /min Em uma pesquisa médica estudas a introdução de um pequeno balão esférico em uma artéria obstruída e inflado à razão de 0,002 mm³/min. Qual é a taxa de aumento do raio do balão quando o raio é R = 0,005 mm? A. A taxa de aumento do raio do balão quando o raio é R = 0,005 mm é de 18mm/min B. A taxa de aumento do raio do balão quando o raio é R = 0,005 mm é de 10mm/min C. A taxa de aumento do raio do balão quando o raio é R = 0,005 mm é de 20mm/min D. A taxa de aumento do raio do balão quando o raio é R = 0,005 mm é de 30mm/min REFERÊNCIA FLEMMING, D. M. Cálculo A. 6ª ed. São Paulo: Pearson, 2007. GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo.Vol.1. Rio de Janeiro: LTC, 2000. MUROLO, A. C e Bonetto, G. Matemática Aplicada a administração, economia e contabilidade. São Paulo: Cengage Learning, 2016. STEWART, J. Cálculo. 6ª ed. Vol.1. São Paulo: Cengage Learning, 2009. VILCHES, M. A. e CORRÊA M. L.. CÁLCULO: V I. Departamento de Análise - IME UERJ: Rio de Janeiro. 2010. 3 3 3 3 Derivada Implícita 07 / 07 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 8/8 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 1/17 Derivada de uma função na Forma Paramétrica APRESENTAR OS CONCEITOS DE DERIVADAS DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA AUTOR(A): PROF. CLAUDINEIA HELENA RECCO FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA Sejam duas funções na mesma variável real onde Para cada valor de existem dois valores correspondentes e Considerando estes valores como coordenadas de um ponto , pode-se dizer que a cada valor de corresponde um ponto no plano (ver gráfico). Se as funções e são contínuas, quando varia de até , o ponto descreve uma curva no plano (ver gráfico). Conforme FLEMMING, (2007); GUIDORIZI, (2000); MUROLO, (2016), STEWART, (2009), VILCHES, (2010). Derivada de uma função na Forma Paramétrica 01 / 16 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 2/17 Se admite inversa esta é . Nesse caso substituindo o valor de na função temos Logo denomina-se equação paramétrica da curva e é chamado de parâmetro da equação. EXEMPLO 1. As equações define uma função na forma paramétrica. Solução: A função é inversível e sua inversa é dada por , isto é, Como a função é inversível podemos isolar e encontrar a função , como segue: Substituindo a função na função obtém-se: Logo temos que a função é descreve uma reta 2. As equações define uma função na forma paramétrica. Solução: O conjunto de equação descreve a equação da circunferência nas coordenadas polares. A circunferência tem centro na origem e raio . Para encontrar a equação descrita pelo conjunto de equações nas coordenadas cartesianas, deve-se eliminar o parâmetro . Para eliminar o parâmetro devemos lembrar que a trigonometria fornece uma identidade que diz: Derivada de uma função na Forma Paramétrica 02 / 16 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 3/17 Nesse caso, se levarmos o quadrado ambos os membros do conjunto de equações temos: Distribuído a potência, usando as propriedades de potenciação temos: Somando membro a membro o conjunto de equações temos Assim Observações: 1. Equação da circunferência centro na origem e raio (coordenadas cartesianas) 2. Como a função � não é inversível não se tem a função na forma paramétrica, isto é: 3. Se o domínio for restringido pode-se ter uma ou mais funções na forma paramétrica, isto é: a. As equações descreve a meia circunferência positiva b. As equações descreve a meia circunferência negativa Derivada de uma função na Forma Paramétrica 03 / 16 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 4/17 DERIVADA DE FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA Conforme FLEMMING, (2007); GUIDORIZI, (2000); MUROLO, (2016), STEWART, (2009), VILCHES, (2010), seja uma função com parâmetro definida pelas equações na variável real com . Para cada valor de t existem dois valores correspondentes e Suponha que as funções e são deriváveis. Se a função for uma função paramétrica esta pode ser reescrita como uma função composta, tal como: Para derivá-la aplica-se a regra da cadeia, assim: Como e sua inversa são deriváveis pelo teorema da derivada da função tem-se: Substituindo a equação 2 na equação 1 tem-se: Assim para encontrar a derivada da função na forma paramétrica basta fazer: EXEMPLO Derivada de uma função na Forma Paramétrica 04 / 16 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 5/17 Calcule a derivada da função definida na forma paramétrica: 1. Solução: O conjunto de equação descreve a equação descreve uma função na forma paramétrica. Assim para encontrar a derivada basta usar o conceito Logo basta encontrar a derivada da função, basta seguir os passos: Passo 1: encontrar a derivada das funções e Segue Dada a função sua derivada em função de é Dada a função sua derivada em função de é Passo 2: Aplicar a formula Logo Observação: A derivada a função nesse caso é uma constante. 2. Solução: O conjunto de equação descreve a equação descreve uma função na forma paramétrica. Assim para encontrar a derivada basta usar o conceito Logo basta encontrar a derivada da função, basta seguir os passos: Passo 1: Encontrar a derivada das funções e . Segue Dada a função sua derivada em função de é Dada a função sua derivada em função de é Derivada de uma função na Forma Paramétrica 05 / 16 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 6/17 Passo 2: Aplicar a formula Logo Observação: Colocando o número 3 em evidencia e simplificado com o denominador obtemos a derivada da função em função de . Para obtermos a derivada da função em função a como solicitado devemos encontrar a função inversa da função e substituir na derivada encontrada. Como a função , possui inversa, encontramos a mesma e substituimos na derivada. Assim A função inversa da função é Observação: Para calcular a função inversa basta isolar t na função Substituindo em obtemos EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Os exercícios foram extraídos de FLEMMING, (2007); GUIDORIZI, (2000); MUROLO, (2016), STEWART, (2009), VILCHES, (2010) 1. As equações define uma função na forma paramétrica. Solução: O conjunto de equação descreve a equação da elipse nas coordenadas polares. A elipse tem centro na origem e eixos , sendo eixo maior e eixo menor. Derivada de uma função na Forma Paramétrica 06 / 16 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 7/17 Para encontrar a equação descrita pelo conjunto de equações nas coordenadas cartesianas, deve-se eliminar o parâmetro . Lembrando que para eliminar o parâmetro devemos lembrar que a trigonometria fornece uma identidade que diz: Nesse caso, devemos fazer alguns processos matemáticos, mas lembrando de não alterar as equações. Passo 1: a) multiplica-se a primeira equação por . b) multiplica-se a segunda equação por . Obtendo: Passo 2: Deve-se elevar ao quadrado ambos os membros do conjunto de equações temos: Distribuído apotência, usando as propriedades de potenciação temos: Somando membro a membro o conjunto de equações temos Assim Equação da elipse de centro na origem e eixos e (coordenadas cartesianas) Derivada de uma função na Forma Paramétrica 07 / 16 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 8/17 Equação equivalente da elipse Observações: 1) Como a função não é inversível não se tem a função na forma paramétrica, isto é: 2) Se o domínio for restringido pode-se ter uma ou mais funções na forma paramétrica, isto é: a. As equações descreve a meia circunferência positiva b. As equações descreve a meia circunferência negativa 2. As equações define uma função na forma paramétrica. Solução: O conjunto de equação descreve a equação da astróide ou hipociclóide de 4 cúspides nas coordenadas polares. Para encontrar a equação descrita pelo conjunto de equações nas coordenadas cartesianas, deve-se eliminar o parâmetro . Para encontrar a equação descrita pelo conjunto de equações nas coordenadas cartesianas, deve-se eliminar o parâmetro . Lembrando que para eliminar o parâmetro devemos lembrar que a trigonometria fornece uma identidade que diz: Derivada de uma função na Forma Paramétrica 08 / 16 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 9/17 Nesse caso, deve-se elevar a potência ambos os membros do conjunto de equações obtendo: Distribuído a potência, usando as propriedades de potenciação temos: Resolvendo a potência, usando as propriedades de potenciação temos: Somando membro a membro o conjunto de equações temos Assim Equação da astróide ou hipociclóide de 4 cúspides (coordenadas cartesianas) Ou Derivada de uma função na Forma Paramétrica 09 / 16 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 10/17 3. Calcule a derivada da função definida na forma paramétrica: a. Solução: O conjunto de equação descreve a equação descreve uma função na forma paramétrica. Assim para encontrar a derivada basta usar o conceito Logo basta encontrar a derivada da função, basta seguir os passos: Passo 1: encontrar a derivada das funções e . Segue Dada a função sua derivada em função de é Dada a função sua derivada em função de é Passo 2: Aplicar a formula Logo Observação: Simplificando por resulta em . Para obtermos a derivada da função em função a como solicitado devemos encontrar a função inversa da função e substituir na derivada encontrada. Como a função , possui inversa, encontramos a mesma e substituimos na derivada. Assim A função inversa da função é Para calcular a função inversa basta isolar na função Substituindo em obtemos Derivada de uma função na Forma Paramétrica 10 / 16 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 11/17 b. Solução: O conjunto de equação descreve a equação descreve uma função na forma paramétrica. Assim para encontrar a derivada basta usar o conceito Logo basta encontrar a derivada da função, basta seguir os passos: Passo 1: encontrar a derivada das funções e . Segue Dada a função sua derivada em função de é Dada a função sua derivada em função de é Passo 2: Aplicar a formula Logo Observação: Simplificando -2 por 2 resulta em -1. O resultado encontrado só é válido para os pontos onde ou seja para c. Solução: O conjunto de equação descreve a equação descreve uma função na forma paramétrica. Assim para encontrar a derivada basta usar o conceito Logo basta encontrar a derivada da função, basta seguir os passos: Derivada de uma função na Forma Paramétrica 11 / 16 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 12/17 Passo 1: encontrar a derivada das funções e . Segue Dada a função sua derivada em função de é . Dada a função sua derivada em função de é Passo 2: Aplicar a formula Logo É necessário fazer as simplificações necessárias para chegar no resultado final O resultado encontrado só é válido para os pontos onde ou seja para e 4. Determine a equação da reta tangente à circunferência , no ponto Solução: Para encontrar a equação da reta tangente a circunferência vamos usar a equação da circunferência definida na forma paramétrica pelo conjunto de equações: Para calcular a inclinação da reta tangente no ponto , é necessário encontrar a derivada da equação em relação a variável . Logo para encontrar a derivada basta usar o conceito Assim basta encontrar a derivada da função, basta seguir os passos: Passo 1: encontrar a derivada das funções e . Segue Dada a função sua derivada em função de é Derivada de uma função na Forma Paramétrica 12 / 16 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 13/17 Dada a função sua derivada em função de é Passo 2: Aplicar a formula Logo Para determinar o valor de para o ponto substituimos as coordenadas do ponto no conjunto de equações Assim temos: Logo A equação da reta tangente à curva no ponto é dado por Assim Ou Derivada de uma função na Forma Paramétrica 13 / 16 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 14/17 ATIVIDADE FINAL Um engenheiro em seus estudos descobriu que a função que descreve a localização de ponto de maior tensão que uma máquina suporta coincide com a equação da reta tangente a equação no ponto Pede-se determinar a equação da reta tangente a curva dada ao ponto P. A. A equação da reta tangente procurada é: B. A equação da reta tangente procurada é: C. A equação da reta tangente procurada é: D. A equação da reta tangente procurada é: Uma equipe médica necessitando de um novo aparelho para medir uma substancia sanguínea solicitou a uma equipe de engenheiros que fizessem o projeto de tal máquina. Na elaboração do projeto a equipe constatou que a calibração desejada para a leitura com margem mínima de erro é dada pela derivada da função: quando . Pede- se qual o valor de calibração da máquina. Derivada de uma função na Forma Paramétrica 14 / 16 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 15/17 A. O valo de calibração da máquina é B. O valo de calibração da máquina é C. O valo de calibração da máquina é D. O valo de calibração da máquina é Uma equipe de engenheiros fazendo manutenções em uma frota de aviões constatou um erro de calibração nas turbinas de alguns aviões, onde para calibrar de forma aos aviões não sofrerem dando ao decolar é necessário descobrir a derivada da função e testar qual a melhor calibração. Pede-se a derivada da função em relação a . A. A derivada da função que fornece a calibração das turbinas dos aviões é B. A derivada da função que fornece a calibração das turbinas dos aviões é C. A derivada da função que fornece a calibração das turbinas dos aviões é D. A derivada da função que fornece a calibração das turbinas dos aviões é Derivada de uma função na Forma Paramétrica 15 / 16 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 16/17 REFERÊNCIA FLEMMING, D. M. Cálculo A. 6ª ed. São Paulo: Pearson, 2007. GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo.Vol.1. Rio de Janeiro: LTC, 2000. MUROLO, A. C e Bonetto, G. Matemática Aplicada a administração, economia e contabilidade. São Paulo: Cengage Learning, 2016. STEWART, J. Cálculo. 6ª ed. Vol.1. São Paulo: Cengage Learning, 2009. VILCHES, M. A. eCORRÊA M. L.. CÁLCULO: V I. Departamento de Análise - IME UERJ: Rio de Janeiro. 2010 Derivada de uma função na Forma Paramétrica 16 / 16 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 17/17 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 1/10 Funções de Várias Variáveis APRESENTAR CONCEITOS DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS E SEU DOMÍNIO AUTOR(A): PROF. CLAUDINEIA HELENA RECCO FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Conforme FLEMMING, (2007); GUIDORIZI, (2000); MUROLO, (2016), STEWART, (2009), VILCHES, (2010) é necessário um estudo das funções com duas ou mais variáveis, pois a maioria das reações encontradas na física, na economia, na engenharia, em outras palavras na natureza é modelada por funções de duas ou mais variáveis reais. Segundo GUIDORIZI, (2000) uma função de duas variáveis a valores reais é uma função onde A é um subconjunto de O conjunto é denominado domínio de que é representado por e a cada par , associa um único número conforme pode ser visto no gráfico 1 e 2. O conjunto é denominado imagem de . Funções de Várias Variáveis 01 / 09 Conteúdo carregado! 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 2/10 EXEMPLOS 1. O volume de um cilindro é dado por , onde : raio e : altura. Observação: Podemos representar a função como uma função de duas variáveis 2. A equação de estado de um gás é dada por , onde temos: : Pressão : Volume : Massa gasosa em moles : Constante molar do gás : Temperatura Observação: Podemos representar a função como uma função de três variáveis onde é constante. Notação: Funções de Várias Variáveis 02 / 09 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 3/10 Sendo variável dependente e e são variáveis independentes. Domínio das funções de duas variáveis Conforme FLEMMING, (2007); GUIDORIZI, (2000); MUROLO, (2016), STEWART, (2009), VILCHES, (2010) o domínio dessas funções segue as mesmas regras do domínio de funções de uma variável, ou seja, o domínio é a região , tal que os valores calculados da função, para todo resultem em valores finitos e reais para . Exemplos 1) Achar o domínio da função Solução: A condição de existência da função é (real), pois a raiz quadrada não assume valores negativos, portanto o seu domínio é . 2) Ache o domínio da função Solução: A função é finita quando pois, para denominador igual a zero a função é indeterminada. Assim, domínio é o conjunto de pontos, tais que, Graficamente temos: Funções de Várias Variáveis 03 / 09 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 4/10 3. Ache o domínio da função Solução: A função é finita quando , pois a raiz quadrada não assume valores negativos. O domínio é o conjunto de pontos, tais que EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Os exercícios foram extraídos de FLEMMING, (2007); GUIDORIZI, (2000); MUROLO, (2016), STEWART, (2009), VILCHES, (2010) 1. Seja a função . De o domínio de . Solução O domínio de é o conjunto de todos os pares de números reais com , isto é: Observação: Lembrando que o denominador de uma fração nunca pode ser igual a zero. Funções de Várias Variáveis 04 / 09 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 5/10 2. Lembrando que transforma o par no número real . Calcule: a. b. Solução a. Para calcular , basta fazer a troca de por 2 e y por 3 na função . Assim temos b. Para calcular , basta fazer a troca de por e por na função Assim temos 3) Represente graficamente o domínio da funçã Solução O domínio de é o conjunto de todos os pares de números reais com e , isto é: e Graficamente temos Funções de Várias Variáveis 05 / 09 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 6/10 4. Represente graficamente o domínio da função . Solução O domínio de f é o conjunto de todos os pares de números reais com , isto é: Graficamente temos: é um número real positivo quando: (A) e (B) e Logo Funções de Várias Variáveis 06 / 09 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 7/10 ATIVIDADE FINAL O domínio da função no campo tridimensional é descrito graficamente no campo bidimensional por: A. O domínio da função é que graficamente representa um plano B. O domínio da função é , que graficamente representa uma reta C. O domínio da função é , que graficamente representa o interior e o contorno de uma parábola D. O domínio da função é , que graficamente representa o campo dos reais todo. O domínio da função no campo tridimensional é descrito graficamente no campo bidimensional por: Funções de Várias Variáveis 07 / 09 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 8/10 A. O domínio da função é , que graficamente representa um plano B. O domínio da função é, que graficamente rep resenta uma reta C. O domínio da função é , que graficamente representa um paraboloide D. O domínio da função é , que graficamente representa o campo dos reais todo. O domínio da função no campo tridimensional é descrito graficamente no campo bidimensional por: A. O domínio da função é , que graficamente representa um plano B. O domínio da função é , que graficamente representa o interior de uma circunferência de centro na origem e raio 1 C. O domínio da função é que graficamente representa o interior de um paraboloide D. O domínio da função é , que graficamente representa o campo dos reais todo. REFERÊNCIA FLEMMING, D. M. Cálculo A E B. 6ª ed. São Paulo: Pearson, 2007. GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo.Vols.1 e 2. Rio de Janeiro: LTC, 2000. Funções de Várias Variáveis 08 / 09 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 9/10 MUROLO, A. C e Bonetto, G. Matemática Aplicada a administração, economia e contabilidade. São Paulo: Cengage Learning, 2016. STEWART, J. Cálculo. 6ª ed. Vols.1 e 2. São Paulo: Cengage Learning, 2009. VILCHES, M. A. e CORRÊA M. L.. CÁLCULO: V 1 e 2. Departamento de Análise - IME UERJ: Rio de Janeiro. 2010 Funções de Várias Variáveis 09 / 09 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 10/10 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 1/21 Gráfico de Funções de Várias Variáveis APRESENTAR OS CONCEITOS E TÉCNICAS DE CONSTRUÇÃO DE GRÁFICO TRIDIMENSIONAL AUTOR(A): PROF. CLAUDINEIA HELENA RECCO GRÁFICO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Uma é representada por planos ou superfícies no espaço. Para localizar um ponto no eixo tridimensional, primeiro localiza-se o ponto no plano , e em seguida localiza a altura no eixo , unindo os pontos obtém-se o ponto no eixo tridimensional como pode ser visto no gráfico 1. (FLEMMING, 2007; GUIDORIZZI, 2000; MUROLO, 2016; STEWART, 2009; VILCHES, 2010) Para as funções de uma variável, o gráfico é no plano e Para funções de 2 variáveis o gráfico é em e . Uma função de 2 variáveis sempre gera uma superfície no espaço como pode ser visto no gráfico 2. Gráfico de Funções de Várias Variáveis 01 / 20 Conteúdo carregado! 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php2/21 Exemplos 1. Seja a função , esboce o gráfico. Solução: A função é uma função constante, sendo assim temos uma superfície representada por um plano infinito, paralelo a e passando por . Assim o gráfico é 2. Seja a função é esboce o gráfico. Solução: A função é , pode ser reescrita na forma que é a equação de um plano. Gráfico de Funções de Várias Variáveis 02 / 20 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 3/21 Para achar os pontos onde este plano intercepta os eixos, é só atribuir valores para as incógnitas duas a duas iguais a zero, como segue: a) Para e logo b) Para e logo c) Para e logo Após encontrar os pontos devemos localizar os mesmo nos eixos e liga-los formando um esboço do plano como segue 3. A função é representa um paraboloide como pode ser visto. 4. A função é representa uma semi-esfera. Gráfico de Funções de Várias Variáveis 03 / 20 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 4/21 Devido à dificuldade em se construir e estudar o comportamento gráfico das funções de duas variáveis, usa- se o artifício da construção do gráfico bidimensional o qual é denominado curvas de nível. (FLEMMING, 2007; GUIDORIZZI, 2000; MUROLO, 2016; STEWART, 2009; VILCHES, 2010) CURVA DE NÍVEL Quando precisamos de uma visão geral acerca dos valores que um gráfico pode nos fornece, podemos fazer uma espécie de compressão de valores em uma estrutura bidimensional, ou seja, imagine que temos que verificar em que circunstâncias de valores das variáveis independentes que a função assume em um determinado valor, para estes casos podemos marcar sobre um plano os valores dos pares que fornecem o valor que procuramos. Este procedimento é facilmente observado se tomarmos um cone com a base para baixo, se fizermos com que uma certa quantidade de água preencha um recipiente onde o mesmo está inserido, veremos uma circunferência ao observarmos o cone por cima, delimitado pela superfície da água que contorna o cone. Uma vez que para cada nível de água teremos uma altura, podemos dizer que ao traçarmos os valores para várias circunferências concêntricas estaremos desenhando curvas correspondentes aos níveis de água. Além do cone podemos encontrar curvas de nível em diversas situações como apresentam as figuras 1 e 2. (FLEMMING, 2007; GUIDORIZZI, 2000; MUROLO, 2016; STEWART, 2009; VILCHES, 2010) Gráfico de Funções de Várias Variáveis 04 / 20 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 5/21 Gráfico de Funções de Várias Variáveis 05 / 20 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 6/21 DEFINIÇÃO CURVA DE NIVEL O conjunto de todos os pontos tais que denomina-se curvas de níveis de correspondente ao nível . O gráfico a segui mostra o seu esboço através das curas de nível. Exemplo Seja a função dada por As curvas de nível para e são: ponto da origem (circunferência centro C(0,0) e raio 1) (circunferência centro C(0,0) e raio ) (circunferência centro C(0,0) e raio 2) Construindo os gráficos para cada nível no mesmo plano cartesiano temos, podemos notar que as curvas de nível são paralelas e por isso nunca se interceptam. Gráfico de Funções de Várias Variáveis 06 / 20 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 7/21 Construindo infinitas curvas de nível temos: Traçando as curvas de níveis no plano cartesiano tridimensional e traçando os níveis no eixo temos que a função representa um paraboloide Elíptico. Gráfico de Funções de Várias Variáveis 07 / 20 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 8/21 Definição de Gráficos Seja chama-se gráfico de f ao subconjunto do definido por Observação: Como o gráfico é um subconjunto do e no plano podemos representar no máximo para então podemos traçar o gráfico de funções de no máximo duas variáveis, isto é, n=2. Lembrando que ao traçar o gráfico os eixos cartesianos devem estar 2 a 2 ortogonais. Exemplo 1. Seja a função dada por . Esboce o gráfico. Solução: Por definição de função sabe-se que é uma função constate, logo se tem que Como temos que o gráfico de descreve um plano na altura Logo Gráfico de Funções de Várias Variáveis 08 / 20 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 9/21 Geometricamente 2. Seja a função dada por . Esboce o gráfico. Solução: Por definição de função sabe-se que é uma função linear, logo se tem retas do tipo (Curvas de nível) Como temos que o gráfico de descreve um plano. Logo Geometricamente Gráfico de Funções de Várias Variáveis 09 / 20 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 10/21 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Os exercícios foram extraídos de FLEMMING, (2007); GUIDORIZI, (2000); MUROLO, (2016), STEWART, (2009), VILCHES, (2010) 1. Seja a função dada por . Onde . Esboce o gráfico. Solução: Por definição de função sabe-se que É uma função quadrática, logo se tem circunferências do tipo centro e raio (Curvas de níveis) Lembrando que as curvas de nível são gráfico bidimensional, variando o valor de . Segue o gráfico das curvas de nível. Gráfico de Funções de Várias Variáveis 10 / 20 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 11/21 Como temos que o gráfico de descreve um paraboloide, considerando que o conjunto limita o paraboloide no primeiro quadrante temos que Geometricamente 2. Seja a função dada por . Esboce o gráfico. Gráfico de Funções de Várias Variáveis 11 / 20 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 12/21 Solução: Por definição de função sabe-se que é uma função não linear, logo se tem circunferências do tipo centro e raio (Curvas de níveis) Lembrando que as curvas de nível são gráfico bidimensional, variando o valor de . Segue o gráfico das curvas de nível. Como temos que o gráfico de descreve um cone. Logo Geometricamente Gráfico de Funções de Várias Variáveis 12 / 20 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 13/21 Em uma outra visão 3. Seja a função dada por . Esboce o gráfico. Solução: Por definição de função sabe-se que É uma função não linear, logo se tem parábolas do tipo (Curvas de níveis) Gráfico de Funções de Várias Variáveis 13 / 20 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 14/21 Lembrando que as curvas de nível são gráfico bidimensional, variando o valor de . Segue o gráfico das curvas de nível. Como temos que o gráfico de descreve uma parábola. Logo Geometricamente Em uma outra visão Gráfico de Funções de Várias Variáveis 14 / 20 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 15/21 4. Seja a função dada por . Esboce o gráfico. Solução: Por definição de função sabe-se que . É uma função não linear, logo se tem hipérboles do tipo . (Curvas de níveis) Lembrando que as curvas de nível são gráfico bidimensional, variando o valor de . Segue o gráfico das curvas de nível, fazendo temos: Como temos que o gráfico de descreve um paraboloide hiperbólico. Gráfico de Funções de Várias Variáveis 15 / 2013/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 16/21 Logo Geometricamente Em uma outra visão Observação: esta função é conhecida com a função que descreve a sela de caval Gráfico de Funções de Várias Variáveis 16 / 20 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 17/21 ATIVIDADE FINAL Uma chapa de aço retangular é posicionada num sistema cartesiano como na figura. A temperatura nos pontos da chapa é dada por . O gráfico da função temperatura representa qual função? E sua isotermas representa as curvas em que a temperatura é constante, geometricamente que curva é essa? A. As isotermas da curva em que a temperatura é constante são reta constantes e o gráfico da função é parábola, porém correndo ao eixo x B. As isotermas da curva em que a temperatura é constante são parábolas e o gráfico da função é parábola, porém correndo ao eixo x C. As isotermas da curva em que a temperatura é constante são reta constantes e o gráfico da função é parábola, porém correndo ao eixo y D. As isotermas da curva em que a temperatura é constante são reta constantes e o gráfico da função é um plano, cortando o eixo x Gráfico de Funções de Várias Variáveis 17 / 20 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 18/21 Uma equipe de engenheiros em um projeto tem que construir um objeto cuja função que o descreve é se conhece o gráfico de conforme a figura, porém necessita-se saber seu gráfico bidimensional. A. O gráfico bidimensional são as curvas de nível onde ao traçar tem-se várias hipérboles. B. O gráfico bidimensional são as curvas de nível onde ao traçar tem-se várias parábolas. C. O gráfico bidimensional são as curvas de nível onde ao traçar tem-se várias retas. D. O gráfico bidimensional são as curvas de nível onde ao traçar tem-se várias circunferências. Gráfico de Funções de Várias Variáveis 18 / 20 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 19/21 Uma equipe de engenheiros em um projeto tem que construir um objeto cuja função que o descreve é , se conhece o gráfico de conforme a figura, porém necessita-se saber seu gráfico bidimensional. A. O gráfico bidimensional são as curvas de nível onde ao traçar tem-se várias hipérboles. B. O gráfico bidimensional são as curvas de nível onde ao traçar tem-se várias parábolas. C. O gráfico bidimensional são as curvas de nível onde ao traçar tem-se várias senoidais. D. O gráfico bidimensional são as curvas de nível onde ao traçar tem-se várias circunferências. Gráfico de Funções de Várias Variáveis 19 / 20 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 20/21 Uma equipe de engenheiros em um projeto tem que construir um objeto cuja função que o descreve é , se conhece o gráfico de conforme a figura, porém necessita-se saber seu gráfico bidimensional. A. O gráfico bidimensional são as curvas de nível onde ao traçar tem-se várias hipérboles. B. O gráfico bidimensional são as curvas de nível onde ao traçar tem-se várias funções cubicas. C. O gráfico bidimensional são as curvas de nível onde ao traçar tem-se várias retas. D. O gráfico bidimensional são as curvas de nível onde ao traçar tem-se várias circunferências. REFERÊNCIA FLEMMING, D. M. Cálculo A E B. 6ª ed. São Paulo: Pearson, 2007. GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo.Vols.1 e 2. Rio de Janeiro: LTC, 2000. HOFFMANN, L. D. e BRADLEY, G. L. CÁLCULO: UM CURO MDERNO E SUAS APLICAÇÕES. 7ª ed. Rio de Janeiro: LTC., 2002. MUROLO, A. C e Bonetto, G. Matemática Aplicada a administração, economia e contabilidade. São Paulo: Cengage Learning, 2016. STEWART, J. Cálculo. 6ª ed. Vols.1 e 2. São Paulo: Cengage Learning, 2009. VILCHES, M. A. e CORRÊA M. L.. CÁLCULO: V 1 e 2. Departamento de Análise - IME UERJ: Rio de Janeiro. 2010. Gráfico de Funções de Várias Variáveis 20 / 20 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 21/21 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 1/14 Derivadas Parciais APRESENTAR OS CONCEITOS DE DERIVADAS PARCIAIS E SUAS PROPRIEDADES AUTOR(A): PROF. CLAUDINEIA HELENA RECCO DERIRADAS PARCIAIS – DEFINIÇÃO A definição de derivada parcial de uma função de 2 variáveis é a mesma que a de funções de uma variável. A única diferença aqui é que, como se tem duas variáveis, uma delas deve ser mantida fixa enquanto se dá acréscimos para a outra. (FLEMMING, 2007; GUIDORIZZI, 2000; MUROLO, 2016; STEWART, 2009; VILCHES, 2010) Assim, seja a função sua derivada em relação a é: Incremento da função: taxa de variação da faunção: Assim a derivada parcial em relação a é: Ou O procedimento é semelhante em relação a . Assim a derivada parcial em relação a é: Ou Derivadas Parciais 01 / 13 Conteúdo carregado! 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 2/14 Nomenclatura Seja , então a derivada parcial de em relação a escreve-se: Seja , então a derivada parcial de em relação a escreve-se: Interpretação Geométrica da Derivada Parcial Nas funções de uma variável, a derivada mede a inclinação da reta tangente à curva no ponto dado. Nas funções do tipo de duas variáveis, a derivada em relação a , mede a inclinação da reta a superfície, no ponto dado e numa seção paralela ao eixo , com constante e numa seção paralela ao eixo , com constante. (FLEMMING, 2007; GUIDORIZZI, 2000; MUROLO, 2016; STEWART, 2009; VILCHES, 2010) Geometricamente temos (figura 1): Derivadas Parciais 02 / 13 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 3/14 Em outras palavras podemos dizer que: Derivada parcial em , significa a inclinação da reta que toca a superfície , em ponto desta superfície e de um plano vertical paralelo aos eixos e , de abscissa . A reta pertence a este plano. Derivada parcial em , significa a inclinação da reta que toca a superfície , em ponto desta superfície e de um plano vertical paralelo aos eixos e , de ordenada . A reta pertence a este plano. Geometricamente temos (figura 2): Derivadas Parciais 03 / 13 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 4/14 Interpretação individual das inclinações das retas tangentes. Interpretação da inclinação no plano ( figura 3). Derivadas Parciais 04 / 13 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 5/14 Interpretação da inclinação no plano ( figura 4). Derivadas Parciais 05 / 13 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 6/14 Interpretação geométrica conjunta da inclinação no plano e da inclinação no plano ( figura 5). Derivadas Parciais 06 / 13 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 7/14 A Técnica de Derivadas Parciais A derivada parcial em relação a variável , considera a variável como constante, enquanto que a derivada parcial em relação a variável considera a variável constante. Assim Exemplos Derivadas Parciais 07 / 13 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 8/14 Observação: Para derivar a função em relação a usa-se a regra da potência considerando constante. E para derivar a função em relação a usa-se a regra da potência considerando constante. Observação: Para derivar a função em relação a usa-se a regra da potência considerando constante. E para derivar a função em relação ausa-se a regra da potência considerando constante. Diferencial Total de uma função de 2 ou mais variáveis A condição para que uma função seja diferenciável é que suas derivadas parciais existam. Assim, cada a função , sua diferencial total é: A função de várias variáveis é diferenciável se suas derivadas parciais forem contínuas. A diferencial de uma função de n variáveis é: A definição da diferencial total pode ser encontrada na literatura aqui nos baseamos em vários autores. (FLEMMING, 2007; GUIDORIZZI, 2000; MUROLO, 2016; STEWART, 2009; VILCHES, 2010) Exemplo 1. Diferenciar a função Solução Derivadas Parciais 08 / 13 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 9/14 Observação: Para diferenciar a função Z, é necessário encontra as derivadas parciais em relação a x e em relação a y. Aplicando as propriedades de derivação. Assim, a diferencial da função é: Observação: Devemos lembrar que a diferencial total é a soma das derivadas parciais em relação as variáveis da função. 2. Calcule a diferencial da função Solução Observação: 1. Para diferenciar a função , é necessário encontra as derivadas parciais em relação a x, em relação a y e em relação a z. Aplicando as propriedades de derivação. 2. Devemos lembrar que a diferencial total é a soma das derivadas parciais em relação as variáveis da função. Observação: As propriedades de derivada de função de uma variável, vale com igual teor para funções de duas ou mais variáveis. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Os exercícios foram extraídos de FLEMMING, (2007); GUIDORIZI, (2000); MUROLO, (2016), STEWART, (2009), VILCHES, (2010) Encontre as derivadas das seguintes funções. Derivadas Parciais 09 / 13 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 10/14 Observação: Para derivar a função em relação a e usa-se a regra da potência . Derivando em relação a , considera e constante. Derivando em relação a , considera e constante. Derivando em relação a , considera e constante. Observação: Para derivar a função em relação a x, y, z e t usa-se a regra do logaritmo composta . Derivando em relação a x, considera y, z e t constante. Derivando em relação a y, considera x, z e t constante. Derivando em relação a z, considera x, y e t constante. Derivando em relação a t considera x, y e z constante. 3. Derive a função Solução Observação: Para derivar a função em relação a x e y usa-se a regra do quociente . Derivando em relação a x, considera y constante. Derivando em relação a y, considera x. Derivadas Parciais 10 / 13 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 11/14 4. Calcular a inclinação da reta tangente à interseção da superfície , com o plano y=2 no ponto P(3, 2, 48). Solução Para derivar em relação a x, mantém y constante. Mas no ponto x=3 e y=2 tem-se Observação: Para calcular a reta que intercepta a superfície em y=2, deve calcular a derivada em relação a x. Como foi dado o ponto de interesse deve-se calcular valor numérico da derivada no ponto dado, para que se possa calcular o ângulo desejado. ATIVIDADE FINAL Para calibrar um equipamento com relação a temperatura é necessário saber as derivadas parciais da função A. As derivadas parciais da função são e B. As derivadas parciais da função são e C. As derivadas parciais da função são e D. As derivadas parciais da função são e Derivadas Parciais 11 / 13 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 12/14 Calcular a inclinação da tangente à interseção da superfície , com plano no ponto . A. O ângulo que representa a inclinação da reta tangente é aproximadamente 78,69º B. O ângulo que representa a inclinação da reta tangente é aproximadamente 68,69º C. O ângulo que representa a inclinação da reta tangente é aproximadamente 88,69º D. O ângulo que representa a inclinação da reta tangente é aproximadamente 100º Para calibrar um equipamento com relação a contagem de glóbulos sanguíneos é necessário saber as derivadas parciais da função , com relação as variáveis e . A. As derivadas parciais da função são e B. As derivadas parciais da função são e C. As derivadas parciais da função são e D. As derivadas parciais da função são e REFERÊNCIA FLEMMING, D. M. Cálculo A E B. 6ª ed. São Paulo: Pearson, 2007. GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo.Vols.1 e 2. Rio de Janeiro: LTC, 2000. Derivadas Parciais 12 / 13 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 13/14 MUROLO, A. C e Bonetto, G. Matemática Aplicada a administração, economia e contabilidade. São Paulo: Cengage Learning, 2016. STEWART, J. Cálculo. 6ª ed. Vols.1 e 2. São Paulo: Cengage Learning, 2009. VILCHES, M. A. e CORRÊA M. L.. CÁLCULO: V 1 e 2. Departamento de Análise - IME UERJ: Rio de Janeiro. 2010 Derivadas Parciais 13 / 13 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 14/14 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 1/10 Derivadas Parciais de Ordem Superior APRESENTAR OS CONCEITOS DE DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR AUTOR(A): PROF. CLAUDINEIA HELENA RECCO DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR Derivadas parciais de ordem superior são obtidas da mesma forma que as derivadas parciais de primeira ordem. No entanto, deve-se observar que para uma função de duas variáveis existirão duas derivadas de segunda ordem para cada derivada parcial, ou seja, as derivadas de segunda ordem de são dadas por: (FLEMMING, 2007; GUIDORIZZI, 2000; MUROLO, 2016; STEWART, 2009; VILCHES, 2010) Derivadas Puras Derivando duas vezes em relação a : ou Derivando duas fezes em relação a : ou Derivadas Mistas Derivando primeiro em relação a e depois em relação a : ou Derivando primeiro em relação a e depois em relação a : Derivadas Parciais de Ordem Superior 01 / 09 Conteúdo carregado! 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 2/10 ou TEOREMA DE CLAIRAUT – SCHWARTZ (FLEMMING, 2007; GUIDORIZZI, 2000; MUROLO, 2016; STEWART, 2009; VILCHES, 2010) Teorema das Derivadas Mistas: Se e suas derivadas parciais e forem contínuas em , então: Exemplos 1. Calcule as derivadas parciais de segunda ordem da função . Solução: Para calcularmos as derivadas de segunda ordem de uma função temos que calcular as derivadas de parciais de primeira ordem. Após encontrar as derivadas de primeira ordem podemos calcular as derivadas de segunda ordem. Assim temos: Passo 1: Calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Passo 2: Calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Assim, a segunda derivada, em relação a é: E a segunda derivada, em relação a é: Ainda se tem que calcular as derivadas mistas, isto é: Derivadas Parciais de Ordem Superior 02 / 09 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 3/10 a. Calcular a segunda derivada da derivada parcial em relação a , calculando a derivada em relação a : b. Calcular a segunda derivada da derivada parcial em relação a , calculando a derivada em relação a : 2. Calcular as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem da função Solução: Para calcularmos as derivadas de segunda ordem de uma função temos que calcular as derivadas de parciais de primeira ordem. Após encontrar as derivadas de primeira ordem podemos calcularas derivadas de segunda ordem. Assim temos: Passo 1: Calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Passo 2: Calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Assim, a segunda derivada, em relação a é: E a segunda derivada, em relação a é: Ainda se tem que calcular as derivadas mistas, isto é: Derivadas Parciais de Ordem Superior 03 / 09 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 4/10 a. Calcular a segunda derivada da derivada parcial em relação a , calculando a derivada em relação a : b. Calcular a segunda derivada da derivada parcial em relação a , calculando a derivada em relação a : Observação: Quando calculamos as derivadas de ordem superior temos que considerar as combinações das derivadas sempre de uma ordem abaixo, segue um esquema 1 para derivadas de terceira ordem. O mesmo deve ser feito para qualquer ordem. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Os exercícios foram extraídos de FLEMMING, (2007); GUIDORIZI, (2000); MUROLO, (2016), STEWART, (2009), VILCHES, (2010) 1.Calcular as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem da função Solução: Derivadas Parciais de Ordem Superior 04 / 09 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 5/10 Para calcularmos as derivadas de segunda ordem de uma função temos que calcular as derivadas de parciais de primeira ordem. Após encontrar as derivadas de primeira ordem podemos calcular as derivadas de segunda ordem. Assim temos: Passo 1: Calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Passo 2: Calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Assim, a segunda derivada, em relação a é: E a segunda derivada, em relação a é: Ainda se tem que calcular as derivadas mistas, isto é: Calcular a segunda derivada da derivada parcial em relação a , calculando a derivada em relação a : Calcular a segunda derivada da derivada parcial em relação a , calculando a derivada em relação a : 2. Calcular as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem da função Solução: Para calcularmos as derivadas de segunda ordem de uma função temos que calcular as derivadas de parciais de primeira ordem. Após encontrar as derivadas de primeira ordem podemos calcular as derivadas de segunda ordem. Assim temos: Passo 1: Calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Derivadas Parciais de Ordem Superior 05 / 09 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 6/10 Passo 2: Calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Assim, a segunda derivada, em relação a x é: E a segunda derivada, em relação a y é: Ainda se tem que calcular as derivadas mistas, isto é: Calcular a segunda derivada da derivada parcial em relação a y, calculando a derivada em relação a x: Calcular a segunda derivada da derivada parcial em relação a x, calculando a derivada em relação a y: 3. Calcular as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem da função Solução: Para calcularmos as derivadas de segunda ordem de uma função temos que calcular as derivadas de parciais de primeira ordem. Após encontrar as derivadas de primeira ordem podemos calcular as derivadas de segunda ordem. Assim temos: Passo 1: Calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Derivadas Parciais de Ordem Superior 06 / 09 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 7/10 Passo 2: Calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Assim, a segunda derivada, em relação a é: E a segunda derivada, em relação a é: Ainda se tem que calcular as derivadas mistas, isto é: Calcular a segunda derivada da derivada parcial em relação a , calculando a derivada em relação a : Calcular a segunda derivada da derivada parcial em relação a , calculando a derivada em relação a : 4. Calcular as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem da função Solução: Para calcularmos as derivadas de segunda ordem de uma função temos que calcular as derivadas de parciais de primeira ordem. Após encontrar as derivadas de primeira ordem podemos calcular as derivadas de segunda ordem. Assim temos: Passo 1: Calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Derivadas Parciais de Ordem Superior 07 / 09 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 8/10 Passo 2: Calcular as derivadas parciais de segunda ordem. ATIVIDADE FINAL Para se calcular a pressão de uma turbina de uma usina é dada pela segunda derivada em função de da função A. A pressão de uma turbina de uma usina é dada pela função B. A pressão de uma turbina de uma usina é dada pela função C. A pressão de uma turbina de uma usina é dada pela função D. A pressão de uma turbina de uma usina é dada pela função Para se calcular a pressão sanguina é dada pela segunda derivada em função de da função Derivadas Parciais de Ordem Superior 08 / 09 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 9/10 A. A pressão sanguina é dada pela função B. A pressão sanguina é dada pela função C. A pressão sanguina é dada pela função D. A pressão sanguina é dada pela função Para se calcular a tensão suportada pelas portas do metro é necessário encontrar o valor numérico da segunda derivada em função de da função no ponto . A. A tensão suportada pelas portas do metro é 30e B. A tensão suportada pelas portas do metro é 12e C. A tensão suportada pelas portas do metro é 18e D. A tensão suportada pelas portas do metro é 14634e REFERÊNCIA FLEMMING, D. M. Cálculo A E B. 6ª ed. São Paulo: Pearson, 2007. GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo.Vols.1 e 2. Rio de Janeiro: LTC, 2000. MUROLO, A. C e Bonetto, G. Matemática Aplicada a administração, economia e contabilidade. São Paulo: Cengage Learning, 2016. STEWART, J. Cálculo. 6ª ed. Vols.1 e 2. São Paulo: Cengage Learning, 2009. VILCHES, M. A. e CORRÊA M. L.. CÁLCULO: V 1 e 2. Departamento de Análise - IME UERJ: Rio de Janeiro. 2010 Derivadas Parciais de Ordem Superior 09 / 09 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 10/10 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 1/15 Vetor Gradiente e Derivada Direcional APRESENTAR O CONCEITO DE VETOR GRADIENTE E DERIVADA DIRECIONAL AUTOR(A): PROF. CLAUDINEIA HELENA RECCO VETOR GRADIENTE Seja uma função de duas variáveis e as suas derivadas parciais. Seja , um ponto do plano a projeção de no plano dada por curvas de nível e as derivadas calculadas no ponto denomina-se Vetor Gradiente ao vetor: (FLEMMING, 2007; GUIDORIZZI, 2000; MUROLO, 2016; STEWART, 2009; VILCHES, 2010) INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA Vetor Gradiente e Derivada Direcional 01 / 14 Conteúdo carregado! 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 2/15 O Vetor Gradiente é ortogonal à reta tangente a uma curva de nível pelo ponto . (FLEMMING, 2007; GUIDORIZZI, 2000; MUROLO, 2016; STEWART, 2009; VILCHES, 2010) Vetor Gradiente e Derivada Direcional 02 / 14 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 3/15 Observações: 1. O Vetor Gradiente aponta para onde tem maior velocidade. 2. Em Geometria Analítica, o Vetor Gradiente recebe o nome de Vetor Normal. Definição: O vetor gradiente de no ponto é o vetor: Obtido por meio do cálculo das derivadas parciais de em . Vetor Gradiente e Derivada Direcional 03 / 14 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 4/15 De forma análoga, quando temos , o VetorGradiente será ortogonal ao plano tangente à uma superfície de nível em um ponto do espaço e dado por: (FLEMMING, 2007; GUIDORIZZI, 2000; MUROLO, 2016; STEWART, 2009; VILCHES, 2010) Exemplos Dado as funções encontre o vetor gradiente par aos pontos dados. Observação: 1. Foram calculados o vetor gradiente para diversos pontos. 2. Norma euclidiana do vetor gradiente Á medida que o ponto se afasta da origem o comprimento do vetor gradiente cresce e se torna igual a duas vezes a distância do ponto à origem, com podemos observar no gráfico. Vetor Gradiente e Derivada Direcional 04 / 14 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 5/15 Observação: 1. Foram calculados o vetor gradiente para diversos pontos. 2. Norma euclidiana do vetor gradiente Á medida que o ponto se afasta da origem o comprimento do vetor gradiente cresce e se torna igual a duas vezes a distância do ponto à origem, com podemos observar no gráfico. Vetor Gradiente e Derivada Direcional 05 / 14 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 6/15 Vetor Gradiente e Derivada Direcional 06 / 14 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 7/15 Norma euclidiana do vetor gradiente Graficamente: DERIVADA DIRECIONAL Se é uma função diferenciável em a, então tem derivada direcional para qualquer vetor unitário que é dada por: (FLEMMING, 2007; GUIDORIZZI, 2000; MUROLO, 2016; STEWART, 2009; VILCHES, 2010) Vetor Gradiente e Derivada Direcional 07 / 14 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 8/15 Observação: Um vetor é unitário se . Seja a norma de é dada por . Seja o vetor gradiente de então a derivada direcional é a direção associada ao vetor gradiente associado ao vetor unitário . Assim, para calcular a derivada direcional basta calcular o produto escalar dos vetores . Logo Exemplos 1. Suponha que é a temperatura no ponto numa área com ar-condicionado, mas com a porta aberta. Movendo-se em direção a porta, a temperatura irá aumentar. Porém, se mover-se na direção do ar- condicionado, a temperatura irá diminuir. A taxa de variação de em na direção de é a derivada direcional. Note que a derivada direcional depende tanto do ponto quanto da direção na qual se afasta de . 2. Calcule as derivadas direcionais de na direção do vetor . Solução Consideremos o vetor unitário Logo a derivada direcional é: 3. Calcule as derivadas direcionais de na direção do vetor Solução Como o vetor não é unitário, devemos normalizar para encontrar o vetor unitário, logo Vetor Gradiente e Derivada Direcional 08 / 14 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 9/15 Assim a derivada direcional é 4. Ache a derivada direcional de no ponto na direção Solução Deve-se verificar se o vetor é unitário, caso não seja deve-se normaliza-lo. Logo deve-se calcular a norma euclidiana par verificar se . Assim Portanto o vetor unitário associado ao vetor é: O vetor gradiente de ) é dada por: A derivada direcional é dada por: EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Vetor Gradiente e Derivada Direcional 09 / 14 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 10/15 Os exercícios foram extraídos de FLEMMING, (2007); GUIDORIZI, (2000); MUROLO, (2016), STEWART, (2009), VILCHES, (2010) 1. Determine o vetor gradiente da função no ponto Solução: Para encontrar o vetor de é preciso encontrar as derivadas parciais em relação a e a . Em seguida devemos calcular o valor numérico para o ponto . Derivada da função e Valor numérico da derivada com relação ao ponto e Logo o vetor gradiente é: 2. Determine o vetor gradiente da função no ponto Solução: Para encontrar o vetor de é preciso encontrar as derivadas parciais em relação a e . Em seguida devemos calcular o valor numérico para o ponto . Vetor Gradiente e Derivada Direcional 10 / 14 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 11/15 Logo o vetor gradiente é: 3. Ache a derivada direcional de no ponto na direção . Solução: Deve-se verificar se o vetor é unitário, caso não seja deve-se normaliza-lo. Logo deve-se calcular a norma euclidiana par verificar se . Assim O vetor gradiente de é dada por: A derivada direcional é dada por: ATIVIDADE FINAL Vetor Gradiente e Derivada Direcional 11 / 14 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 12/15 Suponha que a temperatura no ponto do espaço seja dada por em e que é medida em graus Celsius e e em metros. Com relação ao ponto qual é temperatura máxima e a temperatura mínima? A. A temperatura máxima é de e a temperatura mínima é de B. A temperatura máxima é de e a temperatura mínima é de C. A temperatura máxima é de e a temperatura mínima é de D. A temperatura máxima é de e a temperatura mínima é de Suponha que a temperatura no ponto do espaço seja dada por em e que é medida em graus Celsius e e em metros. Em que direção no ponto a temperatura aumenta mais rapidamente? Qual é taxa máxima de aumento? Vetor Gradiente e Derivada Direcional 12 / 14 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 13/15 A. A temperatura aumenta mais rapidamente na direção d=(11,-21) a uma taxa de aumento de 23,7 C/m B. A temperatura aumenta mais rapidamente na direção d=(11,-21) a uma taxa de aumento de -23,7 C/m C. A temperatura aumenta mais rapidamente na direção d=(-11,-11) a uma taxa de aumento de 23,7 C/m D. A temperatura aumenta mais rapidamente na direção d=(-21,-11) a uma taxa de aumento de 23,7C/m Suponha que a temperatura no ponto do espaço seja dada por em e que é medida em graus Celsius e e em metros. Em que direção no ponto a temperatura aumenta mais rapidamente e qual direção a temperatura diminui mais rapidamente? A. A temperatura aumenta mais rapidamente na direção d=(-5/8,-5/4, 15/8) e diminui mais rapidamente na direção B. A temperatura aumenta mais rapidamente na direção d=(-5,-5, 15) e diminui mais rapidamente na direção d=(5, 5, -15) C. A temperatura aumenta mais rapidamente na direção d=(-1,-2, 6) e diminui mais rapidamente na direção d=(1, 2, -6) D. A temperatura aumenta mais rapidamente na direção d=(-5/8,-5/4, 15/4) e diminui mais rapidamente na direção d=(5/8, 5/4, -15/4) REFERÊNCIA FLEMMING, D. M. Cálculo A E B. 6ª ed. São Paulo: Pearson, 2007. GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo.Vols.1 e 2. Rio de Janeiro: LTC, 2000. MUROLO, A. C e Bonetto, G. Matemática Aplicada a administração, economia e contabilidade. São Paulo: Cengage Learning, 2016. STEWART, J. Cálculo. 6ª ed. Vols.1 e 2. São Paulo: Cengage Learning, 2009. Vetor Gradiente e Derivada Direcional 13 / 14 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 14/15 VILCHES, M. A. e CORRÊA M. L.. CÁLCULO: V 1 e 2. Departamento de Análise - IME UERJ: Rio de Janeiro. 2010. Vetor Gradiente e Derivada Direcional 14 / 14 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 15/15 13/12/2017 AVA UNINOVE https://ava.uninove.br/seu/AVA/topico/container_impressao.php 1/10 Plano tangente e Reta Normal APRESENTAR O CONCEITO DE PLANO TANGENTE E RETA NORMAL
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