Provas Álgebra Linear (2º Estágio)

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UFCG/CCT jUr idade Acadêmica de Matemática e Estatística
DISCIPLINA: Á gebra Linear j
NOTA:
PERíODO: 2011.2
PROFESSOR(t,}: _ Turno: MANHÃ(1)
ALUNO(A): ._______________________________ DATA: 06/10/2011
i1ESTÁGIQ
v
IMPORTAl~TE!Não retire o grampo da prova. Use apenas o papel da prova. Não apague as
contas. Concentre-se!
1) (2,0 pontos )Sej'3,V = ]R3,verifique, justificando a sua resposta; se:
.a)Mí = {(x, y, z) E]R3 : X + 3yz = O} é subespaço de V .
. 'b)U = {(x, y, z) C ]R3 : 2x - y - z = O}, subespaço de V, é gerado pelos vetares VI = (1,0,2) E'
'Ul = (0,1, í).
2) (2,0 pontoslêej.un V = ]R3,
a = {(2,0,0), (1,-1,0), (1,3, -I)} e {3= {(I, i,1), (1,0,2), (1,1,O)}
bases ordenadas de V. Determine:
a)(I]~ ; b)[vLl< sendo V = (x, y, z) E}R3 .
3) (2,0 pontos)Veúfique se:
a) 1 - t3, (1 -- t)2 , 1 - te 1, geram o espaço dos polinômios de grau ~ 3.
b) Se u e v são vetores L.L, então WI = U - ve Wi = u + 3v também são L.L
4) (2,0 pontos)Sejam W1 = {(x, y, z, t) E }R4: z + y = ° e z - t = O} e
Hí2 = {(x, y, 2, t) E ]R4: X - Y -z + t = O} subespaços de ]R4.
a) W1 +W2 É soma direta? Justifique.
b) WI + T-tr2 =::: ]R4? Justifique.
---5) (2,0 pontoslêej« T:]R3 -t]R3 dada por T(;Ê, y, z) = (2x - y + z, x - z, x - y +3~):
a) Verfique SI' v = (1, -1,3) pertence a W onde
111= [T(l, 1,O), T( -1,0,1), T(O, 1,1)].
b) Verifque s·~:T é uma transformação linear.
Boa Sorte! Boa Prova!
UFCG/CCT/Unidade Acadêmica de Matemática e Estatística
DISClPLlNA: Álgebra Linear!
Nota:
PERíODO: 2011.1
PROFESSOR(A): Turno: MANHÃ
ALUNO(A}: DATA: 03/05/2011
ZP- Estágio
IMPORTANTE! Não retire o grampo da prova. Use apenas o papel da prova. Concentre-se!
1. (1,° ponto) A afirmativa: O! = {x!,'l-1, 2x+ 1,x2 - X, x2 + 2x - I} é base de P2 (R) é verdadeira
ou falsa? Justifique a sua resposta .
.2. (1, ° ponto) Mostre que W = {(x, y; z) E ~3 [» + 2y - z = O} é um subespaço vetorial do }R3.
..3. (1, ° ponto) Se W1 = {(x, y, z; t) E ~4 / x + z = O e y - t = O} e
1;\12= {(x, y, 2, t) E R4 / x + Y - 2z = O} são subespaços de ]R4, determine VVI n VV2'
4. (1, O ponto) Obtenha um subespaço W2.de}R3 tal que dim W2 = 2 e W1 EBlIV2 se
lIV1 = {(x, y, z·) E ~3 /2x - y = ° e z = z}.
5. (1,0 ponto) Verifique se f3 = {(l,~, 1), (O,1, -1), (1,.-2,3)} é base de V = 1R3..
6. (1,Oponto) Determine [(x, y, z)]8 se f3 = (tI, -2,1), (O,0,1), (-1,1, 2)} é base de 1R3.
7. (1, O ponto) Verifique se A = r ~ - i~J e a matriz de mudança da base
I ° 1 1
O! = {(I, 1,0), (O,1,0), (0,0, I)} para a base f3 __ {(I, 1,0), (1,0, 1), (0,0, I)}.
8. (1, O ponto) Verifique se T : P2 (JR) --+]R2 definida por T(ax2 + bx + c) = (a + b, a - c) é uma
transformação linear. .
9. (1, aponto) Determine uma. base para o núcleo da transformação linear T : }R3-? JR2 definida
por T(x, y, z) = (2y - z, x + 2z).
10. (1, O ponto)Determine uma transformação linear T :]R2 --+]R2 tal que Im(T) = [(2,1.), (1, -l)}.
Boa Sorte! Boa Prova!
r------------------------ ----
UNIVERS~DADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE NOTA:
UNIDADE ACADÊiiJllCA DE MATEMÁTICA E ESTATiSTiCA Período: i1.i
DisClpliml: ÁLGEBRA UNI::AR B Data: 03/05111
Professorta): Turno: Tarde
Aluno(a}: Turma:
2° ESTÁGIO
1°) (1,0 ponto) A afirmativa: a = {2x3 - x; x2 + 2x, x3 + x2 - 5 } é base de p',.(91) ,
é verdadeira ou falsa? Justifique sua-resposta.
2°) (1,0 ponto) Mostre que W = { at? +bt+c É Pz(gt) / a + 3b - 2c = O} é um
subespaço de P, ( ~ ) > L/./
I I
3° )(1,0 ponto) Se V~ = 1 (.x, y, z) E ~ 3 / x + Y - 2z = O e x - 2y + 3z = OJ 6
W2 =' (.x, y, z) E 913 j 2x +3 y -z = O } são subespaços de 9{3. Verifique
se w. EB W:. ~
" 4°) ('~.Oponto) Verifique se u = (2,1,3) E f (1,1,1);(1,-1,1);(0,0,1) 1 /
st5 (1,0 ponto) Obtenha um subespaço W2 de V = P2 (iR) com dim W2 = 2
tal que W; + W; = P; (~) onde W1 = { at? +bt+c E P:z(i'R) / b - 2c = O}
- í \
/ ôe.í{1,O pnniol Determine V,,-v., E 91;2 tatcce r v. + v? 1 = i 1. ',i e
;.'. ,,# ~ - • c: 1 - _U t""')
\ "'-'i
(~\
[v1 - V2 ]p =] ~ 1 onde a = {(1,0);(1,1)} e J3 = {(1,2);(O,l)}\,1,'
/ 7°) (1.0 ponto) Se T: P2 (~) -+~" é a transformação linear dada por
T( ax2 + bx.+ c ) = (a - b + c, 3c,;a + b - c, 2b), verifique se o conjunto
{Ttx2 + 1); T(l- x), T( x2 -'x),' r(x + 1) } é LI, ou LD,
:a",.t80) (1,0 ponto) V~rifique se T :Mi 9t) -+ 9t2 dada por TI
\ c
b'I - (~., h'?.d )- La-c, U T --' }~ , .u ./ _
9°) (1sOponto) Dada a transformação linear T: P2 (9t) -+ M2 (91) definida por
J' 7 );'. . ;2-0, a+c
T\ at' + bt + c ) = i -r • determine uma base para a Im( T).
" IJ - C a
- . -
~-~1.00) (1,0 .aonto) Determine uma. transformação linear T: 913 -+ gt2 taí que
N( T) = [ (1,0,1) 1 e a Im( T ) = [ (1,3);( -1,2) ]
BOA SORTE.
UNIVERSíDADE FEDFRAl DE CAMPiNA GRANOE , NOTA:
UNIDADE ACADÊ!\JUCA DE MATEnri TICA E ESTATjST~CA
Disciplina: ÁLGEBRA UNI::.AR
Professone):
Período: 1t.t
Data: 03i05111 -----!
!umo: Tarde !
A
Alunoía): Turma:
~10) (1,O ponto) A afirmativa: a = {(l,O,l,O);(O,l,O,l);(O,-l,l,O)} é base de 9r>
é verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta.
subespaço de P2 ( Di ).
/ 3°}(1,Opnnto)Se W. =t(X,y,Z)EgC /x-2y+z=Oe x+y-z=O}e
W~= { (x, y, z) E gt-' ; 3x - y + 2z= O } são subespaços de 913• Verifique
se W 83 IL,. -
}Q.) (1,0 ponto) Obtenha um subespaço PÍz de V = P1 ( 91') com dim vf/~= 2
J._ l •• ~ rJ,j , vV' - T) " ,..-, ) d UT ! 2 -'- t.; . D ~;;n' í ' {) ~tar qus n: T'Y2-I2\.)1.~ on e YYI=lat ,bl,-rCEI2\.:rl.!i ~a -rC=-..iL
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6°) {i,O ponto} Determine V,,, V2 E 91.
2 ta( que [Vi + V2 L =! ~ I e
. : i ~
y" 7°) (1,0 ponto) Se T: P.. (~) ---+ 914 é a transformação linear dada por
r( ax" + bx + c ) := (3c, a + b - c, Za , a - b + c), veriftque se Q conjunto
{T(x1-l);T(x+l),T(x" +x),T(l-x)} éLL ouLDo
/"
: '8\1) (1,0 ponto) Verifique se T: il1
2
( 91 ) ---+ m2 dada por TI
~--~,ai' + bt + c
,
1-./ -
u - c b+cl
I, determine uma base para a Im( T ) .
a - b ]
10°) (1,0 ponto) Determine uma transformação linear T: 9i~. ~ ffi:;; tai qus
N( T) = f (1,1,0)] e a lm( T) = r (1,2);(2,-1)1